Rezolvați online ecuația cu numere complexe. Cum se rezolvă o ecuație complexă în matematică
Expresii, ecuații și sisteme de ecuații
cu numere complexe
Astăzi, în lecție, vom lucra acțiuni tipice cu numere complexe, precum și vom stăpâni tehnica de rezolvare a expresiilor, ecuațiilor și sistemelor de ecuații pe care le conțin aceste numere. Acest atelier este o continuare a lecției și, prin urmare, dacă nu sunteți familiarizat cu subiectul, atunci vă rugăm să urmați linkul de mai sus. Ei bine, sugerez ca cititorii mai pregătiți să se încălzească imediat:
Exemplul 1
Simplificați expresia , Dacă . Prezentați rezultatul sub formă trigonometrică și reprezentați-l pe plan complex.
Soluţie: deci, trebuie să înlocuiți fracția „teribilă”, să efectuați simplificări și să traduceți rezultatul număr complex V formă trigonometrică. Plus la naiba.
Care este cel mai bun mod de a lua o decizie? Este mai profitabil să faci față unei expresii algebrice „fanteziste” în etape. În primul rând, atenția este mai puțin împrăștiată și, în al doilea rând, dacă sarcina nu este creditată, va fi mult mai ușor să găsiți o eroare.
1) Să simplificăm mai întâi numărătorul. Înlocuiți valoarea în ea, deschideți parantezele și fixați coafura:
... Da, un astfel de Quasimodo din numere complexe s-a dovedit ...
Vă reamintesc că în cursul transformărilor se folosesc lucruri complet ingenioase - regula înmulțirii polinoamelor și egalitatea deja banală. Principalul lucru este să fii atent și să nu te încurci în semne.
2) Acum numitorul este următorul. Daca atunci:
Observați în ce se folosește o interpretare neobișnuită formula sumei pătrate. Alternativ, puteți schimba aici subformula . Rezultatele se vor potrivi, desigur.
3) Și în sfârșit, întreaga expresie. Daca atunci:
Pentru a scăpa de fracție, înmulțim numărătorul și numitorul cu expresia conjugată la numitor. Cu toate acestea, în scopul aplicării formule de diferență de pătrate ar trebui să fie preliminar (și cu siguranță!) pune partea reală negativă pe locul 2:
Și acum regula cheie:
IN NICIO CAZ NU NU NE GRABIM! Mai bine să joci în siguranță și să prescrii un pas suplimentar.
În expresii, ecuații și sisteme cu numere complexe calcule orale presupuse plin ca întotdeauna!
A existat o contracție frumoasă în pasul final și acesta este doar un semn grozav.
Notă : strict vorbind, aici a avut loc împărțirea numărului complex la numărul complex 50 (reamintim că ). Am tăcut până acum despre această nuanță și despre ea vom vorbi puțin mai târziu.
Să denotăm realizarea noastră cu scrisoarea
Să reprezentăm rezultatul în formă trigonometrică. În general, aici poți să faci fără un desen, dar de îndată ce este necesar, este ceva mai rațional să-l completezi chiar acum:
Calculați modulul unui număr complex:
Dacă executați un desen la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule tetrade), atunci valoarea rezultată este ușor de verificat folosind o riglă obișnuită.
Să găsim un argument. Deoarece numărul este situat în al 2-lea trimestru de coordonate, atunci:
Unghiul este pur și simplu verificat de un raportor. Acesta este plusul incontestabil al desenului.
Astfel: - numărul dorit în formă trigonometrică.
Sa verificam:
, care urma să fie verificat.
Este convenabil să găsiți valori nefamiliare ale sinusului și cosinusului prin tabel trigonometric.
Răspuns:
Un exemplu similar pentru o soluție de tip do-it-yourself:
Exemplul 2
Simplificați expresia , Unde . Desenați numărul rezultat pe planul complex și scrieți-l în formă exponențială.
Încercați să nu săriți peste tutoriale. Ele pot părea simple, dar fără antrenament, „a intra într-o băltoacă” nu este doar ușor, ci și foarte ușor. Deci să punem mâna pe el.
Adesea, problema permite mai multe soluții:
Exemplul 3
Calculați dacă,
Soluţie: în primul rând, să fim atenți la condiția inițială - un număr este prezentat sub formă algebrică, iar celălalt sub formă trigonometrică și chiar cu grade. Să-l rescriem imediat într-o formă mai familiară: .
