Nájdite extrémy funkcie dvoch premenných pod podmienkou. Podmienený extrém

Definícia1: O funkcii sa hovorí, že má lokálne maximum v bode, ak existuje okolie bodu také, že pre akýkoľvek bod M so súradnicami (x, y) nerovnosť platí: . V tomto prípade, teda prírastok funkcie< 0.

Definícia2: O funkcii sa hovorí, že má lokálne minimum v bode, ak existuje okolie bodu také, že pre akýkoľvek bod M so súradnicami (x, y) nerovnosť platí: . V tomto prípade, t.j. prírastok funkcie > 0.

Definícia 3: Volajú sa body lokálneho minima a maxima extrémne body.

Podmienené extrémy

Pri hľadaní extrémov funkcie mnohých premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv podmienený extrém. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.

Nech je daná funkcia a čiara L v lietadle 0xy. Úlohou je dostať sa na linku L nájsť taký bod P(x, y), v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch na čiare L, ktorý sa nachádza v blízkosti bodu P. Takéto body P sa volajú podmienené extrémne body funkcie on-line L. Na rozdiel od zvyčajného extrémneho bodu sa hodnota funkcie v podmienenom extrémnom bode porovnáva s hodnotami funkcie nie vo všetkých bodoch v jej susedstve, ale iba v tých, ktoré ležia na priamke. L.

Je úplne jasné, že bod obvyklého extrému (hovoria tiež bezpodmienečný extrém) je tiež podmienený extrémny bod pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť obyčajný extrémny bod. Dovoľte mi vysvetliť, čo som povedal, na jednoduchom príklade. Grafom funkcie je horná hemisféra (príloha 3 (obr. 3)).

Táto funkcia má na začiatku maximum; vrchol tomu zodpovedá M hemisféry. Ak je linka L cez body prechádza priamka A A IN(jej rovnica x+y-1=0), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky sa najväčšia hodnota funkcie dosiahne v bode ležiacom v strede medzi bodmi A A IN. Toto je bod podmieneného extrému (maxima) funkcie na tomto riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je zrejmé, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.

Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti musíme nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém podmieneného extrému.

Prejdime teraz k praktickému hľadaniu bodov podmieneného extrému funkcie Z= f(x, y) za predpokladu, že premenné x a y súvisia rovnicou (x, y) = 0. Tento vzťah budeme nazývať rovnica spojenia. Ak z väzbovej rovnice y možno explicitne vyjadriť x: y=(x), dostaneme funkciu jednej premennej Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Po zistení hodnoty x, pri ktorej táto funkcia dosiahne extrém, a následnom určení zodpovedajúcich hodnôt y zo spojovacej rovnice, získame požadované body podmieneného extrému.

Takže vo vyššie uvedenom príklade z rovnice vzťahu x+y-1=0 máme y=1-x. Odtiaľto

Je ľahké skontrolovať, či z dosahuje svoje maximum pri x = 0,5; ale potom z rovnice spojenia y = 0,5 a dostaneme presne bod P, zistený z geometrických úvah.

Úloha podmieneného extrému je riešená veľmi jednoducho aj vtedy, keď rovnicu spojenia možno znázorniť parametrickými rovnicami x=x(t), y=y(t). Dosadením výrazov pre x a y do tejto funkcie sa opäť dostávame k problému hľadania extrému funkcie jednej premennej.

Ak má väzbová rovnica zložitejší tvar a nie sme schopní buď explicitne vyjadriť jednu premennú v termínoch inej, alebo ju nahradiť parametrickými rovnicami, potom sa úloha nájsť podmienený extrém stáva zložitejšou. Naďalej budeme predpokladať, že vo vyjadrení funkcie z= f(x, y) je premenná (x, y) = 0. Celková derivácia funkcie z= f(x, y) sa rovná:

Kde derivácia y` sa nachádza pomocou pravidla diferenciácie implicitnej funkcie. V bodoch podmieneného extrému sa nájdená celková derivácia musí rovnať nule; to dáva jednu rovnicu týkajúcu sa x a y. Keďže musia spĺňať aj väzbovú rovnicu, dostaneme sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi

Transformujme tento systém na oveľa pohodlnejší napísaním prvej rovnice vo forme proporcie a zavedením novej pomocnej neznámej:

(znamienko mínus vpredu slúži pre pohodlie). Z týchto rovností je ľahké prejsť na nasledujúci systém:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

ktorá spolu so spojovacou rovnicou (x, y) = 0 tvorí sústavu troch rovníc s neznámymi x, y a.

