Uhol medzi vektormi v priestorovom vzorci. Bodový súčin vektorov

Dĺžka vektora, uhol medzi vektormi – tieto pojmy sú prirodzene použiteľné a intuitívne pri definovaní vektora ako segmentu určitého smeru. Nižšie sa naučíme, ako určiť uhol medzi vektormi v trojrozmernom priestore, jeho kosínus a zvážiť teóriu pomocou príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby sme zvážili pojem uhla medzi vektormi, obráťme sa na grafické znázornenie: definujme dva vektory a → a b → v rovine alebo v trojrozmernom priestore, ktoré sú nenulové. Stanovme si tiež ľubovoľný bod O a vynesme z neho vektory O A → = b → a O B → = b →

Definícia 1

Uhol medzi vektormi a → a b → je uhol medzi lúčmi O A a O B.

Výsledný uhol označíme takto: a → , b → ^

Je zrejmé, že uhol môže nadobúdať hodnoty od 0 do π alebo od 0 do 180 stupňov.

a → , b → ^ = 0, keď sú vektory ko-smerné a a → , b → ^ = π, keď sú vektory orientované opačne.

Definícia 2

Vektory sú tzv kolmý, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov alebo π 2 radiány.

Ak je aspoň jeden z vektorov nulový, potom uhol a → , b → ^ nie je definovaný.

Kosínus uhla medzi dvoma vektormi, a teda aj samotný uhol, možno zvyčajne určiť buď pomocou skalárneho súčinu vektorov, alebo pomocou kosínusovej vety pre trojuholník skonštruovaný z dvoch daných vektorov.

Podľa definície je skalárny súčin a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Ak sú dané vektory a → a b → nenulové, potom môžeme pravú a ľavú stranu rovnosti vydeliť súčinom dĺžok týchto vektorov, čím získame vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi ne- nulové vektory:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Tento vzorec sa používa, keď zdrojové údaje zahŕňajú dĺžky vektorov a ich skalárny súčin.

Príklad 1

Počiatočné údaje: vektory a → a b →. Ich dĺžka je 3 a 6 a ich skalárny súčin je - 9. Je potrebné vypočítať kosínus uhla medzi vektormi a nájsť samotný uhol.

Riešenie

Počiatočné údaje sú dostatočné na použitie vyššie uvedeného vzorca, potom cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Teraz určme uhol medzi vektormi: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Odpoveď: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Častejšie sa vyskytujú problémy, keď sú vektory špecifikované súradnicami v pravouhlom súradnicovom systéme. Pre takéto prípady je potrebné odvodiť rovnaký vzorec, ale v súradnicovej forme.

Dĺžka vektora je definovaná ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc a skalárny súčin vektorov sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc. Potom vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi vektormi v rovine a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) vyzerá takto:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

A vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi vektormi v trojrozmernom priestore a → = (a x , a y, a z) , b → = (b x , b y, b z) bude vyzerať takto: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 2

Počiatočné údaje: vektory a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) v pravouhlom súradnicovom systéme. Je potrebné určiť uhol medzi nimi.

Riešenie

1. Na vyriešenie problému môžeme okamžite použiť vzorec:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a rc cos (- 1 70) = - a rc cos 1 70

1. Uhol môžete určiť aj pomocou vzorca:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

ale najprv vypočítajte dĺžky vektorov a skalárny súčin podľa súradníc: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Odpoveď: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Časté sú aj úlohy, kedy sú súradnice troch bodov dané v pravouhlom súradnicovom systéme a je potrebné určiť nejaký uhol. A potom, aby sme mohli určiť uhol medzi vektormi s danými súradnicami bodov, je potrebné vypočítať súradnice vektorov ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi bodmi začiatku a konca vektora.

Príklad 3

Počiatočné údaje: body A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) sú uvedené na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Je potrebné určiť kosínus uhla medzi vektormi A C → a B C →.

Riešenie

Zo súradníc daných bodov nájdime súradnice vektorov A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Teraz pomocou vzorca určíme kosínus uhla medzi vektormi v rovine v súradniciach: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Odpoveď: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Uhol medzi vektormi možno určiť pomocou kosínusovej vety. Nechajme bokom vektory O A → = a → a O B → = b → z bodu O, potom podľa kosínusovej vety v trojuholníku O A B platí rovnosť:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B),

čo je ekvivalentné:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

a odtiaľ odvodíme vzorec pre kosínus uhla:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Na aplikáciu výsledného vzorca potrebujeme dĺžky vektorov, ktoré sa dajú ľahko určiť z ich súradníc.

