Príklady determinantov štvrtého rádu s riešením. Výpočet determinantu

Formulácia problému

Úloha zahŕňa oboznámenie používateľa so základnými pojmami numerických metód, ako je determinant a inverzná matica, a rôznymi spôsobmi ich výpočtu. V tejto teoretickej správe sú jednoduchým a prístupným jazykom najprv predstavené základné pojmy a definície, na základe ktorých sa uskutočňuje ďalší výskum. Používateľ nemusí mať špeciálne znalosti v oblasti numerických metód a lineárnej algebry, ale bude môcť ľahko použiť výsledky tejto práce. Pre názornosť je uvedený program na výpočet maticového determinantu viacerými metódami napísaný v programovacom jazyku C++. Program sa používa ako laboratórny stojan na vytváranie ilustrácií k správe. A tiež sa uskutočňuje štúdium metód riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc. Zbytočnosť výpočtu inverznej matice je dokázaná, takže článok poskytuje optimálnejšie spôsoby riešenia rovníc bez ich výpočtu. Je vysvetlené, prečo existuje toľko rôznych metód na výpočet determinantov a inverzných matíc a analyzujú sa ich nedostatky. Zohľadňujú sa aj chyby vo výpočte determinantu a odhaduje sa dosiahnutá presnosť. Okrem ruských výrazov sú v práci použité aj ich anglické ekvivalenty, aby sme pochopili, pod akými názvami hľadať číselné postupy v knižniciach a čo znamenajú ich parametre.

Základné definície a jednoduché vlastnosti

Determinant

Uveďme si definíciu determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Táto definícia bude opakujúci, to znamená, aby ste určili, čo je determinantom matice poradia, musíte už vedieť, čo je determinantom matice poradia. Všimnite si tiež, že determinant existuje len pre štvorcové matice.

Determinant štvorcovej matice bude označený alebo det .

Definícia 1. determinantštvorcovú maticu volané číslo druhej objednávky .

determinant štvorcová matica poriadku sa nazýva číslo

kde je determinant matice poradia získaný z matice vymazaním prvého riadku a stĺpca s číslom .

Pre prehľadnosť napíšeme, ako môžete vypočítať determinant matice štvrtého rádu:

Komentujte. Vlastný výpočet determinantov pre matice nad tretím rádom na základe definície sa používa vo výnimočných prípadoch. Výpočet sa spravidla vykonáva podľa iných algoritmov, o ktorých sa bude diskutovať neskôr a ktoré vyžadujú menej výpočtovej práce.

Komentujte. V definícii 1 by bolo presnejšie povedať, že determinant je funkcia definovaná na množine matíc štvorcového rádu a nadobúdajúca hodnoty v množine čísel.

Komentujte. V literatúre sa namiesto pojmu „determinant“ používa aj pojem „determinant“, ktorý má rovnaký význam. Od slova „determinant“ vzniklo označenie det.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach determinantov, ktoré formulujeme vo forme tvrdení.

Vyhlásenie 1. Pri transponovaní matice sa determinant nemení, teda .

Vyhlásenie 2. Determinant súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu determinantov faktorov, teda .

Vyhlásenie 3. Ak sú dva riadky v matici zamenené, potom jej determinant zmení znamienko.

Vyhlásenie 4. Ak má matica dva rovnaké riadky, jej determinant je nula.

V budúcnosti budeme musieť sčítať reťazce a vynásobiť reťazec číslom. Tieto operácie s riadkami (stĺpcami) budeme vykonávať rovnako ako operácie s riadkovými maticami (stĺpcovými maticami), teda prvok po prvku. Výsledkom bude riadok (stĺpec), ktorý sa spravidla nezhoduje s riadkami pôvodnej matice. Za prítomnosti operácií sčítania riadkov (stĺpcov) a ich násobenia číslom môžeme hovoriť aj o lineárnych kombináciách riadkov (stĺpcov), to znamená o sumách s číselnými koeficientmi.

Vyhlásenie 5. Ak sa riadok matice vynásobí číslom, jeho determinant sa vynásobí týmto číslom.

Vyhlásenie 6. Ak matica obsahuje nulový riadok, potom jej determinant je nula.

Vyhlásenie 7. Ak sa jeden z riadkov matice rovná druhému vynásobenému číslom (riadky sú proporcionálne), potom je determinant matice nula.

Vyhlásenie 8. Nech i-tý riadok v matici vyzerá takto . Potom, kde sa matica získa z matice nahradením i-tého riadku riadkom, a matica sa získa nahradením i-tého riadku riadkom.

Vyhlásenie 9. Ak sa jeden z riadkov matice pridá k inému, vynásobí sa číslom, potom sa determinant matice nezmení.

Vyhlásenie 10. Ak je jeden z riadkov matice lineárnou kombináciou ostatných riadkov, potom je determinant matice nula.

Definícia 2. Algebraické sčítanie k prvku matice sa nazýva číslo rovné , kde je determinant matice získaný z matice vymazaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Algebraický doplnok k prvku matice sa označuje ako .

Príklad. Nechaj . Potom

Komentujte. Pomocou algebraických sčítaní možno definíciu 1 determinantu zapísať takto:

Vyhlásenie 11. Rozklad determinantu v ľubovoľnom reťazci.

Maticový determinant spĺňa vzorec

Príklad. Vypočítajte .

Riešenie. Využime rozšírenie v treťom riadku, je to výhodnejšie, pretože v treťom riadku sú dve čísla z troch nuly. Získajte

Vyhlásenie 12. Pre štvorcovú maticu poriadku v , máme vzťah .

Vyhlásenie 13. Všetky vlastnosti determinantu formulované pre riadky (výroky 1 - 11) platia aj pre stĺpce, najmä platí rozklad determinantu v j-tom stĺpci a rovnosť v .

Vyhlásenie 14. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov jej hlavnej uhlopriečky.

Dôsledok. Determinant matice identity sa rovná jednej, .

