Calculul aparatului de tuns adhvka prin metoda lui Newton. Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor neliniare

metoda lui Newton (metoda tangentei)

Fie rădăcina ecuației f(x)=0 separată pe segmentul , iar derivata întâi și a doua a lui f’(x) și f""(x) sunt continue și de semn constant pentru хн .

Fie ca următoarea aproximare a rădăcinii x n să fie obținută (aleasă) la un pas al rafinamentului rădăcinii . Apoi să presupunem că următoarea aproximare obținută cu ajutorul corecției h n , rezultă valoarea exactă a rădăcinii

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Socoteală h n valoare mică, reprezentăm f(x n + h n) ca o serie Taylor, limitându-ne la termeni liniari

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Considerând că f(x) = f(х n + h n) = 0, obținem f(х n) + h n f ’(х n) » 0.

Prin urmare, h n "- f (x n) / f'(x n). Înlocuiți valoarea h nîn (1.2.3-6) și în locul valorii exacte a rădăcinii X obținem o altă aproximare

Formula (1.2.3-8) vă permite să obțineți o succesiune de aproximări x 1, x 2, x 3 ..., care, în anumite condiții, converge către valoarea exactă a rădăcinii X, acesta este

Interpretarea geometrică a metodei lui Newton este după cum urmează
(Fig.1.2.3-6). Luăm capătul drept al segmentului b ca aproximație inițială x 0 și în punctul corespunzător B 0 de pe graficul funcției y \u003d f (x) construim o tangentă. Punctul de intersecție al tangentei cu axa x este luat ca o nouă aproximare mai precisă x 1 . Repetarea acestei proceduri de mai multe ori vă permite să obțineți o succesiune de aproximări x 0, x 1, x 2 , . . ., care tinde spre valoarea exactă a rădăcinii X.

Formula de calcul a metodei lui Newton (1.2.3-8) poate fi obținută dintr-o construcție geometrică. Deci într-un triunghi dreptunghic x 0 B 0 x 1 catete
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. Considerând că punctul B 0 se află pe graficul funcției f(x), iar ipotenuza este formată dintr-o tangentă la graficul f (x) în punctul B 0, obținem

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Această formulă coincide cu (1.2.3-8) pentru a n-a aproximare.

Din fig. 1.2.3-6 se poate observa că alegerea punctului a ca aproximare inițială poate duce la faptul că următoarea aproximare x 1 va fi în afara segmentului pe care este separată rădăcina. X. În acest caz, convergența procesului nu este garantată. În cazul general, alegerea aproximării inițiale se face în conformitate cu următoarea regulă: pentru aproximarea inițială, ar trebui să ia un astfel de punct x 0 н, la care f (x 0) × f '' (x 0) > 0, adică semnele funcției și derivata a doua a acesteia se potrivesc.

Condițiile de convergență pentru metoda lui Newton sunt formulate în următoarea teoremă.

Dacă rădăcina ecuației este separată pe segment, și f'(x 0) și f''(x) sunt diferite de zero și își păstrează semnele la xo, atunci dacă alegem un astfel de punct ca aproximarea inițială x 0 О , Ce f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , apoi rădăcina ecuației f(x)=0 poate fi calculat cu orice grad de precizie.

Estimarea erorii a metodei lui Newton este determinată de următoarea expresie:

(1.2.3-11)

unde este cea mai mică valoare la

Cea mai mare valoare la

Procesul de calcul este încheiat dacă ,

unde este precizia specificată.

În plus, următoarele expresii pot servi drept condiție pentru obținerea unei precizii date la rafinarea rădăcinii prin metoda Newton:

Schema algoritmului metodei Newton este prezentată în fig. 1.2.3-7.

Partea stângă a ecuației originale f(x) și derivata sa f’(x) din algoritm sunt proiectate ca module software separate.

Orez. 1.2.3-7. Diagrama algoritmică a metodei lui Newton

Exemplul 1.2.3-3 Rafinați rădăcinile ecuației x-ln(x+2) = 0 folosind metoda Newton, cu condiția ca rădăcinile acestei ecuații să fie separate pe segmentele x 1 н[-1.9;-1.1] şi x 2 n [-0,9;2].

Prima derivată f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) își păstrează semnul pe fiecare dintre segmente:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 la xО [-0,9; 2].

A doua derivată f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 pentru orice x.

