Rozdeľte kríž na tvary po 5 buniek. Problémy s rezaním.docx - problémy s rezaním

1. Štvorec obsahuje 16 buniek. Rozdeľte štvorec na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu išla po stranách buniek. (Metódy rozrezania štvorca na dve časti sa budú považovať za rozdielne, ak časti štvorca získané jedným spôsobom rozrezania nebudú rovnaké ako časti získané iným spôsobom.) Koľko celkových riešení má úloha?
2. Obdĺžnik 3x4 obsahuje 12 buniek. Nájdite päť spôsobov, ako rozrezať obdĺžnik na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách buniek (spôsoby rezania sa považujú za odlišné, ak časti získané jednou metódou rezania nie sú rovnaké ako časti získané inou metódou).
3. Obdĺžnik 3X5 obsahuje 15 buniek a centrálna bunka bola odstránená. Nájdite päť spôsobov, ako rozrezať zostávajúcu figúrku na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu išla po stranách buniek.
4. Štvorec 6x6 je rozdelený na 36 rovnakých štvorcov. Nájdite päť spôsobov, ako rozrezať štvorec na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu išla po stranách štvorcov. Poznámka: Problém má viac ako 200 riešení.
5. Rozdeľte štvorec 4x4 na štyri rovnaké časti, pričom čiara rezu vedie po stranách štvorcov. Koľko rôznych metód rezania nájdete?
6. Rozdeľte figúrku (obr. 5) na tri rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách štvorcov.

7. Rozdeľte figúrku (obr. 6) na štyri rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách štvorcov.

8. Rozdeľte figúrku (obr. 7) na štyri rovnaké časti tak, aby línie rezu išli po stranách štvorcov. Nájdite čo najviac riešení.

9. Štvorec 5x5 s vystrihnutým stredovým štvorcom rozdeľte na štyri rovnaké časti.

10. Obrázky zobrazené na Obr. 8 rozrežte na dve rovnaké časti pozdĺž čiar mriežky a každá časť by mala mať kruh.

11. Čísla zobrazené na obr. 9 musia byť rozrezané pozdĺž čiar mriežky na štyri rovnaké časti tak, aby každá časť mala kruh. Ako to spraviť?

12. Obrázok znázornený na obr. 10 rozrežte pozdĺž čiar mriežky na štyri rovnaké časti a zložte ich do štvorca tak, aby kruhy a hviezdy boli umiestnené symetricky vzhľadom na všetky osi symetrie štvorca.

13. Tento štvorec (obr. 11) narežte po stranách buniek tak, aby všetky časti mali rovnakú veľkosť a tvar a aby každá obsahovala jeden kruh a hviezdičku.

14. Rozstrihnite 6x6 kockovaný papierový štvorec zobrazený na obrázku 12 na štyri rovnaké kusy tak, aby každý kus obsahoval tri tieňované štvorce.

10. Štvorcový list kockovaného papiera je rozdelený na menšie štvorce segmentmi prebiehajúcimi po stranách štvorcov. Dokážte, že súčet dĺžok týchto segmentov je deliteľný 4. (Dĺžka strany bunky je 1).

Riešenie: Nech Q je štvorcový list papiera, L(Q) súčet dĺžok tých strán buniek, ktoré v ňom ležia. Potom sa L(Q) vydelí 4, pretože všetky uvažované strany sú rozdelené na štyri strany, získané od seba rotáciami o 90 0 a 180 0 vzhľadom na stred štvorca.

Ak je štvorec Q rozdelený na štvorce Q 1, ..., Q n, potom sa súčet dĺžok deliacich segmentov rovná

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Je jasné, že toto číslo je deliteľné 4, keďže čísla L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) sú deliteľné 4.

4. Invarianty

11. Daná šachovnica. Je povolené premaľovať všetky bunky akejkoľvek horizontálnej alebo vertikálnej čiary do inej farby naraz. Môže to viesť k doske s presne jedným čiernym štvorcom?

Riešenie: Keď prefarbíte vodorovnú alebo zvislú čiaru obsahujúcu k čiernych a 8 k bielych buniek, získate 8 k čiernych a k bielych buniek. Preto sa počet čiernych buniek zmení na (8-k)-k=8-2k, t.j. na párne číslo. Keďže je zachovaná parita počtu čiernych buniek, z pôvodných 32 čiernych buniek nemôžeme získať jednu čiernu bunku.

12. Daná šachovnica. Je dovolené naraz prefarbiť na inú farbu všetky bunky nachádzajúce sa vo vnútri štvorca s veľkosťou 2 x 2. Môže tak na hracej ploche zostať práve jedna čierna bunka?

Riešenie: Ak prefarbíte štvorec s rozmermi 2 x 2, ktorý obsahuje k čiernych a 4 k bielych buniek, získate 4 k čiernych ak bielych buniek. Preto sa počet čiernych buniek zmení na (4-k)-k=4-2k, t.j. na párne číslo. Keďže je zachovaná parita počtu čiernych buniek, z pôvodných 32 čiernych buniek nemôžeme získať jednu čiernu bunku.

13. Dokážte, že konvexný mnohouholník nemožno rozrezať na konečný počet nekonvexných štvoruholníkov.

Riešenie: Predpokladajme, že konvexný mnohouholník M je rozrezaný na nekonvexné štvoruholníky M 1,..., M n. Každému polygónu N priradíme číslo f(N), ktoré sa rovná rozdielu medzi súčtom jeho vnútorných uhlov menším ako 180 a súčtom uhlov, ktoré dopĺňajú do 360 jeho uhly väčšími ako 180. Porovnajme čísla A = f(M) a B = f(M1)+...+ f(Mn). Za týmto účelom zvážte všetky body, ktoré sú vrcholmi štvoruholníkov M 1 ..., M n. Možno ich rozdeliť do štyroch typov.

1. Vrcholy mnohouholníka M. Tieto body majú rovnaký príspevok k A a B.

2. Body na stranách mnohouholníka M alebo M 1. Príspevok každého takéhoto bodu k B na

O 180 viac ako v A.

3. Vnútorné body mnohouholníka, v ktorých sa stretávajú rohy štvoruholníka,

menej ako 180. Príspevok každého takéhoto bodu k B je o 360 vyšší ako k A.

4. Vnútorné body mnohouholníka M, v ktorých sa stretávajú uhly štvoruholníkov a jeden z nich je väčší ako 180. Takéto body dávajú k A a B nulový príspevok.

V dôsledku toho dostaneme A<В. С другой стороны, А>0 a B = 0. Nerovnosť A >0 je zrejmá a na dôkaz rovnosti B=0 stačí overiť, že ak N-nekonvexný štvoruholník, potom f(N)=0. Nech sa uhly N rovnajú a>b>c>d. Akýkoľvek nekonvexný štvoruholník má presne jeden uhol väčší ako 180, takže f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Získa sa rozpor, preto konvexný mnohouholník nemôže byť rozrezaný na konečný počet nekonvexných štvoruholníkov.

14. V strede každého políčka na šachovnici je figúrka. Čipy boli preusporiadané tak, aby sa párové vzdialenosti medzi nimi nezmenšovali. Dokážte, že v skutočnosti sa párové vzdialenosti nezmenili.

Riešenie: Ak by sa zväčšila aspoň jedna zo vzdialeností medzi žetónmi, potom by sa zvýšil súčet všetkých párových vzdialeností medzi žetónmi, ale súčet všetkých párových vzdialeností medzi žetónmi sa pri žiadnej permutácii nemení.

15. Štvorcové pole je rozdelené na 100 rovnakých štvorcových častí, z ktorých 9 je zarastených burinou. Je známe, že za rok sa burina rozšírila len do tých oblastí, v ktorých sú už aspoň dve susedné (t. j. so spoločnou stranou) plochy zarastené burinou. Dokážte, že pole nikdy úplne nezarastie burinou.

Riešenie: Dá sa ľahko skontrolovať, či sa dĺžka hranice celej plochy (alebo viacerých plôch) zarastených burinou nezväčší. V počiatočnom momente nepresahuje 4*9=36, takže v konečnom momente sa nemôže rovnať 40.

V dôsledku toho nebude pole nikdy úplne zarastené burinou.

