Shembuj të integralit të caktuar sipas pjesëve. Zgjidhja e integraleve në internet

Më parë, për një funksion të caktuar, të udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjetëm derivatin e tij. Derivati ​​ka aplikime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); pjerrësia e tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të hulumtoni funksionin për monotoni dhe ekstreme; Ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.

Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë nga një ligj i njohur i lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes nga një shpejtësi e njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.

Shembulli 1 Një pikë materiale lëviz përgjatë një vije të drejtë, shpejtësia e lëvizjes së saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Pra, për të zgjidhur problemin, duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati ​​i të cilit është i barabartë me gt. Është e lehtë të merret me mend se \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Në të vërtetë
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Vëmë re menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo plotësisht. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)

Për ta bërë problemin më specifik, duhej të rregullonim situatën fillestare: të tregonim koordinatat e pikës lëvizëse në një moment në kohë, për shembull, në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazinë s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, pra C = s 0 . Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u caktohen emra të ndryshëm, dalin me shënime të veçanta, për shembull: katrori (x 2) dhe nxjerrja e rrënjës katrore (\(\sqrt(x) \)), sinusit (sin x) dhe arcsine ( arcsin x) etj.Procesi i gjetjes së derivatit në lidhje me një funksion të caktuar quhet diferencimi, dhe operacioni i anasjelltë, d.m.th. procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, - integrimin.

Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në një mënyrë të kësaj bote": funksioni y \u003d f (x) "prodhon në botë" një funksion të ri y" \u003d f "(x). Funksioni y \u003d f (x) vepron sikur si "prind", por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë atë "prind" ose "prodhues", ata thonë se kjo është, në lidhje me funksionin y " = f" (x) , imazhi primar ose antiderivativ.

Përkufizimi. Një funksion y = F(x) quhet antiderivativ për një funksion y = f(x) në një interval X nëse \(x \në X \) plotëson barazinë F"(x) = f(x)

Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i funksionit).

Le të japim shembuj.
1) Funksioni y \u003d x 2 është një antiderivativ për funksionin y \u003d 2x, pasi për çdo x barazia (x 2) "\u003d 2x është e vërtetë
2) Funksioni y \u003d x 3 është një antiderivativ për funksionin y \u003d 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" \u003d 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y \u003d sin (x) është një antiderivativ për funksionin y \u003d cos (x), pasi për çdo x barazia (sin (x)) "= cos (x) është e vërtetë

Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.

Ne e dimë se derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 1 Antiderivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.

Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 2 Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).

Teorema 1. Nëse y = F(x) është antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati ​​për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për një funksion y = f(x) në një interval X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.

Metodat e integrimit

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)

Metoda e integrimit të zëvendësimit konsiston në prezantimin e një variabli të ri integrimi (d.m.th., një zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Nuk ka metoda të përgjithshme për zgjedhjen e zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet nga praktika.
Le të kërkohet të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë një zëvendësim \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së pacaktuar të integrimit integral, marrim formulën e integrimit të zëvendësimit:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrimi i shprehjeve si \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n ​​> 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.

Integrimi sipas pjesëve

Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Integrimi sipas pjesëve. Shembuj zgjidhjesh

Pershendetje perseri. Sot në mësim do të mësojmë se si të integrojmë sipas pjesëve. Metoda e integrimit sipas pjesëve është një nga themelet e llogaritjes integrale. Në test, provim, studentit pothuajse gjithmonë i ofrohet të zgjidhë integrale të llojeve të mëposhtme: integrali më i thjeshtë (shih artikullin) ose një integral për të ndryshuar variablin (shih artikullin) ose integrali vetëm në Metoda e integrimit sipas pjesëve.

Si gjithmonë, në dorë duhet të jetë: Tabela e integraleve dhe Tabela derivative. Nëse ende nuk i keni ato, atëherë ju lutemi vizitoni depon e faqes sime: Formula dhe tabela matematikore. Nuk do të lodhem duke përsëritur - është më mirë të printosh gjithçka. Do të përpiqem ta paraqes të gjithë materialin në mënyrë të qëndrueshme, të thjeshtë dhe të arritshme; nuk ka vështirësi të veçanta në integrimin sipas pjesëve.

Çfarë problemi zgjidh integrimi me pjesë? Metoda e integrimit sipas pjesëve zgjidh një problem shumë të rëndësishëm, ju lejon të integroni disa funksione që nuk janë në tabelë, puna funksionet, dhe në disa raste - dhe private. Siç kujtojmë, nuk ka asnjë formulë të përshtatshme: . Por ekziston ky: është formula për integrimin nga pjesët personalisht. E di, e di, ju jeni i vetmi - me të do të punojmë të gjithë mësimin (tashmë është më e lehtë).

Dhe menjëherë lista në studio. Integralet e llojeve të mëposhtme merren sipas pjesëve:

1) , , - logaritmi, logaritmi i shumëzuar me disa polinom.

