Gjeni shkallën më të madhe të rritjes së funksionit. Si të gjeni gradientin e një funksioni

Gradient funksione– një sasi vektoriale, përcaktimi i së cilës shoqërohet me përcaktimin e derivateve të pjesshme të funksionit. Drejtimi i gradientit tregon rrugën e rritjes më të shpejtë të funksionit nga një pikë e fushës skalare në tjetrën.

Udhëzimet

1. Për të zgjidhur problemin e gradientit të një funksioni, përdoren metodat e llogaritjes diferenciale, përkatësisht gjetja e derivateve të pjesshme të rendit të parë në lidhje me tre ndryshore. Supozohet se vetë funksioni dhe të gjitha derivatet e tij të pjesshme kanë vetinë e vazhdimësisë në fushën e përcaktimit të funksionit.

2. Gradienti është një vektor, drejtimi i të cilit tregon drejtimin e rritjes më të shpejtë të funksionit F. Për ta bërë këtë, në grafik zgjidhen dy pika M0 dhe M1, të cilat janë skajet e vektorit. Madhësia e gradientit është e barabartë me shpejtësinë e rritjes së funksionit nga pika M0 në pikën M1.

3. Funksioni është i diferencueshëm në të gjitha pikat e këtij vektori, prandaj, projeksionet e vektorit në boshtet e koordinatave janë të gjitha derivatet e tij të pjesshme. Atëherë formula e gradientit duket kështu: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ku i, j, k janë koordinatat e vektorit njësi . Me fjalë të tjera, gradienti i një funksioni është një vektor, koordinatat e të cilit janë derivatet e tij të pjesshme grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Shembulli 1. Le të jepet funksioni F = sin(x z?)/y. Kërkohet të zbulojë gradientin e tij në pikën (?/6, 1/4, 1).

5. Zgjidhje Përcaktoni derivatet e pjesshme në lidhje me çdo variabël: F'_х = 1/y сos(х z?) z? '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zëvendësoni vlerat e famshme të koordinatave të pikës: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = mëkat(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Zbatoni formulën e gradientit të funksionit: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Shembulli 2. Gjeni koordinatat e gradientit të funksionit F = y arсtg (z/x) në pikën (1, 2, 1).

9. Zgjidhje.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradienti skalar i fushës është një sasi vektoriale. Kështu, për ta gjetur atë, është e nevojshme të përcaktohen të gjithë përbërësit e vektorit përkatës, bazuar në njohuritë për ndarjen e fushës skalare.

Udhëzimet

1. Lexoni në një tekst shkollor për matematikën e lartë se cili është gradienti i një fushe skalare. Siç e dini, kjo sasi vektoriale ka një drejtim të karakterizuar nga shpejtësia maksimale e zbërthimit të funksionit skalar. Ky interpretim i kësaj sasie vektoriale justifikohet me shprehjen për përcaktimin e përbërësve të saj.

2. Mos harroni se çdo vektor përcaktohet nga madhësia e përbërësve të tij. Komponentët e një vektori janë në fakt projeksione të këtij vektori në një ose një bosht koordinativ. Kështu, nëse merret parasysh hapësira tredimensionale, atëherë vektori duhet të ketë tre komponentë.

3. Shkruani si përcaktohen përbërësit e një vektori që është gradienti i një fushe të caktuar. Të gjitha koordinatat e një vektori të tillë janë të barabarta me derivatin e potencialit skalar në lidhje me variablin, koordinata e së cilës llogaritet. Kjo do të thotë, nëse duhet të llogaritni komponentin "x" të vektorit të gradientit të fushës, atëherë duhet të dalloni funksionin skalar në lidhje me ndryshoren "x". Ju lutemi vini re se derivati ​​duhet të jetë i pjesshëm. Kjo do të thotë që gjatë diferencimit, variablat e mbetur që nuk përfshihen në të duhet të konsiderohen konstante.

4. Shkruani një shprehje për fushën skalare. Siç dihet, ky term nënkupton vetëm një funksion skalar të disa ndryshoreve, të cilat janë gjithashtu madhësi skalare. Numri i variablave të një funksioni skalar është i kufizuar nga dimensioni i hapësirës.