În ce formă ar trebui efectuate calculele? Expresia, evident, implică prima înmulțire și ridicarea în continuare la puterea a 10-a în Formula De Moivre, care este formulat pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Astfel, pare mai logic să convertiți primul număr. Găsiți modulul și argumentul acestuia:
Folosim regula înmulțirii numerelor complexe în formă trigonometrică:
daca atunci
Făcând fracția corectă, ajungem la concluzia că este posibil să „răsuciți” 4 ture ( bucuros.):
A doua modalitate de a rezolva este de a traduce al 2-lea număr în forma algebrică , efectuați înmulțirea în formă algebrică, traduceți rezultatul în formă trigonometrică și utilizați formula Moivre.
După cum puteți vedea, o acțiune „în plus”. Cei care doresc pot urmări soluția până la capăt și se pot asigura că rezultatele se potrivesc.
Condiția nu spune nimic despre forma numărului complex rezultat, deci:
Răspuns:
Dar „pentru frumusețe” sau la cerere, rezultatul poate fi ușor reprezentat în formă algebrică:
Pe cont propriu:
Exemplul 4
Simplificați expresia
Aici este necesar să ne amintim actiuni cu puteri, deși nu există o regulă utilă în manualul de instruire, iată-l:.
Și încă o notă importantă: exemplul poate fi rezolvat în două stiluri. Prima opțiune este să lucrezi cu Două numere și suportate cu fracții. A doua opțiune este reprezentarea fiecărui număr din formular coeficientul a doua numere: Și scapă de cele patru etaje. Din punct de vedere formal, nu contează cum să decideți, dar există o diferență semnificativă! Vă rugăm să luați în considerare bine:
este un număr complex;
este coeficientul a două numere complexe ( și ), totuși, în funcție de context, se poate spune și așa: un număr reprezentat ca coeficient de două numere complexe.
Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.
Expresiile sunt bune, dar ecuațiile sunt mai bune:
Ecuații cu coeficienți complexi
Cum diferă ele de ecuațiile „obișnuite”? Coeficienți =)
În lumina observației de mai sus, să începem cu acest exemplu:
Exemplul 5
rezolva ecuatia
Și un preambul imediat în urmărire fierbinte: inițial partea dreaptă a ecuației este poziționată ca un coeficient de două numere complexe (și 13) și, prin urmare, ar fi o formă proastă să rescrieți condiția cu numărul (chiar daca nu va cauza o eroare). Apropo, această diferență este văzută mai clar în fracții - dacă, relativ vorbind, , atunci această valoare este înțeleasă în primul rând ca rădăcina complexă „completă” a ecuațieiși nu ca divizor al numărului și cu atât mai mult - nu ca parte a numărului!
Soluţie, în principiu, se poate aranja și pas cu pas, dar în acest caz jocul nu merită lumânarea. Sarcina inițială este de a simplifica tot ceea ce nu conține un „Z” necunoscut, ca urmare a căreia ecuația va fi redusă la forma:
Simplificați cu încredere fracția medie:
Transferăm rezultatul în partea dreaptă și găsim diferența:
Notă
: și din nou vă atrag atenția asupra punctului semnificativ - aici nu am scăzut numărul din număr, ci am însumat fracțiile la un numitor comun! Trebuie remarcat faptul că deja în cursul soluției nu este interzis să lucrați cu numere: , cu toate acestea, în exemplul luat în considerare, un astfel de stil este mai dăunător decât util =)
Conform regulii proporției, exprimăm „z”:
Acum puteți împărți și înmulți din nou cu expresia alăturată, dar numerele suspect de similare ale numărătorului și numitorului sugerează următoarea mișcare:
Răspuns:
În scopul verificării, înlocuim valoarea rezultată în partea stângă a ecuației originale și efectuăm simplificări:
- se obține partea dreaptă a ecuației inițiale, astfel încât rădăcina este găsită corect.
… Acum-acum… Voi alege ceva mai interesant pentru tine… Ține:
Exemplul 6
rezolva ecuatia
Această ecuație se reduce la forma și, prin urmare, este liniară. Sugestia, cred, este clară - mergi!