Záver. Vyššie uvedené vlastnosti umožňujú nájsť determinanty matíc dostatočne vysokých rádov s relatívne malým množstvom výpočtov. Algoritmus výpočtu je nasledujúci.

Algoritmus na vytváranie núl v stĺpci. Nech je potrebné vypočítať determinant objednávky. Ak , potom zameňte prvý riadok a akýkoľvek iný riadok, v ktorom prvý prvok nie je nula. V dôsledku toho sa determinant bude rovnať determinantu novej matice s opačným znamienkom. Ak sa prvý prvok každého riadku rovná nule, potom má matica nulový stĺpec a podľa výrokov 1, 13 sa jej determinant rovná nule.

Takže to berieme do úvahy už v pôvodnej matici . Prvý riadok ponechajte nezmenený. Pridajme do druhého riadku prvý riadok, vynásobený číslom . Potom sa prvý prvok druhého riadku bude rovnať .

Zostávajúce prvky nového druhého riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná . Vynásobte prvý riadok číslom a pridajte ho k tretiemu. Prvý prvok nového tretieho riadku sa bude rovnať

Zostávajúce prvky nového tretieho riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná .

Budeme pokračovať v procese získavania núl namiesto prvých prvkov reťazcov. Nakoniec prvý riadok vynásobíme číslom a pripočítame k poslednému riadku. Výsledkom je matica označená ako , ktorá má tvar

a . Na výpočet determinantu matice použijeme rozšírenie v prvom stĺpci

Odvtedy

Determinant matice poradia je na pravej strane. Aplikujeme naň rovnaký algoritmus a výpočet determinantu matice sa zredukuje na výpočet determinantu matice rádu. Proces sa opakuje, kým sa nedostaneme k determinantu druhého rádu, ktorý sa vypočíta podľa definície.

Ak matica nemá žiadne špecifické vlastnosti, potom nie je možné výrazne znížiť množstvo výpočtov v porovnaní s navrhovaným algoritmom. Ďalšou dobrou stránkou tohto algoritmu je, že je ľahké napísať program pre počítač na výpočet determinantov matíc veľkých rádov. V štandardných programoch na výpočet determinantov sa tento algoritmus používa s malými zmenami spojenými s minimalizáciou vplyvu chýb zaokrúhľovania a chýb vstupných údajov v počítačových výpočtoch.

Príklad. Determinant vypočítanej matice .

Riešenie. Prvý riadok zostáva nezmenený. Do druhého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. Do štvrtého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. V dôsledku toho dostaneme

Pomocou rovnakého algoritmu vypočítame determinant matice 3. rádu, ktorá je vpravo. Prvý riadok necháme nezmenený, k druhému riadku pridáme prvý, vynásobený číslom :

Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom :

V dôsledku toho dostaneme

Odpoveď. .

Komentujte. Aj keď sa pri výpočtoch používali zlomky, výsledkom bolo celé číslo. Použitím vlastností determinantov a skutočnosti, že pôvodné čísla sú celé čísla, by sa dalo vyhnúť operáciám so zlomkami. Ale v inžinierskej praxi sú čísla extrémne zriedkavo celé čísla. Preto budú prvky determinantu spravidla desatinné zlomky a nie je vhodné používať žiadne triky na zjednodušenie výpočtov.

inverzná matica

Definícia 3. Matica sa nazýva inverzná matica pre štvorcovú maticu, ak .

Z definície vyplýva, že inverzná matica bude štvorcová matica rovnakého rádu ako matica (inak by jeden zo súčinov alebo nebol definovaný).

Inverzná matica pre maticu je označená . Ak teda existuje, potom .

Z definície inverznej matice vyplýva, že matica je inverzná k matici, teda . Matice a možno povedať, že sú navzájom inverzné alebo vzájomne inverzné.

Ak je determinant matice nula, potom jej inverzná hodnota neexistuje.

Keďže pre nájdenie inverznej matice je dôležité, či sa determinant matice rovná nule alebo nie, uvádzame nasledujúce definície.

Definícia 4. Nazvime štvorcovú maticu degenerovať alebo špeciálna matrica, ak a nedegenerované alebo nesingulárna matica, ak .

Vyhlásenie. Ak existuje inverzná matica, potom je jedinečná.

Vyhlásenie. Ak je štvorcová matica nedegenerovaná, potom existuje jej inverzná matica a (1) kde sú algebraické sčítania prvkov .

Veta. Inverzná matica pre štvorcovú maticu existuje vtedy a len vtedy, ak je matica nesingulárna, inverzná matica je jedinečná a vzorec (1) je platný.

Komentujte. Osobitná pozornosť by sa mala venovať miestam, ktoré zaberajú algebraické sčítania vo vzorci inverznej matice: prvý index zobrazuje číslo stĺpec, a druhé je číslo linky, do ktorej by sa mal zapísať vypočítaný algebraický doplnok.

Príklad. .

Riešenie. Nájdenie determinantu

Od , potom je matica nedegenerovaná a existuje jej inverzia. Hľadanie algebraických doplnkov:

Inverznú maticu zostavíme umiestnením nájdených algebraických doplnkov tak, aby prvý index zodpovedal stĺpcu a druhý riadku: (2)

Výsledná matica (2) je odpoveďou na problém.

Komentujte. V predchádzajúcom príklade by bolo presnejšie napísať odpoveď takto:
(3)

Zápis (2) je však kompaktnejší a je vhodnejšie s ním vykonávať ďalšie výpočty, ak nejaké existujú. Preto je vhodnejšie písať odpoveď v tvare (2), ak sú prvky matíc celé čísla. A naopak, ak sú prvky matice desatinné zlomky, potom je lepšie napísať inverznú maticu bez faktora vpredu.

