Použije sa analýza rozptylu. Viacrozmerná analýza rozptylu

Analýza rozptylu

1. Koncepcia analýzy rozptylu

Analýza rozptylu je analýza variability znaku pod vplyvom akýchkoľvek kontrolovaných premenných faktorov. V zahraničnej literatúre sa analýza rozptylu často označuje ako ANOVA, čo sa prekladá ako analýza variability (Analysis of Variance).

Problém ANOVA spočíva v izolácii variability iného druhu od všeobecnej variability vlastnosti:

a) variabilita v dôsledku pôsobenia každej zo skúmaných nezávislých premenných;

b) variabilita v dôsledku interakcie skúmaných nezávislých premenných;

c) náhodná variabilita v dôsledku všetkých ostatných neznámych premenných.

Variabilita v dôsledku pôsobenia skúmaných premenných a ich interakcie koreluje s náhodnou variabilitou. Indikátorom tohto vzťahu je Fisherov F test.

Vzorec na výpočet kritéria F obsahuje odhady rozptylov, teda distribučných parametrov atribútu, preto je kritérium F parametrickým kritériom.

Čím viac je variabilita vlastnosti spôsobená skúmanými premennými (faktormi) alebo ich interakciou, tým vyššia je hodnoty empirického kritéria.

nula hypotéza pri analýze rozptylu bude uvádzať, že priemerné hodnoty študovanej efektívnej charakteristiky sú vo všetkých gradáciách rovnaké.

Alternatíva hypotéza bude tvrdiť, že priemerné hodnoty výslednej charakteristiky v rôznych gradáciách skúmaného faktora sú rôzne.

Analýza rozptylu nám umožňuje konštatovať zmenu v charakteristike, ale neindikuje smer tieto zmeny.

Začnime naše úvahy o analýze rozptylu najjednoduchším prípadom, keď študujeme pôsobenie iba jeden premenná (jeden faktor).

2. Jednosmerná analýza rozptylu pre nesúvisiace vzorky

2.1. Účel metódy

Metóda jednofaktorovej analýzy rozptylu sa používa v prípadoch, keď sa študujú zmeny efektívnej charakteristiky pod vplyvom meniacich sa podmienok alebo gradácií faktora. V tejto verzii metódy je vplyv každej gradácie faktora rôzne ukážky predmetov. Musí existovať aspoň tri stupňovanie faktora. (Môžu existovať dve gradácie, ale v tomto prípade nebudeme môcť vytvoriť nelineárne závislosti a zdá sa byť rozumnejšie použiť jednoduchšie).

Neparametrickou verziou tohto typu analýzy je Kruskal-Wallis H test.

Hypotézy

H 0: Rozdiely medzi stupňami faktorov (rôzne podmienky) nie sú väčšie ako náhodné rozdiely v rámci každej skupiny.

H 1: Rozdiely medzi stupňami faktorov (rôzne podmienky) sú väčšie ako náhodné rozdiely v rámci každej skupiny.

2.2. Obmedzenia jednosmernej analýzy rozptylu pre nesúvisiace vzorky

1. Jednosmerná analýza rozptylu vyžaduje aspoň tri gradácie faktora a aspoň dva subjekty v každej gradácii.

2. Výsledná charakteristika musí byť v skúmanej vzorke normálne rozložená.

Pravda, väčšinou sa neuvádza, či hovoríme o rozložení charakteristiky v celej skúmanej vzorke alebo v tej jej časti, ktorá tvorí disperzný komplex.

3. Príklad riešenia úlohy pomocou metódy jednosmernej analýzy rozptylu pre nesúvisiace vzorky na príklade:

Tri rôzne skupiny po šiestich subjektoch dostali zoznamy po desiatich slovách. Slová boli prezentované prvej skupine nízkou rýchlosťou – 1 slovo za 5 sekúnd, druhej skupine priemernou rýchlosťou – 1 slovo za 2 sekundy a tretej skupine vysokou rýchlosťou – 1 slovo za sekundu. Predpokladalo sa, že reprodukčný výkon bude závisieť od rýchlosti prezentácie slov. Výsledky sú uvedené v tabuľke. 1.

Počet reprodukovaných slov stôl 1

Predmet č.	pomalá rychlosť	priemerná rýchlosť	vysoká rýchlosť
celková suma

H 0: Rozdiely v rozpätí tvorby slov medzi skupiny nie sú výraznejšie ako náhodné rozdiely vnútri každá skupina.

H1: Rozdiely v objeme produkcie slov medzi skupiny sú výraznejšie ako náhodné rozdiely vnútri každá skupina. Pomocou experimentálnych hodnôt uvedených v tabuľke. 1, stanovíme niektoré hodnoty, ktoré budú potrebné na výpočet kritéria F.

Výpočet hlavných veličín pre jednosmernú analýzu rozptylu je uvedený v tabuľke:

tabuľka 2

Tabuľka 3

Postupnosť operácií v jednosmernej analýze rozptylu pre nesúvisiace vzorky

Označenie SS, ktoré sa často nachádza v tejto a nasledujúcich tabuľkách, je skratkou pre „súčet štvorcov“. Táto skratka sa najčastejšie používa v prekladaných prameňoch.

SS skutočnosť znamená variabilitu charakteristiky v dôsledku pôsobenia skúmaného faktora;

SS všeobecne- všeobecná variabilita znaku;

S C.A.-variabilita spôsobená nezapočítanými faktormi, „náhodná“ alebo „reziduálna“ variabilita.

PANI- „stredný štvorec“ alebo matematické očakávanie súčtu štvorcov, priemerná hodnota zodpovedajúcej SS.

df - počet stupňov voľnosti, ktorý sme pri neparametrických kritériách označili gréckym písmenom v.

Záver: H0 sa zamieta. H 1 je akceptovaný. Rozdiely vo vybavovaní slov medzi skupinami boli väčšie ako náhodné rozdiely v rámci každej skupiny (α=0,05). Rýchlosť prezentácie slov teda ovplyvňuje objem ich reprodukcie.

Príklad riešenia problému v Exceli je uvedený nižšie:

Počiatočné údaje:

Pomocou príkazu: Nástroje->Analýza údajov->Jednosmerná ANOVA dostaneme nasledujúce výsledky:

Ako už bolo uvedené, disperzná metóda úzko súvisí so štatistickými zoskupeniami a predpokladá, že skúmaná populácia je rozdelená do skupín podľa faktorových charakteristík, ktorých vplyv by sa mal študovať.