Astfel, condițiile de convergență sunt îndeplinite. Deoarece f "" (x)> 0 pe întregul interval de valori permise, atunci pentru a rafina rădăcina pentru aproximarea inițială x 1 alege x 0 \u003d -1,9 (deoarece f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Obținem o succesiune de aproximări:

Continuând calculele, obținem următoarea succesiune a primelor patru aproximări: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Valoarea funcției f(x) în punctul x=-1,8414 este egală cu f(-1,8414)=-0,00003 .

Pentru a rafina rădăcina x 2 н[-0.9;2], alegem ca aproximații inițiale 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Pe baza x 0 = 2, obținem o succesiune de aproximări: 2,0;1,1817; 1,1462; 1,1461. Valoarea funcției f(x) în punctul x=1,1461 este egală cu f(1,1461)= -0,00006.

Metoda lui Newton are o rată mare de convergență, dar la fiecare pas necesită calcularea nu numai a valorii funcției, ci și a derivatei acesteia.

metoda acordurilor

Interpretarea geometrică a metodei acordurilor este după cum urmează
(Fig.1.2.3-8).

Să desenăm un segment de dreaptă prin punctele A și B. Următoarea aproximare x 1 este abscisa punctului de intersecție al coardei cu axa 0x. Să construim ecuația unui segment de dreaptă:

Să punem y=0 și să găsim valoarea x=x 1 (o altă aproximare):

Repetăm ​​procesul de calcul pentru a obține următoarea aproximare a rădăcinii - x 2 :

În cazul nostru (Fig.1.2.11) iar formula de calcul a metodei acordurilor va arăta ca

Această formulă este valabilă atunci când punctul b este luat ca punct fix, iar punctul a acționează ca o aproximare inițială.

Luați în considerare un alt caz (Fig. 1.2.3-9), când .

Ecuația dreptei pentru acest caz are forma

Următoarea aproximare x 1 la y = 0

Apoi formula recursivă pentru metoda acordurilor pentru acest caz are forma

De remarcat că pentru punctul fix din metoda acordurilor se alege capătul segmentului pentru care este îndeplinită condiția f (x)∙f¢ (x)>0.

Astfel, dacă punctul a este luat ca punct fix , atunci x 0 = b acționează ca o aproximare inițială și invers.

Condițiile suficiente care să asigure calculul rădăcinii ecuației f(x)=0 folosind formula coardelor vor fi aceleași ca și pentru metoda tangentei (metoda lui Newton), dar în locul aproximării inițiale se alege un punct fix. Metoda acordurilor este o modificare a metodei lui Newton. Diferența este că următoarea aproximare în metoda Newton este punctul de intersecție a tangentei cu axa 0X, iar în metoda coardelor - punctul de intersecție a coardei cu axa 0X - aproximările converg către rădăcina din laturi diferite.

Estimarea erorii metodei acordurilor este determinată de expresie

(1.2.3-15)

Condiția de terminare a procesului de iterație prin metoda acordurilor

(1.2.3-16)

Dacă M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Exemplul 1.2.3-4. Precizați rădăcina ecuației e x - 3x = 0, separată pe un segment cu o precizie de 10 -4 .

Să verificăm condiția de convergență:

Prin urmare, a=0 ar trebui să fie ales ca punct fix și x 0 \u003d 1 ar trebui luat ca aproximare inițială, deoarece f (0) \u003d 1> 0 și f (0) * f "(0)> 0 .

2. Metoda lui Newton pentru rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare.

Această metodă converge mult mai rapid decât metoda simplă de iterație. Metoda lui Newton pentru sistemul de ecuații (1.1) se bazează pe utilizarea expansiunii funcțiilor

, Unde
(2.1)

într-o serie Taylor, iar termenii care conțin derivatele de ordinul doi și superior sunt aruncați. Această abordare permite înlocuirea soluției unui sistem neliniar (1.1) cu soluția unui număr de sisteme liniare.

Astfel, sistemul (1.1) va fi rezolvat prin metoda lui Newton. În zona D alegem orice punct
și numiți-o aproximarea zero față de soluția exactă a sistemului original. Acum extindem funcțiile (2.1) într-o serie Taylor în vecinătatea punctului . Vom avea

Deoarece părțile din stânga (2.2) trebuie să dispară conform (1.1), apoi și părțile din dreapta (2.2) trebuie să dispară. Prin urmare, din (2.2) avem

Toate derivatele parțiale din (2.3) trebuie calculate la punctul .