Komentujte. Pri hľadaní inverznej matice musíte vykonať pomerne veľa výpočtov a neobvyklé pravidlo na usporiadanie algebraických sčítaní vo výslednej matici. Preto existuje vysoká pravdepodobnosť chyby. Aby ste sa vyhli chybám, mali by ste vykonať kontrolu: vypočítajte súčin pôvodnej matice konečným v jednom alebo druhom poradí. Ak je výsledkom matica identity, potom sa inverzná matica nájde správne. V opačnom prípade musíte hľadať chybu.

Príklad. Nájdite inverznú hodnotu matice .

Riešenie. - existuje.

odpoveď: .

Záver. Nájdenie inverznej matice podľa vzorca (1) vyžaduje príliš veľa výpočtov. Pre matice štvrtého rádu a vyššie je to neprijateľné. Skutočný algoritmus na nájdenie inverznej matice bude uvedený neskôr.

Výpočet determinantu a inverznej matice pomocou Gaussovej metódy

Na nájdenie determinantu a inverznej matice možno použiť Gaussovu metódu.

Konkrétne, maticový determinant sa rovná det .

Inverzná matica sa nachádza riešením systémov lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy:

Kde je j-tý stĺpec matice identity , je požadovaný vektor.

Výsledné vektory riešenia - tvoria samozrejme stĺpce matice, pretože .

Vzorce pre determinant

1. Ak je matica nejednotná, potom a (súčin vedúcich prvkov).

Spôsoby ich výpočtu

Definícia. Výraz

sa nazýva determinant štvrtého rádu. Tento determinant možno zapísať ako:

kde je vedľajšia hodnota prvku v priesečníku i-tého riadku a j-tého stĺpca, je algebraický doplnok tohto prvku.

Vzorec (6) je možné napísať pomocou ikony súčtu:

, (7)

kde i=1,2,3,4.

Vzorec (7) sa nazýva rozšírenie determinantu o prvky

i-tý riadok. Môžete tiež napísať rozklad determinantu cez prvky j-tého stĺpca:

(8)

kde j=1,2,3,4.

Metóda zníženia poradia determinantu je založená na vynulovaní všetkých prvkov riadku alebo stĺpca determinantu okrem jedného pomocou vlastností determinantov.

Príklad 11. Vypočítajte determinant

.

Riešenie. Pridajme prvky prvého riadku k prvkom druhého radu:

.

Vynásobte prvky prvého riadku (-2) a pridajte ich k prvkom tretieho riadku:

.

Vynásobte prvky prvého riadku (-1) a pridajte ich k prvkom štvrtého riadku:

.

Rozšírme výsledný determinant o prvky prvého stĺpca

Preusporiadame prvé dva riadky, pričom znamienko determinantu sa zmení na opačné, zároveň vytiahneme spoločný činiteľ 3 prvkov tretieho stĺpca za znamienkom determinantu:

.

Vynásobte prvky prvého riadku (-2) a pridajte k prvkom druhého riadku:

.

Výsledný determinant rozšírime o prvky druhého radu

Príklad 12. Vypočítajte determinant .

Riešenie. Prehodíme prvý a druhý riadok a podľa vlastnosti 2 sa znamienko determinantu zmení na opačné:

.

Najprv vynásobíme prvky prvého riadku (-2) a pripočítame ich k prvkom druhého a štvrtého riadku a potom prvky prvého riadku vynásobíme (-3) a pripočítame k prvkom tretí riadok dostaneme:

.

Prvky druhého radu pridáme k prvkom štvrtého radu:

.

Vynásobte prvky tretieho riadku (-1) a pridajte ich k prvkom štvrtého riadku:

.

Dostaneme trojuholníkový determinant, ktorého hodnota sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky.

Príklad 13. Vypočítajte determinant

.

Riešenie. Rozšírte determinant o prvky tretieho riadku

Získané determinanty tretieho rádu možno vypočítať podľa trojuholníkového pravidla

Úlohy pre samostatné rozhodovanie.

1. Vypočítajte determinanty:

2. Riešte rovnice:

3. Vyriešte nerovnosti:

4. Vypočítajte determinanty:

Odpovede: 1. a) 7; b) 26; c) 0; d)0; e) 30. 2 . a) 5; b) 2; v 2;

G) 3 . a) b) v) d)[-1;7]. 4 . a) -24; b) -40; na 9; d) 57; e) -5; f)1; g)1; h) 55; i) 30; j) 48; k)0; m) -1004; m) 150.

matice

Základné pojmy

Definícia. Matica je obdĺžniková tabuľka čísel obsahujúca m riadkov rovnakej dĺžky a n stĺpcov rovnakej dĺžky, ktorá sa zapisuje ako

(9)

alebo v skratke , kde , (t.j. ) - poradové číslo, (tie. ) je číslo stĺpca, čísla sa nazývajú prvky matice. Matica sa nazýva matica veľkosti a je napísaná . Napríklad. , .

Definícia. Dve matrice a sú si navzájom rovné, ak sú ich veľkosti rovnaké a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké, t.j. , ak , kde .

Napríklad. Keďže rozmery matíc sú rovnaké a zodpovedajúce prvky sú rovnaké, preto sú matice a rovnaké, t.j.

Definícia. Matica, v ktorej sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov, sa nazýva štvorcová matica. Matica štvorcovej veľkosti sa nazýva matica n-tého rádu.

Napríklad. tie. daná maticou druhého rádu.

Definícia. Štvorcová matica, v ktorej sa všetky prvky okrem prvkov hlavnej uhlopriečky rovnajú nule, sa nazýva uhlopriečka.

Matrix - uhlopriečka.

Definícia. Diagonálna matica, v ktorej je každý prvok hlavnej uhlopriečky rovný jednej, sa nazýva matica identity. Označuje sa písmenom.

alebo .

Definícia. Štvorcová matica sa nazýva trojuholníková, ak sú všetky prvky umiestnené nad hlavnou uhlopriečkou (alebo pod hlavnou uhlopriečkou) rovné nule.

alebo sú trojuholníkové matice.

Dôležitou charakteristikou štvorcovej matice rádu n je jej determinant (alebo determinant), ktorý sa označuje alebo . .