Na základe analýzy rozptylu sa vytvorí:

1. posúdenie spoľahlivosti rozdielov v skupinových priemeroch pre jednu alebo viacero faktorových charakteristík;

2. posúdenie spoľahlivosti interakcií faktorov;

3. posúdenie čiastkových rozdielov medzi pármi prostriedkov.

Aplikácia rozptylovej analýzy je založená na zákone rozkladu rozptylov (variácií) charakteristiky na komponenty.

Celkovú variáciu Do výslednej charakteristiky počas zoskupovania možno rozložiť na tieto zložky:

1. do medziskupiny D m spojené s charakteristikou zoskupenia;

2. pre zvyškové(vnútroskupinový) DB nesúvisí s charakteristikou zoskupenia.

Vzťah medzi týmito ukazovateľmi je vyjadrený takto:

Do = Dm + Din. (1,30)

Pozrime sa na použitie analýzy rozptylu na príklade.

Povedzme, že chcete dokázať, či dátumy siatia ovplyvňujú výnosy pšenice. Počiatočné experimentálne údaje na analýzu rozptylu sú uvedené v tabuľke. 8.

Tabuľka 8

V tomto príklade N = 32, K = 4, l = 8.

Určme celkovú celkovú odchýlku vo výnose, ktorá je súčtom druhých mocnín odchýlok jednotlivých hodnôt vlastnosti od celkového priemeru:

kde N je počet jednotiek obyvateľstva; Y i – jednotlivé výnosové hodnoty; Y o je celkový priemerný výnos pre celú populáciu.

Na určenie medziskupinovej celkovej variácie, ktorá určuje variáciu efektívnej charakteristiky v dôsledku skúmaného faktora, je potrebné poznať priemerné hodnoty efektívnej charakteristiky pre každú skupinu. Táto celková variácia sa rovná súčtu štvorcových odchýlok skupinových priemerov od celkovej priemernej hodnoty vlastnosti, vážených počtom populačných jednotiek v každej skupine:

Celková variácia v rámci skupiny sa rovná súčtu štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt vlastnosti od skupinových priemerov pre každú skupinu, sčítaných za všetky skupiny v populácii.

Vplyv faktora na výslednú charakteristiku sa prejavuje vo vzťahu medzi Dm a Dv: čím silnejší je vplyv faktora na hodnotu skúmanej charakteristiky, tým väčší Dm a menší Dv.

Na vykonanie analýzy rozptylu je potrebné určiť zdroje variácií vo vlastnostiach, objem variácií podľa zdroja a určiť počet stupňov voľnosti pre každú zložku variácie.

Veľkosť variácie už bola stanovená, teraz je potrebné určiť počet stupňov voľnosti variácie. Počet stupňov voľnosti je počet nezávislých odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od jej priemernej hodnoty. Celkový počet stupňov voľnosti, zodpovedajúci celkovému súčtu štvorcových odchýlok v ANOVA, sa rozloží na zložky variácie. Celkový súčet štvorcových odchýlok D o teda zodpovedá počtu variačných stupňov rovnajúcim sa N – 1 = 31. Skupinová variácia D m ​​zodpovedá počtu variačných stupňov rovnajúcim sa K – 1 = 3. Vnútroskupinová reziduálna variácia zodpovedá počtu variačných stupňov, ktorý sa rovná N – K = 28.

Teraz, keď poznáme súčet štvorcových odchýlok a počet stupňov voľnosti, môžeme určiť odchýlky pre každú zložku. Označme tieto rozptyly: d m - skupina a d v - vnútroskupina.

Po výpočte týchto rozptylov pristúpime k zisteniu významnosti vplyvu faktora na výsledný atribút. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer: d M / d B = F f,

Množstvo F f, tzv Fisherovo kritérium , v porovnaní s tabuľkou, F tabuľkou. Ako už bolo uvedené, ak F f > F tabuľka, potom bol vplyv faktora na efektívny atribút preukázaný. Ak F f< F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора.

Teoretická hodnota je spojená s pravdepodobnosťou a v tabuľke je jej hodnota uvedená na určitej úrovni pravdepodobnosti úsudku. V prílohe je tabuľka, ktorá umožňuje nastaviť možnú hodnotu F pre pravdepodobnosť úsudku, najčastejšie používanú: úroveň pravdepodobnosti „nulovej hypotézy“ je 0,05. Namiesto pravdepodobností „nulovej hypotézy“ možno tabuľku nazvať tabuľkou pre pravdepodobnosť 0,95 významnosti vplyvu faktora. Zvýšenie úrovne pravdepodobnosti vyžaduje vyššiu hodnotu F tabuľky na porovnanie.

Hodnota F tabuľky závisí aj od počtu stupňov voľnosti dvoch porovnávaných disperzií. Ak má počet stupňov voľnosti tendenciu k nekonečnu, potom F tabuľka smeruje k jednote.

Tabuľka hodnôt tabuľky F je zostavená takto: stĺpce tabuľky označujú stupne voľnosti variácie pre väčšiu disperziu a riadky označujú stupne voľnosti pre menšiu (v rámci skupiny) disperziu. Hodnota F sa nachádza v priesečníku stĺpca a riadku zodpovedajúcich stupňov voľnosti variácie.

Takže v našom príklade je F f = 21,3/3,8 = 5,6. Tabuľková hodnota F tabuľky pre pravdepodobnosť 0,95 a stupne voľnosti rovnajúce sa 3 a 28, F tabuľka = 2,95.

Experimentálne získaná hodnota F f presahuje teoretickú hodnotu aj pri pravdepodobnosti 0,99. Následne skúsenosť s pravdepodobnosťou vyššou ako 0,99 dokazuje vplyv skúmaného faktora na úrodu, t.j. skúsenosť možno považovať za spoľahlivú, overenú, a preto má čas sejby významný vplyv na úrodu pšenice. Za optimálne obdobie sejby by sa malo považovať obdobie od 10. do 15. mája, pretože práve v tomto období sa dosahovali najlepšie výnosy.