2) ,është një funksion eksponencial i shumëzuar me disa polinom. Kjo përfshin gjithashtu integrale si - një funksion eksponencial i shumëzuar me një polinom, por në praktikë është 97 përqind, një shkronjë e bukur "e" shfaqet nën integral. ... artikulli del dicka lirik, oh po ... ka ardhur pranvera.

3) , , janë funksione trigonometrike të shumëzuara me disa polinom.

4) , - funksione trigonometrike të anasjellta (“harqe”), “harqe”, shumëzuar me disa polinom.

Gjithashtu, disa fraksione janë marrë në pjesë, ne gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje shembujt përkatës.

Integralet e logaritmeve

Shembulli 1

Klasike. Herë pas here, ky integral mund të gjendet në tabela, por është e padëshirueshme të përdoret një përgjigje e gatshme, pasi mësuesi ka beriberi në pranverë dhe ai do të qortojë shumë. Sepse integrali në shqyrtim nuk është aspak tabelor - ai merret pjesë-pjesë. Ne vendosim:

E ndërpresim zgjidhjen për shpjegime të ndërmjetme.

Ne përdorim formulën për integrimin sipas pjesëve:

Formula zbatohet nga e majta në të djathtë

Ne shikojmë në anën e majtë:. Natyrisht, në shembullin tonë (dhe në të gjithë të tjerët që do të shqyrtojmë), diçka duhet të shënohet me , dhe diçka me .

Në integrale të tipit në shqyrtim, ne gjithmonë shënojmë logaritmin.

Teknikisht, dizajni i zgjidhjes zbatohet si më poshtë, ne shkruajmë në kolonën:

Kjo do të thotë, sepse ne shënuam logaritmin, dhe për - pjesa e mbetur integrand.

Hapi tjetër: gjeni diferencialin:

Diferenciali është pothuajse i njëjtë me derivatin, ne kemi diskutuar tashmë se si ta gjejmë atë në mësimet e mëparshme.

Tani gjejmë funksionin. Për të gjetur funksionin është e nevojshme të integrohet anën e djathtë barazi më e ulët:

Tani hapim zgjidhjen tonë dhe ndërtojmë anën e djathtë të formulës: .
Nga rruga, këtu është një shembull i një zgjidhjeje përfundimtare me shënime të vogla:

Momentin e vetëm në produkt, e riorganizova menjëherë dhe, pasi është zakon të shkruaj shumëzuesin para logaritmit.

Siç mund ta shihni, aplikimi i formulës së integrimit sipas pjesëve e zvogëloi në thelb zgjidhjen tonë në dy integrale të thjeshta.

Ju lutemi vini re se në disa raste Menjëherë pas aplikimi i formulës, një thjeshtim kryhet domosdoshmërisht nën integralin e mbetur - në shembullin në shqyrtim, ne e reduktuam integrandin me "x".

Le të bëjmë një kontroll. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni derivatin e përgjigjes:

Përftohet integrani origjinal, që do të thotë se integrali është zgjidhur saktë.

Gjatë verifikimit, ne kemi përdorur rregullin e diferencimit të produktit: . Dhe kjo nuk është rastësi.

Formula e integrimit sipas pjesëve dhe formula Këto janë dy rregulla reciprokisht të kundërta.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar.

Integrandi është prodhim i logaritmit dhe polinomit.
Ne vendosim.

Unë do të përshkruaj edhe një herë në detaje procedurën e zbatimit të rregullit, në të ardhmen shembujt do të bëhen më shkurt, dhe nëse keni ndonjë vështirësi në zgjidhjen e tij vetë, duhet të ktheheni te dy shembujt e parë të mësimit. .

Siç u përmend tashmë, sepse është e nevojshme të caktohet logaritmi (fakti që ai është në një shkallë nuk ka rëndësi). shënojmë pjesa e mbetur integrand.

Ne shkruajmë në një kolonë:

Së pari gjejmë diferencialin:

Këtu përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks . Nuk është rastësi që në mësimin e parë të temës Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh Unë u ndala në faktin se për të zotëruar integralet, duhet të "marrë dorën" në derivatet. Derivatet do të duhet të përballen më shumë se një herë.

Tani gjejmë funksionin, për këtë ne integrojmë anën e djathtë barazi më e ulët:

Për integrim, ne aplikuam formulën më të thjeshtë tabelare

Tani jeni gati të aplikoni formulën . Ne e hapim atë me një "yll" dhe "dizenjojmë" zgjidhjen në përputhje me anën e djathtë:

Nën integralin, përsëri kemi një polinom në logaritëm! Prandaj, zgjidhja ndërpritet përsëri dhe rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet për herë të dytë. Mos harroni se për situata të ngjashme logaritmi shënohet gjithmonë.

Do të ishte mirë nëse në këtë pikë do të mund të gjenit gojarisht integralet dhe derivatet më të thjeshta.