Definícia.Štvorcová matica, ktorej determinant je nenulový, t.j. , sa nazýva nedegenerovaný. V opačnom prípade sa matrica nazýva degenerovaná.

Napríklad,

Matrix ALE- degenerovaný.

Matrix AT- nedegenerovaný.

Definícia. Matica, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule, sa nazýva nula a označuje sa písmenom O.

V maticovom počte hrajú matice O a E v aritmetike úlohu čísel 0 a 1.

Definícia. Matica obsahujúca jeden riadok sa nazýva riadková matica.

S týmto číslom sa identifikuje matica veľkosti pozostávajúca z jedného čísla, t.j. mať 3.

Definícia. Matica získaná z danej matice nahradením každého jej riadku stĺpcom s rovnakým číslom sa nazýva matica transponovaná do danej matice. Určené .

Ak , potom , ak , potom .

Transponovaná matica má nasledujúce vlastnosti: .

V priebehu riešenia úloh vo vyššej matematike je veľmi často potrebné vypočítať maticový determinant. Maticový determinant sa objavuje v lineárnej algebre, analytickej geometrii, matematickej analýze a iných odvetviach vyššej matematiky. Bez zručnosti riešiť determinanty sa teda jednoducho nezaobíde. Na samotestovanie si môžete zadarmo stiahnuť aj kalkulačku determinantov, sama vás nenaučí riešiť determinanty, ale je to veľmi pohodlné, pretože poznať správnu odpoveď vopred je vždy výhodné!

Nebudem uvádzať striktnú matematickú definíciu determinantu a vo všeobecnosti sa pokúsim minimalizovať matematickú terminológiu, to väčšine čitateľov neuľahčí. Účelom tohto článku je naučiť vás, ako riešiť determinanty druhého, tretieho a štvrtého rádu. Všetok materiál je prezentovaný v jednoduchej a prístupnej forme a dokonca aj plná (prázdna) kanvica vo vyššej matematike po starostlivom štúdiu materiálu dokáže správne vyriešiť determinanty.

V praxi sa najčastejšie môžete stretnúť s determinantom druhého rádu, napríklad: , a determinantom tretieho rádu, napríklad: .

Determinant štvrtého rádu tiež nie je starožitnosť a prídeme na to na konci lekcie.

Dúfam, že každý pochopí nasledovné:Čísla vo vnútri determinantu žijú samy o sebe a o akomkoľvek odčítaní nemôže byť ani reči! Nemôžete si vymeniť čísla!

(Predovšetkým je možné vykonávať párové permutácie riadkov alebo stĺpcov determinantu so zmenou jeho znamienka, ale často to nie je potrebné - pozri nasledujúcu lekciu Vlastnosti determinantu a zníženie jeho poradia)

Ak je teda daný nejaký determinant, potom nedotýkajte sa ničoho vo vnútri!

Notový zápis: Ak je uvedená matica , potom sa jeho determinant označí . Veľmi často sa determinant označuje latinkou alebo gréčtinou.

1)Čo znamená vyriešiť (nájsť, odhaliť) determinant? Na výpočet determinantu je NÁJSŤ ČÍSLO. Otázniky vo vyššie uvedených príkladoch sú úplne obyčajné čísla.

2) Teraz zostáva prísť na to AKO nájsť toto číslo? Aby ste to dosiahli, musíte použiť určité pravidlá, vzorce a algoritmy, o ktorých sa teraz bude diskutovať.

Začnime s determinantom "dva" až "dva":

TOTO TREBA ZAPAMATOVAŤ, minimálne počas štúdia vyššej matematiky na univerzite.

Pozrime sa hneď na príklad:

Pripravený. Hlavne si NEZAMIEŇTE ZNAKY.

Maticový determinant tri krát tri možno otvoriť 8 spôsobmi, z toho 2 jednoduché a 6 normálnych.

Začnime dvoma jednoduchými spôsobmi

Podobne ako pri determinante „dva po dvoch“ možno aj determinant „tri po troch“ rozšíriť pomocou vzorca:

Vzorec je dlhý a je ľahké urobiť chybu v dôsledku nepozornosti. Ako sa vyhnúť trápnym chybám? Na tento účel bola vynájdená druhá metóda na výpočet determinantu, ktorá sa v skutočnosti zhoduje s prvou. Nazýva sa Sarrusova metóda alebo metóda „paralelných pásov“.
Pointa je, že prvý a druhý stĺpec sú priradené napravo od determinantu a riadky sú starostlivo nakreslené ceruzkou:

Faktory umiestnené na "červených" uhlopriečkach sú zahrnuté vo vzorci so znamienkom "plus".
Faktory umiestnené na "modrých" uhlopriečkach sú zahrnuté vo vzorci so znamienkom mínus:

Príklad:

Porovnajte tieto dve riešenia. Je ľahké vidieť, že je to ROVNAKÉ, akurát v druhom prípade sú faktory vzorca mierne preusporiadané, a čo je najdôležitejšie, pravdepodobnosť, že urobíte chybu, je oveľa menšia.

Teraz zvážte šesť normálnych spôsobov výpočtu determinantu

Prečo normálne? Pretože v drvivej väčšine prípadov treba takto otvárať determinanty.

Ako vidíte, determinant tri krát tri má tri stĺpce a tri riadky.
Determinant môžete vyriešiť jeho rozšírením v ľubovoľnom riadku alebo v ľubovoľnom stĺpci.
Ukazuje sa teda 6 spôsobov, pričom vo všetkých prípadoch sa používa rovnakého typu algoritmu.

Maticový determinant sa rovná súčtu súčinov riadkových (stĺpcových) prvkov a zodpovedajúcich algebraických sčítaní. desivé? Všetko je oveľa jednoduchšie, použijeme nevedecký, ale zrozumiteľný prístup, prístupný aj človeku, ktorý má k matematike ďaleko.