Skúmali sme metódu analýzy rozptylu pri zoskupení podľa jednej charakteristiky a náhodnom rozmiestnení replikátov v rámci skupiny. Často sa však stáva, že pokusná parcela má nejaké rozdiely v úrodnosti pôdy a pod. Preto môže nastať situácia, že do najlepšej časti bude spadať väčší počet parciel jednej z možností a jej ukazovatele budú nadhodnotené, resp. z druhej možnosti - najhoršie, a výsledky v tomto prípade budú prirodzene horšie, teda podhodnotené.

Na vylúčenie variácií, ktoré sú spôsobené dôvodmi, ktoré nesúvisia s experimentom, je potrebné izolovať rozptyl vypočítaný z replikátov (blokov) od rozptylu v rámci skupiny (reziduálneho).

Celkový súčet štvorcových odchýlok je v tomto prípade rozdelený na 3 zložky:

D o = D m + D opakovať + D oddych. (1,33)

V našom príklade sa súčet štvorcových odchýlok spôsobených opakovaniami bude rovnať:

Preto sa skutočný náhodný súčet štvorcových odchýlok bude rovnať:

D odpočinok = D in – D opakovanie; D odpočinok = 106 – 44 = 62.

Pre zvyškovú disperziu bude počet stupňov voľnosti rovný 28 – 7 = 21. Výsledky analýzy rozptylu sú uvedené v tabuľke. 9.

Tabuľka 9

Keďže skutočné hodnoty F-kritéria pre pravdepodobnosť 0,95 presahujú tabuľkové, vplyv termínov sejby a opakovaní na úrodu pšenice by sa mal považovať za významný. Uvažovaný spôsob konštrukcie experimentu, kedy je lokalita predbežne rozdelená na bloky s relatívne vyrovnanými podmienkami a testované možnosti sú v rámci bloku rozmiestnené v náhodnom poradí, sa nazýva metóda randomizovaných blokov.

Pomocou analýzy rozptylu môžete študovať vplyv nielen jedného faktora na výsledok, ale dvoch alebo viacerých. Analýza rozptylu v tomto prípade bude tzv multivariačná analýza rozptylu .

Obojsmerná ANOVA sa od dvoch jednofaktorových líši tým, že je vie odpovedať na nasledujúce otázky:

1. 1 Aký je vplyv oboch faktorov spolu?

2. Aká je úloha kombinácie týchto faktorov?

Uvažujme o analýze rozptylu experimentu, v ktorom je potrebné identifikovať vplyv nielen termínov sejby, ale aj odrôd na úrodu pšenice (tabuľka 10).

Tabuľka 10. Experimentálne údaje o vplyve termínov sejby a odrôd na úrodu pšenice

je súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt od celkového priemeru.

Variácia spoločného vplyvu doby sejby a odrody

je súčet štvorcových odchýlok priemeru podskupiny od celkového priemeru, vážený počtom opakovaní, t. j. 4.

Výpočet variácie len na základe vplyvu doby sejby:

Reziduálna variácia je definovaná ako rozdiel medzi celkovou variáciou a variáciou v spoločnom vplyve študovaných faktorov:

D zvyšok = D o – D ps = 170 – 96 = 74.

Všetky výpočty môžu byť prezentované vo forme tabuľky (tabuľka 11).

Tabuľka 11. Výsledky analýzy rozptylu

Výsledky analýzy rozptylu ukazujú, že vplyv študovaných faktorov, t. j. doby sejby a odrody, na úrodu pšenice je významný, keďže skutočné F-kritériá pre každý z faktorov výrazne prevyšujú tabuľkové zistené pre zodpovedajúce stupne. voľnosti a zároveň s dosť vysokou pravdepodobnosťou (p = 0,99). Vplyv kombinácie faktorov v tomto prípade chýba, pretože faktory sú navzájom nezávislé.

Analýza vplyvu troch faktorov na výsledok sa vykonáva podľa rovnakého princípu ako pre dva faktory, len v tomto prípade budú existovať tri rozptyly pre faktory a štyri rozptyly pre kombináciu faktorov. S nárastom počtu faktorov sa objem výpočtovej práce prudko zvyšuje a navyše je ťažké usporiadať počiatočné informácie do kombinovanej tabuľky. Preto sa sotva odporúča študovať vplyv mnohých faktorov na výsledok pomocou analýzy rozptylu; je lepšie vziať menšie číslo, ale vybrať najvýznamnejšie faktory z hľadiska ekonomickej analýzy.

Často sa výskumník musí zaoberať takzvanými disproporčnými disperznými komplexmi, teda takými, v ktorých nie je dodržaná proporcionalita počtu variantov.

V takýchto komplexoch sa variácia celkového účinku faktorov nerovná súčtu variácií medzi faktormi a variácií v kombinácii faktorov. Líši sa výškou v závislosti od miery súvislostí medzi jednotlivými faktormi vznikajúcimi v dôsledku porušenia proporcionality.

V tomto prípade vznikajú ťažkosti pri určovaní miery vplyvu každého faktora, keďže súčet jednotlivých vplyvov sa nerovná celkovému vplyvu.

Jedným zo spôsobov, ako zredukovať disproporčný komplex na jedinú štruktúru, je nahradiť ho proporcionálnym komplexom, v ktorom sú frekvencie spriemerované cez skupiny. Pri takejto výmene sa problém rieši podľa princípov proporcionálnych komplexov.

Analýza rozptylu - Ide o štatistickú metódu určenú na vyhodnotenie vplyvu rôznych faktorov na výsledok experimentu, ako aj na následné plánovanie podobného experimentu. Táto metóda umožňuje porovnať niekoľko (viac ako dve) vzorky na charakteristike meranej na metrickej stupnici. Všeobecne akceptovaná skratka pre analýzu rozptylu je ANOVA (z anglického ANalysis Of VAriance).

Tvorcom analýzy rozptylu je vynikajúci anglický výskumník Ronald Fisher, ktorý položil základy modernej štatistiky.

Hlavným účelom tejto metódy je študovať význam rozdielu medzi prostriedkami. Môže sa zdať zvláštne, že postup porovnávania priemerov sa nazýva analýza rozptylu. Je to v skutočnosti preto, že keď skúmame štatistickú významnosť rozdielu medzi priemermi dvoch (alebo viacerých) skupín, v skutočnosti porovnávame (t. j. analyzujeme) rozptyly vzorky. Možno by bol prirodzenejší termín analýza súčtu štvorcov alebo analýza variácie, ale kvôli tradícii sa používa pojem analýza rozptylu.