(2.3) este un sistem de ecuații algebrice liniare în necunoscute.Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer dacă determinantul său principal este diferit de zero și găsiți mărimile

Acum putem rafina aproximarea zero construind prima aproximare cu coordonatele

acestea.
. (2.6)

Să aflăm dacă aproximarea (2.6) a fost obținută cu un grad suficient de acuratețe. Pentru a face acest lucru, verificați starea

,
(2.7)

Unde un număr pozitiv mic prealocat (precizia cu care sistemul (1.1) trebuie rezolvat). Dacă condiția (2.7) este îndeplinită, atunci alegem (2.6) ca soluție aproximativă a sistemului (1.1) și terminăm calculele. Dacă condiția (2.7) nu este îndeplinită, atunci efectuăm următoarea acțiune. În sistemul (2.3), în loc de
iau valori corectate

, (2.8)

acestea. urmează următoarele instrucțiuni

. (2.9)

După aceea, sistemul (2.3) va fi un sistem de ecuații algebrice liniare în raport cu mărimile După ce au determinat aceste mărimi, următoarea a doua aproximare
la soluția sistemului (1.1) găsim prin formule

Acum să verificăm starea (2.7)

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci terminăm calculele luând a doua aproximare ca soluție aproximativă a sistemului (1.1)
. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci continuăm să construim următoarea aproximare, luând în (2.3)
Este necesar să se construiască aproximări până când condiția este îndeplinită.

Formulele de lucru ale metodei lui Newton pentru rezolvarea sistemului (1.1) pot fi scrise ca

Calculează secvența

Aici
sunt soluția sistemului

Să formulăm un algoritm pentru calcule folosind formulele (2.11)-(2.13).

1. Alegem aproximarea zero , care aparține regiunii D.

2. În sistemul de ecuații algebrice liniare (2.13) setăm
,A .

3. Rezolvăm sistemul (2.13) și găsim mărimile
.

4. În formulele (2.12) setăm
și calculați componentele următoarei aproximări.

5. Verificați condiția (2.7) pentru: (Consultați algoritmul pentru calcularea maximului mai multor cantități.)

6. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci încheiem calculele alegând soluția aproximativă a sistemului (1.1) ca aproximare . Dacă această condiție nu este îndeplinită, treceți la pasul 7.

7. Să punem
pentru toți .

8. Să îndeplinim punctul 3 prin setare
.

Geometric, acest algoritm poate fi scris ca

Algoritm. Calcularea maximului mai multor cantități.

Exemplu. Luați în considerare utilizarea metodei lui Newton pentru a rezolva un sistem de două ecuații.

Rezolvați următorul sistem de ecuații neliniare folosind metoda lui Newton cu o precizie de până la

, (2.14)

Aici
. Alegem aproximarea zero
, care aparține domeniului D. Să construim un sistem de ecuații algebrice liniare (2.3). Ea se va uita

(2.15)

Denota

Rezolvăm sistemul (2.15) în raport cu necunoscutele
, de exemplu prin metoda Cramer. Scriem formulele lui Cramer sub forma

(2.17)

unde este principalul determinant al sistemului (2.15)

(2.18)

în timp ce determinanții auxiliari ai sistemului (2.15) au forma

.

Înlocuim valorile găsite în (2.16) și găsim componentele primei aproximări
la soluția sistemului (2.15).

Să verificăm starea

, (2.19)

dacă această condiție este îndeplinită, atunci terminăm calculele luând prima aproximare ca soluție aproximativă a sistemului (2.15), adică
. Dacă condiția (2.19) nu este îndeplinită, atunci setăm
,
și construiți un nou sistem de ecuații algebrice liniare (2.15). Rezolvând-o, găsim a doua aproximare
. Să verificăm pentru. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci pentru soluția aproximativă a sistemului (2.15) alegem
. Dacă condiția de pornire nu este îndeplinită, atunci setăm
,
și construiți următorul sistem (2.15) pentru a găsi
etc.

Sarcini

Toate sarcinile necesită:

Scrieți un program de implementare numerică a metodei, conform algoritmului propus.

Obțineți rezultate de calcul.

Verificați-vă rezultatele.

Este dat un sistem de două ecuații neliniare.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Capitolul 3. Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liniare (SLAE).

Scopul lucrării. Cunoașterea unor metode aproximative de rezolvare a SLAE și implementarea lor numerică pe un PC.