Hoci táto metóda prebieha, stále sa častejšie používa vzorec:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Skalárny súčin vektorov (ďalej len SP). Drahí priatelia! Skúška z matematiky obsahuje skupinu úloh na riešenie vektorov. O niektorých problémoch sme už uvažovali. Môžete ich vidieť v kategórii „Vektory“. Vo všeobecnosti teória vektorov nie je zložitá, hlavnou vecou je dôsledne ju študovať. Výpočty a operácie s vektormi v kurze školskej matematiky sú jednoduché, vzorce nie sú zložité. Pozri sa na. V tomto článku budeme analyzovať problémy so SP vektorov (zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške). Teraz „ponorenie“ do teórie:

H Ak chcete nájsť súradnice vektora, musíte odpočítať od súradníc jeho koncazodpovedajúce súradnice jeho pôvodu

A ďalej:

*Dĺžka vektora (modul) sa určuje takto:

Tieto vzorce si treba zapamätať!!!

Ukážme uhol medzi vektormi:

Je jasné, že sa môže meniť od 0 do 180 0(alebo v radiánoch od 0 do Pi).

Môžeme vyvodiť nejaké závery o znamení skalárneho súčinu. Dĺžky vektorov majú kladnú hodnotu, to je zrejmé. To znamená, že znamienko skalárneho súčinu závisí od hodnoty kosínusu uhla medzi vektormi.

Možné prípady:

1. Ak je uhol medzi vektormi ostrý (od 0 0 do 90 0), potom bude mať kosínus uhla kladnú hodnotu.

2. Ak je uhol medzi vektormi tupý (od 90 0 do 180 0), potom bude mať kosínus uhla zápornú hodnotu.

*Pri nulových stupňoch, to znamená, keď majú vektory rovnaký smer, je kosínus rovný jednej, a preto bude výsledok kladný.

Pri 180 o, teda keď majú vektory opačné smery, je kosínus rovný mínus jedna,a podľa toho bude výsledok negatívny.

Teraz DÔLEŽITÉ UPOZORNENIE!

Pri 90 o, teda keď sú vektory na seba kolmé, je kosínus rovný nule, a preto sa SP rovná nule. Táto skutočnosť (dôsledok, záver) sa využíva pri riešení mnohých problémov, kde hovoríme o relatívnej polohe vektorov, a to aj v problémoch zahrnutých do otvorenej banky matematických úloh.

Formulujme tvrdenie: skalárny súčin sa rovná nule práve vtedy, ak tieto vektory ležia na kolmých priamkach.

Takže vzorce pre SP vektory:

Ak sú známe súradnice vektorov alebo súradnice bodov ich začiatkov a koncov, vždy môžeme nájsť uhol medzi vektormi:

Zoberme si úlohy:

27724 Nájdite skalárny súčin vektorov a a b.

Skalárny súčin vektorov môžeme nájsť pomocou jedného z dvoch vzorcov:

Uhol medzi vektormi nie je známy, ale ľahko zistíme súradnice vektorov a potom použijeme prvý vzorec. Keďže počiatky oboch vektorov sa zhodujú s počiatkom súradníc, súradnice týchto vektorov sa rovnajú súradniciam ich koncov, tj.

Ako nájsť súradnice vektora je popísané v.

Vypočítame:

odpoveď: 40

Nájdite súradnice vektorov a použite vzorec:

Na nájdenie súradníc vektora je potrebné odpočítať zodpovedajúce súradnice jeho začiatku od súradníc konca vektora, čo znamená

Vypočítame skalárny súčin:

odpoveď: 40

Nájdite uhol medzi vektormi a a b. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Nech súradnice vektorov majú tvar:

Na nájdenie uhla medzi vektormi použijeme vzorec pre skalárny súčin vektorov:

Kosínus uhla medzi vektormi:

Preto:

Súradnice týchto vektorov sú rovnaké:

Dosadíme ich do vzorca:

Uhol medzi vektormi je 45 stupňov.

odpoveď: 45

Uhol medzi dvoma vektormi:

Ak je uhol medzi dvoma vektormi ostrý, potom je ich skalárny súčin kladný; ak je uhol medzi vektormi tupý, potom je skalárny súčin týchto vektorov záporný. Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak sú tieto vektory ortogonálne.