Premenné, ktorých hodnoty sú určené meraniami počas experimentu (napríklad skóre testu), sa nazývajú závislý premenných. Premenné, ktoré je možné kontrolovať v experimente (napríklad vyučovacie metódy alebo iné kritériá, ktoré umožňujú rozdeliť pozorovania do skupín alebo klasifikovať), sa nazývajú faktory alebo nezávislé premenné.

Na základe počtu faktorov, ktorých vplyv sa skúma, sa rozlišuje medzi jednofaktorovou a multifaktorovou analýzou rozptylu. Budeme uvažovať o jednosmernej analýze rozptylu.

Základné predpoklady analýzy rozptylu:

• 1) rozdelenie závislej premennej pre každú skupinu faktorov zodpovedá normálnemu zákonu (porušenie tohto predpokladu, ako ukázali mnohé štúdie, nemá významný vplyv na výsledky analýzy rozptylu);
• 2) rozptyly vzoriek zodpovedajúce rôznym gradáciám faktora sa navzájom rovnajú (tento predpoklad je podstatný pre výsledky analýzy rozptylu, ak sa porovnávané vzorky líšia veľkosťou);
• 3) vzorky zodpovedajúce gradácii faktorov musia byť nezávislé (splnenie tohto predpokladu je v každom prípade povinné). Nezávislé vzorky sú vzorky, v ktorých boli subjekty štúdie regrutované nezávisle od seba, to znamená, že pravdepodobnosť výberu ktoréhokoľvek subjektu v jednej vzorke nezávisí od výberu ktoréhokoľvek subjektu v druhej vzorke. Naopak, závislé vzorky sa vyznačujú tým, že každému subjektu jednej vzorky vyhovuje podľa určitého kritéria subjekt z inej vzorky (typickým príkladom závislých vzoriek je meranie vlastnosti na tej istej vzorke pred a po postup. V tomto prípade sú vzorky závislé, pretože pozostávajú z rovnakých subjektov. Ďalší príklad závislých vzoriek: manželia sú jednou vzorkou, ich manželky sú ďalšou vzorkou).

Algoritmus na vykonanie analýzy rozptylu:

• 1. Predložili sme hypotézu H 0- faktor zoskupovania nemá vplyv na výsledok.
• 2. Nájdite medziskupinové (faktoriálne) a vnútroskupinové (reziduálne) odchýlky (th ftt A Docm).
• 3. Vypočítajte pozorovanú hodnotu kritéria Fisher-Snedecor:

4. Pomocou tabuľky kritických bodov distribúcie Fisher - Snedecor alebo pomocou štandardnej funkcie MS Excel „ERASPOBR“ nájdeme

Kde: A- špecifikovaná hladina významnosti, k x A do 2- počet stupňov voľnosti faktora a zvyškovej disperzie.

5. Ak F Ha6ji> F Kp, potom je hypotéza I 0 zamietnutá. To znamená, že na výsledok má vplyv faktor zoskupovania.

Ak FHa6jlF Kp, potom je prijatá hypotéza #0. To znamená, že faktor zoskupovania nemá žiadny vplyv na výsledok.

Analýza rozptylu je teda navrhnutá tak, aby určila, či má určitý faktor významný vplyv F, ktorý má Rúrovne: F X, F 2 ,..., Fp k hodnote, ktorá sa skúma.

• Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. S. 467.

Analýza rozptylu je súbor štatistických metód určených na testovanie hypotéz o vzťahu medzi určitými charakteristikami a študovanými faktormi, ktoré nemajú kvantitatívny popis, ako aj na stanovenie miery vplyvu faktorov a ich interakcie. V odbornej literatúre sa často nazýva ANOVA (z anglického názvu Analysis of Variations). Prvýkrát túto metódu vyvinul R. Fischer v roku 1925.

Typy a kritériá analýzy rozptylu

Táto metóda sa používa na štúdium vzťahu medzi kvalitatívnymi (nominálnymi) charakteristikami a kvantitatívnou (kontinuálnou) premennou. V podstate testuje hypotézu o rovnosti aritmetických priemerov viacerých vzoriek. Môže sa teda považovať za parametrické kritérium na porovnanie stredov niekoľkých vzoriek naraz. Ak sa táto metóda použije pre dve vzorky, výsledky analýzy rozptylu budú totožné s výsledkami Studentovho t-testu. Na rozdiel od iných kritérií nám však táto štúdia umožňuje študovať problém podrobnejšie.

Analýza rozptylu v štatistike je založená na zákone: súčet druhých mocnín odchýlok kombinovanej vzorky sa rovná súčtu druhých mocnín vnútroskupinových odchýlok a súčtu druhých mocnín medziskupinových odchýlok. Štúdia využíva Fisherov test na stanovenie významnosti rozdielu medzi odchýlkami medzi skupinami a odchýlkami v rámci skupiny. Nevyhnutnými predpokladmi na to sú však normalita rozloženia a homoskedasticita (rovnosť rozptylov) vzoriek. Existujú jednorozmerné (jednofaktorové) analýzy rozptylu a viacrozmerné (multifaktorové). Prvá zvažuje závislosť skúmanej hodnoty od jednej charakteristiky, druhá od mnohých naraz a tiež nám umožňuje identifikovať spojenie medzi nimi.

Faktory

Faktory sú kontrolované okolnosti, ktoré ovplyvňujú konečný výsledok. Jeho úroveň alebo spôsob spracovania je hodnota, ktorá charakterizuje konkrétny prejav tohto stavu. Tieto čísla sú zvyčajne prezentované na nominálnej alebo ordinálnej meracej stupnici. Výstupné hodnoty sa často merajú na kvantitatívnych alebo ordinálnych stupniciach. Potom nastáva problém zoskupenia výstupných údajov do množstva pozorovaní, ktoré zodpovedajú približne rovnakým číselným hodnotám. Ak sa počet skupín považuje za príliš veľký, potom počet pozorovaní v nich môže byť nedostatočný na získanie spoľahlivých výsledkov. Ak vezmete číslo príliš malé, môže to viesť k strate významných vlastností vplyvu na systém. Konkrétny spôsob zoskupovania údajov závisí od množstva a povahy variácií hodnôt. Počet a veľkosť intervalov v jednorozmernej analýze sú najčastejšie určené princípom rovnakých intervalov alebo princípom rovnakých frekvencií.