Observații preliminare. Toate metodele de rezolvare a SLAE sunt de obicei împărțite în două grupuri mari. Primul grup include metode care sunt de obicei numite exacte. Aceste metode permit oricărui sistem să găsească valorile exacte ale necunoscutelor după un număr finit de operații aritmetice, fiecare dintre acestea fiind efectuată exact.

Al doilea grup include toate metodele care nu sunt exacte. Ele sunt numite iterative, sau numerice sau aproximative. Soluția exactă, atunci când se utilizează astfel de metode, se obține ca urmare a unui proces nesfârșit de aproximări. O caracteristică atractivă a unor astfel de metode este autocorecția și ușurința de implementare pe un computer.

Să luăm în considerare câteva metode aproximative de rezolvare a SLAE și să construim algoritmi pentru implementarea lor numerică. Vom obține o soluție aproximativă a SLAE cu o precizie de , unde este un număr pozitiv foarte mic.

1. Metoda iterației.

Lăsați SLAE să fie dat în formular

(1.1)

Acest sistem poate fi scris sub formă de matrice

, (1.2)

Unde
- matricea coeficienților pentru necunoscute în sistemul (1.1),
- coloana de membri liberi,
- coloana de necunoscute a sistemului (1.1).

. (1.3)

Să rezolvăm sistemul (1.1) prin metoda iterației. Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași.

In primul rand. Alegem aproximarea zero

(1.4)

la soluția exactă (1.3) a sistemului (1.1). Componentele de aproximare zero pot fi orice numere. Dar este mai convenabil să luăm pentru componentele aproximării zero fie zerouri
, sau termenii liberi ai sistemului (1.1)

În al doilea rând. Înlocuim componentele aproximării zero în partea dreaptă a sistemului (1.1) și calculăm

(1.5)

Mărimile din stânga din (1.5) sunt componentele primei aproximări
Acțiunile care au rezultat în prima aproximare se numesc iterație.

Al treilea. Să verificăm zero și primele aproximări pentru

(1.6)

Dacă toate condițiile (1.6) sunt îndeplinite, atunci pentru soluția aproximativă a sistemului (1.1) alegem fie , fie oricum, deoarece se deosebesc unul de celălalt nu mai mult decât prin și terminăm calculele. Dacă cel puțin una dintre condițiile (1.6) nu este îndeplinită, atunci trecem la pasul următor.

Al patrulea. Să executăm următoarea iterație, i.e. în partea dreaptă a sistemului (1.1) înlocuim componentele primei aproximări și calculăm componentele celei de-a doua aproximări
, Unde

A cincea. Sa verificam
și pe , adică Să verificăm condiția (1.6) pentru aceste aproximări. Dacă toate condițiile (1.6) sunt îndeplinite, atunci pentru soluția aproximativă a sistemului (1.1) alegem fie , fie oricum, deoarece se deosebesc unul de altul prin nu mai mult de . În caz contrar, vom construi următoarea iterație prin înlocuirea componentelor celei de-a doua aproximări în partea dreaptă a sistemului (1.1).

Iterațiile trebuie construite până la două aproximări adiacente
şi nu vor diferi unele de altele nu mai mult decât prin .

Formula de lucru a metodei de iterație pentru rezolvarea sistemului (1.1) poate fi scrisă ca

Algoritmul pentru implementarea numerică a formulei (1.7) poate fi următorul.

Condițiile suficiente pentru convergența metodei de iterație pentru sistemul (1.1) au forma

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Metoda iterației simple.

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare (SLAE) să fie dat sub forma

(2.1)

Pentru a rezolva sistemul (2.1) prin metoda iterației simple, acesta trebuie mai întâi redus la forma

(2.2)

În sistem (2.2) --a ecuație este --a ecuație a sistemului (2.1), rezolvată în raport cu --a necunoscută (
).

Metoda de rezolvare a sistemului (2.1), care constă în reducerea lui la sistemul (2.2) cu rezolvarea ulterioară a sistemului (2.2) prin metoda iterației, se numește metoda iterației simple pentru sistemul (2.1).

Astfel, formulele de lucru ale metodei de iterație simplă pentru rezolvarea sistemului (2.1) vor avea forma

(2.3)

Formulele (2.3) pot fi scrise ca

Algoritmul pentru implementarea numerică a metodei de iterație simplă pentru sistemul (2.1) folosind formulele (2.4) poate fi următorul.

