Çfarë është një ekuacion eksponencial dhe si ta zgjidhim atë. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale

Në fazën e përgatitjes për testimin përfundimtar, nxënësit e shkollave të mesme duhet të përmirësojnë njohuritë e tyre mbi temën "Ekuacionet eksponenciale". Përvoja e viteve të kaluara tregon se detyra të tilla shkaktojnë vështirësi të caktuara për nxënësit e shkollës. Prandaj, nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i përgatitjes së tyre, duhet të zotërojnë me kujdes teorinë, të mësojnë përmendësh formulat dhe të kuptojnë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla. Pasi kanë mësuar të përballen me këtë lloj detyrash, të diplomuarit do të jenë në gjendje të llogarisin në rezultate të larta kur kalojnë provimin në matematikë.

Bëhuni gati për testimin e provimit bashkë me Shkollkovën!

Gjatë përsëritjes së materialeve të trajtuara, shumë nxënës përballen me problemin e gjetjes së formulave të nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Një tekst shkollor nuk është gjithmonë pranë dhe zgjedhja e informacionit të nevojshëm për një temë në internet kërkon shumë kohë.

Portali arsimor Shkolkovo fton studentët të përdorin bazën tonë të njohurive. Ne po zbatojmë një metodë krejtësisht të re të përgatitjes për testin përfundimtar. Duke studiuar në faqen tonë, do të jeni në gjendje të identifikoni boshllëqet në njohuri dhe t'i kushtoni vëmendje pikërisht atyre detyrave që shkaktojnë vështirësitë më të mëdha.

Mësuesit e “Shkolkovës” mblodhën, sistemuan dhe prezantuan të gjithë materialin e nevojshëm për kalimin me sukses të provimit në formën më të thjeshtë dhe më të aksesueshme.

Përkufizimet dhe formulat kryesore janë paraqitur në seksionin "Referenca teorike".

Për një asimilim më të mirë të materialit, ju rekomandojmë që të praktikoni detyrat. Shqyrtoni me kujdes shembujt e ekuacioneve eksponenciale me zgjidhje të paraqitura në këtë faqe për të kuptuar algoritmin e llogaritjes. Pas kësaj, vazhdoni me detyrat në seksionin "Katalogët". Mund të filloni me detyrat më të lehta ose të shkoni direkt në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse eksponenciale me disa të panjohura ose . Baza e të dhënave të ushtrimeve në faqen tonë të internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Ata shembuj me tregues që ju shkaktuan vështirësi mund të shtohen në "Të preferuarat". Kështu që ju mund t'i gjeni shpejt ato dhe të diskutoni zgjidhjen me mësuesin.

Për të kaluar me sukses provimin, studio çdo ditë në portalin Shkolkovo!

Ekuacionet quhen eksponenciale nëse e panjohura gjendet në eksponent. Ekuacioni më i thjeshtë eksponencial ka formën: a x \u003d a b, ku a> 0, dhe 1, x është një e panjohur.

Vetitë kryesore të shkallëve, me ndihmën e të cilave shndërrohen ekuacionet eksponenciale: a>0, b>0.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, përdoren edhe vetitë e mëposhtme të funksionit eksponencial: y = a x, a > 0, a1:

Për të paraqitur një numër si fuqi, përdoret identiteti bazë logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.

Detyrat dhe testet me temën "Ekuacionet eksponenciale"

• ekuacionet eksponenciale

  Mësime: 4 Detyra: 21 Teste: 1

• ekuacionet eksponenciale - Tema të rëndësishme për përsëritjen e provimit në matematikë

  Detyrat: 14

• Sistemet e ekuacioneve eksponenciale dhe logaritmike - Funksionet eksponenciale dhe logaritmike Klasa 11

  Mësime: 1 Detyra: 15 Teste: 1

• §2.1. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale

  Mësime: 1 Detyra: 27

• §7 Ekuacione dhe pabarazi eksponenciale dhe logaritmike - Seksioni 5. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike Klasa 10

  Mësime: 1 Detyra: 17

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të njihni vetitë themelore të fuqive, vetitë e një funksioni eksponencial dhe identitetin bazë logaritmik.

Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, përdoren dy metoda kryesore:

1. kalimi nga ekuacioni a f(x) = a g(x) në ekuacionin f(x) = g(x);
2. prezantimi i linjave të reja.

Shembuj.

1. Ekuacionet që reduktohen në më të thjeshtat. Ato zgjidhen duke sjellë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi me të njëjtën bazë.

3x \u003d 9x - 2.

Zgjidhja:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Përgjigje: 4.

2. Ekuacionet e zgjidhura duke vendosur në kllapa faktorin e përbashkët.

Zgjidhja:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Përgjigje: 3.

3. Ekuacionet e zgjidhura me ndryshim të ndryshores.

Zgjidhja:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Ne shënojmë 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Përgjigje: regjistri 2 3.