Cvičenie. Nájdite uhol medzi vektormi a

Riešenie. Kosínus požadovaného uhla

16. Výpočet uhla medzi priamkami, priamkou a rovinou

Uhol medzi priamkou a rovinou, ktorý túto priamku pretína a nie je na ňu kolmý, je uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny.

Určenie uhla medzi priamkou a rovinou nám umožňuje dospieť k záveru, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami: samotnou priamkou a jej priemetom do roviny. Preto je uhol medzi priamkou a rovinou ostrým uhlom.

Uhol medzi kolmou priamkou a rovinou sa považuje za rovný , a uhol medzi rovnobežnou priamkou a rovinou buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný .

§ 69. Výpočet uhla medzi priamkami.

Úloha výpočtu uhla medzi dvoma priamkami v priestore sa rieši rovnako ako na rovine (§ 32). Označme φ veľkosť uhla medzi priamkami l 1 a l 2 a cez ψ - veľkosť uhla medzi smerovými vektormi A A b tieto rovné čiary.

Potom ak

ψ 90° (obr. 206.6), potom φ = 180° - ψ. Je zrejmé, že v oboch prípadoch platí rovnosť cos φ = |cos ψ|. Podľa vzorca (1) § 20 máme

teda,

Nech sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

Potom sa pomocou vzorca určí uhol φ medzi čiarami

Ak je jedna z čiar (alebo obe) daná nekanonickými rovnicami, potom na výpočet uhla musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a potom použiť vzorec (1).

17. Rovnobežky, Vety o rovnobežkách

Definícia. V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný, ak nemajú spoločné body.

V trojrozmernom priestore sa nazývajú dve čiary paralelný, ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Uhol medzi dvoma vektormi.

Z definície bodového produktu:

.

Podmienka ortogonality dvoch vektorov:

Podmienka pre kolinearitu dvoch vektorov:

.

Vyplýva z definície 5 - . Z definície súčinu vektora a čísla to skutočne vyplýva. Preto na základe pravidla rovnosti vektorov píšeme , , , čo implikuje . Ale vektor, ktorý vznikne vynásobením vektora číslom, je s vektorom kolineárny.

Projekcia vektora na vektor:

.

Príklad 4. Dané body , , , .

Nájdite bodkový produkt.

Riešenie. nájdeme pomocou vzorca pre skalárny súčin vektorov špecifikovaný ich súradnicami. Pretože

, ,

Príklad 5. Dané body , , , .

Nájdite projekciu.

Riešenie. Pretože

, ,

Na základe projekčného vzorca máme

.

Príklad 6. Dané body , , , .

Nájdite uhol medzi vektormi a .

Riešenie. Všimnite si, že vektory

, ,

nie sú kolineárne, pretože ich súradnice nie sú proporcionálne:

.

Tieto vektory tiež nie sú kolmé, pretože ich skalárny súčin je .

Poďme nájsť

Rohový zistíme zo vzorca:

.

Príklad 7. Určte pri akých vektoroch a kolineárne.

Riešenie. V prípade kolinearity zodpovedajúce súradnice vektorov a musí byť proporcionálne, to znamená:

.

Preto a.

Príklad 8. Určte, pri akej hodnote vektora A kolmý.

Riešenie. Vektor a sú kolmé, ak je ich skalárny súčin nula. Z tejto podmienky získame: . To znamená, .

Príklad 9. Nájsť , Ak , , .

Riešenie. Vďaka vlastnostiam skalárneho produktu máme:

Príklad 10. Nájdite uhol medzi vektormi a , kde a - jednotkové vektory a uhol medzi vektormi a je rovný 120°.

Riešenie. Máme: , ,

Nakoniec tu máme: .

5 B. Vektorové umelecké dielo.

Definícia 21.Vektorové umelecké dielo vektor po vektore sa nazýva vektor alebo je definovaný nasledujúcimi tromi podmienkami:

1) Modul vektora sa rovná , kde je uhol medzi vektormi a , t.j. .