Tieto rovnice (*) sa najľahšie zapamätajú pomocou nasledujúceho pravidla: na nájdenie bodov, ktoré môžu byť bodmi podmieneného extrému funkcie

Z= f(x, y) s rovnicou spojenia (x, y) = 0, musíte vytvoriť pomocnú funkciu

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kde je nejaká konštanta a vytvorte rovnice na nájdenie extrémnych bodov tejto funkcie.

Naznačená sústava rovníc poskytuje spravidla len nevyhnutné podmienky, t.j. nie každá dvojica hodnôt x a y, ktorá vyhovuje tomuto systému, je nevyhnutne podmieneným extrémnym bodom. Neposkytnem dostatočné podmienky pre body podmienečného extrému; veľmi často samotný konkrétny obsah problému napovedá, v čom spočíva zistený bod. Opísaná technika riešenia problémov na podmienenom extréme sa nazýva Lagrangeova multiplikačná metóda.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém funkcií dvoch premenných. Bod sa nazýva minimálny (maximálny) bod funkcie, ak je v určitom okolí bodu funkcia definovaná a spĺňa nerovnosť (maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie.

Nevyhnutná podmienka pre extrém. Ak má funkcia v extrémnom bode prvé parciálne derivácie, potom v tomto bode zanikajú. Z toho vyplýva, že na nájdenie extrémnych bodov takejto funkcie je potrebné vyriešiť sústavu rovníc Body, ktorých súradnice vyhovujú tomuto systému, sa nazývajú kritické body funkcie. Medzi nimi môže byť maximálny počet bodov, minimálny počet bodov a tiež body, ktoré nie sú extrémnymi bodmi.

Na identifikáciu extrémnych bodov zo súboru kritických bodov sa používajú dostatočné extrémne podmienky a sú uvedené nižšie.

Nech má funkcia v kritickom bode spojité druhé parciálne derivácie. Ak v tomto bode

potom je to minimálny bod v a maximálny bod v kritickom bode If, ​​potom to nie je extrémny bod. V tomto prípade je potrebná jemnejšia štúdia povahy kritického bodu, ktorý v tomto prípade môže, ale nemusí byť extrémnym bodom.

Extrémy funkcií troch premenných. V prípade funkcie troch premenných definície extrémnych bodov doslovne opakujú zodpovedajúce definície funkcie dvoch premenných. Obmedzíme sa na predstavenie postupu pri štúdiu funkcie pre extrém. Pri riešení systému rovníc je potrebné nájsť kritické body funkcie a potom v každom z kritických bodov vypočítať hodnoty

Ak sú všetky tri veličiny kladné, potom príslušný kritický bod je minimálny bod; ak je potom tento kritický bod maximálnym bodom.

Podmienený extrém funkcie dvoch premenných. Bod sa nazýva podmienený minimálny (maximálny) bod funkcie za predpokladu, že existuje okolie bodu, v ktorom je funkcia definovaná a v ktorom (respektíve) pre všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu

Ak chcete nájsť podmienené extrémne body, použite funkciu Lagrange

kde sa toto číslo nazýva Lagrangeov multiplikátor. Riešenie sústavy troch rovníc

nájsť kritické body Lagrangeovej funkcie (ako aj hodnotu pomocného faktora A). V týchto kritických bodoch môže existovať podmienený extrém. Uvedený systém poskytuje len nevyhnutné podmienky pre extrém, ale nie postačujúce: môže byť splnený súradnicami bodov, ktoré nie sú bodmi podmieneného extrému. Na základe podstaty problému je však často možné určiť povahu kritického bodu.

Podmienený extrém funkcie viacerých premenných. Uvažujme funkciu premenných za predpokladu, že sú spojené rovnicami

Príklad

Nájdite extrém funkcie za predpokladu, že X A pri súvisia vzťahom: .
Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse
.

lietadlo
Tento problém možno vyriešiť takto: z rovnice
X:

nájdeme
za predpokladu, že
.

, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na intervale Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse
Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse
, získaný krížením valca , musíte nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu aplikácie
Tento problém možno vyriešiť takto: z rovnice
(Obr.9). Tento problém možno vyriešiť takto: z rovnice X:

. Dosadením nájdenej hodnoty y do rovnice roviny dostaneme funkciu jednej premennej
nájdeme
Teda problém nájsť extrém funkcie

, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na intervale. takže, problém nájsť podmienený extrém
– to je problém hľadania extrému objektívnej funkcie X za predpokladu, že premenné pri A
podlieha obmedzeniu , volal

rovnica spojenia. Povedzme si to
bodka , spĺňajúce väzbovú rovnicu, je bod miestneho podmieneného maxima (minimum
), ak existuje susedstvo
tak, že za akékoľvek body

, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu spojenia, je nerovnosť splnená. pri Ak zo spojovacej rovnice možno nájsť výraz pre , potom dosadením tohto výrazu do pôvodnej funkcie túto zmeníme na komplexnú funkciu jednej premennej

X. Všeobecná metóda riešenia problému podmieneného extrému je Lagrangeova multiplikačná metóda . Vytvorme pomocnú funkciu, kde ─ nejaké číslo. Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia ─ Lagrangeov multiplikátor. Úloha nájsť podmienený extrém sa teda zredukovala na nájdenie lokálnych extrémnych bodov pre Lagrangeovu funkciu. Ak chcete nájsť možné extrémy, musíte vyriešiť systém 3 rovníc s tromi neznámymi x, y A.

Potom by ste mali použiť nasledujúcu dostatočnú podmienku pre extrém.

TEOREM. Nech je bod možným extrémnym bodom pre Lagrangeovu funkciu. Predpokladajme, že v blízkosti bodu
existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu funkcií A . Označme

Potom ak
, To
─ podmienený extrémny bod funkcie
s väzbovou rovnicou
v tomto prípade, ak
, To
─ podmienený minimálny bod, ak
, To
─ podmienený maximálny bod.

§8. Gradient a smerová derivácia

Nechajte funkciu
definované v nejakom (otvorenom) regióne. Zvážte akýkoľvek bod
táto oblasť a akákoľvek smerovaná priamka (os) , prechádzajúcej týmto bodom (obr. 1). Nechaj
- nejaký iný bod na tejto osi,
– dĺžka segmentu medzi
A
, brané so znamienkom plus, ak je smer
sa zhoduje so smerom osi a so znamienkom mínus, ak sú ich smery opačné.

Nechaj
približuje na neurčito
. Limit

volal derivácia funkcie
v smere (alebo pozdĺž osi ) a označuje sa takto:

.

Táto derivácia charakterizuje „rýchlosť zmeny“ funkcie v bode
v smere . Najmä bežné parciálne deriváty ,možno chápať aj ako deriváty „vzhľadom na smer“.

Predpokladajme teraz, že funkcia
má v posudzovanom regióne spojité parciálne derivácie. Nechajte os zviera uhly so súradnicovými osami
A . Podľa predpokladov smerová derivácia existuje a vyjadruje sa vzorcom

.

Ak je vektor
daný jeho súradnicami
, potom derivácia funkcie
v smere vektora
možno vypočítať pomocou vzorca:

.

Vektor so súradnicami
volal gradientový vektor funkcie
v bode
. Vektor gradientu udáva smer najrýchlejšieho nárastu funkcie v danom bode.

Príklad

Daná funkcia, bod A(1, 1) a vektor
. Nájdite: 1)grad z v bode A; 2) derivácia v bode A v smere vektora .

Parciálne derivácie danej funkcie v bode
:

;
.

Potom je gradientný vektor funkcie v tomto bode:
. Gradientový vektor možno zapísať aj pomocou vektorovej dekompozície A :

. Derivácia funkcie v smere vektora :

takže,
,
.◄

Dostatočná podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných

1. Nech je funkcia spojito diferencovateľná v niektorom okolí bodu a má spojité parciálne derivácie druhého rádu (čisté a zmiešané).

2. Označme determinantom druhého rádu

extrémne variabilná prednášková funkcia

Veta

Ak je bod so súradnicami stacionárny bod pre funkciu, potom:

A) je to bod lokálneho extrému a pri lokálnom maxime je to lokálne minimum;

C) v bode nie je lokálnym extrémnym bodom;

C) ak, možno oboje.