5. Diferenconi funksionin skalar veçmas në lidhje me secilën ndryshore. Si rezultat, do të merrni tre funksione të reja. Shkruani çdo funksion në shprehjen për vektorin e gradientit të fushës skalar. Secili prej funksioneve të fituara është në fakt një tregues për një vektor njësi të një koordinate të caktuar. Kështu, vektori përfundimtar i gradientit duhet të duket si një polinom me eksponentë në formën e derivateve të funksionit.

Kur shqyrtohen çështjet që përfshijnë përfaqësimin e gradientit, është e zakonshme të mendohen funksionet si fusha skalare. Prandaj, është e nevojshme të futet shënimi i duhur.

Do t'ju duhet

• – bum;
• - stilolaps.

Udhëzimet

1. Le të specifikohet funksioni me tre argumente u=f(x, y, z). Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni, për shembull, në lidhje me x, përcaktohet si derivat në lidhje me këtë argument, i marrë duke rregulluar argumentet e mbetura. Ngjashëm me argumentet e tjera. Shënimi për derivatin e pjesshëm shkruhet në formën: df/dx = u'x ...

2. Diferenciali total do të jetë i barabartë me du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Derivatet e pjesshme mund të kuptohen si derivate përgjatë drejtimeve të boshteve të koordinatave. Rrjedhimisht, shtrohet pyetja e gjetjes së derivatit në lidhje me drejtimin e një vektori të caktuar s në pikën M(x, y, z) (mos harroni se drejtimi s përcaktohet nga vektori njësi s^o). Në këtë rast, vektori-diferenciali i argumenteve (dx, dy, dz) = (дscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).

3. Duke marrë parasysh formën e diferencialit total du, mund të konkludojmë se derivati ​​në drejtimin s në pikën M është i barabartë me: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alfa)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Nëse s= s(sx,sy,sz), atëherë kosinuset e drejtimit (cos(alfa), cos(beta ), cos( gama)) llogariten (shih Fig. 1a).

4. Përkufizimi i derivatit të drejtimit, duke e konsideruar pikën M një variabël, mund të rishkruhet në formën e një produkti skalar: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alfa) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Kjo shprehje do të jetë objektive për një fushë skalare. Nëse një funksion konsiderohet lehtësisht, atëherë gradf është një vektor që ka koordinata që përkojnë me derivatet e pjesshme f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Këtu (i, j, k) janë vektorët njësi të boshteve të koordinatave në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor.

5. Nëse përdorim operatorin e vektorit diferencial Hamiltonian, atëherë gradf mund të shkruhet si shumëzim i këtij operatori vektori me skalarin f (shih Fig. 1b). Nga pikëpamja e lidhjes ndërmjet gradf-it dhe derivatit të drejtimit, barazia (gradf, s^o)=0 është e pranueshme nëse këta vektorë janë ortogonalë. Rrjedhimisht, gradf shpesh përkufizohet si drejtimi i metamorfozës më të shpejtë të fushës skalare. Dhe nga pikëpamja e operacioneve diferenciale (gradf është një prej tyre), vetitë e gradf përsërisin saktësisht vetitë e funksioneve diferencuese. Në veçanti, nëse f=uv, atëherë gradf=(vgradu+u gradv).

Video mbi temën

Gradient Ky është një mjet që, në redaktorët grafikë, mbush një siluetë me një tranzicion të qetë nga një ngjyrë në tjetrën. Gradient mund t'i japë një siluetë rezultatin e volumit, të imitojë ndriçimin, shkëlqimin e dritës në sipërfaqen e një objekti ose rezultatin e një perëndimi dielli në sfondin e një fotografie. Ky mjet përdoret gjerësisht, kështu që për përpunimin e fotografive ose krijimin e ilustrimeve, është shumë e rëndësishme të mësoni se si ta përdorni.

Do t'ju duhet

• Kompjuter, redaktues grafik Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ose një tjetër.