16. Daný konvexný 2m-uholník A 1 ...A 2 m. V jeho vnútri sa vezme bod P, ktorý neleží na žiadnej z uhlopriečok. Dokážte, že bod P patrí párnemu počtu trojuholníkov s vrcholmi v bodoch A 1,..., A 2 m.

Riešenie: Uhlopriečky rozdeľujú mnohouholník na niekoľko častí. Zavoláme susedný tie, ktoré majú spoločnú stránku. Je jasné, že z akéhokoľvek vnútorného bodu polygónu sa dá dostať na ktorýkoľvek iný, zakaždým sa presuniete len zo susednej časti do susednej. Za jednu z týchto častí možno považovať aj časť roviny ležiacu mimo mnohouholníka. Počet uvažovaných trojuholníkov pre body tejto časti je nula, takže stačí dokázať, že pri prechode zo susednej časti do susednej je zachovaná parita počtu trojuholníkov.

Nech spoločná strana dvoch susedných častí leží na uhlopriečke (alebo strane) PQ. Potom ku všetkým uvažovaným trojuholníkom, okrem trojuholníkov so stranou PQ, obe tieto časti buď patria alebo nepatria súčasne. Preto pri prechode z jednej časti do druhej sa počet trojuholníkov zmení o k 1 -k 2, kde k 1 je počet vrcholov mnohouholníka ležiaceho na jednej strane PQ. Keďže k 1 + k 2 = 2 m-2, potom je počet k 1 -k 2 párny.

4. Pomocné omaľovánky v šachovnicovom vzore

17. V každej bunke dosky 5 x 5 je chrobák. V určitom okamihu sa všetky chrobáky plazia na susedné (horizontálne alebo vertikálne) bunky. Zostane po tom nevyhnutne prázdna bunka?

Riešenie: Keďže celkový počet buniek na šachovnici 5 x 5 buniek je nepárny, nemôže byť rovnaký počet čiernych a bielych buniek. Čiernych buniek nech je pre istotu viac. Potom na bielych krvinkách sedí menej chrobákov ako na čiernych. Preto aspoň jedna z čiernych buniek zostáva prázdna, pretože na čierne bunky sa plazia iba chrobáky sediace na bielych bunkách.

19. Dokážte, že dosku s rozmermi 10 x 10 štvorcov nemožno rozrezať na figúrky v tvare T pozostávajúce zo štyroch štvorcov.

Riešenie: Predpokladajme, že doska 10 x 10 buniek je rozdelená na nasledujúce obrázky. Každá figúrka obsahuje buď 1 alebo 3 čierne bunky, t.j. vždy nepárne číslo. Samotné figúrky by mali byť 100/4 = 25 kusov. Preto obsahujú nepárny počet čiernych buniek a celkovo je 100/2 = 50 čiernych buniek. Došlo k rozporu.

5. Problémy o maľovankách

20. Lietadlo je maľované v dvoch farbách. Dokážte, že existujú dva body rovnakej farby, vzdialenosť medzi nimi je presne 1.

Riešenie: Predstavte si pravidelný trojuholník so stranou 1.

Prepis

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Moskva, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problémy s rezaním. M.: MTsNMO, s.: chor. Séria: „Tajomstvá vyučovania matematiky“. Táto kniha je prvou knihou zo série „Tajomstvá vyučovania matematiky“, ktorej cieľom je predstaviť a zhrnúť nahromadené skúsenosti v oblasti matematického vzdelávania. Táto zbierka predstavuje jednu z častí kurzu „Vývojová logika v 5. – 7. ročníku“. Pre všetky problémy uvedené v knihe sú uvedené riešenia alebo pokyny. Kniha sa odporúča pre mimoškolskú prácu z matematiky. LBC ISBN c Kukin G. P., Ekimová M. A., c MCNMO, 2002.

3 Úvod V súčasnosti sa reviduje a upresňuje tradičný pohľad na skladbu predmetov, ktoré školák študuje. Do školských osnov sa zavádzajú rôzne nové predmety. Jedným z týchto predmetov je logika. Štúdium logiky prispieva k pochopeniu krásy a pôvabu uvažovania, schopnosti uvažovania, tvorivému rozvoju osobnosti a estetickej výchove človeka. Každý kultivovaný človek by mal poznať logické úlohy, hlavolamy a hry, ktoré sú známe už niekoľko storočí či dokonca tisícročí v mnohých krajinách sveta. Rozvoj inteligencie, vynaliezavosti a samostatného myslenia je nevyhnutný pre každého človeka, ak chce uspieť a dosiahnuť harmóniu v živote. Naše skúsenosti ukazujú, že systematické štúdium formálnej logiky alebo fragmentov matematickej logiky by sa malo odložiť až do vyšších ročníkov strednej školy. Zároveň je potrebné čo najskôr rozvíjať logické myslenie. V skutočnosti sa pri štúdiu akademických predmetov v škole zdôvodňovanie a dokazovanie objavuje až v 7. ročníku (keď začína kurz systematickej geometrie). Pre mnohých študentov je náhly prechod (žiadne uvažovanie sa nestalo veľa uvažovaním) neznesiteľne ťažký. V kurze vývojovej logiky pre ročníky 5-7 je celkom možné naučiť školákov uvažovať, dokazovať a nachádzať vzory. Napríklad pri riešení matematických hádaniek musíte nielen uhádnuť (vybrať) niekoľko odpovedí, ale aj dokázať, že ste získali kompletný zoznam možných odpovedí. Pre piataka je to celkom realizovateľné. V procese vyučovania logiky v 5. až 7. ročníku stredných škôl však učitelia čelia určitým ťažkostiam: nedostatku učebníc, učebných materiálov, príručiek a vizuálnych materiálov. Toto všetko musí zostaviť, napísať a nakresliť sám učiteľ. Jedným z cieľov tejto zbierky je uľahčiť učiteľom prípravu a vedenie vyučovania. Pred prácou so zbierkou poskytneme niekoľko odporúčaní na vedenie lekcií.

4 4 Úvod Logiku je vhodné začať učiť školákov v piatom ročníku, možno aj skôr. Výučba logiky by mala prebiehať v uvoľnenom, takmer improvizačnom štýle. Táto zdanlivá ľahkosť v skutočnosti vyžaduje veľa serióznej prípravy od učiteľa. Je neprijateľné napríklad čítať zaujímavý a zábavný problém z hrubého ručne písaného zošita, ako to niekedy robia učitelia. Odporúčame viesť kurzy v neštandardnej forme. Na hodinách je potrebné použiť čo najviac vizuálneho materiálu: rôzne karty, obrázky, sady obrázkov, ilustrácie na riešenie problémov, schémy. S mladšími ročníkmi by ste sa nemali dlho učiť jednu tému. Pri analýze témy by ste sa mali pokúsiť zdôrazniť hlavné logické míľniky a dosiahnuť pochopenie (a nie zapamätanie) týchto bodov. K prekrytému materiálu je potrebné sa neustále vracať. Dá sa to robiť v samostatnej práci, tímových súťažiach (počas vyučovania), testoch na konci štvrťroka, ústnych a písomných olympiádach, matboyoch (mimo vyučovania). Na hodinách je potrebné využívať aj zábavné a vtipné úlohy, niekedy je užitočné zmeniť smer činnosti. Táto zbierka je jednou z častí kurzu „Vývojová logika v ročníkoch 5-7“ „Problémy s rezaním“. Táto časť bola testovaná na hodinách logiky v 5. – 7. ročníku na lýceu 74 v Omsku. Mnoho vedcov sa už od staroveku zaujímalo o problémy s rezaním. Riešenia mnohých jednoduchých problémov s rezaním našli už starí Gréci a Číňania, ale prvé systematické pojednanie na túto tému patrí peru Abul-Vefa, slávneho perzského astronóma z 10. storočia, ktorý žil v Bagdade. Geometri začali vážne riešiť problémy rozrezania figúrok na najmenší počet častí a potom z nich skladať tú či onú novú figúrku až na začiatku 20. storočia. Jedným zo zakladateľov tohto fascinujúceho odvetvia geometrie bol slávny výrobca hlavolamov Henry