Acest algoritm poate fi scris geometric.

Condițiile suficiente pentru convergența metodei iterației simple pentru sistemul (2.1) au forma

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Metoda Seidel staționară.

Metoda Seidel pentru rezolvarea SLAE diferă de metoda iterației prin aceea că, după ce am găsit o aproximare pentru componenta --a, o folosim imediat pentru a găsi următoarele
,
, …, a componenta. Această abordare face posibilă asigurarea unei rate mai mari de convergență a metodei Seidel în comparație cu metoda iterației.

Lăsați SLAE să fie dat în formular

(3.1)

Lăsa
- aproximarea zero a soluției exacte
sisteme (3.1). Și să fie găsit aproximarea
. Să definim componentele
aproximarea prin formule

(3.2)

Formulele (3.2) pot fi scrise într-o formă compactă

,
,
(3.3)

Algoritmul pentru implementarea numerică a metodei Seidel pentru rezolvarea sistemului (3.1) folosind formulele (3.3) poate fi următorul.

1. Să alegem, de exemplu,
,

2. Fie .

3. Pentru tot ce calculăm .

4. Pentru toate, verificați condițiile
.

5. Dacă toate condițiile de la punctul 4 sunt îndeplinite, atunci pentru soluția aproximativă a sistemului (3.1) alegem fie sau și terminăm calculele. Dacă cel puțin o condiție de la punctul 4 nu este îndeplinită, trecem la punctul 6.

6. Setăm și trecem la punctul 3.

Acest algoritm poate fi scris geometric.

O condiție suficientă pentru convergența metodei Seidel pentru sistemul (3.1) are forma
, .

4. Metoda Seidel nestaționară.

Această metodă de rezolvare a SLAE (3.1) oferă o rată și mai mare de convergență a metodei Seidel.

Fie că componentele aproximării -a și aproximării --a să fie găsite într-un fel pentru sistemul (3.1).

Calculați vectorul de corecție

Să calculăm valorile

, (4.2)

Aranjați cantitățile
, în ordine descrescătoare.

În aceeași ordine, rescriem ecuațiile din sistemul (3.1) și necunoscutele din acest sistem., : LiniaralgebrăȘi neliniară ... managementPentru laborator lucrăriDe ... metodic instrucțiuni PentrupracticlucrăriDe Pentruelevi ...

Literatură educațională (științe ale naturii și tehnică) 2000-2011 ciclu opd - 10 ani ciclu sd - 5 ani

Literatură

... NaturalȘtiințeîn general 1. Astronomie [Text]: manual Pentru ... Numericmetode: LiniaralgebrăȘi neliniară ... managementPentru laborator lucrăriDe ... metodic instrucțiuni PentrupracticlucrăriDe disciplina „Economia transporturilor” Pentruelevi ...

- stiinte ale naturii (1)

Tutorial

... managementPentrueleviși profesori, proiectate Pentru utilizați nu numai în studiu metodemuncă... generație practic abilități folosind date reale. metodic recomandări De credit muncăDe dat...

- stiinte ale naturii - stiinte fizice si matematice - stiinte chimice - stiinte ale pamantului (stiinte geodezice, geofizice, geologice si geografice)

Document

... Pentruelevinatural- ... lucrăriDe disciplina „Genetică și selecție”, dedicată problemelor actuale ale acesteia Științe. Sistematizat independent Loc de muncaeleviDe teoretic şi practic ... liniar, neliniară, dinamic. Toate metode ...

- stiinte ale naturii - stiinte fizice si matematice - stiinte chimice - stiinte ale pamantului (stiinte geodezice, geofizice, geologice si geografice) (7)

Lista manualelor

determinantul lui Eremin liniarȘi neliniarăalgebră : liniarȘi neliniară programare: noua metodă/ Eremin, Mihail... Pentrueleviși profesori de specialități geologice ale universităților. kx-1 1794549 99. D3 P 693 PracticmanagementDe ...

Metoda lui Newton (cunoscută și ca metoda tangentei) este o metodă numerică iterativă pentru găsirea rădăcinii (zero) unei anumite funcții. Metoda a fost propusă pentru prima dată de fizicianul, matematicianul și astronomul englez Isaac Newton (1643-1727), sub numele căruia și-a câștigat faima.