Udhëzimet

1. Hapni një imazh në program ose merrni një të re. Bëni një siluetë ose zgjidhni zonën e dëshiruar në imazh.

2. Aktivizoni mjetin e gradientit në shiritin e veglave të redaktuesit të grafikës. Vendoseni kursorin e miut në pikën brenda zonës ose siluetës së zgjedhur ku do të fillojë ngjyra e parë e gradientit. Klikoni dhe mbani butonin e majtë të miut. Lëvizni kursorin në pikën ku dëshironi që gradienti të ndryshojë në ngjyrën përfundimtare. Lëshoni butonin e majtë të miut. Silueta e zgjedhur do të mbushet me një mbushje gradient.

3. Gradient Ju mund të vendosni transparencën, ngjyrat dhe raportin e tyre në një pikë të caktuar të mbushjes. Për ta bërë këtë, hapni dritaren e redaktimit të gradientit. Për të hapur dritaren e redaktimit në Photoshop, klikoni në shembullin e gradientit në panelin Options.

4. Dritarja që hapet shfaq opsionet e disponueshme të mbushjes së gradientit në formën e shembujve. Për të modifikuar një nga opsionet, zgjidhni atë me një klikim të mausit.

5. Në fund të dritares shfaqet një shembull i një gradienti në formën e një shkalle të gjerë në të cilën ndodhen rrëshqitësit. Rrëshqitësit tregojnë pikat në të cilat gradienti duhet të ketë renditje të specifikuara, dhe në intervalin midis rrëshqitësve ngjyra kalon në mënyrë të barabartë nga ngjyra e specifikuar në pikën e parë në ngjyrën e pikës së dytë.

6. Rrëshqitësit e vendosur në krye të shkallës vendosin transparencën e gradientit. Për të ndryshuar transparencën, klikoni në rrëshqitësin e kërkuar. Një fushë do të shfaqet nën shkallën në të cilën vendosni shkallën e kërkuar të transparencës si përqindje.

7. Rrëshqitësit në fund të shkallës vendosin ngjyrat e gradientit. Duke klikuar në njërën prej tyre, do të mund të zgjidhni ngjyrën e dëshiruar.

8. Gradient mund të ketë disa ngjyra tranzicioni. Për të vendosur një ngjyrë tjetër, klikoni në hapësirën e lirë në fund të shkallës. Një tjetër rrëshqitës do të shfaqet në të. Jepini ngjyrën e kërkuar. Shkalla do të shfaqë një shembull të gradientit me një pikë më shumë. Ju mund t'i lëvizni rrëshqitësit duke i mbajtur me butonin e majtë të miut për të arritur kombinimin e dëshiruar.

9. Gradient Ato vijnë në disa lloje që mund t'i japin formë siluetave të sheshta. Për shembull, për t'i dhënë një rrethi formën e një topi, përdoret një gradient radial dhe për të dhënë formën e një koni, përdoret një gradient në formë koni. Për t'i dhënë sipërfaqes iluzionin e konveksitetit, mund të përdorni një gradient pasqyre dhe një gradient në formë diamanti mund të përdoret për të krijuar pikat kryesore.