(1) Mos u ngatërroni në shenja! Shumë shpesh këtu humbet një minus, vini re gjithashtu se minusi vlen të gjithëve kllapa , dhe këto kllapa duhet të hapen saktë.

(2) Zgjeroni kllapat. Ne thjeshtojmë integralin e fundit.

(3) Marrim integralin e fundit.

(4) “Krehja” e përgjigjes.

Nevoja për të zbatuar rregullin e integrimit sipas pjesëve dy herë (ose edhe tre herë) nuk është e pazakontë.

Dhe tani disa shembuj për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky shembull zgjidhet me ndryshimin e metodës së variablave (ose nënshtrimin nën shenjën diferenciale)! Dhe pse jo - mund të përpiqeni ta merrni në pjesë, ju merrni një gjë qesharake.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar.

Por ky integral është i integruar me pjesë (fraksioni i premtuar).

Këta janë shembuj për vetëzgjidhje, zgjidhje dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Duket se në shembujt 3,4 integrantët janë të ngjashëm, por metodat e zgjidhjes janë të ndryshme! Kjo është pikërisht vështirësia kryesore në zotërimin e integraleve - nëse zgjidhni metodën e gabuar për zgjidhjen e integralit, atëherë mund të merreni me të për orë të tëra, si me një enigmë të vërtetë. Prandaj, sa më shumë të zgjidhni integrale të ndryshme, aq më mirë, aq më i lehtë do të jetë testi dhe provimi. Për më tepër, në vitin e dytë do të ketë ekuacione diferenciale, dhe pa përvojë në zgjidhjen e integraleve dhe derivateve nuk ka asgjë për të bërë atje.

Me logaritme, ndoshta më se e mjaftueshme. Për një meze të lehtë, mund të kujtoj gjithashtu se studentët e teknologjisë i quajnë gjokset e femrave logaritme =). Nga rruga, është e dobishme të njihen përmendësh grafikët e funksioneve kryesore elementare: sinusi, kosinusi, tangjentja e harkut, eksponenti, polinomet e shkallës së tretë, të katërt, etj. Jo, sigurisht, një prezervativ në një glob
Unë nuk do të tërheq, por tani do të mbani mend shumë nga seksioni Grafikët dhe funksionet =).

Integralet e eksponentit të shumëzuar me polinomin

Rregulli i përgjithshëm:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar.

Duke përdorur një algoritëm të njohur, ne integrojmë sipas pjesëve:

Nëse keni ndonjë vështirësi me integralin, atëherë duhet të ktheheni te artikulli Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar.

E vetmja gjë tjetër për të bërë është të "krehni" përgjigjen:

Por nëse teknika juaj e llogaritjes nuk është shumë e mirë, atëherë lini opsionin më fitimprurës si përgjigje. apo edhe

Domethënë, shembulli konsiderohet i zgjidhur kur merret integrali i fundit. Nuk do të jetë gabim, është një çështje tjetër që mësuesi mund të kërkojë për të thjeshtuar përgjigjen.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ky integral është i integruar dy herë nga pjesët. Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet shenjave - është e lehtë të ngatërrohesh në to, kujtojmë gjithashtu se - një funksion kompleks.

Nuk ka më shumë për të thënë për ekspozuesin. Mund të shtoj vetëm se logaritmi eksponencial dhe ai natyror janë funksione reciproke të anasjellta, ky jam unë në temën e grafikëve argëtues të matematikës së lartë =) Ndal-ndal, mos u shqetëso, pedagogu është i matur.

Integralet e funksioneve trigonometrike të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: qëndron gjithmonë për polinomin

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar.

Integrimi sipas pjesëve:

Hmmm... dhe asgjë për të komentuar.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Një shembull tjetër me një thyesë. Si në dy shembujt e mëparshëm, një polinom shënohet me.

Integrimi sipas pjesëve:

Nëse keni ndonjë vështirësi ose keqkuptim me gjetjen e integralit, atëherë ju rekomandoj të merrni pjesë në mësim Integrale të funksioneve trigonometrike.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull bëjeni vetë.

Këshillë: përpara se të përdorni metodën e integrimit me pjesë, duhet të aplikoni një formulë trigonometrike që e kthen produktin e dy funksioneve trigonometrike në një funksion. Formula mund të përdoret gjithashtu gjatë aplikimit të metodës së integrimit sipas pjesëve, kujt i përshtatet më shumë.

Kjo, ndoshta, është e gjitha në këtë paragraf. Për disa arsye, kujtova një rresht nga himni i Departamentit të Fizikës dhe Matematikës "Dhe grafiku sinus valë pas valë shkon përgjatë boshtit të abscisës" ....

Integrale të funksioneve trigonometrike të anasjellta.
Integralet e funksioneve trigonometrike të anasjellta të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: gjithmonë qëndron për funksionin trigonometrik të anasjelltë.

Ju kujtoj se funksionet trigonometrike të anasjellta përfshijnë arksinën, arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin. Për hir të shkurtësisë, do t'i quaj "harqe"