4. Ekuacione që përmbajnë fuqi me dy baza të ndryshme (jo të reduktueshme me njëra-tjetrën).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
× 23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Përgjigje: 2.

5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me a x dhe b x.

Forma e përgjithshme: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Zgjidhja:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Shënoni (3/2) x = y.
y 2 - 2,5v + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Përgjigje: log 3/2 2; - regjistri 3/2 2.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Çfarë ekuacioni eksponencial? Ky është një ekuacion në të cilin janë të panjohurat (x) dhe shprehjet me to treguesit disa gradë. Dhe vetëm atje! Është e rëndësishme.

Ja ku qenke shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

3 x 2 x = 8 x + 3

Shënim! Në bazë të shkallëve (më poshtë) - vetëm numra. AT treguesit gradë (sipër) - një shumëllojshmëri e gjerë shprehjesh me x. Nëse, papritmas, një x shfaqet në ekuacion diku tjetër përveç treguesit, për shembull:

ky do të jetë një ekuacion i tipit të përzier. Ekuacione të tilla nuk kanë rregulla të qarta për zgjidhje. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato për momentin. Këtu do të merremi me zgjidhje e ekuacioneve eksponenciale në formën e tij më të pastër.

Në fakt, edhe ekuacionet e pastra eksponenciale nuk zgjidhen gjithmonë qartë. Por ka disa lloje ekuacionesh eksponenciale që mund dhe duhet të zgjidhen. Këto janë llojet që do të shikojmë.

Zgjidhja e ekuacioneve më të thjeshta eksponenciale.

Le të fillojmë me diçka shumë themelore. Për shembull:

Edhe pa ndonjë teori, me përzgjedhje të thjeshtë është e qartë se x = 2. Asgjë më shumë, apo jo!? Asnjë rrotullim tjetër me vlerë x. Dhe tani le të shohim zgjidhjen e këtij ekuacioni të ndërlikuar eksponencial:

Çfarë kemi bërë? Ne, në fakt, thjesht hodhëm të njëjtat funde (treshe). Plotësisht i hedhur jashtë. Dhe, çfarë të pëlqen, goditi në shenjë!

Në të vërtetë, nëse në ekuacionin eksponencial në të majtë dhe në të djathtë janë e njëjta numra në çdo shkallë, këta numra mund të hiqen dhe të jenë të barabartë me eksponentë. Matematika lejon. Mbetet për të zgjidhur një ekuacion shumë më të thjeshtë. Është mirë, apo jo?)

Megjithatë, le të kujtojmë me ironi: ju mund t'i hiqni bazat vetëm kur numrat bazë majtas dhe djathtas janë në izolim të shkëlqyeshëm! Pa asnjë fqinj dhe koeficient. Le të themi në ekuacione:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ose

Ju nuk mund të hiqni dyshe!

Epo, ne kemi zotëruar gjënë më të rëndësishme. Si të kalojmë nga shprehjet e liga eksponenciale në ekuacione më të thjeshta.

"Këtu janë ato kohë!" - ti thua. “Kush do të japë një primitiv të tillë në kontroll dhe provime!?

Të detyruar të bien dakord. Askush nuk do. Por tani ju e dini se ku të shkoni kur zgjidhni shembuj konfuzë. Është e nevojshme ta sjellim në mendje, kur i njëjti numër bazë është në të majtë - në të djathtë. Atëherë gjithçka do të jetë më e lehtë. Në fakt, kjo është klasikja e matematikës. Ne marrim shembullin origjinal dhe e transformojmë atë në atë që dëshironi ne mendjen. Sipas rregullave të matematikës, sigurisht.

Shqyrtoni shembuj që kërkojnë disa përpjekje shtesë për t'i sjellë ato në më të thjeshtat. Le t'i thërrasim ata ekuacione të thjeshta eksponenciale.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale. Shembuj.

Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, rregullat kryesore janë veprimet me fuqi. Pa njohuri për këto veprime, asgjë nuk do të funksionojë.

Veprimeve me gradë, duhet shtuar vëzhgimi dhe zgjuarsia personale. A na duhen të njëjtat numra bazë? Pra, ne po i kërkojmë ato në shembull në një formë të qartë ose të koduar.

Le të shohim se si bëhet kjo në praktikë?

Le të na japim një shembull:

2 2x - 8 x+1 = 0

Shikimi i parë në bazat. Ata... Ata janë të ndryshëm! Dy dhe tetë. Por është shumë herët për t'u dekurajuar. Është koha për ta kujtuar atë

Dy dhe tetë janë të afërm në shkallë.) Është mjaft e mundur të shkruhet:

8 x+1 = (2 3) x+1

Nëse kujtojmë formulën nga veprimet me fuqi:

(a n) m = a nm,

në përgjithësi funksionon shkëlqyeshëm:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Shembulli origjinal duket si ky:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ne transferojmë 2 3 (x+1) në të djathtë (askush nuk i anuloi veprimet elementare të matematikës!), marrim:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Kjo është praktikisht e gjitha. Heqja e bazave:

Ne e zgjidhim këtë përbindësh dhe marrim

Kjo është përgjigja e saktë.