Metoda a fost descrisă de Isaac Newton în manuscrisul De analysi per equationes numeroum terminorum infinitas (lat. .Despre analiza prin ecuații de serie infinită), adresată în 1669 lui Barrow, și în De metodis fluxionum et serierum infinitarum (lat. Method of fluxions and infinite series) sau Geometria analytica ( lat.Analitice geometrie) în colecțiile lui Newton, care a fost scrisă în 1671. Cu toate acestea, descrierea metodei a diferit semnificativ de prezentarea sa actuală: Newton și-a aplicat metoda exclusiv la polinoame. El a calculat nu aproximații succesive x n , ci o succesiune de polinoame și ca rezultat a obținut o soluție aproximativă x.

Metoda a fost publicată pentru prima dată în tratatul Algebra de John Wallis în 1685, la cererea căruia a fost descrisă pe scurt de însuși Newton. În 1690, Joseph Raphson a publicat o descriere simplificată în Analysis aequationum universalis (lat. Analiza generală a ecuaţiilor). Raphson a văzut metoda lui Newton ca fiind pur algebrică și și-a limitat aplicarea la polinoame, dar a descris metoda bazată pe aproximări succesive ale lui x n în loc de secvența mai dificil de înțeles de polinoame folosită de Newton.

În cele din urmă, în 1740, metoda lui Newton a fost descrisă de Thomas Simpson ca o metodă iterativă de ordinul întâi pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare folosind o derivată, așa cum este prezentată aici. În aceeași publicație, Simpson a generalizat metoda la cazul unui sistem de două ecuații și a remarcat că metoda lui Newton poate fi aplicată și problemelor de optimizare prin găsirea zeroului derivatei sau gradientului.

În conformitate cu această metodă, problema găsirii rădăcinii unei funcții se reduce la problema găsirii punctului de intersecție cu axa absciselor tangentei trasate la graficul funcției .

Fig.1 . Graficul de schimbare a funcției

Linia tangentă trasată în orice punct la graficul funcției este determinată de derivata funcției date în punctul luat în considerare, care la rândul său este determinată de tangenta unghiului α (). Punctul de intersecție al tangentei cu axa absciselor se determină pe baza următoarei relații într-un triunghi dreptunghic: tangenta unghiuluiîntr-un triunghi dreptunghic este determinată de raportul dintre catetul opus și catetul adiacent al triunghiului. Astfel, la fiecare pas, se construiește o tangentă la graficul funcției în punctul următoarei aproximări . Punct de intersecție al tangentei cu axa Bou va fi următorul punct de abordare. În conformitate cu metoda luată în considerare, calculul valorii aproximative a rădăcinii pei-iteratiile se fac dupa formula:

Panta dreptei este ajustată la fiecare pas în cel mai bun mod, cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție faptului că algoritmul nu ia în considerare curbura graficului și, prin urmare, în timpul calculului, rămâne necunoscut în care direcția în care graficul se poate abate.

Condiția pentru încheierea procesului iterativ este îndeplinirea următoarei condiții:

Unde ˗ eroare admisibilă în determinarea rădăcinii.

Metoda are convergență pătratică. Rata pătratică de convergență înseamnă că numărul de cifre corecte din aproximare se dublează cu fiecare iterație.

Justificare matematică

Să fie dată o funcție reală, care este definită și continuă pe secțiunea luată în considerare. Este necesar să se găsească rădăcina reală a funcției luate în considerare.

Derivarea ecuației se bazează pe metoda iterațiilor simple, conform căreia ecuația este redusă la o ecuație echivalentă pentru orice funcție. Să introducem conceptul de mapare a contracției, care este definit de relația .

Pentru cea mai bună convergență a metodei în punctul următoarei aproximări, condiția trebuie îndeplinită. Această cerință înseamnă că rădăcina funcției trebuie să corespundă extremului funcției.

Derivata cartografierii contractieieste definită în următoarea formă:

Să exprimăm o variabilă din această expresiesub rezerva afirmaţiei acceptate anterior că pentru este necesară asigurarea condiţiei . Ca rezultat, obținem o expresie pentru determinarea variabilei:

Având în vedere acest lucru, recepția funcției de contracție este după cum urmează:

Astfel, algoritmul pentru găsirea unei soluții numerice a ecuației este redus la o procedură de calcul iterativă:

Algoritm pentru găsirea rădăcinii unei ecuații neliniare folosind metoda

1. Setați punctul de pornire al valorii aproximative a rădăcinii funcției, precum și eroarea de calcul (număr pozitiv mic) și pasul inițial de iterație ().