5 Úvod 5 E. Dudeney. Obzvlášť veľký počet už existujúcich rekordov v rezaní figúr prekonal odborník z Austrálskeho patentového úradu Harry Lindgren. Je popredným odborníkom v oblasti výseku tvarov. V súčasnosti milovníci hlavolamov radi riešia strihové problémy predovšetkým preto, že neexistuje univerzálna metóda na riešenie takýchto problémov a každý, kto sa ich pustí do riešenia, môže naplno prejaviť svoju vynaliezavosť, intuíciu a schopnosť kreatívneho myslenia. Keďže si to nevyžaduje hlboké znalosti geometrie, amatéri niekedy dokážu prekonať aj profesionálnych matematikov. Problémy so strihaním však nie sú márnomyseľné ani zbytočné, nemajú až tak ďaleko od vážnych matematických problémov. Z problémov rezania vzišla teoréma Bolyaia Gerwina, že akékoľvek dva rovnako veľké mnohouholníky sú ekvivalentné (opak je zrejmý), a potom Hilbertov tretí problém: platí podobné tvrdenie pre mnohosteny? Strihacie úlohy pomáhajú školákom vytvárať geometrické koncepty čo najskôr pomocou rôznych materiálov. Pri riešení takýchto problémov vzniká pocit krásy, zákona a poriadku v prírode. Zbierka „Problémy s rezaním“ je rozdelená do dvoch častí. Pri riešení úloh z prvej časti nebudú študenti potrebovať znalosti základov planimetrie, ale budú potrebovať vynaliezavosť, geometrickú predstavivosť a celkom jednoduché geometrické informácie, ktoré sú známe každému. Druhou časťou sú nepovinné úlohy. Patrili sem úlohy, ktoré si vyžadujú znalosť základných geometrických informácií o obrazcoch, ich vlastnostiach a charakteristikách a znalosť niektorých viet. Každá časť je rozdelená na odseky, do ktorých sme sa snažili spojiť úlohy na jednu tému a tie sú zase rozdelené do lekcií, z ktorých každá obsahuje homogénne úlohy v poradí podľa narastajúcej náročnosti. Prvá časť obsahuje osem odsekov. 1. Problémy na kockovanom papieri. Táto časť obsahuje problémy, pri ktorých dochádza k vyrezávaniu tvarov (väčšinou štvorcov a obdĺžnikov) po stranách buniek. Paragraf obsahuje 4 vyučovacie hodiny, odporúčame ich na štúdium žiakom 5. ročníka.

6 6 Úvod 2. Pentamino. Tento odsek obsahuje problémy súvisiace s figúrkami pentomino, preto je vhodné, aby ste deťom na tieto hodiny rozdali sady týchto figúrok. Sú tu dve vyučovacie hodiny, odporúčame ich na štúdium žiakom 5.-6. 3. Náročné úlohy pri rezaní. Tu sú zhromaždené úlohy na rezanie tvarov zložitejších tvarov, napríklad s ohraničením, ktoré sú oblúky, a zložitejšie úlohy rezania. V tomto odseku sú dve lekcie, odporúčame ich vyučovať v 7. ročníku. 4. Rozdelenie roviny. Tu sú zhromaždené problémy, v ktorých musíte nájsť súvislé rozdelenie obdĺžnikov na obdĺžnikové dlaždice, problémy so skladaním parkiet, problémy s najhustejším usporiadaním postáv v obdĺžniku alebo štvorci. Odporúčame študovať tento odsek v 6-7 ročníkoch. 5. Tangram. Tu sú zhromaždené problémy súvisiace so starodávnou čínskou hádankou "Tangram". Na vykonanie tejto lekcie je vhodné mať túto hádanku aspoň z kartónu. Tento odsek odporúčame na štúdium v ​​5. ročníku. 6. Problémy týkajúce sa rezania v priestore. Študenti sa tu zoznámia s vývojom kocky a trojuholníkového ihlana, nakreslia rovnobežky a ukážu rozdiely medzi obrazcami na rovine a objemovými telesami, a tým aj rozdiely v riešení úloh. Paragraf obsahuje jednu lekciu, ktorú odporúčame preštudovať žiakom 6. ročníka. 7. Vyfarbovacie úlohy. To ukazuje, ako sfarbenie obrázku pomáha vyriešiť problém. Nie je ťažké dokázať, že riešenie problému rozrezania figúry na kúsky je možné, stačí poskytnúť nejaký spôsob rezania. Je však ťažšie dokázať, že rezanie je nemožné. K tomu nám pomáha vyfarbenie postavy. V tomto odseku sú tri lekcie. Odporúčame ich na štúdium žiakom 7. ročníka. 8. Problémy s vyfarbením v stave. Tu sú zhromaždené úlohy, v ktorých musíte určitým spôsobom vyfarbiť postavu, odpovedať na otázku: koľko farieb bude potrebných na takéto vyfarbenie (najmenšie alebo najväčšie číslo) atď. V odseku je sedem lekcií. Odporúčame ich na štúdium žiakom 7. ročníka. Druhá časť obsahuje úlohy, ktoré je možné riešiť v ďalších triedach. Obsahuje tri odseky.

7 Úvod 7 9. Transformácia obrazcov. Obsahuje problémy, v ktorých je jedna figúrka rozrezaná na časti, z ktorých je vyrobená ďalšia figúrka. V tomto odseku sú tri lekcie, prvá skúma „transformáciu“ rôznych postáv (tu sú zhromaždené celkom jednoduché úlohy) a druhá lekcia skúma geometriu transformácie štvorca. 10. Rôzne úlohy rezania. To zahŕňa rôzne úlohy rezania, ktoré sa riešia rôznymi metódami. V tomto odseku sú tri lekcie. 11. Oblasť čísel. V tomto odseku sú dve lekcie. Prvá lekcia skúma problémy, v ktorých je potrebné rozrezať figúrky na kúsky a potom dokázať, že figúry sú rovnako zložené, v druhej lekcii úlohy, v ktorých je potrebné využiť vlastnosti plôch figúrok.

8 Časť 1 1. Problémy na kockovanom papieri Lekcia 1.1 Téma: Problémy s rezaním na kockovanom papieri. Cieľ: Rozvinúť kombinatorické zručnosti (zvážiť rôzne spôsoby konštrukcie reznej línie pre figúrky, pravidlá, ktoré vám umožňujú nestratiť riešenia pri zostavovaní tejto línie), rozvíjať myšlienky o symetrii. Na hodine riešime úlohy, za domácu úlohu 1.5. Štvorec obsahuje 16 buniek. Rozdeľte štvorec na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu išla po stranách buniek. (Metódy rozrezania štvorca na dve časti sa budú považovať za rozdielne, ak časti štvorca získané jedným spôsobom rozrezania nebudú rovnaké ako časti získané iným spôsobom.) Koľko celkových riešení má úloha? Poznámka. Nájsť viacero riešení tohto problému nie je také ťažké. Na obr. 1 sú znázornené niektoré z nich a riešenia b) a c) sú rovnaké, pretože čísla získané v nich možno kombinovať prekrytím (ak otočíte štvorec c) o 90 stupňov). Ryža. 1 Ale nájsť všetky riešenia a nestratiť ani jedno riešenie je už ťažšie. Všimnite si, že prerušovaná čiara rozdeľujúca štvorec na dve rovnaké časti je symetrická vzhľadom na stred štvorca. Toto pozorovanie umožňuje krok

9 Lekciu za krokom nakresliť lomenú čiaru na oboch koncoch. Napríklad, ak je začiatok prerušovanej čiary v bode A, jej koniec bude v bode B (obr. 2). Uistite sa, že pre tento problém možno začiatok a koniec lomenej čiary nakresliť dvoma spôsobmi, ako je znázornené na obr. 2. Pri konštrukcii polyline, aby ste nestratili žiadne riešenie, môžete dodržiavať toto pravidlo. Ak je možné nasledujúci odkaz prerušovanej čiary nakresliť dvoma spôsobmi, musíte najskôr pripraviť druhý podobný výkres a tento krok vykonať na jednom výkrese prvým spôsobom a na druhom druhom spôsobom (obr. 3 dve pokračovania obr. 2 (a)). To isté musíte urobiť, keď nie sú dve, ale tri metódy (obr. 4 ukazuje tri pokračovania obr. 2 (b)). Uvedený postup pomáha nájsť všetky riešenia. Ryža. 2 Obr. 3 Obr Obdĺžnik 3 4 obsahuje 12 buniek. Nájdite päť spôsobov, ako rozrezať obdĺžnik na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách buniek (spôsoby rezania sa považujú za odlišné, ak časti získané jedným spôsobom rezania nie sú rovnaké ako časti získané iným spôsobom) A 3 Obdĺžnik 5 obsahuje 15 buniek a stredná bunka bola odstránená. Nájdite päť spôsobov, ako odrezať zostávajúcu postavu