Video mbi temën

Video mbi temën

Nëse në çdo pikë të hapësirës ose pjesë të hapësirës përcaktohet vlera e një sasie të caktuar, atëherë thonë se është specifikuar fusha e kësaj sasie. Një fushë quhet skalar nëse sasia në shqyrtim është skalare, d.m.th. karakterizohet plotësisht nga vlera e tij numerike. Për shembull, fusha e temperaturës. Fusha skalare jepet nga funksioni i pikës skalare u = /(M). Nëse një sistem koordinativ kartezian futet në hapësirë, atëherë ekziston një funksion i tre ndryshoreve x, yt z - koordinatat e pikës M: Përkufizim. Sipërfaqja e nivelit të një fushe skalare është bashkësia e pikave në të cilat funksioni f(M) merr të njëjtën vlerë. Ekuacioni i sipërfaqes së nivelit Shembull 1. Gjeni sipërfaqet e nivelit të një fushe skalare ANALIZA VEKTORIKE Fusha skalare Sipërfaqet dhe vijat e nivelit Derivati ​​drejtimor Derivati ​​gradienti skalar i fushës Vetitë themelore të një gradienti Përkufizimi i pandryshueshëm i një gradienti Rregullat për llogaritjen e një gradienti -4 Sipas përkufizimit , ekuacioni i një sipërfaqe të niveluar do të jetë. Ky është ekuacioni i një sfere (me Ф 0) me qendrën e saj në origjinë. Një fushë skalare quhet e sheshtë nëse fusha është e njëjtë në të gjithë rrafshet paralel me një rrafsh të caktuar. Nëse rrafshi i treguar merret si rrafshi xOy, atëherë funksioni i fushës nuk do të varet nga koordinata z, d.m.th., ai do të jetë një funksion vetëm i argumenteve x dhe y Një fushë e rrafshët mund të karakterizohet duke përdorur linjat e nivelit - a grup pikash në rrafshin në të cilin funksioni /(x, y) ka një dhe gjithashtu kuptimin. Ekuacioni i vijës së nivelit - Shembulli 2. Gjeni linjat e nivelit të një fushe skalare Vijat e nivelit jepen nga ekuacionet Kur c = 0 marrim një çift drejtëzash, marrim një familje hiperbolash (Fig. 1). 1.1. Derivati ​​me drejtim Le të jetë një fushë skalare e përcaktuar nga funksioni skalar u = /(Af). Le të marrim pikën Afo dhe të zgjedhim drejtimin e përcaktuar nga vektori I. Le të marrim një pikë tjetër M në mënyrë që vektori M0M të jetë paralel me vektorin 1 (Fig. 2). Le të shënojmë gjatësinë e vektorit MoM me A/, dhe rritjen e funksionit /(Af) - /(Afo), që korrespondon me zhvendosjen e D1, me Di. Raporti përcakton shpejtësinë mesatare të ndryshimit të fushës skalare për njësi të gjatësisë në drejtimin e dhënë, në mënyrë që vektori M0M të mbetet paralel me përkufizimin I. Nëse në D/O ka një kufi të fundëm të relacionit (5), atëherë ai quhet derivat i funksionit në një pikë të caktuar Afo në drejtimin e dhënë I dhe shënohet me simbolin 3!^. Pra, sipas definicionit, ky përkufizim nuk lidhet me zgjedhjen e sistemit të koordinatave, d.m.th., ai është i natyrës **variant. Le të gjejmë një shprehje për derivatin e drejtimit në sistemin koordinativ kartezian. Le të jetë funksioni / i diferencueshëm në një pikë. Le të shqyrtojmë vlerën e /(Af) në një pikë. Pastaj rritja totale e funksionit mund të shkruhet në formën e mëposhtme: ku dhe simbolet nënkuptojnë që derivatet e pjesshme llogariten në pikën Afo. Prandaj këtu sasitë jfi, ^ janë kosinuset e drejtimit të vektorit. Meqenëse vektorët MoM dhe I janë me një drejtim, kosinuset e drejtimit të tyre janë të njëjtë: Meqenëse M Afo, duke qenë gjithmonë në një vijë të drejtë paralele me vektorin 1, këndet janë konstante, prandaj më në fund, nga barazitë (7) dhe (8) marrim Eamuan është 1. Derivatet e veçorive janë derivate të funksionit dhe përgjatë drejtimeve të boshteve të koordinatave, pra-Shembulli 3. Gjeni derivatin e funksionit në drejtim të pikës Vektori ka një gjatësi. Kosinuset e drejtimit të tij: Sipas formulës (9), do të kemi Fakti që, do të thotë se