V nasledujúcom príklade rozšírime determinant na prvom riadku.
Na to potrebujeme maticu znakov: . Je ľahké vidieť, že znaky sú rozložené.

Pozor! Matica znakov je môj vlastný vynález. Tento koncept nie je vedecký, nie je potrebné ho použiť pri konečnom návrhu zadaní, len vám pomôže pochopiť algoritmus na výpočet determinantu.

Najprv uvediem kompletné riešenie. Opäť vezmeme náš experimentálny determinant a vykonáme výpočty:

A hlavná otázka: AKO to získať z determinantu „tri krát tri“:
?

Takže determinant „tri na tri“ prichádza na riešenie troch malých determinantov, alebo ako sa tiež nazývajú, MLADÝCH. Odporúčam zapamätať si výraz, najmä preto, že je zapamätateľný: malý - malý.

Hneď ako sa zvolí spôsob rozšírenia determinantu na prvom riadku očividne sa všetko točí okolo toho:

Prvky sa zvyčajne zobrazujú zľava doprava (alebo zhora nadol, ak by bol vybratý stĺpec)

Poďme, najprv sa zaoberáme prvým prvkom reťazca, teda jednotkou:

1) Z matice znakov vypíšeme zodpovedajúce znamienko:

2) Potom napíšeme samotný prvok:

3) MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom je prvý prvok:

Zvyšné štyri čísla tvoria determinant „dva po dvoch“, ktorý sa nazýva MALÝ daný prvok (jednotka).

Prejdeme k druhému prvku riadku.

4) Z matice znakov vypíšeme zodpovedajúce znamienko:

5) Potom napíšeme druhý prvok:

6) V MYŠLIENKE prečiarknite riadok a stĺpec obsahujúci druhý prvok:

No, tretí prvok prvého riadku. Žiadna originalita

7) Z matice znakov vypíšeme zodpovedajúce znamienko:

8) Napíšte tretí prvok:

9) V duchu prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom je tretí prvok:

Zvyšné štyri čísla sú napísané malým determinantom.

Ostatné kroky nie sú ťažké, keďže už vieme, ako počítať determinanty „dva po dvoch“. NEZAMIEŇTE SI ZNAKY!

Podobne môže byť determinant rozšírený cez ktorýkoľvek riadok alebo cez ktorýkoľvek stĺpec. Prirodzene, vo všetkých šiestich prípadoch je odpoveď rovnaká.

Determinant "štyri krát štyri" možno vypočítať pomocou rovnakého algoritmu.
V tomto prípade sa matica znakov zvýši:

V nasledujúcom príklade som rozšíril determinant na štvrtom stĺpci:

A ako sa to stalo, skúste prísť na to sami. Viac informácií prinesieme neskôr. Ak chce niekto vyriešiť determinant až do konca, správna odpoveď je: 18. Na trénovanie je lepšie otvoriť determinant v inom stĺpci alebo inom riadku.

Cvičiť, odhaľovať, počítať je veľmi dobré a užitočné. Koľko času však strávite na veľkom determinante? Neexistuje rýchlejší a spoľahlivejší spôsob? Navrhujem, aby ste sa oboznámili s efektívnymi metódami výpočtu determinantov v druhej lekcii - Vlastnosti determinantu. Zníženie poradia determinantu .

BUĎ OPATRNÝ!

Druhý rád je číslo, ktoré sa rovná rozdielu medzi súčinom čísel tvoriacich hlavnú uhlopriečku a súčinom čísel na vedľajšej uhlopriečke, môžete nájsť nasledovné označenia determinantu: ; ; ; detA(determinant).

.

Príklad:
.

Determinant matice tretieho rádu volá sa číslo alebo matematický výraz vypočítaný podľa nasledujúceho pravidla

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať determinant tretieho rádu, je pridať determinant prvých dvoch riadkov zdola.

Vo vytvorenej tabuľke čísel sú prvky na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach rovnobežných s hlavnou znásobené, znamienko výsledku súčinu sa nemení. Ďalšou fázou výpočtov je podobné násobenie prvkov na sekundárnej diagonále a na tých, ktoré sú s ňou rovnobežné. Znaky výsledkov produktu sú obrátené. Potom pridajte výsledných šesť výrazov.

Príklad:

Rozklad determinantu prvkami niektorého riadku (stĺpca).

Menší M ij prvok a ijštvorcovú maticu ALE nazývaný determinant, zložený z prvkov matice ALE, zostávajúce po odstránení ja- oh riadok a j-tý stĺpec.

Napríklad neplnoletý prvok 21 matice tretieho rádu
bude tam determinant
.

Povieme, že prvok a ij zaujíma párnu pozíciu, ak i+j(súčet čísel riadkov a stĺpcov, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza) - párne číslo, nepárne miesto, ak i+j- nepárne číslo.

Algebraické sčítanie A ij prvok a ijštvorcovú maticu ALE nazývaný výraz (alebo hodnotu zodpovedajúcej vedľajšej hodnoty, ktorá sa berie so znamienkom „+“, ak prvok matice zaberá párne miesto, a so znamienkom „-“, ak prvok zaberá nepárne miesto).

Príklad:

23= 4;

- algebraický doplnok prvku 22= 1.

Laplaceova veta. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov niektorého riadku (stĺpca) a ich zodpovedajúcich algebraických sčítaní.

Ukážme si to na príklade determinantu tretieho rádu. Determinant tretieho rádu môžete vypočítať rozbalením prvého riadku nasledovne

Podobne môžete vypočítať determinant tretieho rádu rozšírením cez ľubovoľný riadok alebo stĺpec. Je vhodné rozšíriť determinant pozdĺž riadku (alebo stĺpca), ktorý obsahuje viac núl.