Analýza problémov rozptylu

Takže existujú prípady, keď potrebujete porovnať dve alebo viac vzoriek. Vtedy je vhodné použiť analýzu rozptylu. Názov metódy naznačuje, že závery sa vyvodzujú na základe štúdie komponentov rozptylu. Podstatou štúdie je, že celková zmena ukazovateľa je rozdelená na zložky, ktoré zodpovedajú pôsobeniu každého jednotlivého faktora. Zoberme si niekoľko problémov, ktoré rieši typická analýza rozptylu.

Príklad 1

Dielňa má množstvo automatických strojov, ktoré vyrábajú konkrétny diel. Veľkosť každého dielu je náhodná premenná, ktorá závisí od nastavenia každého stroja a náhodných odchýlok, ktoré sa vyskytujú počas výrobného procesu dielov. Na základe nameraných údajov o rozmeroch dielov je potrebné určiť, či sú stroje konfigurované rovnakým spôsobom.

Príklad 2

Pri výrobe elektrického zariadenia sa používajú rôzne druhy izolačného papiera: kondenzátorový, elektrický atď. Zariadenie môže byť impregnované rôznymi látkami: epoxidová živica, lak, živica ML-2 atď. Netesnosti je možné eliminovať vo vákuu pri zvýšený tlak s ohrevom. Impregnáciu je možné vykonať ponorením do laku, pod súvislý prúd laku atď. Elektrický prístroj ako celok je naplnený určitou zlúčeninou, ktorej je viacero možností. Indikátory kvality sú elektrická pevnosť izolácie, teplota prehriatia vinutia v prevádzkovom režime a množstvo ďalších. Pri vývoji technologického postupu výroby zariadení je potrebné určiť, ako každý z uvedených faktorov ovplyvňuje výkon zariadenia.

Príklad 3

Trolejbusová vozovňa obsluhuje viacero trolejbusových liniek. Prevádzkujú trolejbusy rôznych typov, cestovné vyberá 125 revízorov. Vedenie depa zaujíma otázka: ako porovnať ekonomické ukazovatele práce každého kontrolóra (výnosy) pri zohľadnení rôznych trás a rôznych typov trolejbusov? Ako určiť ekonomickú realizovateľnosť výroby trolejbusov určitého typu na konkrétnej trase? Ako stanoviť primerané požiadavky na výšku tržieb, ktoré vodič prinesie na každej trase v rôznych typoch trolejbusov?

Úlohou výberu metódy je získať maximum informácií o vplyve každého faktora na konečný výsledok, určiť číselné charakteristiky takéhoto vplyvu, ich spoľahlivosť pri minimálnych nákladoch a v čo najkratšom čase. Metódy analýzy rozptylu umožňujú takéto problémy riešiť.

Univariačná analýza

Účelom štúdie je posúdiť veľkosť vplyvu konkrétneho prípadu na analyzovaný prehľad. Ďalším účelom jednorozmernej analýzy môže byť vzájomné porovnanie dvoch alebo viacerých okolností, aby sa určil rozdiel v ich vplyve na stiahnutie. Ak je nulová hypotéza zamietnutá, ďalším krokom je kvantifikovať a skonštruovať intervaly spoľahlivosti pre získané charakteristiky. V prípade, že nulovú hypotézu nemožno zamietnuť, zvyčajne sa prijme a vyvodí sa záver o povahe vplyvu.

Jednosmerná analýza rozptylu sa môže stať neparametrickou analógiou Kruskal-Wallisovej rank metódy. Bolo vyvinuté americkým matematikom Williamom Kruskalom a ekonómom Wilsonom Wallisom v roku 1952. Toto kritérium je určené na testovanie nulovej hypotézy o rovnosti účinkov na skúmané vzorky s neznámymi, ale rovnakými priemernými hodnotami. V tomto prípade musí byť počet vzoriek väčší ako dve.

Kritérium Jonckheere-Terpstra navrhli nezávisle holandský matematik T. J. Terpstra v roku 1952 a britský psychológ E. R. Jonckheere v roku 1954. Používa sa, keď je vopred známe, že existujúce skupiny výsledkov sú usporiadané podľa rastu vplyvu skúmaný faktor, ktorý sa meria na ordinálnej stupnici.

M – Bartlettov test, ktorý v roku 1937 navrhol britský štatistik Maurice Stevenson Bartlett, sa používa na testovanie nulovej hypotézy o rovnosti rozptylov niekoľkých normálnych populácií, z ktorých sa odoberajú skúmané vzorky, vo všeobecnosti majúcich rôzne veľkosti (počet vzorka musí byť aspoň štyri).

G - Cochranov test, ktorý objavil Američan William Gemmell Cochran v roku 1941. Používa sa na testovanie nulovej hypotézy o rovnosti rozptylov normálnych populácií v nezávislých vzorkách rovnakej veľkosti.

Neparametrický Levene test, ktorý navrhol americký matematik Howard Levene v roku 1960, je alternatívou k Bartlettovmu testu v podmienkach, kde nie je isté, že skúmané vzorky podliehajú normálnemu rozdeleniu.

V roku 1974 americkí štatistici Morton B. Brown a Alan B. Forsythe navrhli test (Brown-Forsythov test), ktorý sa mierne líši od Leveneovho testu.

Dvojfaktorová analýza

Pre súvisiace vzorky s normálnym rozložením sa používa dvojcestná analýza rozptylu. V praxi sa často používajú zložité tabuľky tejto metódy, najmä tie, v ktorých každá bunka obsahuje súbor údajov (opakovaných meraní) zodpovedajúcich hodnotám pevnej úrovne. Ak nie sú splnené predpoklady potrebné na aplikáciu obojsmernej analýzy rozptylu, použite neparametrický Friedmanov poradový test (Friedman, Kendall a Smith), ktorý vyvinul americký ekonóm Milton Friedman koncom roku 1930. Tento test nezávisí od typu distribúcie.

Predpokladá sa len, že rozdelenie hodnôt je identické a nepretržité a že samotné sú navzájom nezávislé. Pri testovaní nulovej hypotézy sú výstupné dáta prezentované vo forme pravouhlej matice, v ktorej riadky zodpovedajú úrovniam faktora B a stĺpce úrovniam A. Každá bunka tabuľky (blok) môže byť výsledok meraní parametrov na jednom objekte alebo na skupine objektov s konštantnými hodnotami úrovní oboch faktorov. V tomto prípade sú zodpovedajúce údaje prezentované ako priemerné hodnoty určitého parametra pre všetky rozmery alebo objekty skúmanej vzorky. Pre uplatnenie výstupného kritéria je potrebné prejsť od priamych výsledkov meraní k ich poradiu. Hodnotenie sa vykonáva pre každý riadok samostatne, to znamená, že hodnoty sú zoradené pre každú pevnú hodnotu.