Dôkaz

Napíšme Taylorov vzorec pre funkciu, pričom sa obmedzíme na dva pojmy:

Keďže podľa podmienok vety je bod stacionárny, parciálne derivácie druhého rádu sú rovné nule, t.j. A. Potom

Označme

Potom bude mať prírastok funkcie tvar:

Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu (čistých a zmiešaných), podľa podmienok vety v bode, môžeme písať:

Kde alebo; ,

1. Nech a, t.j. alebo.

2. Vynásobte prírastok funkcie a vydeľte, dostaneme:

3. Pridajme výraz v zložených zátvorkách na celú druhú mocninu súčtu:

4. Výraz v zložených zátvorkách nie je záporný, pretože

5. Ak teda znamená a, potom a teda, podľa definície, bod je bodom lokálneho minima.

6. Ak je stred a potom podľa definície bod so súradnicami je bodom lokálneho maxima.

2. Uvažujme kvadratický trinom, jeho diskriminant, .

3. Ak, potom existujú také body, že polynóm

4. Celkový prírastok funkcie v bode v súlade s výrazom získaným v I zapíšeme ako:

5. Vzhľadom na spojitosť parciálnych derivácií druhého rádu podľa podmienok vety v bode môžeme napísať, že

Preto existuje také okolie bodu, že pre každý bod je kvadratická trojčlenka väčšia ako nula:

6. Zvážte okolie bodu.

Zvoľme si ľubovoľnú hodnotu, takže bodka. Za predpokladu, že vo vzorci pre prírastok funkcie

Čo získame:

7. Odvtedy.

8. Ak budeme argumentovať podobne pre koreň, zistíme, že v akomkoľvek -okolí bodu je bod, pre ktorý teda v susedstve bodu nezachováva znamienko, preto v bode neexistuje extrém.

Podmienený extrém funkcie dvoch premenných

Pri hľadaní extrémov funkcie dvoch premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv. podmieneným extrémom. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.

Nech je daná funkcia a priamka L na rovine 0xy. Úlohou je nájsť bod P (x, y) na priamke L, v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch na priamke L umiestnených v blízkosti bodu P. Takéto body P sa nazývajú podmienené extrémne bodové funkcie na priamke L. Na rozdiel od bežného extrémneho bodu sa hodnota funkcie v podmienenom extrémnom bode porovnáva s hodnotami funkcie nie vo všetkých bodoch jej okolia, ale iba v tých, ktoré ležia na linke L.

Je úplne jasné, že bod obyčajného extrému (hovoria tiež bezpodmienečné extrémy) je zároveň bodom podmieneného extrému pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť obyčajný extrémny bod. Ilustrujme si to na príklade.

Príklad č.1. Grafom funkcie je horná hemisféra (obr. 2).

Ryža. 2.

Táto funkcia má na začiatku maximum; zodpovedá vrcholu M pologule. Ak je priamka L priamka prechádzajúca bodmi A a B (jej rovnica), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky je najväčšia hodnota funkcie dosiahnutá v bode ležiacom v strede medzi bodmi A a B Toto je bod podmienených extrémnych (maximálnych) funkcií na tomto riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je zrejmé, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.

Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti musíme nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém podmieneného extrému.

Definícia 1. Hovoria, že kde má v bode, ktorý spĺňa rovnicu, podmienené alebo relatívne maximum (minimum): ak pre ktorýkoľvek bod spĺňajúci rovnicu je nerovnosť

Definícia 2. Rovnica tvaru sa nazýva obmedzujúca rovnica.

Veta

Ak funkcie a sú plynule diferencovateľné v okolí bodu a parciálnej derivácie a bod je podmieneným extrémnym bodom funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia, potom sa determinant druhého rádu rovná nule:

Dôkaz

1. Keďže podľa podmienok vety, parciálnej derivácie a hodnoty funkcie, potom v určitom obdĺžniku

definovaná implicitná funkcia

Komplexná funkcia dvoch premenných v bode bude mať lokálny extrém, teda príp.

2. Skutočne, podľa invariantnej vlastnosti diferenciálneho vzorca prvého rádu

3. Rovnica spojenia môže byť znázornená v tomto tvare, čo znamená

4. Vynásobte rovnicu (2) a (3) a pridajte ich

Preto, kedy

svojvoľný. atď.