Z toho vyplýva, že modul vektorového produktu sa číselne rovná ploche rovnobežníka vytvoreného na vektoroch a na oboch stranách.

2) Vektor je kolmý na každý z vektorov a ( ; ), t.j. kolmá na rovinu rovnobežníka zostrojeného na vektoroch a .

3) Vektor je nasmerovaný tak, že pri pohľade z jeho konca by najkratšia odbočka od vektora k vektoru bola proti smeru hodinových ručičiek (vektory , , tvoria pravotočivú trojicu).

Ako vypočítať uhly medzi vektormi?

Pri štúdiu geometrie vzniká veľa otázok na tému vektorov. Študent má osobitné ťažkosti, keď je potrebné nájsť uhly medzi vektormi.

Základné pojmy

Pred pohľadom na uhly medzi vektormi je potrebné sa oboznámiť s definíciou vektora a pojmom uhol medzi vektormi.

Vektor je segment, ktorý má smer, teda segment, pre ktorý je definovaný jeho začiatok a koniec.

Uhol medzi dvoma vektormi v rovine, ktoré majú spoločný počiatok, je menší z uhlov o veľkosť, o ktorú sa jeden z vektorov musí pohybovať okolo spoločného bodu, kým sa ich smery nezhodujú.

Vzorec na riešenie

Keď pochopíte, čo je vektor a ako sa určuje jeho uhol, môžete vypočítať uhol medzi vektormi. Vzorec riešenia je pomerne jednoduchý a výsledkom jeho aplikácie bude hodnota kosínusu uhla. Podľa definície sa rovná podielu skalárneho súčinu vektorov a súčinu ich dĺžok.

Skalárny súčin vektorov sa vypočíta ako súčet zodpovedajúcich súradníc faktorových vektorov navzájom vynásobených. Dĺžka vektora alebo jeho modul sa vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc.

Po získaní hodnoty kosínusu uhla môžete vypočítať hodnotu samotného uhla pomocou kalkulačky alebo pomocou trigonometrickej tabuľky.

Príklad

Keď zistíte, ako vypočítať uhol medzi vektormi, riešenie príslušného problému bude jednoduché a jasné. Ako príklad stojí za zváženie jednoduchý problém nájsť hodnotu uhla.

V prvom rade bude pohodlnejšie vypočítať hodnoty dĺžok vektorov a ich skalárny súčin potrebný na riešenie. Pomocou vyššie uvedeného popisu dostaneme:

Nahradením získaných hodnôt do vzorca vypočítame hodnotu kosínusu požadovaného uhla:

Toto číslo nie je jednou z piatich bežných kosínusových hodnôt, takže na získanie uhla budete musieť použiť kalkulačku alebo Bradisovu trigonometrickú tabuľku. Pred získaním uhla medzi vektormi však možno vzorec zjednodušiť, aby sme sa zbavili ďalšieho záporného znamienka:

Aby sa zachovala presnosť, konečná odpoveď môže byť ponechaná tak, ako je, alebo môžete vypočítať hodnotu uhla v stupňoch. Podľa Bradisovej tabuľky bude jeho hodnota približne 116 stupňov a 70 minút a kalkulačka ukáže hodnotu 116,57 stupňa.

Výpočet uhla v n-rozmernom priestore

Pri zvažovaní dvoch vektorov v trojrozmernom priestore je oveľa ťažšie pochopiť, o ktorom uhle hovoríme, ak neležia v rovnakej rovine. Na zjednodušenie vnímania môžete nakresliť dva pretínajúce sa segmenty, ktoré medzi sebou zvierajú najmenší uhol, bude to požadovaný. Aj keď je vo vektore tretia súradnica, proces výpočtu uhlov medzi vektormi sa nezmení. Vypočítajte skalárny súčin a moduly vektorov; odpoveďou na tento problém bude arckosínus ich kvocientu.

V geometrii sú často problémy s priestormi, ktoré majú viac ako tri rozmery. Ale pre nich vyzerá algoritmus na nájdenie odpovede podobne.

Rozdiel medzi 0 a 180 stupňami

Jednou z častých chýb pri písaní odpovede na úlohu určenú na výpočet uhla medzi vektormi je rozhodnutie napísať, že vektory sú rovnobežné, to znamená, že požadovaný uhol sa rovná 0 alebo 180 stupňom. Táto odpoveď je nesprávna.