10 10 1. Úlohy na kockovanom papieri rozrežte na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách buniek Štvorec 6 6 je rozdelený na 36 rovnakých štvorcov. Nájdite päť spôsobov, ako rozrezať štvorec na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu smerovala po stranách štvorcov Úloha 1.4 má viac ako 200 riešení. Nájdite ich aspoň 15. Lekcia 1.2 Téma: Problémy s rezaním na kockovanom papieri. Cieľ: Pokračovať v rozvíjaní myšlienok o symetrii, príprava na tému „Pentamino“ (preskúmanie rôznych figúrok, ktoré možno zostaviť z piatich buniek). Problémy: Je možné rozrezať štvorec s 5 5 bunkami na dve rovnaké časti tak, aby čiara rezu prebiehala po stranách buniek? Zdôvodnite svoju odpoveď Rozdeľte štvorec 4 4 na štyri rovnaké časti tak, aby čiara rezu prebiehala po stranách buniek. Koľko rôznych metód rezania nájdete? 1.8. Rozdeľte figúrku (obr. 5) na tri rovnaké časti tak, aby čiara rezu prechádzala po stranách štvorcov. Ryža. 5 Obr. 6 Obr Postavu (obr. 6) rozdeľte na štyri rovnaké časti tak, aby čiara rezu išla po stranách štvorcov Rozdeľte postavu (obr. 7) na štyri rovnaké časti tak, aby čiary rezu išli po stranách štvorcov. Nájdite čo najviac riešení.

Lekcia 11 Rozdeľte štvorec 5 5 buniek so stredovou bunkou vystrihnutou na štyri rovnaké časti. Lekcia 1.3 Téma: Problémy s rezaním na kockovanom papieri. Cieľ: Pokračovať v rozvíjaní predstáv o symetrii (axiálnej, centrálnej). Úlohy Vystrihnite tvary znázornené na obr. 8, na dve rovnaké časti pozdĺž čiar mriežky a každá časť by mala mať kruh. Ryža. 8 Obr Obrázky znázornené na Obr. 9, musíte rozrezať pozdĺž čiar mriežky na štyri rovnaké časti tak, aby v každej časti bol kruh. Ako to spraviť? Vystrihnite obrázok znázornený na obr. 10, pozdĺž čiar mriežky na štyri rovnaké časti a zložte ich do štvorca tak, aby kruhy a hviezdy boli umiestnené symetricky voči všetkým osám symetrie štvorca. Ryža. 10

12 12 1. Úlohy na kockovanom papieri Tento štvorec (obr. 11) vystrihnite po stranách buniek tak, aby všetky časti mali rovnakú veľkosť a tvar a aby každá obsahovala jeden kruh a hviezdičku Vystrihnite štvorec 6 6 z kockovaného papier znázornený na obr. 12 na štyri rovnaké časti tak, že každá z nich obsahuje tri vytieňované bunky. Lekcia 1.4 Obr. 11 Obr. 12 Téma: Problémy s rezaním na kockovanom papieri. Cieľ: Naučte sa rozrezať obdĺžnik na dve rovnaké časti, z ktorých môžete poskladať štvorec a ďalší obdĺžnik. Naučte sa určiť, z ktorých obdĺžnikov možno urobiť štvorec rozrezaním. Úlohy Doplňujúce úlohy 1.23, 1.24 (tieto úlohy je možné zvážiť na začiatku hodiny na rozcvičku) Obdĺžnik 4 9 buniek po stranách buniek rozstrihnite na dve rovnaké časti tak, aby sa dali potom zložiť do štvorca. Je možné rozrezať obdĺžnik so 4 8 bunkami na dve časti po stranách buniek tak, aby sa dali použiť na vytvorenie štvorca? Z obdĺžnika 107 buniek bol vyrezaný obdĺžnik s 16 bunkami, ako je znázornené na obr. 13. Výsledný obrazec rozrežte na dve časti tak, aby sa dali zložiť do štvorca Z obdĺžnika s 8 9 bunkami boli vystrihnuté tieňované obrazce, ako je znázornené na obr. 14. Výsledný obrazec rozrežte na dve rovnaké časti, aby ste ich mohli zložiť do obdĺžnika 6 10.

13 Lekcia Obr. 13 Obr Na károvanom papieri je nakreslený štvorec s rozmermi 5 5 buniek. Ukážte, ako ho rozrežete po stranách štvorcov na 7 rôznych obdĺžnikov. Štvorec rozrežte na 5 obdĺžnikov po stranách štvorcov tak, aby všetkých desať čísel vyjadrujúcich dĺžky strán obdĺžnikov boli rôzne celé čísla Rozdeľte zobrazené čísla na obr. 15 na dve rovnaké časti. (Môžete rezať nielen pozdĺž bunkových línií, ale aj pozdĺž ich uhlopriečok.) Obr. 15

14 14 2. Pentomino Vystrihnite tvary znázornené na obr. 16, na štyri rovnaké časti. 2. Pentamino Obr. 16 Lekcia 2.1 Téma: Pentamino. Cieľ: Rozvoj kombinačných schopností žiakov. Úlohy Figúrky domino, trimino, tetromino (hra s takýmito figúrkami sa nazýva Tetris), pentomino sa skladá z dvoch, troch, štyroch, piatich políčok tak, že každé políčko má spoločnú stranu aspoň s jedným štvorcom. Z dvoch rovnakých štvorcov vytvoríte iba jednu dominovú figúrku (pozri obr. 17). Trimino figúrky možno získať z jednej figúrky domina pridaním ďalšieho štvorca k nej rôznymi spôsobmi. Získate dve trimino figúrky (obr. 18). Ryža. 17 Obr Vytvorte všetky druhy tetromino figúrok (z gréckeho slova „tetra“ štyri). Koľko z nich ste dostali? (Tvary získané rotáciou alebo symetrickým zobrazením od akýchkoľvek iných sa nepovažujú za nové).

Lekcia 15 Vytvorte všetky možné figúrky pentomino (z gréckeho „penta“ päť). Koľko z nich ste dostali? 2.3. Urobte obrázky znázornené na obr. 19, z figúrok pentomino. Koľko riešení má úloha pre každý obrázok? Obr Zložte obdĺžnik 3 5 pomocou figúrok pentomino. Koľko rôznych riešení dokážete vymyslieť? 2.5. Urobte obrázky znázornené na obr. 20, z figúrok pentomino. Ryža. 20

16 16 2. Pentamino Lekcia 2.2 Téma: Pentamino. Cieľ: Rozvoj predstáv o symetrii. Problémy V úlohe 2.2 sme poskladali všetky možné figúrky pentomina. Pozrite si ich na obr. 21. Obr. 21 Obrázok 1 má nasledujúcu vlastnosť. Ak ho vystrihnete z papiera a ohnete pozdĺž priamky a (obr. 22), potom sa jedna časť postavy zhoduje s druhou. Hovorí sa, že postava je symetrická okolo priamej osi symetrie. Obrázok 12 má tiež os symetrie, dokonca dve sú priamky b a c, ale obrázok 2 nemá žiadne osi symetrie. Obr Koľko osí symetrie má každá figúrka pentomina? 2.7. Zo všetkých 12 figúrok pentomino poskladajte obdĺžnik. Asymetrické figúrky je možné otočiť. Dvanásť figúrok pentomino poskladajte do obdĺžnika 6 10 tak, aby sa každý prvok dotýkal niektorou stranou tohto obdĺžnika.