Dôsledok

Hľadanie podmienených extrémnych bodov funkcie dvoch premenných sa v praxi uskutočňuje riešením sústavy rovníc

Takže vo vyššie uvedenom príklade č. 1 z rovnice zapojenia máme. Odtiaľ je ľahké skontrolovať, čo dosahuje maximum. Ale potom z komunikačnej rovnice. Získame bod P, zistený geometricky.

Príklad č.2. Nájdite podmienené extrémne body funkcie vzhľadom na väzbovú rovnicu.

Nájdite parciálne derivácie danej funkcie a väzbovú rovnicu:

Vytvorme determinant druhého rádu:

Napíšme sústavu rovníc na nájdenie podmienených extrémnych bodov:

To znamená, že existujú štyri body podmieneného extrému funkcie so súradnicami: .

Príklad č.3. Nájdite extrémne body funkcie.

Prirovnaním parciálnych derivácií k nule: , nájdeme jeden stacionárny bod - počiatok. Tu,. V dôsledku toho bod (0, 0) nie je extrémnym bodom. Rovnica je rovnicou hyperbolického paraboloidu (obr. 3) z obrázku je vidieť, že bod (0, 0) nie je extrémnym bodom.

Ryža. 3.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie v uzavretej oblasti

1. Nech je funkcia definovaná a spojitá v ohraničenej uzavretej oblasti D.

2. Nech má funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie, okrem jednotlivých bodov oblasti.

3. V súlade s Weierstrassovou vetou sa v tejto oblasti nachádza bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty.

4. Ak sú tieto body vnútornými bodmi oblasti D, potom samozrejme budú mať maximum alebo minimum.

5. V tomto prípade body záujmu pre nás patria medzi podozrivé body v extréme.

6. Funkcia však môže nadobudnúť aj najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu na hranici oblasti D.

7. Aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie v oblasti D, musíte nájsť všetky vnútorné body podozrivé z extrému, vypočítať hodnotu funkcie v nich a potom porovnať s hodnotou funkcie na hraničné body regiónu a najväčšia zo všetkých nájdených hodnôt bude najväčšia v uzavretej oblasti D.

8. Metóda na nájdenie lokálneho maxima alebo minima bola diskutovaná vyššie v časti 1.2. a 1.3.

9. Zostáva zvážiť spôsob hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie na hranici regiónu.

10. V prípade funkcie dvoch premenných je plocha zvyčajne ohraničená krivkou alebo viacerými krivkami.

11. Pozdĺž takejto krivky (alebo niekoľkých kriviek) závisia premenné a buď jedna na druhej, alebo obe závisia od jedného parametra.

12. Na hranici sa teda ukáže, že funkcia závisí od jednej premennej.

13. O metóde hľadania najväčšej hodnoty funkcie jednej premennej sme hovorili už skôr.

14. Nech je hranica oblasti D daná parametrickými rovnicami:

Potom na tejto krivke bude funkcia dvoch premenných komplexnou funkciou parametra: . Pre takúto funkciu sa najväčšie a najmenšie hodnoty určujú pomocou metódy na určenie najväčších a najmenších hodnôt pre funkciu jednej premennej.