Pageov test (L-test), ktorý navrhol americký štatistik E. B. Page v roku 1963, je určený na testovanie nulovej hypotézy. Pre veľké vzorky sa používa Pageova aproximácia. V súlade s realitou zodpovedajúcich nulových hypotéz sa riadia štandardným normálnym rozdelením. V prípade, že riadky zdrojovej tabuľky majú rovnaké hodnoty, je potrebné použiť priemerné hodnotenia. V tomto prípade bude presnosť záverov horšia, čím väčší bude počet takýchto zápasov.

Q - Cochranovo kritérium, navrhnuté W. Cochranom v roku 1937. Používa sa v prípadoch, keď sú skupiny homogénnych subjektov vystavené vplyvom, ktorých počet presahuje dva a pre ktoré sú možné dve možnosti spätnej väzby - podmienečne negatívna (0) a podmienečne kladné (1) . Nulová hypotéza pozostáva z rovnosti účinkov liečby. Obojsmerná analýza rozptylu umožňuje určiť existenciu účinkov liečby, ale neumožňuje určiť, pre ktoré konkrétne stĺpce tento účinok existuje. Na vyriešenie tohto problému sa používa metóda viacerých Scheffeových rovníc pre súvisiace vzorky.

Viacrozmerná analýza

Problém viacrozmernej analýzy rozptylu vzniká, keď potrebujete určiť vplyv dvoch alebo viacerých podmienok na určitú náhodnú premennú. Štúdia zahŕňa prítomnosť jednej závislej náhodnej premennej, meranej na rozdielovej alebo pomerovej stupnici, a niekoľkých nezávislých premenných, z ktorých každá je vyjadrená na mennej alebo hodnotovej stupnici. Analýza rozptylu údajov je pomerne rozvinutá časť matematickej štatistiky, ktorá má veľa možností. Koncept výskumu je spoločný pre jednofaktorový aj multifaktorový. Jeho podstata spočíva v tom, že celkový rozptyl je rozdelený na zložky, čomu zodpovedá určité zoskupenie údajov. Každé zoskupenie údajov má svoj vlastný model. Tu zvážime len základné ustanovenia potrebné na pochopenie a praktické využitie jeho najpoužívanejších možností.

Analýza rozptylu faktorov si vyžaduje pomerne opatrný prístup k zberu a prezentácii vstupných údajov a najmä k interpretácii výsledkov. Na rozdiel od jednofaktorového testu, ktorého výsledky môžu byť podmienene zaradené do určitej postupnosti, výsledky dvojfaktorového testu vyžadujú komplexnejšiu prezentáciu. Situácia sa ešte viac skomplikuje, keď sú tri, štyri alebo viac okolností. Z tohto dôvodu je pomerne zriedkavé zahrnúť do modelu viac ako tri (štyri) podmienky. Príkladom môže byť výskyt rezonancie pri určitej hodnote kapacity a indukčnosti elektrického kruhu; prejav chemickej reakcie s určitým súborom prvkov, z ktorých je systém vybudovaný; výskyt anomálnych efektov v zložitých systémoch za určitej zhody okolností. Prítomnosť interakcie môže radikálne zmeniť model systému a niekedy viesť k prehodnoteniu podstaty javov, s ktorými sa experimentátor zaoberá.

Viacrozmerná analýza rozptylu s opakovanými experimentmi

Namerané údaje môžu byť pomerne často zoskupené nie podľa dvoch, ale podľa väčšieho počtu faktorov. Ak teda uvažujeme rozptylovú analýzu životnosti pneumatík kolies trolejbusu s prihliadnutím na okolnosti (výrobný závod a trasa, na ktorej sú pneumatiky prevádzkované), potom môžeme ako samostatnú podmienku vyčleniť sezónu, počas ktorej pneumatiky sú prevádzkované (a to: zimná a letná prevádzka). V dôsledku toho budeme mať problém s trojfaktorovou metódou.

Ak je podmienok viac, postupuje sa rovnako ako pri dvojfaktorovej analýze. Vo všetkých prípadoch sa snažia model zjednodušiť. Fenomén interakcie dvoch faktorov sa neobjavuje tak často a trojitá interakcia sa vyskytuje len výnimočne. Zahrňte tie interakcie, pre ktoré existujú predchádzajúce informácie a dobré dôvody na ich zohľadnenie v modeli. Proces identifikácie jednotlivých faktorov a ich zohľadnenia je pomerne jednoduchý. Preto je často túžba zdôrazniť viac okolností. Nemali by ste sa tým nechať uniesť. Čím viac podmienok, tým menej spoľahlivý je model a tým väčšia je pravdepodobnosť chyby. Samotný model, ktorý obsahuje veľké množstvo nezávislých premenných, sa stáva pomerne zložitým na interpretáciu a nepohodlným pre praktické použitie.

Všeobecná myšlienka analýzy rozptylu

Analýza rozptylu v štatistike je metóda získavania výsledkov pozorovania závislých od rôznych súčasne pôsobiacich okolností a hodnotenia ich vplyvu. Riadená premenná, ktorá zodpovedá spôsobu ovplyvňovania predmetu skúmania a za určitý čas nadobúda určitú hodnotu, sa nazýva faktor. Môžu byť kvalitatívne a kvantitatívne. Úrovne kvantitatívnych podmienok nadobúdajú v číselnej škále určitý význam. Príkladmi sú teplota, lisovací tlak, množstvo látky. Kvalitatívne faktory sú rôzne látky, rôzne technologické metódy, zariadenia, plnivá. Ich úrovne zodpovedajú škále mien.

Kvalita môže zahŕňať aj typ baliaceho materiálu a podmienky skladovania liekovej formy. Racionálne je zahrnúť aj stupeň mletia surovín, frakčné zloženie granúl, ktoré majú kvantitatívny význam, ale ťažko regulovateľné, ak sa použije kvantitatívna stupnica. Množstvo kvalitatívnych faktorov závisí od typu liekovej formy, ako aj od fyzikálnych a technologických vlastností liečivých látok. Napríklad tablety možno získať z kryštalických látok priamym lisovaním. V tomto prípade stačí vybrať klzné a mazacie látky.