Lekcia 17 Vystrihnite obdĺžnik znázornený na obr. 23 (a), pozdĺž vnútorných línií na dve také časti, z ktorých možno poskladať obrazec s tromi štvorcovými otvormi s veľkosťou jednej bunky (obr. 23 (b)). Obr Z figúrok pentomina poskladajte štvorec 8 8 so štvorcom 2 2 v strede nájdite niekoľko riešení Dvanásť pentomín je umiestnených do obdĺžnika Obnovte hranice figúrok (obr. 24), ak každá hviezda padne presne do jedného pentomina. Ryža. 24 Obr Dvanásť figúrok pentomino je umiestnených v krabici 12 10, ako je znázornené na obr. 25. Skúste umiestniť ďalšiu sadu pentomín na zostávajúce voľné pole.

18 18 3. Ťažké problémy pri rezaní 3. Ťažké problémy pri rezaní Lekcia 3.1 Téma: Problémy pri rezaní figúrok zložitejších tvarov s hranicami, ktoré sú oblúky. Cieľ: Naučte sa vyrezávať tvary zložitejších tvarov s okrajmi, ktoré sú oblúkmi, a z výsledných častí vytvorte štvorec. Úlohy na obr. 26 znázorňuje 4 obrázky. Jedným rezom rozdeľte každú z nich na dve časti a vytvorte z nich štvorec. Kockovaný papier vám uľahčí riešenie problému. Obr Štvorec 6 6 narežte na kúsky a spojte ich do tvarov znázornených na obr. 27. Obr. 27

Lekcia 19 Na obr. 28 znázorňuje časť hradby pevnosti. Jeden z kameňov má taký bizarný tvar, že ak ho vytiahnete zo steny a položíte iným spôsobom, stena sa vyrovná. Nakreslite tento kameň Na čo sa použije viac farby: na štvorec alebo na tento nezvyčajný prsteň (obr. 29)? Ryža. 28 Obr Vyrežte vázu znázornenú na Obr. 30, na tri časti, z ktorých sa dá poskladať kosoštvorec. Ryža. 30 Obr. 31 Obr. 32 Lekcia 3.2 Téma: Zložitejšie úlohy rezania. Cieľ: Precvičiť si riešenie zložitejších problémov rezania. Na hodine riešime úlohy, úloha 3.12 na doma Rozstrihnite figúrku (obr. 31) dvoma rovnými rezmi na kúsky, z ktorých môžete poskladať štvorec Vystrihnite figúrku znázornenú na obr. 32 obrázok na štyri rovnaké časti, z ktorých by sa dal poskladať štvorec.. Vystrihnite písmeno E znázornené na obr. 33, na päť častí a zložte ich do štvorca. Neprevracajte diely dozadu

20 20 4. Rozdelenie roviny je povolené. Dá sa vystačiť so štyrmi dielmi, ak dovolíte diely prevrátiť? 3.9. Kríž tvorený piatimi políčkami je potrebné rozrezať na kúsky, z ktorých by sa dalo vytvoriť jedno políčko rovnakej veľkosti ako kríž (teda rovnakej plochy). a ďalší s 36 štvorcami. Každú z nich je potrebné rozrezať na dve časti tak, aby zo všetkých vzniknutých štyroch častí vznikla nová šachovnica buniek. Stolár má kus šachovnice zo 7 7 buniek vyrobený zo vzácneho mahagónu. Chce, bez straty materiálu a vykonávania Obr. 33 rezov len pozdĺž okrajov štvorcov, rozrezať dosku na 6 častí tak, aby z nich vznikli tri nové štvorce, všetky rôznej veľkosti. Ako to spraviť? Je možné vyriešiť úlohu 3.11, ak je počet dielov 5 a celková dĺžka rezov je 17? 4. Rozdelenie roviny Lekcia 4.1 Téma: Plné priečky obdĺžnikov. Cieľ: Naučte sa zostavovať súvislé delenia obdĺžnikov s obdĺžnikovými dlaždicami. Odpovedzte na otázku, za akých podmienok umožňuje obdĺžnik takéto rozdelenie roviny. Úlohy (a) sa riešia na hodine. Úlohy 4.5 (b), 4.6, 4.7 môžete nechať doma. Predpokladajme, že máme neobmedzenú zásobu obdĺžnikových dlaždíc veľkosti 2 1 a chceme nimi položiť obdĺžnikovú podlahu a žiadne dve dlaždice by sa nemali prekrývať.Na podlahu v miestnosti s rozmermi 5 6 položte 2 1 dlaždice. že ak je podlaha v obdĺžnikovej miestnosti p q položená dlaždicami 2 1, potom je p q párne (keďže plocha je deliteľná 2). A naopak: ak je p q párne, potom môže byť podlaha položená 2 1 dlaždicami.

Lekcia 21 V tomto prípade musí byť jedno z čísel p alebo q párne. Ak je napríklad p = 2r, potom je možné podlahu rozložiť tak, ako je znázornené na obr. 34. Ale v takýchto parketách sú čiary zlomu, ktoré pretínajú celú „izbu“ od steny k stene, ale neprechádzajú cez dlaždice. Ale v praxi sa používajú parkety bez takýchto línií - masívne parkety. Obr Rozložte dlaždice 2 1 súvislá parketa miestnosti Pokúste sa nájsť súvislé rozdelenie na dlaždice 2 1 a) obdĺžnik 4 6; b) štvorcové Rozložiť dlažbu 2 1 masívne parkety a) izby 5 8; b) miestnosti 6 8. Prirodzene vyvstáva otázka: pre aké p a q pripúšťa obdĺžnik p q súvislú priečku na dlaždice 2 1? Potrebné podmienky už poznáme: 1) p q je deliteľné 2, 2) (p, q) (6, 6) a (p, q) (4, 6). Môžete tiež skontrolovať ešte jednu podmienku: 3) p 5, q 5. Ukazuje sa, že tieto tri podmienky sú tiež dostatočné. Dlaždice iných veľkostí Rozložte dlaždice 3 2 bez prestávok: a) obdĺžnik 11 18; b) obdĺžnik Ak je to možné, rozložte štvorec do dlaždíc bez prestávok Je možné zo štvorca kockovaného papiera s rozmermi 5 5 buniek vystrihnúť z neho 1 bunku, aby sa zvyšná časť dala rozrezať na platne 1 3 bunky? Lekcia 4.2 Téma: Parkety.

22 22 4. Rozdelenie roviny Cieľ: Naučte sa obkladať rovinu rôznymi figúrkami (a parkety môžu byť s deliacimi čiarami alebo plnými), alebo dokázať, že to nie je možné. Problémy Jednou z najdôležitejších otázok v teórii delenia roviny je: „Aký tvar by mala mať dlaždica, aby jej kópie pokryli rovinu bez medzier alebo dvojitých krytín? Okamžite vám napadne niekoľko zrejmých foriem. Dá sa dokázať, že existujú iba tri pravidelné polygóny, ktoré môžu pokryť rovinu. Ide o rovnostranný trojuholník, štvorec a šesťuholník (pozri obr. 35). Existuje nekonečné množstvo nepravidelných mnohouholníkov, ktoré je možné použiť na pokrytie roviny. Obr Rozdeľte ľubovoľný tupý trojuholník na štyri rovnaké a podobné trojuholníky. V úlohe 4.8 rozdelíme trojuholník na štyri rovnaké a podobné trojuholníky. Každý zo štyroch výsledných trojuholníkov je možné rozdeliť na štyri rovnaké a podobné trojuholníky atď. Ak sa pohybujete opačným smerom, to znamená, že pridajte štyri rovnaké tupé trojuholníky, aby ste dostali jeden trojuholník podobný im, ale štyrikrát väčší. v oblasti atď., Potom môže byť lietadlo obložené takýmito trojuholníkmi. Rovina môže byť pokrytá inými obrazcami, napríklad lichobežníkmi, rovnobežníkmi.. Zakryte rovinu rovnakými obrazcami ako na obr. 36.