Po získaní hodnoty uhla 0 stupňov ako výsledok riešenia by správnou odpoveďou bolo označiť vektory ako kosmerné, to znamená, že vektory budú mať rovnaký smer. Ak sa získa 180 stupňov, vektory budú smerovať opačne.

Špecifické vektory

Po nájdení uhlov medzi vektormi môžete nájsť jeden zo špeciálnych typov, okrem ko-smerných a opačných smerov opísaných vyššie.

• Niekoľko vektorov rovnobežných s jednou rovinou sa nazýva koplanárne.
• Vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a smer, sa nazývajú rovnaké.
• Vektory, ktoré ležia na rovnakej priamke bez ohľadu na smer, sa nazývajú kolineárne.
• Ak je dĺžka vektora nula, to znamená, že jeho začiatok a koniec sa zhodujú, potom sa nazýva nula a ak je jedna, potom jednotka.

Ako nájsť uhol medzi vektormi?

pomôž mi prosím! Poznám vzorec, ale neviem ho vypočítať ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Uhol medzi vektormi určený ich súradnicami sa zistí pomocou štandardného algoritmu. Najprv musíte nájsť skalárny súčin vektorov a a b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Tu dosadíme súradnice týchto vektorov a vypočítame:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ďalej určíme dĺžky každého vektora. Dĺžka alebo modul vektora je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc:
|a| = odmocnina z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = odmocnina z (8^2 + 10^2 + 4^2) = odmocnina z (64 + 100 + 16) = odmocnina z 180 = 6 koreňov z 5
|b| = odmocnina z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = odmocnina z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = odmocnina z (25 + 400 + 100) = odmocnina z 525 = 5 koreňov z 21.
Tieto dĺžky vynásobíme. Získame 30 koreňov zo 105.
A nakoniec skalárny súčin vektorov vydelíme súčinom dĺžok týchto vektorov. Dostaneme -200/(30 koreňov zo 105) resp
- (4 odmocniny zo 105) / 63. Toto je kosínus uhla medzi vektormi. A samotný uhol sa rovná kosínusu oblúka tohto čísla
f = arccos (-4 korene zo 105) / 63.
Ak som všetko správne počítal.

Ako vypočítať sínus uhla medzi vektormi pomocou súradníc vektorov

Michail Tkačev

Vynásobme tieto vektory. Ich skalárny súčin sa rovná súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.
Uhol nám nie je známy, ale súradnice známe.
Zapíšme si to takto matematicky.
Nech sú dané vektory a(x1;y1) a b(x2;y2).
Potom

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Poďme sa rozprávať.
a*b-skalárny súčin vektorov sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc súradníc týchto vektorov, t.j. rovná sa x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-súčin dĺžok vektorov sa rovná √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

To znamená, že kosínus uhla medzi vektormi sa rovná:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Keď poznáme kosínus uhla, môžeme vypočítať jeho sínus. Poďme diskutovať o tom, ako to urobiť:

Ak je kosínus uhla kladný, potom tento uhol leží v 1 alebo 4 kvadrantoch, čo znamená, že jeho sínus je kladný alebo záporný. Ale keďže uhol medzi vektormi je menší alebo rovný 180 stupňom, potom je jeho sínus kladný. Podobne uvažujeme, ak je kosínus záporný.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je ono)))) veľa šťastia pri riešení)))

Dmitrij Leviščev

To, že nie je možné priamo sínusovať, nie je pravda.
Okrem vzorca:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Existuje aj tento:
||=|a|*|b|*hriech A
To znamená, že namiesto skalárneho produktu môžete použiť modul vektorového produktu.

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vzdelávacie úlohy:

– odvodiť vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi;

– pokračovať v rozvíjaní zručností pri aplikovaní vektorov na riešenie problémov;

– naďalej rozvíjať záujem o matematiku prostredníctvom riešenia problémov;

– pestovať uvedomelý postoj k procesu učenia, vštepovať zmysel pre zodpovednosť za kvalitu vedomostí, uplatňovať sebakontrolu nad procesom riešenia a navrhovania cvičení.

Poskytovanie tried:

– tabuľka „Vektory v rovine a v priestore“;

– kartičky úloh na individuálne kladenie otázok;

– karty úloh pre testovaciu prácu;

- mikrokalkulačky.