Desigur... cum poți trăi fără el:
Ecuație pătratică cu coeficienți complexi
La lectie Numere complexe pentru manechini am aflat că o ecuație pătratică cu coeficienți reali poate avea rădăcini complexe conjugate, după care apare o întrebare logică: de ce, de fapt, coeficienții înșiși nu pot fi complexi? Voi formula cazul general:
Ecuație pătratică cu coeficienți complexi arbitrari (1 sau 2 dintre care sau toate trei pot fi valabile în special) Are doi și doar doi rădăcini complexe (posibil dintre care unul sau ambele sunt valide). În timp ce rădăcinile (atât real, cât și cu o parte imaginară diferită de zero) poate coincide (fi multiplu).
O ecuație pătratică cu coeficienți complexi se rezolvă în același mod ca ecuația „școală”., cu unele diferențe în tehnica de calcul:
Exemplul 7
Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice
Soluţie: unitatea imaginară este pe primul loc și, în principiu, poți scăpa de ea (înmulțind ambele părți cu ), cu toate acestea, nu este nevoie în mod special de acest lucru.
Pentru comoditate, scriem coeficienții:
Nu pierdem „minusul” membrului gratuit! ... S-ar putea să nu fie clar pentru toată lumea - voi rescrie ecuația în formă standard :
Să calculăm discriminantul:
Iată principalul obstacol:
Aplicarea formulei generale de extragere a rădăcinii (vezi ultimul paragraf al articolului Numere complexe pentru manechini)
este complicată de dificultăți grave asociate cu argumentul numărului complex radical (convinge-te singur). Dar există o altă modalitate, „algebrică”! Vom căuta rădăcina sub forma:
Să pătram ambele părți:
Două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale. Astfel, obținem următorul sistem:
Sistemul este mai ușor de rezolvat prin alegere (o modalitate mai amănunțită este de a exprima din a 2-a ecuație - înlocuiți în prima, obțineți și rezolvați ecuația biquadratică). Presupunând că autorul problemei nu este un monstru, emitem ipoteza că și sunt numere întregi. Din prima ecuație rezultă că „x” modulo mai mult decât „y”. În plus, produsul pozitiv ne spune că necunoscutele sunt de același semn. Pe baza celor de mai sus și concentrându-ne pe a doua ecuație, notăm toate perechile care se potrivesc cu aceasta:
Evident, ultimele două perechi satisfac prima ecuație a sistemului, astfel:
O verificare intermediară nu va strica:
care urma să fie verificată.
Ca rădăcină „de lucru”, puteți alege orice sens. Este clar că este mai bine să luați versiunea fără „contra”:
Găsim rădăcinile, fără a uita, de altfel, că:
Răspuns:
Să verificăm dacă rădăcinile găsite satisfac ecuația :
1) Inlocuitor:
egalitate corectă.
2) Inlocuitor:
egalitate corectă.
Astfel, soluția este găsită corect.
Inspirat de problema tocmai discutată:
Exemplul 8
Găsiți rădăcinile ecuației
Rețineți că rădăcina pătrată a pur complex numerele sunt extrase perfect și folosind formula generală , Unde , deci ambele metode sunt prezentate în eșantion. A doua remarcă utilă se referă la faptul că extragerea preliminară a rădăcinii din constantă nu simplifică deloc soluția.
Și acum te poți relaxa - în acest exemplu, vei scăpa cu o ușoară frică :)
Exemplul 9
Rezolvați ecuația și verificați
Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Ultimul paragraf al articolului este dedicat
sistem de ecuații cu numere complexe
Ne-am relaxat și... nu ne încordăm =) Să luăm în considerare cel mai simplu caz – un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:
Exemplul 10
Rezolvați sistemul de ecuații. Prezentați răspunsul în forme algebrice și exponențiale, descrieți rădăcinile în desen.
Soluţie: condiția în sine sugerează că sistemul are o soluție unică, adică trebuie să găsim două numere care să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului.
Sistemul poate fi într-adevăr rezolvat într-un mod „copilăr”. (exprimă o variabilă în termenii alteia)
, dar este mult mai comod de utilizat formulele lui Cramer. Calcula determinant principal sisteme:
, astfel încât sistemul are o soluție unică.
Repet că este mai bine să nu vă grăbiți și să prescrieți pașii cât mai detaliați posibil:
Înmulțim numărătorul și numitorul cu o unitate imaginară și obținem prima rădăcină:
În mod similar:
Laturile drepte corespunzătoare, p.t.p.
Să executăm desenul:
Reprezentăm rădăcinile în formă exponențială. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți modulele și argumentele lor:
1) - arc-tangenta celor „doi” este calculată „prost”, așa că o lăsăm așa: