Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues duke përdorur një integral të caktuar. Vëllimi i një trupi revolucioni

I. Vëllimet e organeve të revolucionit. Studioni paraprakisht kapitullin XII, paragrafët 197, 198 nga teksti shkollor i G. M. Fikhtengolts * Analizoni në detaje shembujt e dhënë në paragrafin 198.

508. Njehsoni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi i një elipsi rreth boshtit Ox.

Kështu,

530. Gjeni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox të harkut sinusoid y = sin x nga pika X = 0 në pikën X = It.

531. Llogaritni sipërfaqen e një koni me lartësi h dhe rreze r.

532. Njehsoni syprinën e formuar

rrotullimi i astroidit x3 -)- y* - a3 rreth boshtit Ox.

533. Llogaritni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi i lakut të lakores 18 ug - x (6 - x) z rreth boshtit Ox.

534. Gjeni sipërfaqen e torusit të prodhuar nga rrotullimi i rrethit X2 - j - (y-3)2 = 4 rreth boshtit Ox.

535. Llogaritni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi i rrethit X = një kosto, y = asint rreth boshtit Ox.

536. Njehsoni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi i lakut të lakores x = 9t2, y = St - 9t3 rreth boshtit Ox.

537. Gjeni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi i harkut të lakores x = e*sint, y = kosto el rreth boshtit Ox

nga t = 0 në t = —.

538. Tregoni se sipërfaqja e prodhuar nga rrotullimi i harkut cikloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) rreth boshtit Oy është e barabartë me 16 u2 o2.

539. Gjeni sipërfaqen e përftuar nga rrotullimi i kardioidit rreth boshtit polar.

540. Gjeni syprinën e formuar nga rrotullimi i lemniskatit Rreth boshtit polar.

Detyra shtesë për kreun IV

Zonat e figurave të aeroplanit

541. Gjeni të gjithë zonën e rajonit të kufizuar nga kurba Dhe boshti Ox.

542. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Ox.

543. Gjeni pjesën e zonës së rajonit të vendosur në kuadrantin e parë dhe të kufizuar nga kurba

l akset koordinative.

544. Gjeni zonën e rajonit që gjendet brenda

sythe:

545. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga një lak i lakores:

546. Gjeni zonën e rajonit që përmbahet brenda lakut:

547. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Ox.

548. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Ox.

549. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga boshti Oxr

drejt dhe kurbë

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues
duke përdorur një integral të caktuar?

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen prej rrotullimi dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi qëndroni optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. prezantuar? ... Pyes veten se kush ka paraqitur çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

- rreth boshtit të abshisë;
- rreth boshtit të ordinatave.

Ky artikull do të shqyrtojë të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton më shumë vështirësi, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure, dhe unë do t'ju tregoj se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. Nuk është aq shumë një bonus, pasi materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

figurë e sheshtë rreth një boshti

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhje: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vijat, dhe mos harroni se ekuacioni specifikon boshtin. Si të përfundoni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë mund të gjendet në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe . Ky është një kujtesë kineze dhe në këtë pikë nuk do të ndalem më tej.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e rrafshët e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu ajo që rrotullohet rreth boshtit Si rezultat i rrotullimit, rezultati është një disk fluturues paksa vezak që është simetrik. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por unë jam shumë dembel për të sqaruar ndonjë gjë në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - integrani në formulë është në katror: , pra integrali është gjithmonë jonegativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Në përgjigjen tuaj duhet të tregoni dimensionin - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësive? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me vija,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhje: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigju:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione që lidhen me vëllimet, gjë që u vu re nga Perelman (një tjetër) në libër Gjeometri argëtuese. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, gjë që duket shumë e madhe. Nga rruga, një person mesatar pi ekuivalentin e një dhome prej 18 metrash katrorë lëng gjatë gjithë jetës së tij, e cila, përkundrazi, duket një vëllim shumë i vogël.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha rastet ndodhin në brez, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, më lejoni t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve: nëse argumenti ndahet me dy: , atëherë grafikët shtrihen dy herë përgjatë boshtit. Këshillohet të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i zakonshëm në punën testuese. Gjatë rrugës do të konsiderohet problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda e dytë është integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë të gjeni rrugën më fitimprurëse të zgjidhjes. Ka edhe një kuptim praktik të jetës në këtë! Ndërsa mësuesja ime për metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani ne jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë në mënyrë optimale stafin". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Unë ua rekomandoj të gjithëve, madje edhe bedeleve të plota. Për më tepër, materiali i mësuar në paragrafin e dytë do të ofrojë ndihmë të paçmuar në llogaritjen e integraleve të dyfishta.

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar nga vijat , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm pikën e dytë, sigurohuni që së pari të lexoni të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Është e lehtë të shihet se funksioni specifikon degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni specifikon degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", për të cilën u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Pse zgjidhja e zakonshme është e keqe në këtë rast? Së pari, ne morëm dy integrale. Së dyti, ka rrënjë nën integrale, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, dhe përveç kësaj, mund të ngatërrohesh në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vrasës, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione "më të mira" për problemin.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedh nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment vija e drejtë ndodhet mbi parabolën, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim: Duhet të vendosen kufijtë e integrimit përgjatë boshtit rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutemi vini re se si e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë me vëllimin e trupit të rrotullimit që rezulton.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren.
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Të interesuarit mund të gjejnë gjithashtu sipërfaqen e figurës në mënyrën "e zakonshme", duke kontrolluar kështu pikën 1). Por nëse, e përsëris, rrotulloni një figurë të sheshtë rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm me një vëllim të ndryshëm, nga rruga, përgjigjen e saktë (gjithashtu për ata që duan të zgjidhin probleme).

Një zgjidhje e plotë për dy pikat e propozuara të detyrës është në fund të mësimit.

Po, dhe mos harroni të anoni kokën djathtas për të kuptuar trupat e rrotullimit dhe kufijtë e integrimit!

Isha gati të mbaroja artikullin, por sot ata sollën një shembull interesant vetëm për gjetjen e vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave. E freskët:

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me kthesa dhe .

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Gjatë rrugës njihemi me grafikët e disa funksioneve të tjera. Këtu është një grafik interesant i një funksioni çift...

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: , pra vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Në përgjigjen tuaj, duhet të tregoni dimensionin - njësitë kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësive? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me vija,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigje:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat u vunë re nga Perelman (jo ai) në libër. Gjeometri argëtuese. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar pi ekuivalentin e një dhome prej 18 metrash katrorë lëng gjatë gjithë jetës së tij, e cila, përkundrazi, duket një vëllim shumë i vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte vërtet më i miri. I njëjti libër i Perelman, i shkruar prej tij në vitin 1950, zhvillohet shumë mirë, siç tha humoristi, të menduarit dhe mëson të kërkojë zgjidhje origjinale, jo standarde për problemet. Kohët e fundit i rilexova disa nga kapitujt me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni nevojë të buzëqeshni se ju ofrova një kohë të lirë, erudicioni dhe horizontet e gjera në komunikim janë një gjë e shkëlqyer.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha çështjet ndodhin në grup, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij praktikisht të gatshëm të integrimit. Gjithashtu përpiquni të vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike nëse argumenti ndahet me dy: atëherë grafikët shtrihen dy herë përgjatë boshtit; Mundohuni të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike dhe plotësoni më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i zakonshëm në punën testuese. Gjatë rrugës do të konsiderohet problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda e dytë është integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë të gjeni rrugën më fitimprurëse të zgjidhjes. Ka edhe një kuptim praktik të jetës në këtë! Ndërsa mësuesja ime për metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani ne jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë në mënyrë optimale stafin". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar nga vijat , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse doni të lexoni vetëm pikën e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhja: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Është e lehtë të shihet se funksioni specifikon degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni specifikon degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", për të cilën u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Pse zgjidhja e zakonshme është e keqe në këtë rast? Së pari, ne morëm dy integrale. Së dyti, integralet janë rrënjë, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, dhe përveç kësaj, mund të ngatërrohesh në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vrasës, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione "më të mira" për problemin.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedh nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment vija e drejtë ndodhet mbi parabolën, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! Shënim: Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet të vendosen rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutemi vini re se si e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë me vëllimin e trupit të rrotullimit që rezulton.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Përgjigje:

Sidoqoftë, jo një flutur e sëmurë.

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren.
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Përveç gjetja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar (shih 7.2.3.) zbatimi më i rëndësishëm i temës është llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues. Materiali është i thjeshtë, por lexuesi duhet të jetë i përgatitur: duhet të jeni në gjendje të zgjidhni integrale të pacaktuara kompleksiteti mesatar dhe aplikoni formulën Newton-Leibniz në integral i caktuar, n Ju gjithashtu keni nevojë për aftësi të forta vizatimi. Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, duke përdorur një integral të caktuar, ju mund të llogarisni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen e një trupi; edhe me shume. Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. prezantuar? ... Tani kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe të rrotullohet në dy mënyra:

– rreth boshtit x ;

– rreth boshtit të ordinatave .

Le të shohim të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton më shumë vështirësi, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi i një figure të sheshtë rreth një boshti OK

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhja: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo është, në një avion XOYështë e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vijat , dhe mos harroni se ekuacioni specifikon boshtin. Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e sheshtë e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu, është ajo që rrotullohet rreth boshtit. Si rezultat i rrotullimit, rezultati është një disk fluturues pak vezak me dy maja të mprehta në bosht OK, simetrike rreth boshtit OK. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, shikoni në librin e referencës.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues? Nëse një trup formohet si rezultat i rrotullimit rreth një boshtiOK, ndahet mendërisht në shtresa paralele me trashësi të vogël dx, të cilat janë pingul me boshtin OK. Vëllimi i të gjithë trupit është padyshim i barabartë me shumën e vëllimeve të shtresave të tilla elementare. Çdo shtresë, si një fetë e rrumbullakët limoni, është një cilindër i ulët në lartësi dx dhe me rreze bazë f(x). Atëherë vëllimi i një shtrese është prodhimi i sipërfaqes bazë π f 2 për lartësi cilindër ( dx), ose π∙ f 2 (x)∙dx. Dhe zona e të gjithë trupit të rrotullimit është shuma e vëllimeve elementare, ose integrali përkatës i caktuar. Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "be" mund të merret me mend lehtësisht nga vizatimi i përfunduar. Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë. Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht OK. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: f 2 (x), Kështu, vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është shumë logjike. Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

.

Siç e kemi vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Në përgjigjen tuaj, duhet të tregoni dimensionin - njësitë kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësive? Sepse ky është formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth një boshti OK një figurë e kufizuar me vija , , .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Shembulli 3

Njehsoni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar figurën e kufizuar nga vijat , , dhe rreth boshtit të abshisave.

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni x= 0 specifikon boshtin OY:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth një boshti OK rezultati është një donut i sheshtë këndor (një rondele me dy sipërfaqe konike).

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit si dallimi në vëllimet e trupave. Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti OK rezultati është një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me V 1 .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit OK, atëherë ju merrni të njëjtin kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me V 2 .

Është e qartë se ndryshimi në vëllime V = V 1 - V 2 është vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigje:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Ju mund të zotëroni teknika grafike kompetente dhe të shpejta me ndihmën e materialeve mësimore dhe transformimeve gjeometrike të grafikëve. Por, në fakt, unë kam folur tashmë për rëndësinë e vizatimeve disa herë në klasë.