Në këtë shembull, njohja e fuqive të dyve na ndihmoi. ne identifikuar në tetë, deuce e koduar. Kjo teknikë (kodimi i bazave të përbashkëta nën numra të ndryshëm) është një truk shumë popullor në ekuacionet eksponenciale! Po, edhe në logaritme. Njeriu duhet të jetë në gjendje të njohë fuqitë e numrave të tjerë në numra. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Fakti është se ngritja e çdo numri në çdo fuqi nuk është problem. Shumëzojeni, qoftë edhe në një copë letër, dhe kjo është e gjitha. Për shembull, të gjithë mund të ngrenë 3 në fuqinë e pestë. 243 do të dalë nëse e dini tabelën e shumëzimit.) Por në ekuacionet eksponenciale, shumë më shpesh është e nevojshme të mos ngrihet në një fuqi, por anasjelltas ... çfarë numri në çfarë mase fshihet pas numrit 243, ose, le të themi, 343... Asnjë kalkulator nuk do t'ju ndihmojë këtu.

Ju duhet të dini fuqitë e disa numrave me shikim, po ... A duhet të praktikojmë?

Përcaktoni se cilat fuqi dhe çfarë numra janë numrat:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Përgjigjet (në një rrëmujë, sigurisht!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Nëse shikoni nga afër, mund të shihni një fakt të çuditshëm. Ka më shumë përgjigje sesa pyetje! Epo, ndodh... Për shembull, 2 6, 4 3, 8 2 janë të gjitha 64.

Le të supozojmë se keni marrë shënim informacionin për njohjen me numrat.) Më lejoni t'ju kujtoj se për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale, ne aplikojmë e gjitha stoku i njohurive matematikore. Përfshirë nga klasat e ulëta-të mesme. Nuk shkuat direkt në shkollën e mesme, apo jo?

Për shembull, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave shumë shpesh ndihmon (përshëndetje për klasën 7!). Le të shohim një shembull:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dhe përsëri, vështrimi i parë - në baza! Bazat e gradave janë të ndryshme ... Tre dhe nëntë. Dhe ne duam që ata të jenë të njëjtë. Epo, në këtë rast, dëshira është mjaft e realizueshme!) Sepse:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Sipas të njëjtave rregulla për veprimet me gradë:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Kjo është e mrekullueshme, mund të shkruani:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Pra, çfarë është më pas!? Treshat nuk mund të hidhen jashtë ... Rrugë pa krye?

Aspak. Duke kujtuar rregullin më universal dhe më të fuqishëm të vendimit të gjitha Detyrat e matematikës:

Nëse nuk dini çfarë të bëni, bëni atë që mundeni!

Ju shikoni, gjithçka është formuar).

Çfarë është në këtë ekuacion eksponencial mund bëj? Po, ana e majtë kërkon drejtpërdrejt kllapa! Faktori i përbashkët 3 2x lë të kuptohet qartë për këtë. Le të provojmë, dhe pastaj do të shohim:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Shembulli vazhdon të bëhet gjithnjë e më i mirë!

Kujtojmë se për të eliminuar bazat duhet një diplomë e pastër, pa asnjë koeficient. Numri 70 na shqetëson. Pra, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit me 70, marrim:

Op-pa! Gjithçka ka qenë mirë!

Kjo është përgjigja përfundimtare.

Ndodh, megjithatë, që taksimi në të njëjtat baza merret, por likuidimi i tyre jo. Kjo ndodh në ekuacionet eksponenciale të një lloji tjetër. Le të marrim këtë lloj.

Ndryshimi i ndryshores në zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Së pari - si zakonisht. Le të kalojmë në bazë. Në dredhi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ne marrim ekuacionin:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dhe këtu do të varemi. Truket e mëparshme nuk do të funksionojnë, pavarësisht se si e ktheni atë. Ne do të duhet të marrim nga arsenali i një mënyre tjetër të fuqishme dhe të gjithanshme. Quhet zëvendësimi i ndryshueshëm.

Thelbi i metodës është çuditërisht i thjeshtë. Në vend të një ikone komplekse (në rastin tonë, 2 x), ne shkruajmë një tjetër, më të thjeshtë (për shembull, t). Një zëvendësim i tillë në dukje i pakuptimtë çon në rezultate të mahnitshme!) Gjithçka thjesht bëhet e qartë dhe e kuptueshme!