Študent musí vedieť:

– vzorec na výpočet uhla medzi vektormi.

Študent musí byť schopný:

– aplikovať získané poznatky pri riešení analytických, geometrických a aplikovaných úloh.

Motivácia kognitívnej činnosti žiakov.

Učiteľ uvádza, že dnes sa žiaci na hodinách naučia vypočítať uhol medzi vektormi a získané poznatky aplikovať pri riešení úloh technickej mechaniky a fyziky. Väčšina problémov v disciplíne „Technická mechanika“ sa rieši vektorovou metódou. Pri štúdiu témy „Rovinný systém konvergujúcich síl“, „Hľadanie výslednice dvoch síl“ sa teda používa vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi.

Priebeh lekcie.

I. Organizačný moment.

II. Kontrola domácich úloh.

a) Individuálny prieskum pomocou kariet.

Karta 1.

1. Napíšte vlastnosti sčítania dvoch vektorov.

2. V akej hodnote m vektory a budú kolineárne?

karta 2.

1. Ako sa nazýva súčin vektora a čísla?

2. Sú vektory a ?

karta 3.

1. Formulujte definíciu skalárneho súčinu dvoch vektorov.

2. Pri akej hodnote dĺžky vektorov a budú si rovní?

Karta 4.

1. Napíšte vzorce na výpočet súradníc vektora a dĺžky vektora?

2. Sú vektory a ?

b) Otázky pre frontálny prieskum:

1. Aké akcie možno vykonať s vektormi určenými ich súradnicami?
2. Aké vektory sa nazývajú kolineárne?
3. Podmienka kolinearity dvoch nenulových vektorov?
4. Určenie uhla medzi vektormi?
5. Definícia skalárneho súčinu dvoch nenulových vektorov?
6. Nutná a postačujúca podmienka, aby dva vektory boli kolmé?
7. Aký fyzikálny význam má skalárny súčin dvoch vektorov?
8. Napíšte vzorce na výpočet skalárneho súčinu dvoch vektorov prostredníctvom ich súradníc v rovine a v priestore.
9. Napíšte vzorce na výpočet dĺžky vektora v rovine a v priestore.

III. Učenie sa nového materiálu.

a) Odvoďme vzorec na výpočet uhla medzi vektormi v rovine a v priestore. Podľa definície skalárneho súčinu dvoch nenulových vektorov:

cos

Preto ak a , tak

kosínus uhla medzi nenulovými vektormi a rovná sa skalárnemu súčinu týchto vektorov delenému súčinom ich dĺžok. Ak sú vektory špecifikované v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine, potom sa kosínus uhla medzi nimi vypočíta podľa vzorca:

= (xi; y1); = (x 2; y 2)

pretože =

V priestore: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2; y 2 ​​​​; z 2)

pretože =

Riešiť problémy:

Úloha 1: Nájdite uhol medzi vektormi = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Úloha 2: V trojuholníku ABC nájdite veľkosť uhla B, ak

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

pretože = =

Úloha 3: Nájdite uhol medzi vektormi a ak A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

pretože = = = –

IV. Aplikácia poznatkov pri riešení typických problémov.

ÚLOHY ANALYTICKÉHO CHARAKTERU.

Určte uhol medzi vektormi a ak A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Nájdite skalárny súčin vektorov, ak , = 30°.

Pri akých hodnotách dĺžok vektorov a budú si rovní?

Vypočítajte uhol medzi vektormi a

Vypočítajte plochu rovnobežníka skonštruovaného pomocou vektorov

A .

APLIKOVANÉ ÚLOHY

Nájdite výslednicu dvoch síl 1 a 2, ak = 5H; = 7H, uhol medzi nimi = 60°.

° + .

Vypočítajte prácu vykonanú silou = (6; 2), ak sa jej pôsobisko pohybuje priamočiaro z polohy A (-1; 3) do polohy B (3; 4).

Nech je rýchlosť hmotného bodu a nech je sila, ktorá naň pôsobí. Aká je sila vyvinutá silou, ak = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Zhrnutie lekcie.

VII. Domáca úloha:

G.N. Jakovlev, Geometria, § 22, odsek 3, s. 191

č. 5.22, č. 5.27, s. 192.