Príklady faktorov kvality pre rôzne typy liekových foriem

• Tinktúry. Zloženie extraktu, typ extraktora, spôsob prípravy suroviny, spôsob výroby, spôsob filtrácie.
• Extrakty (tekuté, husté, suché). Zloženie extraktora, spôsob extrakcie, typ inštalácie, spôsob odstraňovania extraktora a balastných látok.
• Pilulky. Zloženie pomocných látok, plnív, dezintegračných činidiel, spojív, lubrikantov a lubrikantov. Spôsob získavania tabliet, typ technologického zariadenia. Druh obalu a jeho zložky, filmotvorné látky, pigmenty, farbivá, zmäkčovadlá, rozpúšťadlá.
• Injekčné roztoky. Druh rozpúšťadla, spôsob filtrácie, povaha stabilizátorov a konzervačných látok, podmienky sterilizácie, spôsob plnenia ampuliek.
• Čapíky. Zloženie čapíkového základu, spôsob výroby čapíkov, plnivá, balenie.
• Masti. Zloženie základu, štruktúrne zložky, spôsob prípravy masti, typ zariadenia, balenie.
• Kapsuly. Druh materiálu obalu, spôsob výroby kapsúl, typ zmäkčovadla, konzervačná látka, farbivo.
• Liniments. Spôsob prípravy, zloženie, typ zariadenia, typ emulgátora.
• Pozastavenie. Typ rozpúšťadla, typ stabilizátora, disperzná metóda.

Príklady faktorov kvality a ich úrovne študované počas procesu výroby tabliet

• Prášok do pečiva. Zemiakový škrob, biely íl, zmes hydrogénuhličitanu sodného s kyselinou citrónovou, zásaditý uhličitan horečnatý.
• Záväzný roztok. Voda, škrobová pasta, cukrový sirup, roztok metylcelulózy, roztok hydroxypropylmetylcelulózy, roztok polyvinylpyrolidónu, roztok polyvinylalkoholu.
• Posuvná látka. Aerosil, škrob, mastenec.
• Filler. Cukor, glukóza, laktóza, chlorid sodný, fosforečnan vápenatý.
• Mazivo. Kyselina stearová, polyetylénglykol, parafín.

Modely analýzy rozptylu pri štúdiu úrovne konkurencieschopnosti štátu

Jedným z najdôležitejších kritérií hodnotenia stavu štátu, podľa ktorého sa posudzuje úroveň jeho blahobytu a sociálno-ekonomického rozvoja, je konkurencieschopnosť, teda súbor vlastností národných hospodárstiev, ktoré určujú schopnosť konkurovať iným krajinám. Po určení miesta a úlohy štátu na svetovom trhu je možné stanoviť jasnú stratégiu na zabezpečenie ekonomickej bezpečnosti v medzinárodnom meradle, pretože je kľúčom k pozitívnym vzťahom medzi Ruskom a všetkými hráčmi na svetovom trhu: investormi veriteľmi a vládami.

Pre porovnanie úrovne konkurencieschopnosti štátov sú krajiny zoradené pomocou komplexných indexov, ktoré zahŕňajú rôzne vážené ukazovatele. Tieto indexy sú založené na kľúčových faktoroch ovplyvňujúcich ekonomickú, politickú a pod. situáciu. Súbor modelov na štúdium konkurencieschopnosti štátu zahŕňa použitie metód viacrozmernej štatistickej analýzy (najmä analýza rozptylu (štatistika), ekonometrické modelovanie, rozhodovanie) a zahŕňa tieto hlavné fázy:

1. Tvorba sústavy ukazovateľov.
2. Hodnotenie a prognózovanie ukazovateľov konkurencieschopnosti štátu.
3. Porovnanie ukazovateľov konkurencieschopnosti štátov.

Teraz sa pozrime na obsah modelov každej z etáp tohto komplexu.

V prvej fáze metódami expertného štúdia sa vytvára fundovaný súbor ekonomických ukazovateľov na hodnotenie konkurencieschopnosti štátu, zohľadňujúci špecifiká jeho vývoja na základe medzinárodných ratingov a údajov štatistických útvarov, odrážajúcich stav systému ako celku. a jeho procesy. Voľba týchto ukazovateľov je odôvodnená potrebou vybrať tie, ktoré nám z praktického hľadiska najúplnejšie umožňujú určiť úroveň štátu, jeho investičnú atraktivitu a možnosť relatívnej lokalizácie existujúcich potenciálnych a skutočných hrozieb.

Hlavnými ukazovateľmi medzinárodných ratingových systémov sú indexy:

1. Globálna konkurencieschopnosť (GC).
2. Ekonomická sloboda (IES).
3. ľudský rozvoj (HDI).
4. Vnímanie korupcie (CPC).
5. Vnútorné a vonkajšie hrozby (IETH).
6. Medzinárodný potenciál vplyvu (IPIP).

Druhá fáza zabezpečuje hodnotenie a prognózovanie ukazovateľov konkurencieschopnosti štátov podľa medzinárodných ratingov pre 139 skúmaných krajín sveta.

Tretia etapa poskytuje porovnanie podmienok konkurencieschopnosti štátov pomocou metód korelačnej a regresnej analýzy.

Na základe výsledkov štúdie je možné určiť charakter procesov vo všeobecnosti a pre jednotlivé zložky konkurencieschopnosti štátu; testovať hypotézu o vplyve faktorov a ich vzťahov na príslušnej hladine významnosti.

Implementácia navrhnutého súboru modelov umožní nielen zhodnotiť súčasný stav úrovne konkurencieschopnosti a investičnej atraktivity štátov, ale aj analyzovať nedostatky v riadení, predchádzať chybám nesprávnych rozhodnutí a predchádzať rozvoju krízy v štát.

Výsledky experimentov a testov môžu závisieť od niektorých faktorov ovplyvňujúcich variabilitu priemerných hodnôt náhodnej premennej. Hodnoty faktorov sa nazývajú úrovne faktorov a veľkosť sa nazýva výsledná charakteristika. Napríklad množstvo práce vykonanej na stavenisku môže závisieť od pracovnej skupiny. V tomto prípade je počet posádky úrovňou faktora a objem práce za zmenu je efektívnym atribútom.