fusha skalare në një pikë në një drejtim të caktuar të moshës - Për një fushë të sheshtë, derivati ​​në lidhje me drejtimin I në një pikë është llogaritet me formulën ku a është këndi i formuar nga vektori I me boshtin Oh. Зммчмм 2. Formula (9) për llogaritjen e derivatit në drejtimin I në një pikë të caktuar Afo mbetet në fuqi kur pika M tenton të tregojë Mo përgjatë një lakore për të cilën vektori I është tangjent në pikën PrIShr 4. Llogaritni derivatin e skalarit fushë në pikën Afo(l, 1). që i përket një parabole në drejtim të kësaj lakore (në drejtim të rritjes së abshisës). Drejtimi ] i një parabole në një pikë konsiderohet të jetë drejtimi i tangjentës me parabolën në këtë pikë (Fig. 3). Le të formojë tangjenten me parabolën në pikën Afo një kënd o me boshtin Ox. Atëherë nga vijnë kosinuset e drejtimit të tangjentes Le të llogarisim vlerat e dhe në pikën. Ne kemi Tani duke përdorur formulën (10) marrim. Gjeni derivatin e fushës skalare në një pikë përgjatë drejtimit të rrethit Ekuacioni vektorial i një rrethi ka formën. Ne gjejmë vektorin njësi m të tangjentës me rrethin. Vlera e r në pikën Afo do të jetë e barabartë Le të llogarisim vlerat e derivateve të pjesshme të fushës skalare të dhënë në pikën. Gradient i fushës skalare Le të definohet fusha skalare nga një funksion skalar i cili supozohet të jetë i diferencueshëm. Përkufizimi. Gradienti i fushës skalare "në një pikë të caktuar M është një vektor i shënuar me simbolin grad dhe dhe i përcaktuar me barazinë Është e qartë se ky vektor varet si nga funksioni / ashtu edhe nga pika M në të cilën llogaritet derivati ​​i tij. Le të jetë 1 një vektor njësi në drejtimin Atëherë formula për derivatin e drejtimit mund të shkruhet në formën e mëposhtme: . Kështu, derivati ​​i funksionit u në drejtimin 1 është i barabartë me produktin skalar të gradientit të funksionit u(M) dhe vektorit njësi 1° të drejtimit I. 2.1. Vetitë themelore të Teoremës së gradientit 1. Gradienti i fushës skalare është pingul me sipërfaqen e nivelit (ose me vijën e nivelit nëse fusha është e sheshtë). (2) Le të vizatojmë një sipërfaqe të nivelit u = konst përmes një pike arbitrare M dhe të zgjedhim në këtë sipërfaqe një kurbë L të lëmuar që kalon nëpër pikën M (Fig. 4). Le të jetë I një tangjente veggore me lakoren L në pikën M. Meqenëse në sipërfaqen e nivelit u(M) = u(M|) për çdo pikë Mj e L, atëherë nga ana tjetër, = (gradu, 1°). Kjo është arsyeja pse. Kjo do të thotë se vektorët grad dhe dhe 1° janë ortogonalë Kështu, gradimi i vektorit dhe është ortogonal ndaj çdo tangjente ndaj sipërfaqes së nivelit në pikën M. Kështu, është ortogonal me vetë sipërfaqen e nivelit në pikën M. Teorema 2. gradienti drejtohet drejt rritjes së funksionit të fushës. Më parë, ne vërtetuam se gradienti i fushës skalare është i drejtuar përgjatë sipërfaqes normale në nivel, e cila mund të orientohet ose në drejtim të rritjes së funksionit u(M) ose në drejtim të zvogëlimit të tij. Le të shënojmë me n normalen e sipërfaqes së nivelit, të orientuar në drejtim të rritjes së funksionit ti(M) dhe të gjejmë derivatin e funksionit u në drejtim të kësaj normale (Fig. 5). Kemi Që sipas kushtit të figurës 5 dhe për rrjedhojë ANALIZA VEKTORI Fusha skalare Sipërfaqet dhe vijat e nivelit Derivati ​​drejtimor Derivati ​​gradienti i fushës skalare Vetitë themelore të gradientit Përkufizimi invariant i gradientit Rregullat për llogaritjen e gradientit Rezulton se grad është i drejtuar në të njëjtin drejtim me atë që zgjodhëm n normale, pra në drejtim të rritjes së funksionit u(M). Teorema 3. Gjatësia e gradientit është e barabartë me derivatin më të madh në lidhje me drejtimin në një pikë të caktuar të fushës (këtu kontrolli bëhet përgjatë të gjitha drejtimeve të mundshme në një pikë të caktuar M). Kemi ku është këndi ndërmjet vektorëve 1 dhe grad n Pasi që vlera më e madhe është Shembulli 1. Gjeni drejtimin e ndryshimit më të madh të fushës skalare në një pikë dhe gjithashtu madhësinë e këtij ndryshimi më të madh në pikën e caktuar. Drejtimi i ndryshimit më të madh në fushën skalare tregohet nga një vektor. Kemi kështu që Ky vektor përcakton drejtimin e rritjes më të madhe në fushë në një pikë. Madhësia e ndryshimit më të madh të fushës në këtë pikë është 2.2. Përkufizimi invariant i gradientit Madhësitë që karakterizojnë vetitë e objektit në studim dhe që nuk varen nga zgjedhja e sistemit të koordinatave quhen invariante të objektit të dhënë. Për shembull, gjatësia e një lakore është një invariante e kësaj lakore, por këndi tangjent ndaj kurbës me boshtin Ox nuk është një invariant. Bazuar në tre vetitë e gradientit të fushës skalare të provuara më sipër, ne mund të japim përkufizimin e mëposhtëm invariant të gradientit. Përkufizimi. Gradienti skalar i fushës është një vektor i drejtuar normal në sipërfaqen e nivelit në drejtim të rritjes së funksionit të fushës dhe që ka një gjatësi të barabartë me derivatin më të madh në drejtim (në një pikë të caktuar). Le të jetë një vektor normal njësi i drejtuar në drejtim të fushës në rritje. Pastaj Shembulli 2. Gjeni gradientin e distancës - një pikë fikse, dhe M(x,y,z) - atë aktuale. 4 Kemi ku është vektori i drejtimit të njësisë. Rregullat për llogaritjen e gradientit ku c është një numër konstant. Formulat e dhëna janë marrë drejtpërdrejt nga përkufizimi i gradientit dhe vetitë e derivateve. Sipas rregullit të diferencimit të produktit, vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e vetive Le të jetë F(u) një funksion skalar i diferencueshëm. Pastaj 4 Nga përkufizimi i fadientit kemi Zbatoni rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks për të gjithë termat në anën e djathtë. Ne marrim në veçanti, Formula (6) rrjedh nga formula Shembulli 3. Gjeni derivatin në lidhje me drejtimin e vektorit të rrezes r nga funksioni Duke përdorur formulën (3) dhe duke përdorur formulën Si rezultat, ne marrim atë Shembulli 4 Le të jepet një fushë skalare e rrafshët - distanca nga një rrafsh i caktuar pikë deri në dy pika fikse të këtij rrafshi. Le të shqyrtojmë një elipsë arbitrare me vatra Fj dhe F] dhe të vërtetojmë se çdo rreze drite që del nga një fokus i elipsës, pas reflektimit nga elipsi, përfundon në fokusin tjetër të saj. Linjat e nivelit të funksionit (7) janë ANALIZA VEKTORI Fusha skalare Sipërfaqet dhe vijat e nivelit Derivati ​​drejtimor Derivati ​​skalar gradienti i fushës Vetitë themelore të gradientit Përkufizimi invariant i gradientit Rregullat për llogaritjen e gradientit Ekuacionet (8) përshkruajnë një familje elipsësh me vatra në pikat F) dhe Fj. Sipas rezultatit të shembullit 2, kemi Kështu, gradienti i një fushe të caktuar është i barabartë me vektorin PQ të diagonales së rombit të ndërtuar mbi vektorët njësi r? dhe vektorët e rrezes. tërhequr në pikën P(x, y) nga vatra F| dhe Fj, dhe për këtë arsye shtrihet në përgjysmuesin e këndit ndërmjet këtyre vektorëve të rrezes (Fig. 6). Sipas Tooromo 1, gradienti PQ është pingul me elipsin (8) në pikë. Prandaj, Fig. 6. normalja me elipsin (8) në çdo pikë përgjysmon këndin ndërmjet vektorëve të rrezes të tërhequr në këtë pikë. Nga kjo dhe nga fakti që këndi i rënies është i barabartë me këndin e reflektimit, marrim: një rreze drite që del nga një fokus i elipsit, e reflektuar prej saj, sigurisht që do të bjerë në një fokus tjetër të kësaj elipse.