Príklad:

Výpočet determinantu 3. rádu je teda zredukovaný na výpočet 3 determinantov druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je možné vypočítať determinant štvorcovej matice n-tého rádu, redukujúc ho na výpočet n determinanty ( n-1) poradie

Komentujte. Neexistujú jednoduché spôsoby výpočtu determinantov vyššieho rádu, podobne ako metódy výpočtu determinantov 2. a 3. rádu. Preto na výpočet determinantov nad tretím rádom možno použiť iba metódu rozkladu.

Príklad. Vypočítajte determinant štvrtého rádu.

Rozšírte determinant o prvky tretieho riadku

Vlastnosti determinantov:

1. Determinant sa nezmení, ak sú jeho riadky nahradené stĺpcami a naopak.

2. Pri permutácii dvoch susedných riadkov (stĺpcov) zmení determinant znamienko na opačné.

3. Determinant s dvoma rovnakými riadkami (stĺpcami) je 0.

4. Zo znamienka determinantu možno vyňať spoločný činiteľ všetkých prvkov niektorého riadku (stĺpca) determinantu.

5. Determinant sa nezmení, ak sa zodpovedajúce prvky ktoréhokoľvek iného stĺpca (riadku) vynásobené nejakým číslom pripočítajú k prvkom jedného z jeho stĺpcov (riadkov).

Pojem determinantu je jedným z hlavných v kurze lineárnej algebry. Tento koncept je súčasťou LEN Štvorcových MATIC a tento článok je venovaný tomuto konceptu. Tu budeme hovoriť o determinantoch matíc, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla. V tomto prípade je determinantom reálne (alebo komplexné) číslo. Všetky ďalšie prezentácie budú odpoveďou na otázky, ako vypočítať determinant a aké vlastnosti má.

Najprv uvedieme definíciu determinantu štvorcovej matice rádu n x n ako súčet súčinov permutácií prvkov matice. Na základe tejto definície napíšeme vzorce na výpočet determinantov matíc prvého, druhého a tretieho rádu a podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých príkladov.

Ďalej prejdeme k vlastnostiam determinantu, ktoré sformulujeme vo forme viet bez dôkazu. Spôsob výpočtu determinantu sa získa jeho rozšírením na prvky riadku alebo stĺpca. Táto metóda redukuje výpočet determinantu matice rádu n na n na výpočet determinantov matíc rádu 3 na 3 alebo menej. Nezabudnite ukázať riešenia na niekoľkých príkladoch.

Na záver sa ešte zastavíme pri výpočte determinantu Gaussovou metódou. Táto metóda je vhodná na nájdenie determinantov matíc rádu väčších ako 3 x 3, pretože vyžaduje menšie výpočtové úsilie. Rozoberieme si aj riešenie príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia maticového determinantu, výpočet maticového determinantu podľa definície.

Pripomíname niekoľko pomocných pojmov.

Definícia.

Permutácia rádu č sa nazýva usporiadaná množina čísel, pozostávajúca z n prvkov.

Pre množinu obsahujúcu n prvkov existuje n! (n faktoriál) permutácií rádu n. Permutácie sa od seba líšia iba v poradí prvkov.

Uvažujme napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel: . Zapíšeme si všetky permutácie (celkovo je ich šesť, pretože ):

Definícia.

Inverzia v permutácii rádu č volá sa ľubovoľný pár indexov p a q, pre ktorý je p-tý prvok permutácie väčší ako q-tý.

V predchádzajúcom príklade je inverzia permutácie 4, 9, 7 p=2, q=3, pretože druhý prvok permutácie je 9 a je väčší ako tretí prvok, ktorý je 7 . Inverzia permutácie 9, 7, 4 budú tri páry: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) a p=2, q=3 (7>4).

Viac nás bude zaujímať počet inverzií v permutácii, než samotná inverzia.

Nech je štvorcová matica rádu n x n nad poľom reálnych (alebo komplexných) čísel. Dovoliť je množina všetkých permutácií rádu n množiny . Sada obsahuje n! permutácií. Označme k-tu permutáciu množiny ako a počet inverzií v k-tej permutácii ako .

Definícia.

Maticový determinant A existuje číslo, ktoré sa rovná .

Opíšme tento vzorec slovami. Determinant štvorcovej matice rádu n x n je súčet obsahujúci n! podmienky. Každý člen je súčinom n prvkov matice a každý súčin obsahuje prvok z každého riadka a z každého stĺpca matice A. Koeficient (-1) sa objaví pred k-tým členom, ak sú prvky matice A v súčine zoradené podľa čísla riadku a počet inverzií v k-tej permutácii množiny čísel stĺpcov je nepárny.

Determinant matice A sa zvyčajne označuje ako a používa sa aj det(A). Môžete tiež počuť, že determinant sa nazýva determinant.

takže, .

To ukazuje, že determinant matice prvého rádu je prvkom tejto matice.

Výpočet determinantu štvorcovej matice druhého rádu - vzorec a príklad.

vo všeobecnosti asi 2 krát 2.

V tomto prípade n=2, teda n!=2!=2.

.

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 2 x 2, má tvar .

Príklad.

objednať.

Riešenie.

V našom príklade. Aplikujeme výsledný vzorec :

Výpočet determinantu štvorcovej matice tretieho rádu - vzorec a príklad.

Nájdite determinant štvorcovej matice vo všeobecnosti asi 3 krát 3.

V tomto prípade n=3, teda n!=3!=6.

Usporiadajme vo forme tabuľky potrebné údaje na aplikáciu vzorca .

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3, má tvar

Podobne možno získať vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 4 x 4, 5 x 5 a vyššie. Budú pôsobiť veľmi objemne.

Príklad.

Vypočítajte determinant štvorcovej matice asi 3 na 3.

Riešenie.

V našom príklade

Výsledný vzorec použijeme na výpočet determinantu matice tretieho rádu:

Vzorce na výpočet determinantov štvorcových matíc druhého a tretieho rádu sa používajú veľmi často, preto odporúčame zapamätať si ich.

Vlastnosti maticového determinantu, výpočet maticového determinantu pomocou vlastností.