23 Lekcia Obložte rovinu rovnakými „zátvorkami“ ako na obr. 37. Obr. 36 Obr Sú štyri štvorce so stranou 1, osem so stranou 2, dvanásť so stranou 3. Je možné ich poskladať do jedného veľkého štvorca? Je možné vyrobiť štvorec ľubovoľnej veľkosti z drevených dlaždíc znázornených na obr. 38 typov s použitím oboch typov dlaždíc? Lekcia 4.3 Téma: Problémy s najhustejším balením. Ryža. 38 Cieľ: Vytvoriť koncept optimálneho riešenia. Problémy Aký je najväčší počet prúžkov s rozmermi 1 5 buniek, ktoré možno vystrihnúť zo štvorca s 8 8 bunkami kockovaného papiera? Remeselník má plech o veľkosti m2. dm. Majster chce z nej vyrezať čo najviac obdĺžnikových polotovarov s rozmermi 3-5 metrov štvorcových. dm. Pomôžte mu.Je možné rozrezať obdĺžnik buniek bez zanechania zvyškov na obdĺžniky s rozmermi 5 7? Ak je to možné, ako? Ak nie, prečo nie? Na hárku kockovaného papiera s rozmermi buniek označte rezy, pomocou ktorých môžete získať čo najviac celých figúr, znázornených na obr. 39. Obrázky znázornené na obr. 39 (b, d), možno obrátiť.

24 24 5. Tangram Fig Tangram Lekcia 5.1 Téma: Tangram. Cieľ: Zoznámiť študentov s čínskou hádankou „Tangram“. Praktizujte geometrický výskum a dizajn. Rozvíjajte kombinačné schopnosti. Úlohy Keď už hovoríme o strihových úlohách, nemožno nespomenúť starodávnu čínsku skladačku „Tangram“, ktorá vznikla v Číne pred 4 000 rokmi. V Číne sa tomu hovorí chi tao tu alebo sedemdielna mentálna skladačka. Smernice. Na vykonanie tejto lekcie je vhodné mať podklady: puzzle (ktoré si môžu žiaci sami vyrobiť), nákresy figúrok, ktoré bude potrebné zložiť. Obr Vyrobte si puzzle sami: štvorec rozdelený na sedem častí (obr. 40) preneste na hrubý papier a rozstrihnite ho.Pomocou všetkých siedmich častí skladačky vytvorte figúrky znázornené na obr. 41.

25 Lekcia Obr. 41 Obr. 42 Metodické odporúčania. Deti môžu dostať kresby postáv a), b) v životnej veľkosti Preto môže študent vyriešiť problém prekrytím častí puzzle na výkres figúry a tým výberom potrebných častí, čo zjednodušuje úlohu. A kresby postáv

26 26 6. Úlohy pre rezanie v priestore c), d) možno uviesť v menšom rozsahu; preto sa tieto problémy budú ťažšie riešiť. Na obr. Ďalších 42 figúrok, ktoré si môžete sami poskladať, sa pokúste vymyslieť pomocou všetkých siedmich častí tangramu. V tangrame sú už medzi jeho siedmimi časťami trojuholníky rôznych veľkostí. Ale z jeho častí môžete stále pridať rôzne trojuholníky. Zložte trojuholník pomocou štyroch častí tangramu: a) jeden veľký trojuholník, dva malé trojuholníky a štvorec; b) jeden veľký trojuholník, dva malé trojuholníky a rovnobežník; c) jeden veľký trojuholník, jeden stredný trojuholník a dva malé trojuholníky Je možné vytvoriť trojuholník iba z dvoch častí tangramu? Tri časti? Päť častí? Šesť častí? Všetkých sedem častí tangramu? 5.6. Je zrejmé, že všetkých sedem častí tangramu tvorí štvorec. Je možné alebo nie urobiť štvorec z dvoch častí? Z troch? Zo štyroch? 5.7. Aké sú rôzne časti tangramu, ktoré možno použiť na vytvorenie obdĺžnika? Aké ďalšie konvexné polygóny je možné vytvoriť? 6. Problémy pri rezaní v priestore Lekcia 6.1 Téma: Problémy pri rezaní v priestore. Cieľ: Rozvíjať priestorovú predstavivosť. Naučte sa konštruovať vývoj trojuholníkovej pyramídy, kocky a určte, ktorý vývoj je nesprávny. Precvičte si riešenie úloh rezania telies v priestore (riešenie takýchto úloh sa líši od riešenia úloh rezania figúrok v rovine). Problémy Buratino mal na jednej strane papier pokrytý polyetylénom. Vyrobil polotovar znázornený na obr. 43 zlepiť z neho vrecúška na mlieko (trojuholníkové pyramídy). A líška Alice môže urobiť ďalšiu prípravu. Ktorý?

27 Lekcia Ryža Mačka Basilio tiež dostal takýto papier, ale chce lepiť kocky (kefírové vrecká). Vyrobil polotovary znázornené na obr. 44. A líška Alica hovorí, že niektoré sa dajú hneď vyhodiť, lebo nie sú dobré. má pravdu? Obr Cheopsova pyramída má vo svojej základni štvorec a jej bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Pinocchio vyliezol a zmeral uhol tváre v hornej časti (AMD, na obr. 45). Ukázalo sa, že je to 100. A líška Alice hovorí, že sa prehrial na slnku, pretože to nemôže byť. má pravdu? 6.4. Aký je minimálny počet plochých rezov potrebných na rozdelenie kocky na 64 malých kociek? Po každom rezaní môžete časti kocky ľubovoľne preusporiadať Drevená kocka bola z vonkajšej strany natretá bielou farbou, potom každá jej hrana Obr. 45 boli rozdelené na 5 rovnakých častí, potom boli rozrezané tak, aby sa ukázali ako malé kocky s hranou 5-krát menšou ako pôvodná kocka. Koľko malých kociek ste dostali? Koľko kociek má tri strany farebné? Dve strany? Jedna hrana? Koľko nevyfarbených kociek zostáva? 6.6. Melón bol nakrájaný na 4 časti a zjedený. Ukázalo sa 5 kôr. Mohlo by to byť možné?

28 28 7. Vyfarbovacie úlohy 6.7. Aký je najväčší počet kusov, na ktoré sa dá palacinka rozrezať tromi rovnými rezmi? Koľko kusov môžete získať z troch kusov bochníka chleba? 7. Problémy s farbením Lekcia 7.1 Téma: Farbenie pomáha riešiť problémy. Cieľ: Naučte sa dokázať, že niektoré problémy so strihom nemajú riešenia pomocou správne zvoleného sfarbenia (napríklad vyfarbenie šachovnice), čím sa zlepší logická kultúra študentov. Problémy Nie je ťažké dokázať, že riešenie problému rozrezania nejakej postavy na časti je možné: stačí poskytnúť nejaký spôsob rezania. Nájsť všetky riešenia, teda všetky spôsoby rezania, je už náročnejšie. A dokázať, že rezanie je nemožné, je tiež dosť ťažké. V niektorých prípadoch nám k tomu pomáha vyfarbenie figúry.Zobrali sme štvorec kockovaného papiera s rozmermi 8 × 8 a odstrihli sme z neho dva štvorce (vľavo dole a vpravo hore). Je možné výsledný obrazec úplne zakryť „domino“ obdĺžnikmi 1 2? 7.2. Na šachovnici je figúrka ťavy, ktorá sa každým ťahom pohne o tri políčka vertikálne a jedno horizontálne, alebo tri horizontálne a jedno vertikálne. Môže sa „ťava“ po niekoľkých ťahoch dostať do bunky susediacej s pôvodnou na boku? 7.3. V každej bunke štvorca 5 5 sedí chrobák. Na príkaz sa každý chrobák plazil do jednej z buniek susediacich s bočnou stranou. Je možné, že po tomto bude v každej bunke opäť presne jeden chrobák? Čo keby mal pôvodný štvorec rozmery 6 6? 7.4. Je možné vyrezať štvorec tartanového papiera 4 x 4 na jeden podstavec, jeden štvorec, jeden stĺpik a jeden cikcak (obr. 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskva, 2002 MDT 514.11 BBK 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problémy s rezaním. M.: MTsNMO, 2002. 120 s.: ill. Séria: „Tajomstvá vyučovania matematiky“. Toto

V.A. Smirnov, I.M. Smirnová, I.V. Yashchenko ČO BYŤ VIZUÁLNA GEOMETRIA V 5.-6. ROČNÍKU Výsledky štátnej skúšky a jednotnej štátnej skúšky z matematiky ukazujú, že hlavný problém geometrickej prípravy žiakov je spojený s nedostatočnou

Úlohy na mriežkach V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov 1 Základy mriežok 1. Dvojica vektorov a = me 1 + ne 2 a b = ke 1 + le 2, kde m, n, k, l sú celé čísla, potom a len potom generuje rovnakú mriežku,

I. V. Jakovlev Materiály o matematike MathUs.ru Rezanie Geometrické útvary sa nazývajú rovnaké, ak sa dajú navzájom prekrývať tak, aby sa úplne zhodovali. 1. Vystrihnite každý tvar do

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRIA Príručka na prípravu na GIA Úlohy na výber správnych výrokov 2015 1 ÚVOD Táto príručka je určená na prípravu na riešenie geometrických úloh štátnej skúšky z matematiky.