Nech je funkcia z - /(x, y) definovaná v nejakej oblasti D a nech Mo(xo, Vo) je vnútorný bod tejto oblasti. Definícia. Ak existuje číslo také, že pre všetky splnené podmienky platí nerovnosť, potom bod Mo(xo, y) sa nazýva lokálny maximálny bod funkcie f(x, y); ak pre všetky Dx, Du, spĺňajúce podmienky | potom sa bod Mo(xo,yo) nazýva tenké lokálne minimum. Inými slovami, bod M0(x0, y0) je bod maxima alebo minima funkcie /(x, y), ak existuje 6-okolie bodu A/o(x0, y0) také, že vôbec bodov M(x, y) tohto v susedstve, prírastok funkcie si zachováva svoje znamienko. Príklady. 1. Pre funkčný bod - minimálny bod (obr. 17). 2. Pre funkciu je bod 0(0,0) maximálny bod (obr. 18). 3. Pre funkciu je bod 0(0,0) lokálnym maximálnym bodom. 4 V skutočnosti existuje okolie bodu 0(0, 0), napríklad kružnica s polomerom j (pozri obr. 19), ktorej v ktoromkoľvek bode, odlišnom od bodu 0(0,0), hodnota funkcie /(x,y) menšia ako 1 = budeme brať do úvahy iba body striktného maxima a minima funkcií, keď je splnená striktná nerovnosť alebo striktná nerovnosť pre všetky body M(x) y) z nejakého prepichnutého 6-okolia bodu Mq. Hodnota funkcie v maximálnom bode sa nazýva maximum a hodnota funkcie v minimálnom bode sa nazýva minimum tejto funkcie. Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body funkcie a samotné maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémy. 18 Obr. 20 immt derivácie, ktoré sa otáčajú na nulu pri. Ale táto funkcia je tenká na imvat brnkačky.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Extrém funkcie f(x, y) môže alebo nemusí existovať. V tomto prípade je potrebný ďalší výskum. m Obmedzme sa na dokazovanie tvrdení 1) a 2) vety. Napíšme Taylorov vzorec druhého rádu pre funkciu /(i, y): kde. Podľa podmienky je zrejmé, že znamienko prírastku D/ je určené znamienkom trojčlenky na pravej strane (1), teda znamienkom druhého diferenciálu d2f. Pre stručnosť si to označme. Potom rovnosť (l) môžeme zapísať takto: Nech v bode MQ(so, V0) máme... Keďže podľa podmienky sú parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(s, y) spojité, potom nerovnosť (3) bude platiť aj v okolí bodu M0(s0,yo). Ak je podmienka splnená (v bode А/0 a na základe spojitosti si derivácia /,z(s,y) zachová svoje znamienko v určitom okolí bodu Af0. V oblasti, kde А Ф 0, máme z toho zrejmé, že ak ЛС - В2 > 0 v niektorom okolí bodu M0(x0) y0, potom sa znamienko trojčlenky AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 zhoduje so znamienkom A v bode. (takže V0) (rovnako ako so znamienkom C, keďže pre AC - B2 > 0 A a C nemôžu mať rôzne znamienka). Keďže znamienko súčtu AAs2 + 2BAxAy + CAy2 v bode (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) určuje znamienko rozdielu, dospejeme k nasledovnému záveru: ak pre funkciu /(s,y) pri podmienka stacionárneho bodu (s0, V0), potom pre dostatočne malú || nerovnosť bude uspokojená. V bode (sq, V0) má teda funkcia /(s, y) maximum. Ak je podmienka splnená v stacionárnom bode (s0, y0), potom pre všetkých dostatočne malý |Dr| a |Du| nerovnosť je pravdivá, čo znamená, že v bode (so,yo) má funkcia /(s, y) minimum. Príklady. 1. Preskúmajte funkciu pre extrém 4 Pomocou nevyhnutných podmienok pre extrém hľadáme stacionárne body funkcie. Aby sme to dosiahli, nájdeme parciálne derivácie u a prirovnáme ich k nule. Získame systém rovníc odkiaľ - stacionárny bod. Použime teraz vetu 12. Máme To znamená, že v bode Ml je extrém. Lebo toto je minimum. Ak prevedieme funkciu r do tvaru, je ľahké vidieť, že pravá strana (“) bude minimálna, keď je absolútne minimum tejto funkcie. 