Na základe vyššie uvedenej definície platí nasledovné. vlastnosti determinantu matrice.

Determinant matice A sa rovná determinantu transponovanej matice A T , teda .

Príklad.

Uistite sa, že maticový determinant sa rovná determinantu transponovanej matice.

Riešenie.

Použime vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3:



Transponujeme maticu A:


Vypočítajte determinant transponovanej matice:



V skutočnosti sa determinant transponovanej matice rovná determinantu pôvodnej matice.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky aspoň jedného z riadkov (jednoho zo stĺpcov) nulové, determinant takejto matice sa rovná nule.

Príklad.

Skontrolujte, či je determinant matice poradie 3 x 3 je nula.

Riešenie.




Skutočne, determinant matice s nulovým stĺpcom je nula.

Ak prehodíte ľubovoľné dva riadky (stĺpce) v štvorcovej matici, tak determinant výslednej matice bude opačný ako pôvodný (teda znamienko sa zmení).

Príklad.

Dané dve štvorcové matice rádu 3 x 3 a . Ukážte, že ich determinanty sú opačné.

Riešenie.

Matrix B sa získa z matice A tak, že sa tretí riadok nahradí prvým a prvý tretím. Podľa uvažovanej vlastnosti sa determinanty takýchto matíc musia líšiť znamienkom. Overme si to výpočtom determinantov pomocou dobre známeho vzorca.



Naozaj,.

Ak sú aspoň dva riadky (dva stĺpce) rovnaké v štvorcovej matici, potom sa jej determinant rovná nule.

Príklad.

Ukážte, že maticový determinant rovná sa nule.

Riešenie.

V tejto matici sú druhý a tretí stĺpec rovnaké, takže podľa uvažovanej vlastnosti sa jej determinant musí rovnať nule. Poďme sa na to pozrieť.



V skutočnosti je determinant matice s dvoma rovnakými stĺpcami nula.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) vynásobené nejakým číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice, vynásobený k. Napríklad,



Príklad.

Dokážte, že maticový determinant sa rovná trojnásobku determinantu matice .

Riešenie.

Prvky prvého stĺpca matice B sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca matice A vynásobením číslom 3. Potom by na základe uvažovanej vlastnosti mala platiť rovnosť. Overme si to výpočtom determinantov matíc A a B.



Preto, , čo sa malo dokázať.

POZNÁMKA.

Nezamieňajte a nezamieňajte pojmy matica a determinant! Uvažovaná vlastnosť determinantu matice a operácia násobenia matice číslom nie sú ani zďaleka to isté.
, ale .

Ak sú všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice súčtom s členov (s je prirodzené číslo väčšie ako jedna), potom sa determinant takejto matice bude rovnať súčtu s determinantov matíc získaných z pôvodný, ak ako prvky riadku (stĺpca) opúšťajú po jednom výraze. Napríklad,


Príklad.

Dokážte, že determinant matice sa rovná súčtu determinantov matíc .

Riešenie.

V našom príklade , teda vzhľadom na uvažovanú vlastnosť maticového determinantu, rovnosť . Skontrolujeme to výpočtom zodpovedajúcich determinantov matíc rádu 2 x 2 pomocou vzorca .


Zo získaných výsledkov je vidieť, že . Tým je dôkaz hotový.

Ak k prvkom niektorého riadku (stĺpca) matice pripočítame zodpovedajúce prvky iného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice.

Príklad.

Uistite sa, že ak prvky tretieho stĺpca matice pridajte zodpovedajúce prvky druhého stĺpca tejto matice vynásobené (-2) a pridajte zodpovedajúce prvky prvého stĺpca matice vynásobené ľubovoľným reálnym číslom, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinant pôvodnej matice.

Riešenie.

Ak vychádzame z uvažovanej vlastnosti determinantu, potom sa determinant matice získaný po všetkých transformáciách uvedených v úlohe bude rovnať determinantu matice A.

Najprv vypočítame determinant pôvodnej matice A:



Teraz vykonajte potrebné transformácie matice A.

Pridajme k prvkom tretieho stĺpca matice zodpovedajúce prvky druhého stĺpca matice, ktoré sme predtým vynásobili (-2) . Potom bude matica vyzerať takto:


K prvkom tretieho stĺpca výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky prvého stĺpca, vynásobené:


Vypočítajte determinant výslednej matice a uistite sa, že sa rovná determinantu matice A, teda -24:



Determinant štvorcovej matice je súčet súčinov prvkov ktoréhokoľvek riadka (stĺpca) podľa ich algebraické sčítania.



Tu je algebraický doplnok maticového prvku , .

Táto vlastnosť umožňuje počítať determinanty matíc rádu vyšších ako 3 x 3 ich redukciou na súčet niekoľkých determinantov rádových matíc o jeden nižší. Inými slovami, toto je opakujúci sa vzorec na výpočet determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Odporúčame si ho zapamätať pre jeho pomerne častú použiteľnosť.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad.

poradie 4 x 4, čím sa rozšíri

• podľa prvkov 3. riadku,
• prvkami 2. stĺpca.

Riešenie.

Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 3. riadku



Máme



Takže problém nájsť determinant matice rádu 4 x 4 bol zredukovaný na výpočet troch determinantov matíc rádu 3 x 3:



Nahradením získaných hodnôt dospejeme k výsledku:


Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 2. stĺpca


a my konáme rovnakým spôsobom.

Výpočet determinantov matíc tretieho rádu nebudeme podrobne popisovať.



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 4 na 4.

Riešenie.

Maticový determinant môžete rozložiť na prvky ľubovoľného stĺpca alebo ľubovoľného riadku, ale výhodnejšie je vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov, pretože to pomôže vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Rozšírme determinant o prvky prvého riadku:



Získané determinanty matíc rádu 3 x 3 vypočítame podľa nám známeho vzorca:



Nahradíme výsledky a získame požadovanú hodnotu


Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 5 krát 5.

Riešenie.