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e harkut, sipërfaqen e rrotullimit dhe shumë; më shumë. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi qëndroni optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. prezantuar? ... Pyes veten se kush ka paraqitur çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

– rreth boshtit të abshisë;
– rreth boshtit të ordinatave.

Ky artikull do të shqyrtojë të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton më shumë vështirësi, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure, dhe unë do t'ju tregoj se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. Nuk është aq shumë një bonus, pasi materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhje: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vijat, dhe mos harroni se ekuacioni specifikon boshtin. Si të përfundoni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë mund të gjendet në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Ky është një kujtesë kineze dhe në këtë pikë nuk do të ndalem më tej.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e rrafshët e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu ajo që rrotullohet rreth boshtit Si rezultat i rrotullimit, rezultati është një disk fluturues paksa vezak që është simetrik. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por unë jam shumë dembel për të sqaruar ndonjë gjë në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - integrani në formulë është në katror: , pra integrali është gjithmonë jonegativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Në përgjigjen tuaj, duhet të tregoni dimensionin - njësitë kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësive? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me vija,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhje: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigju:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione që lidhen me vëllimet, gjë që u vu re nga Perelman (një tjetër) në libër Gjeometri argëtuese. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar pi ekuivalentin e një dhome prej 18 metrash katrorë lëng gjatë gjithë jetës së tij, e cila, përkundrazi, duket një vëllim shumë i vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte vërtet më i miri. I njëjti libër i Perelman, i botuar në vitin 1950, zhvillon shumë mirë, siç tha humoristi, të menduarit dhe të mëson të kërkosh zgjidhje origjinale, jo standarde të problemeve. Kohët e fundit i rilexova disa nga kapitujt me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni nevojë të buzëqeshni se ju ofrova një kohë të lirë, erudicioni dhe horizontet e gjera në komunikim janë një gjë e shkëlqyer.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha rastet ndodhin në brez, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, më lejoni t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve: nëse argumenti ndahet me dy: , atëherë grafikët shtrihen dy herë përgjatë boshtit. Këshillohet të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i zakonshëm në punën testuese. Gjatë rrugës do të konsiderohet problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda e dytë është integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë të gjeni rrugën më fitimprurëse të zgjidhjes. Ka edhe një kuptim praktik të jetës në këtë! Ndërsa mësuesja ime për metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani ne jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë në mënyrë optimale stafin". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Unë ua rekomandoj të gjithëve, madje edhe bedeleve të plota. Për më tepër, materiali i mësuar në paragrafin e dytë do të ofrojë ndihmë të paçmuar në llogaritjen e integraleve të dyfishta.

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar nga vijat , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse doni të lexoni vetëm pikën e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Është e lehtë të shihet se funksioni specifikon degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni specifikon degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", për të cilën u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Pse zgjidhja e zakonshme është e keqe në këtë rast? Së pari, ne morëm dy integrale. Së dyti, integralet janë rrënjë, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, dhe përveç kësaj, mund të ngatërrohesh në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vrasës, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione "më të mira" për problemin.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedh nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment vija e drejtë ndodhet mbi parabolën, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim: Duhet të vendosen kufijtë e integrimit përgjatë boshtit rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutemi vini re se si e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë me vëllimin e trupit të rrotullimit që rezulton.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Sidoqoftë, jo një flutur e sëmurë.

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren.
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Të interesuarit mund të gjejnë gjithashtu sipërfaqen e figurës në mënyrën "e zakonshme", duke kontrolluar kështu pikën 1). Por nëse, e përsëris, rrotulloni një figurë të sheshtë rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm me një vëllim të ndryshëm, nga rruga, përgjigjen e saktë (gjithashtu për ata që duan të zgjidhin probleme).

Një zgjidhje e plotë për dy pikat e propozuara të detyrës është në fund të mësimit.

Po, dhe mos harroni të anoni kokën djathtas për të kuptuar trupat e rrotullimit dhe kufijtë e integrimit!