Metóda analýzy rozptylu, alebo ANOVA(Analysis of Variance - analýza rozptylu), slúži na štúdium štatistickej významnosti rozdielu medzi priemermi pre tri a viac vzoriek (hladiny faktorov). Na porovnanie priemerov v dvoch vzorkách použite t-kritérium

Postup porovnávania priemerov sa nazýva analýza rozptylu, pretože pri štúdiu štatistickej významnosti rozdielu medzi priemermi niekoľkých skupín pozorovaní sa vykonáva analýza rozptylov vzoriek. Základný koncept analýzy rozptylu navrhol Fisher.

Podstatou metódy je rozdeliť celkový rozptyl na dve časti, z ktorých jedna je spôsobená náhodnou chybou (čiže vnútroskupinová variabilita) a druhá je spojená s rozdielom stredných hodnôt. Posledná zložka rozptylu sa potom použije na analýzu štatistickej významnosti rozdielu medzi priemermi. Ak je tento rozdiel významný, nulová hypotéza sa zamietne a prijme sa alternatívna hypotéza, že medzi priemermi existuje rozdiel.

Premenné, ktorých hodnoty sú určené meraniami počas experimentu (napríklad ekonomická efektívnosť, výnos, výsledok testu), sa nazývajú závislé premenné alebo charakteristiky. Premenné, ktoré možno v experimente kontrolovať (napr. úroveň hospodárenia, typ pôdy, vyučovacie metódy), sa nazývajú faktory alebo nezávislé premenné.

Pri klasickej analýze rozptylu sa predpokladá, že skúmané hodnoty majú normálnu distribúciu s konštantným rozptylom a strednými hodnotami, ktoré sa môžu líšiť pre rôzne populácie vzoriek. Pomer rozptylu skupinových priemerov a reziduálneho rozptylu sa používa ako kritérium na testovanie nulových hypotéz. Ukázalo sa však, že analýza rozptylu je platná aj pre negaussovské náhodné premenné a pri veľkosti vzorky n > 4 pre každú úroveň faktorov nie je chyba vysoká. Ak sa vyžaduje vysoká presnosť záverov a distribúcia nie je známa, mali by sa použiť neparametrické testy, napríklad pomocou analýzy rozptylu.

Jednosmerná ANOVA

Nech sa to uskutoční m skupiny meraní hodnôt náhodných premenných Y na rôznych úrovniach hodnoty niektorého faktora, a a 1, a 2, a m- matematické očakávanie efektívnej charakteristiky na úrovni faktorov A (1) , A (2) , A(m) ( i=1, 2, m), resp.

Predpoklad o nezávislosti efektívnej charakteristiky od faktora vychádza z testovania nulovej hypotézy o rovnosti skupinových matematických očakávaní.

H0: ai = a2 = am (6,12)

Testovanie hypotéz je možné, ak sú splnené nasledujúce požiadavky pre každú úroveň faktorov:

1) pozorovania sú nezávislé a vykonávajú sa za rovnakých podmienok;

2) meraná náhodná veličina má zákon normálneho rozdelenia s konštantným všeobecným rozptylom pre rôzne úrovne faktora σ 2. To znamená, že hypotéza je pravdivá

H0: σ12 = σ22 = σm2.

Na testovanie hypotézy, že rozptyly troch alebo viacerých normálnych rozdelení sú rovnaké, sa používa Bartlettov test.

Ak je hypotéza H0: σ12 = σ22 = σm2 sa potvrdí, potom začneme testovať hypotézu o rovnosti skupinových matematických očakávaní H°: ai = a2 = am, teda k samotnej analýze rozptylu. Základom analýzy rozptylu je názor, že variabilita výsledného znaku je spôsobená tak zmenami hladín faktora A, ako aj variabilitou hodnôt náhodných nekontrolovaných faktorov. Náhodné faktory sa nazývajú reziduálne.

Dá sa dokázať, že celkový výberový rozptyl možno znázorniť ako súčet rozptylu priemerov skupiny a priemeru rozptylov skupín

, Kde

Celkový výberový rozptyl;

Rozptyl skupinových priemerov () vypočítaných pre každú úroveň faktora;

Priemer skupinových rozptylov () vypočítaný pre každú úroveň faktorov. spojené s dopadom na Y zvyškové (náhodné) faktory.

Prechodom od rozšírenia pre všeobecný rozptyl k hodnotám vzorky získame

, (6.13)

Predstavuje vážený súčet štvorcových odchýlok priemerov vzorky pre každú úroveň A(i) zo všeobecného vzorového priemeru,

Priemerná hodnota štvorcových odchýlok v rámci úrovní.

Náhodné premenné , , majú nasledujúce hodnoty stupňov voľnosti, resp. n - 1, m - 1, n - m. Tu n- celkový počet hodnôt vzoriek, m- počet úrovní faktorov.

V matematickej štatistike je dokázané, že ak platí nulová hypotéza o rovnosti priemerov (10.8), potom kvantita

Má F-rozdelenie s počtom stupňov voľnosti k = m- 1 a l = n-m, teda

(6.14)

Ak je splnená nulová hypotéza, rozptyl v rámci skupiny sa bude prakticky zhodovať s celkovým rozptylom vypočítaným bez zohľadnenia členstva v skupine. Pri analýze rozptylu je spravidla čitateľ väčší ako menovateľ. V opačnom prípade sa má za to, že pozorovania nepotvrdzujú vplyv faktora na výslednú charakteristiku a nevykonáva sa žiadna ďalšia analýza. Výsledné odchýlky v rámci skupiny možno porovnať pomocou F-kritérium, ktoré kontroluje, či je pomer rozptylov výrazne väčší ako 1.

V tomto ohľade na testovanie hypotézy (6.12) pomocou F-kritérium analyzuje pravostrannú kritickú oblasť .

Ak vypočítaná hodnota F spadá do určeného intervalu, potom sa nulová hypotéza zamietne a vplyv faktora sa považuje za preukázaný A na efektívny znak Y.

Uveďme príklad výpočtu súčtov druhých mocnín a výberových rozptylov. Zvážte súbor údajov uvedený v tabuľke 6.2. V tomto príklade chceme zistiť, či existuje významný rozdiel vo výkonnosti tímov.

Tabuľka 6.2. Príklad výpočtu súčtu štvorcov