Test 448 Vertikálne uhly 1. Ak uhly nie sú vertikálne, potom nie sú rovnaké. 2. Rovnaké uhly sú zvislé uhly len vtedy, ak sú stredovo symetrické. 3. Ak sú uhly rovnaké a ich spojenie má

I. V. Jakovlev Materiály z matematiky MathUs.ru Príklady a konštrukcie 1. (Vseross., 2018, ШЭ, 5.2) Dievča nahradilo každé písmeno vo svojom mene jeho číslom v ruskej abecede. Výsledné číslo je 2011533.

PREDNÁŠKA 24 ROVINNÉ GRAFY 1. Eulerov vzorec pre rovinné grafy Definícia 44: Rovinný graf je obraz grafu v rovine bez vlastných priesečníkov. Poznámka: Graf nie je to isté ako rovinný.

Stredné (úplné) všeobecné vzdelanie M.I.Bashmakov Matematika 11. ročník Zbierka úloh 3. vydanie MDT 372.851 (075.3) BBK 22.1ya721 B336 Bashmakov M. I. B336 Matematika. 11. ročník Súbor problémov: priemerný (úplný)

V.A. Smirnov 1. Rozoznávanie obrazcov 1. Ktorý mnohosten sa nazýva kocka? 2. Koľko vrcholov, hrán, stien má kocka? 3. Nakreslite kocku na kockovaný papier. 4. Ktorý mnohosten sa nazýva rovnobežnosten?

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko OBRAZY VO VESMÍRE Príručka na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku 2013 ÚVOD Táto príručka je určená na prípravu na riešenie geometrických úloh Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Jeho ciele sú:

1 naučiť sa používať geometrický jazyk a geometrickú symboliku na opis predmetov v okolitom svete; vykonávať jednoduché zdôvodnenie a zdôvodnenie v procese riešenia stanovených problémov

MATEMATIKA ročníky 5.1-5.3 (technologický profil) Modul banky úloh „Geometria“ „Trojuholníky a štvoruholníky. Rovné čiary a kruhy. Symetria. Polyhedra" Vyžadujú sa základné teoretické informácie

Zadania na tretí otvorený turnaj mladých matematikov v meste Minsk 2016 (liga juniorov, ročníky 5.-7.) 10.-12. marca 2016 Predbežné prihlášky s uvedením vzdelávacej inštitúcie, riaditeľa, jeho telefónneho čísla

Mestská rozpočtová predškolská vzdelávacia inštitúcia „Materská škola 30“ centrálnej časti Barnaul PORADENSKÝ A ODPORÚČACÍ MATERIÁL PRE UČITEĽOV na tému: „Predstavujeme deti predškolského veku

1 Pravidlo extrémov Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Uvažujme najskôr o nasledujúcich troch problémoch: Úloha1. Na nekonečnom hárku kockovaného papiera je v každej bunke napísané určité prirodzené číslo. Je známe

Vedomosti sú tým najlepším majetkom. Každý sa o to snaží, neprichádza to samo. Abu-r-Raikhan al-buruni „Koncept oblasti polygónu“ Geometria stupeň 8 1 CHARAKTERISTIKA POLYNÓMOV Uzavretá prerušovaná čiara,

Vysvetlivka 1. Všeobecná charakteristika kurzu Tento program je zostavený v súlade s požiadavkami federálneho štátneho vzdelávacieho štandardu pre základné všeobecné vzdelávanie a je určený

Majstrovský kurz „Geometria a stereometria na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, časť 1. Október 2017. Na riešenie úloh potrebujete znalosti o geometrických útvaroch a ich vlastnostiach, výpočte plôch rovinných útvarov, objemov

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia "Stredná škola 2" Príloha 3.20. Pracovný program pre kurz „Vizuálna geometria“ ročníky 5-6 Vývojári: Ovchinnikova N.V.,

Téma 1. Parita 1. Na stole je 13 ozubených kolies spojených v uzavretej reťazi. Môžu sa všetky prevody otáčať súčasne? 2. Môže priama čiara, ktorá neobsahuje vrcholy uzavretej 13-článkovej prerušovanej čiary

Rozbor úloh tretej časti úloh 1 2 Elektronická škola Znika Rozbor úloh tretej časti úloh Stupeň 4 6 7 8 9 10 A B A B D Úloha 6 Vo vnútri tunela sú každých 10 m kontrolné stanovištia.

IX Celoruská relácia „Mladý matematik“. Celoruské detské centrum "Orlyonok" VI Turnaj matematických hier. Matematická hra "Duel". ligy juniorov. Riešenia. 8. september 2013 1. Obe skupiny majú rovnaký počet žiakov

Zábavné úlohy s kockami Úloha 1. Očíslujte 8 vrcholov kocky poradovými číslami (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tak, aby súčet čísel na každej z jej šiestich stien bol rovnaký. (obr. 1a).

Banka úloh z matematiky 6. ročník „Mnohouholníky a mnohosteny“ 1. Mnohosten je uzavretá plocha zložená z: rovnobežníkov, mnohouholníkov a trojuholníkov, mnohouholníkov, mnohouholníkov

ŠTÁTNY VÝBOR RUSKEJ FEDERÁCIE PRE VYSOKÉ ŠKOLSTVO NOVOSIBIRSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA Korešpondenčná škola KATEDRA MATEMATIKY PARALLEL DESIGN Ročník 0, úloha 3. Novosibirsk

Pracovný program vzdelávacieho predmetu "Svet znakov a čísel" 5. ročník 1. Plánované výsledky zvládnutia vzdelávacieho predmetu "Svet znakov a čísel" ovládanie geometrického jazyka, jeho využitie pri opise

Mimoškolská hodina zrakovej geometrie v 7. ročníku. Téma: „Geometria nožníc. Problémy s rezaním a skladaním tvarov"

ONI. SMIRNOVÁ, V.A. SMIRNOV GEOMETRIE NA KONTROLOVANOM PAPIERI Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie Moskva 2009 PREDSLOV Navrhovaná príručka obsahuje päťdesiatšesť úloh na konštrukciu a

PRACOVNÝ ZOšit 2 PREMENY 1 Koncept transformácie Príklad 1. Transformácia sústredných kružníc do seba. Kruh c 1 je transformovaný na sústredný kruh c 2, ako je znázornené

Jesenná intenzívna fyzika a matematika „100 hodín“ POLIMINO Hry a hádanky s kockovanými figúrkami Chozin Michail Anatolyevič Dzeržinsk, 29. október 2. novembra 2016 ČO JE POLYMINO? Domino pozná každý

7 obrázkov je nakreslených bodkami, ako je znázornené na obrázkoch nižšie. C A G B F Ukážte, ako z týchto prvkov vyrobiť figúrky na obrázkoch nižšie D E A) (bod 0 bodov) B) (bod 0 bodov) C) (3 body

Jednotná štátna skúška 2010. Matematika. Problém B9. Pracovný zošit Smirnov V.A. (editovali A.L. Semenov a I.V. Yashchenko) M.: Vydavateľstvo MTsNMO; 2010, 48 strán Pracovný zošit z matematiky zo série „Jednotná štátna skúška 2010. Matematika“

1) IDm2014_006 odpovede zo súťažného kola 2) Vedúca tímu Oľga Sergeevna Poyarkova 3) Technická vedúca (koordinátorka) nie 4) URL webovej stránky s odpoveďami zo súťažného kola (ak existujú) nie 5) Tabuľka