Štvrtý riadok matice má spomedzi všetkých riadkov a stĺpcov najväčší počet nulových prvkov, preto je vhodné rozšíriť determinant matice presne o prvky štvrtého riadku, pretože v tomto prípade potrebujeme menej výpočtov.



Získané determinanty matíc rádu 4 x 4 sme našli v predchádzajúcich príkladoch, takže použijeme hotové výsledky:



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 7 krát 7.

Riešenie.

Nemali by ste sa okamžite ponáhľať, aby ste rozložili determinant pomocou prvkov akéhokoľvek riadku alebo stĺpca. Ak sa pozriete pozorne na maticu, všimnete si, že prvky šiesteho riadku matice možno získať vynásobením zodpovedajúcich prvkov druhého riadku dvoma. To znamená, že ak k prvkom šiesteho riadku pripočítame zodpovedajúce prvky druhého riadku vynásobené (-2), potom sa determinant v dôsledku siedmej vlastnosti nezmení a šiesty riadok výslednej matice bude pozostávať z nuly. Determinant takejto matice sa druhou vlastnosťou rovná nule.

odpoveď:

Treba poznamenať, že uvažovaná vlastnosť umožňuje vypočítať determinanty matíc ľubovoľného rádu, je však potrebné vykonať veľa výpočtových operácií. Vo väčšine prípadov je výhodnejšie nájsť determinant matíc rádu vyšších ako tretí Gaussovou metódou, ktorú budeme uvažovať nižšie.

Súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice a algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) je rovný nule.


Príklad.

Ukážte, že súčet súčinov prvkov tretieho stĺpca matice na algebraických doplnkoch zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca sa rovná nule.

Riešenie.




Determinant súčinu štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu ich determinantov, tj. , kde m je prirodzené číslo väčšie ako jedna, A k , k=1,2,…,m sú štvorcové matice rovnakého rádu.

Príklad.

Uistite sa, že determinant súčinu dvoch matíc a rovná sa súčinu ich determinantov.

Riešenie.

Najprv nájdime súčin determinantov matíc A a B:


Teraz vykonajte násobenie matice a vypočítajte determinant výslednej matice:



Touto cestou, , ktorý sa mal ukázať.

Výpočet maticového determinantu Gaussovou metódou.

Poďme si popísať podstatu tejto metódy. Pomocou elementárnych transformácií sa matica A zredukuje do takej podoby, že v prvom stĺpci sa všetky prvky okrem jedného stanú nulovými (to je možné vždy, ak je determinant matice A nenulový). Tento postup popíšeme trochu neskôr, ale teraz vysvetlíme, prečo sa to robí. Nulové prvky sa získajú, aby sa získalo čo najjednoduchšie rozšírenie determinantu na prvky prvého stĺpca. Po takejto transformácii matice A s prihliadnutím na ôsmu vlastnosť a získame

kde - vedľajší (n-1)-tý rád, získaná z matice A vymazaním prvkov jej prvého riadku a prvého stĺpca.

S maticou, ktorej zodpovedá minor, sa vykoná rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci. A tak ďalej až do konečného výpočtu determinantu.

Teraz zostáva odpovedať na otázku: "Ako získať nulové prvky v prvom stĺpci"?

Poďme popísať algoritmus akcií.

Ak , potom sa prvky prvého riadku matice pridajú k príslušným prvkom k-tého riadku, v ktorom . (Ak sú bez výnimky všetky prvky prvého stĺpca matice A nulové, potom je jej determinant podľa druhej vlastnosti nulový a nie je potrebná žiadna Gaussova metóda). Po takejto transformácii sa "nový" prvok bude líšiť od nuly. Determinant "novej" matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Teraz máme maticu, ktorá má . Keď k prvkom druhého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , k prvkom tretieho riadku zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené . A tak ďalej. Na záver, k prvkom n-tého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . Takže získame transformovanú maticu A, ktorej všetky prvky prvého stĺpca, okrem , budú nulové. Determinant výslednej matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Rozoberme si metódu pri riešení príkladu, aby to bolo jasnejšie.

Príklad.

Vypočítajte determinant matice rádu 5 krát 5 .

Riešenie.

Využime Gaussovu metódu. Transformujme maticu A tak, aby všetky prvky jej prvého stĺpca, okrem , boli nulové.

Keďže prvok je spočiatku , potom k prvkom prvého riadku matice pridáme zodpovedajúce prvky, napríklad druhý riadok, pretože:

Znak "~" znamená rovnocennosť.

Teraz pridáme k prvkom druhého radu zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené , na prvky tretieho riadku - zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené a postupujte podobne až po šiesty riadok:

Dostaneme

s matricou vykonáme rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci:

v dôsledku toho

Teraz vykonáme transformácie s maticou :

Komentujte.

V určitom štádiu transformácie matice Gaussovou metódou môže nastať situácia, keď sa všetky prvky niekoľkých posledných riadkov matice stanú nulovými. Toto bude hovoriť o rovnosti determinantu na nulu.

Zhrnúť.

Determinantom štvorcovej matice, ktorej prvkami sú čísla, je číslo. Zvažovali sme tri spôsoby výpočtu determinantu:

1. prostredníctvom súčtu súčinov kombinácií prvkov matrice;
2. prostredníctvom rozšírenia determinantu o prvky riadka alebo stĺpca matice;
3. metóda zmenšenia matice na hornú trojuholníkovú (Gaussovou metódou).

Získali sa vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 2 x 2 a 3 x 3 .

Analyzovali sme vlastnosti maticového determinantu. Niektoré z nich vám umožňujú rýchlo pochopiť, že determinant je nula.

Pri výpočte determinantov matíc rádu vyšších ako 3 x 3 je vhodné použiť Gaussovu metódu: vykonať elementárne transformácie matice a priviesť ju k hornej trojuholníkovej. Determinant takejto matice sa rovná súčinu všetkých prvkov na hlavnej diagonále.