Pra le

Pastaj 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Ne zëvendësojmë në ekuacionin tonë të gjitha fuqitë me x me t:

Epo, po gdhihet?) Nuk i keni harruar ende ekuacionet kuadratike? Ne zgjidhim përmes diskriminuesit, marrim:

Këtu, gjëja kryesore është të mos ndalemi, siç ndodh ... Kjo nuk është ende përgjigja, ne kemi nevojë për x, jo për t. Kthehemi te Xs, d.m.th. duke bërë një zëvendësim. Së pari për t 1:

Kjo eshte,

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytën, nga t 2:

Um... Majtas 2 x, Djathtas 1... Një problem? Po, aspak! Mjafton të kujtojmë (nga veprimet me gradë, po...) se një unitet është ndonjë numri në zero. Çdo. Çfarëdo që ju nevojitet, ne do ta vendosim. Na duhen dy. Do të thotë:

Tani kjo është e gjitha. Ka 2 rrënjë:

Kjo është përgjigja.

Në zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale në fund, ndonjëherë përftohet një shprehje e vështirë. Lloji:

Nga shtatë, një deuce përmes një diplome të thjeshtë nuk funksionon. Ata nuk janë të afërm ... Si mund të jem këtu? Dikush mund të jetë i hutuar ... Por personi që lexoi në këtë faqe temën "Çfarë është logaritmi?" , vetëm buzëqeshni me masë dhe shkruani me dorë të fortë përgjigjen absolutisht të saktë:

Nuk mund të ketë një përgjigje të tillë në detyrat "B" në provim. Kërkohet një numër specifik. Por në detyrat "C" - lehtësisht.

Ky mësim jep shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale më të zakonshme. Le të theksojmë kryesoren.

Këshilla praktike:

1. Para së gjithash, ne shikojmë bazat gradë. Le të shohim nëse ato nuk mund të bëhen e njëjta. Le të përpiqemi ta bëjmë këtë duke përdorur në mënyrë aktive veprimet me fuqi. Mos harroni se numrat pa x mund të shndërrohen edhe në gradë!

2. Mundohemi ta sjellim ekuacionin eksponencial në formën kur majtas dhe djathtas janë e njëjta numra në çdo shkallë. Ne përdorim veprimet me fuqi dhe faktorizimi.Çfarë mund të numërohet në numra - ne numërojmë.

3. Nëse këshilla e dytë nuk funksionoi, ne përpiqemi të zbatojmë zëvendësimin e ndryshores. Rezultati mund të jetë një ekuacion që zgjidhet lehtësisht. Më shpesh - katror. Ose fraksionale, e cila gjithashtu zvogëlohet në një katror.

4. Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të dini shkallët e disa numrave "me shikim".

Si zakonisht, në fund të orës së mësimit ftoheni të zgjidhni pak.) Vetë. Nga e thjeshta në komplekse.

Zgjidh ekuacionet eksponenciale:

Më i vështirë:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Gjeni produktin e rrënjëve:

2 3-x + 2 x = 9

Ka ndodhur?

Epo, atëherë shembulli më i ndërlikuar (është zgjidhur, megjithatë, në mendje ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Çfarë është më interesante? Atëherë këtu është një shembull i keq për ju. Mjaft tërhequr në vështirësi në rritje. Unë do të lë të kuptohet se në këtë shembull, zgjuarsia dhe rregulli më universal për zgjidhjen e të gjitha detyrave matematikore kursen.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Një shembull është më i thjeshtë, për relaksim):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dhe për ëmbëlsirë. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Po Po! Ky është një ekuacion i tipit të përzier! Të cilat nuk i morëm parasysh në këtë mësim. Dhe çfarë t'i konsideroni ato, ato duhet të zgjidhen!) Ky mësim është mjaft i mjaftueshëm për të zgjidhur ekuacionin. Epo, duhet zgjuarsi ... Dhe po, klasa e shtatë do t'ju ndihmojë (kjo është një aluzion!).

Përgjigjet (në rrëmujë, të ndara me pikëpresje):

një; 2; 3; katër; nuk ka zgjidhje; 2; -2; -5; katër; 0.

A është gjithçka e suksesshme? E shkëlqyeshme.

Ka një problem? Nuk ka problem! Në Seksionin Special 555, të gjitha këto ekuacione eksponenciale zgjidhen me shpjegime të hollësishme. Çfarë, pse dhe pse. Dhe, sigurisht, ka informacion shtesë të vlefshëm për punën me të gjitha llojet e ekuacioneve eksponenciale. Jo vetëm me këto.)

Një pyetje e fundit argëtuese për t'u marrë parasysh. Në këtë mësim, ne kemi punuar me ekuacione eksponenciale. Pse nuk thashë asnjë fjalë për ODZ këtu? Në ekuacione, kjo është një gjë shumë e rëndësishme, meqë ra fjala ...

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.