10.1 (technologický profil), 10.2 (úroveň profilu) akademický rok 2018-2019 Približná banka úloh na prípravu na testovanie z matematiky, časť „Geometria“ (učebnica Atanasyan L.S., profilová úroveň)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Pravidelné, polopravidelné a hviezdicovité mnohosteny Moskva Vydavateľstvo MTsNMO 010 MDT 514.11 BBK.151.0 C50 Obsah C50 Smirnova I. M., Smirnov V. A. Pravidelné, polopravidelné

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE ŠTÁTNA UNIVERZITA NOVOSIBIRSK ŠPECIALIZOVANÉ VZDELÁVACIE A VÝSKUMNÉ CENTRUM Matematika ročník 0 PARALELNÝ DIZAJN Novosibirsk I. Dizajn

2016 2017 školský rok 5. ročník 51 Usporiadajte 2 2 2 2 2 zátvorky a akčné znaky v záznamoch tak, aby to vyšlo 24 52 Anya klame v utorok, stredu a štvrtok a hovorí pravdu vo všetky ostatné dni v týždni

Téma 16. Mnohosten 1. Hranol a jeho prvky: Hranol je mnohosten, ktorého dve steny sú rovnaké mnohouholníky umiestnené v rovnobežných rovinách a zvyšné strany sú rovnobežníky.

Geometria pred geometriou. PDA, Geometria, Tretia lekcia (Maksimov D.V.) 28. júna 2017 Vizuálna geometria Kocka 3x3x3 sa skladá z 13 bielych a 14 tmavých kociek. Ktorý obrázok ho zobrazuje? Zobrazené nižšie

7. ročník 7.1. Mohlo by sa ukázať, že tento problém správne vyrieši 1000 účastníkov olympiády a medzi nimi bude o 43 chlapcov viac ako dievčat? 7.2. Lada a Lera si priali prirodzené číslo. Ak

Výbor správy okresu Zmeinogorsk na území Altaj pre vzdelávanie a záležitosti mládeže Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia „Zmeinogorská stredná škola s pokročilými

Prijímacia skúška na Večernú matematickú školu na Fakulte výpočtovej matematiky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity M. V. Lomonosova (29. 9. 2018) ročníky 8. – 9. ročník 1. Tímy „Matematici“, „Fyzika“ a „Programátori“ hrali futbal

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia mesta Abakan „Stredná škola 11“ PROGRAM mimoškolských aktivít krúžku „Mladý matematik“ pre ročníky 1-4 Program mimoškolských aktivít

Téma I. Problém parity 1. Štvorcová tabuľka s veľkosťou 25 25 je vyfarbená 25 farbami tak, že všetky farby sú zastúpené v každom riadku a každom stĺpci. Dokážte, že ak je usporiadanie farieb symetrické vzhľadom na

1. Súpravy. Operácie na množinách 1. Je pravda, že pre ľubovoľné množiny A, B platí rovnosť A \ (A \ B) A B? 2. Je pravda, že pre ľubovoľné množiny A, B platí rovnosť (A \ B) (B \ A)?

Kód sekcie Požiadavky (zručnosti) preverené úlohami záverečnej práce Otvorená banka úloh z predmetu „Matematika“ pre žiakov 4. ročníka Úlohy 4. PRIESTOROVÉ VZŤAHY. GEOMETRICKÝ

Obraz mnohostenu Za obraz figúry sa považuje figúra podobná jej projekcii do určitej roviny. Vyberie sa obrázok, ktorý dáva správnu predstavu o tvare postavy

Úlohy pre 5. ročník Webová stránka elementárnej matematiky od Dmitrija Gušchina www.mathnet.spb.ru v rámčeku 5. Kto vyhrá, ak zahrá najlepšie? 2. V štvorci je nakreslených 5 5 čiar, ktoré ho rozdeľujú

Odbor školstva Správy okresu Krasnogvardeisky Mestská vzdelávacia inštitúcia "Kalinovskaja stredná škola" Schválil: riaditeľ MBOU "Kalinovskaja stredná škola" Belousova

Dvanásta celoruská olympiáda v geometrii pomenovaná po. I. F. Sharygina Štrnásta ústna olympiáda v geometrii Moskva, 17. apríla 2016 Riešenia úloh 8 9 ročník 1. (A. Blinkov) V šesťuholníku rovna

Úlohy G -11.5.16. S strana = P hlavná. * Vzorec H na nájdenie bočného povrchu hranola Г -11.5.17. S strana = 1 P hlavná. * h vzorec na nájdenie bočnej 2 plochy pyramídy 6. Rôzne úlohy G-10.6.1.

VIII turnaj družstiev a osôb „Matematický viacboj“ 2. 11. 2015, Moskva Geometria (riešenia) Liga juniorov 1. Zadaný kruh a jeho tetiva. Tangenty sú nakreslené ku kružnici na koncoch tetivy

1. Nakreslite figúrku na kockovaný papier. Rozdeľte ho na 4 rovnaké
časti pozdĺž čiar károvaného papiera. Nájdite všetky možné čísla, pre ktoré
toto číslo môžete znížiť podľa podmienok problému.
Riešenie.
2. Centrálna bunka bola vyrezaná zo štvorca 5 5. Výsledný nakrájajte
tvarovať na dve rovnaké časti dvoma spôsobmi.
Riešenie.

3. Rozdeľte obdĺžnik 3×4 na dve rovnaké časti. Nájdite čo najviac
viac spôsobov. Môžete rezať iba pozdĺž strany štvorca 1 × 1 a metódy
sa považujú za rozdielne, ak výsledné čísla nie sú pre každú z nich rovnaké
spôsobom.
Riešenie.
4. Obrázok zobrazený na obrázku rozrežte na 2 rovnaké časti.
Riešenie.
5. Obrázok zobrazený na obrázku rozrežte na 2 rovnaké časti.

Riešenie.
6. Rozrežte obrázok zobrazený na obrázku na dve rovnaké časti pozdĺž
mriežky a v každej časti by mal byť kruh.
Riešenie.
7. Rozstrihnite obrázok zobrazený na obrázku na štyri rovnaké časti

Riešenie.

8. Rozstrihnite obrázok zobrazený na obrázku na štyri rovnaké časti
pozdĺž čiar mriežky a v každej časti by mal byť kruh.
Riešenie.
9. Odrežte tento štvorec po stranách buniek tak, aby všetky časti
byť rovnakej veľkosti a tvaru a každá obsahuje jeden
hrnček a kríž.
Riešenie.

10. Vystrihnite obrázok znázornený na obrázku pozdĺž čiar mriežky na
štyri rovnaké časti a zložte ich do štvorca tak, aby boli kruhy a kríže
umiestnené symetricky voči všetkým osám symetrie štvorca.
Riešenie.
11. Štvorec 6 6 znázornený na obrázku rozrežte na štyri
identické časti tak, že každá z nich obsahuje tri tieňované bunky.

Riešenie.
12. Je možné rozrezať štvorec na štyri časti tak, aby každá časť
bol v kontakte s ostatnými tromi (časti sú v kontakte, ak majú spoločné
hraničný úsek)?
Riešenie.
13. Je možné rozrezať obdĺžnik s 9 4 bunkami na dve rovnaké časti pozdĺž

ako to potom urobiť?
Riešenie. Plocha takého štvorca je 36 buniek, to znamená, že jeho strana je 6
bunky. Spôsob rezania je znázornený na obrázku.

14. Je možné rozrezať obdĺžnik s 5 10 bunkami na dve rovnaké časti pozdĺž
strany buniek tak, aby sa dali sformovať do štvorca? Ak áno,
ako to potom urobiť?
Riešenie. Plocha takého štvorca je 50 buniek, to znamená jeho strana
viac ako 7, ale menej ako 8 celých buniek. Takže vyrežte taký obdĺžnik
požadovaným spôsobom na stranách buniek je nemožné.
15. Bolo tam 9 listov papiera. Niektoré z nich boli rozrezané na tri časti. Celkom
stalo 15 listov. Koľko listov papiera ste vystrihli?
Riešenie: Vystrihneme 3 pláty: 3 ∙ 3 + 6 = 15.