2. Preskúmajte funkciu pre extrém Nájdeme stacionárne body funkcie, pre ktoré teda zostavíme sústavu rovníc, aby bol bod stacionárny. Pretože na základe vety 12 neexistuje extrém v bode M. * 3. Preskúmajte extrém funkcie. Nájdite stacionárne body funkcie. Zo sústavy rovníc to dostaneme, takže bod je stacionárny. Ďalej máme, že veta 12 neodpovedá na otázku o prítomnosti alebo neprítomnosti extrému. Urobme to takto. Pre funkciu o všetkých bodoch odlišných od bodu tak, podľa definície, a bodu A/o(0,0) má funkcia r absolútne minimum. Podobnými výpočtami zistíme, že funkcia má maximum v bode, ale funkcia nemá v bode extrém. Nech je funkcia n nezávislých premenných diferencovateľná v bode Bod Mo sa nazýva stacionárny bod funkcie podľa Veta 13 (až do dostatočných podmienok pre extrém). Nech je funkcia definovaná a má spojité parciálne derivácie druhého rádu v niektorom okolí jemnej Mt(xi..., čo je stacionárna jemná funkcia, ak má kvadratickú formu (druhý diferenciál funkcie f v jemnom je kladný určitý (záporný určitý), minimálny bod (resp. jemné maximum) funkcie f je v poriadku kvadratická forma (4) je kladná alebo záporná určitá, môžete použiť napríklad Sylvesterovo kritérium pre pozitívnu (negatívnu) istotu kvadratickej formy funkcie v celom obore jej definície, keď argumenty funkcie nie sú viazané žiadnymi dodatočnými podmienkami, takéto extrémy sa nazývajú nepodmienené. Často sa však stretávame s problémami hľadania tzv. podmienených extrémov. x, y) byť definované v oblasti D. Predpokladajme, že krivka L je daná v tejto oblasti a my potrebujeme nájsť extrémy funkcie f(x> y) len medzi tými jej hodnotami, ktoré zodpovedajú k bodom krivky L. Rovnaké extrémy nazývame podmienené extrémy funkcie z = f(x) y) na krivke L. Definícia Hovoria, že v bode ležiacom na krivke L funkcia /(x, y) má podmienené maximum (minimum), ak je nerovnosť splnená vo všetkých bodoch M (s, y) y) krivka L, patriaca do niektorého okolia bodu M0(x0, V0) a odlišná od bodu M0 (ak je krivka L je daná rovnicou, potom je problém nájsť podmienený extrém funkcie r - f(x,y) na krivke! možno formulovať takto: nájdite extrémy funkcie x = /(z, y) v oblasti D, za predpokladu, že Pri hľadaní podmienených extrémov funkcie z = y teda už nemôžu byť argumenty pakoňa považované za nezávislé premenné: sú navzájom spojené vzťahom y ) = 0, ktorý sa nazýva väzbová rovnica. Aby sme objasnili rozdiel medzi nepodmieneným a podmieneným extrémom, pozrime sa na príklad, bezpodmienečné maximum funkcie (obr. 23) sa rovná jednej a dosiahne sa v bode (0,0). Zodpovedá bodu M - vrcholu pvvboloidu Pridajme rovnicu spojenia y = j. Potom sa jej bude zrejme rovnať podmienené maximum. Dosiahne sa v bode (o,|) a zodpovedá vrcholu Afj gule, ktorý je priesečníkom gule s rovinou y = j. V prípade bezpodmienečného mvxima máme mvximum aplikáciu medzi všetkými vpplicvt povrchu * = 1 - l;2 ~ y1; summvv podmienené - iba medzi všetkými bodmi pvraboloidv, ktoré zodpovedajú bodu * priamky y = j nie roviny xOy. Jedna z metód na nájdenie podmieneného extrému funkcie v prítomnosti a spojení je nasledovná. Otázka existencie a povahy podmieneného extrému je vyriešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie pre uvažovaný systém hodnôt x0, V0, A, získaných z (8) za predpokladu, že ak , potom v bode (x0, V0) má funkcia /(x, y ) podmienené maximum; ak d2F > 0 - potom podmienené minimum. Konkrétne, ak je v stacionárnom bode (xo, J/o) determinant D pre funkciu F(x, y) kladný, potom v bode (®o, V0) existuje podmienené maximum funkcie f( x, y), ak a podmienené minimum funkcie /(x, y), ak Príklad. Vráťme sa opäť k podmienkam predchádzajúceho príkladu: nájdite extrém funkcie za podmienky, že x + y = 1. Úlohu vyriešime pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy. Lagrangeova funkcia má v tomto prípade tvar Na nájdenie stacionárnych bodov zostavíme systém Z prvých dvoch rovníc systému dostaneme, že x = y. Potom z tretej rovnice systému (rovnice spojenia) zistíme, že x - y = j sú súradnice možného extrémneho bodu. V tomto prípade (udáva sa, že A = -1. Lagrangeova funkcia. je teda podmieneným minimálnym bodom funkcie * = x2 + y2 za podmienky, že pre Lagrangeovu funkciu neexistuje nepodmienený extrém. P(x, y) ) ešte neznamená absenciu podmieneného extrému pre funkciu /(x, y) za prítomnosti spojenia Príklad Nájdite extrém funkcie pod podmienkou y 4 Zostavíme Lagrangeovu funkciu a vypíšeme systém pre. určenie A a súradníc možných extrémnych bodov: Z prvých dvoch rovníc dostaneme x + y = 0 a dostaneme sa do sústavy, z ktorej x = y = A = 0. Príslušná Lagrangeova funkcia má teda tvar V bode (0,0), funkcia F(x, y; 0) nemá nepodmienený extrém, ale existuje podmienený extrém funkcie r = xy, keď y = x Skutočne, v tomto prípade r = x2 tu je jasné, že v bode (0,0) je podmienené minimum "Metóda Lagrangeových multiplikátorov sa prenáša na prípad funkcií ľubovoľného počtu argumentov. Hľadajme extrém funkcie v prítomnosti spojovacie rovnice Zostavme Lagrangeovu funkciu kde A|, Az,..., A„, sú neurčité konštantné faktory. Vyrovnaním všetkých parciálnych derivácií funkcie F prvého rádu na nulu a pridaním rovníc spojenia (9) do výsledných rovníc dostaneme sústavu n + m rovníc, z ktorých určíme Ab A3|..., At a súradnice x \) x2). » xn možných bodov podmieneného extrému. Otázku, či body nájdené pomocou Lagrangeovej metódy sú skutočne bodmi podmieneného extrému, možno často vyriešiť na základe úvah fyzikálnej alebo geometrickej povahy. 15.3. Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií Nech je potrebné nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie z = /(x, y), spojitú v nejakej uzavretej ohraničenej oblasti D. Podľa vety 3 sa v tejto oblasti nachádza bod (xo, V0), v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu (najmenšiu) hodnotu. Ak bod (xo, y0) leží vo vnútri oblasti D, tak funkcia / má v sebe maximum (minimum), takže v tomto prípade je bod nášho záujmu obsiahnutý medzi kritickými bodmi funkcie /(x, y). Funkcia /(x, y) však môže dosiahnuť svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na hranici regiónu. Preto, aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu získanú funkciou z = /(x, y) v obmedzenej uzavretej oblasti 2, musíte nájsť všetky maximá (minimum) funkcie dosiahnuté v tejto oblasti, ako aj najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na hranici tohto územia. Najväčšie (najmenšie) zo všetkých týchto čísel bude požadovaná najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie z = /(x,y) v oblasti 27. Ukážme si, ako sa to robí v prípade diferencovateľnej funkcie. Prmmr. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie oblasti 4. Nájdeme kritické body funkcie vo vnútri oblasti D. Na tento účel zostavíme sústavu rovníc, takže dostaneme x = y « 0 bod 0 (0,0) je kritický bod funkcie x. Pretože Teraz nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici Г oblasti D. Na časti hranice máme, že y = 0 je kritický bod a keďže = potom v tomto bode funkcia z = 1 + y2 má minimum rovné jednej. Na koncoch úsečky Г", v bodoch (, máme. Pomocou úvah o symetrii získame rovnaké výsledky pre ostatné časti hranice. Nakoniec dostaneme: najmenšiu hodnotu funkcie z = x2+y2 v oblasti "B sa rovná nule a dosiahne sa vo vnútornom bode 0( 0, 0) oblasti a maximálna hodnota tejto funkcie, rovná dvom, sa dosiahne v štyroch bodoch hranice (obr. 25) Obr. Cvičenia Nájdite definičný obor funkcií: Zostrojte úrovňové čiary funkcií: 9 Nájdite povrchy úrovní funkcií troch nezávislých premenných: Vypočítajte limitné funkcie: Nájdite parciálne derivácie funkcií a ich totálne diferenciály: Nájdite derivácie komplexu funkcie: 3 Nájsť J. Extrém funkcie viacerých premenných Koncept extrému funkcie viacerých premenných Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií 34. Použitie vzorca na deriváciu komplexná funkcia dvoch premenných, nájdite a funkcie: 35. Pomocou vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie dvoch premenných nájdite |J a funkcie: Nájdite jj funkcie dané implicitne: 40. Nájdite sklon krivky dotyčnice v bode. bod jej priesečníka s priamkou x = 3. 41. Nájdite body, v ktorých je dotyčnica krivky x rovnobežná s osou Ox. . V nasledujúcich úlohách nájdite a T: Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály plochy: 49. Napíšte rovnice dotykových rovín plochy x2 + 2y2 + 3z2 = 21, rovnobežných s rovinou x + 4y. + 6z = 0. Nájdite prvé tri alebo štyri členy expanzie pomocou Taylorovho vzorca : 50. y v blízkosti bodu (0, 0).