2. Calculați valoarea aproximativă a rădăcinii funcției în conformitate cu formula:

3. Verificăm valoarea aproximativă a rădăcinii pentru precizia specificată, în cazul:

Dacă diferența dintre două aproximări succesive devine mai mică decât precizia specificată, atunci procesul iterativ se termină.

Dacă diferența a două aproximări succesive nu atinge precizia necesară, atunci este necesar să se continue procesul iterativ și să se treacă la pasul 2 al algoritmului luat în considerare.

Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor

conform metodeiNewton pentru o ecuație cu o variabilă

Ca exemplu, luați în considerare soluția unei ecuații neliniare prin metodăNewton pentru o ecuație cu o variabilă. Rădăcina trebuie găsită cu acuratețe ca primă aproximare.

O variantă de rezolvare a unei ecuații neliniare într-un pachet softwareMathCADprezentat în figura 3.

Rezultatele calculului, și anume dinamica modificării valorii aproximative a rădăcinii, precum și erorile de calcul din pasul de iterație, sunt prezentate în formă grafică (vezi Fig. 2).

Fig.2. Rezultatele calculului Newton pentru o ecuație cu o variabilă

Pentru a asigura acuratețea specificată atunci când căutați o valoare aproximativă a rădăcinii ecuației în interval, este necesar să efectuați 4 iterații. La ultimul pas de iterație, valoarea aproximativă a rădăcinii ecuației neliniare va fi determinată de valoarea: .

Fig.3 . Listarea programului înMathCad

Modificări ale metodei lui Newton pentru o ecuație cu o variabilă

Există mai multe modificări ale metodei lui Newton, care au ca scop simplificarea procesului de calcul.

Metoda lui Newton simplificată

În conformitate cu metoda lui Newton, este necesar să se calculeze derivata funcției f(x) la fiecare pas de iterație, ceea ce duce la o creștere a costurilor de calcul. Pentru a reduce costurile asociate cu calcularea derivatei la fiecare pas de calcul, puteți înlocui derivata f'(x n) în punctul x n din formulă cu derivata f'(x 0) în punctul x 0 . În conformitate cu această metodă de calcul, valoarea aproximativă a rădăcinii este determinată de următoarea formulă:Metoda lui Newton modificată

Metoda diferenței lui Newton

Ca rezultat, valoarea aproximativă a rădăcinii funcției f(x) va fi determinată prin expresia metodei diferențelor lui Newton:

Metoda în două etape a lui Newton

În conformitate cu metoda lui Newton, este necesar să se calculeze derivata funcției f(x) la fiecare pas de iterație, ceea ce nu este întotdeauna convenabil și uneori practic imposibil. Această metodă vă permite să înlocuiți derivata unei funcții cu un raport de diferență (valoare aproximativă):

Ca rezultat, valoarea aproximativă a rădăcinii funcției f(x) va fi determinată de următoarea expresie:

Unde

Fig.5 . Metoda în două etape a lui Newton

Metoda secantei este o metodă în două etape, adică o nouă aproximaredeterminat de două iterații anterioareȘi . Metoda necesită două presupuneri inițialeȘi . Rata de convergență a metodei va fi liniară.

• Înapoi
• Redirecţiona

Pentru a adăuga comentariul dumneavoastră la articol, vă rugăm să vă înregistrați pe site.

Problema găsirii de soluții la un sistem de n ecuații algebrice sau transcendentale neliniare cu n necunoscute de forma

	f 1(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	f 2(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	……………………
	f n (x 1 ,x 2 ,… x n ) = 0,

considerate pe scară largă în practica computațională. Sisteme similare de ecuații pot apărea, de exemplu, în simularea numerică a sistemelor fizice neliniare în etapa de căutare a stărilor lor staționare. Într-un număr de cazuri, sisteme de forma (6.1) sunt obținute indirect, în procesul de rezolvare a unei alte probleme de calcul. De exemplu, atunci când încercați să minimizați o funcție a mai multor variabile, puteți căuta acele puncte într-un spațiu multidimensional în care gradientul funcției este zero. În acest caz, trebuie rezolvat sistemul de ecuații (6.1) cu laturile din stânga, proiecțiile gradientului pe axele de coordonate.

În notație vectorială, sistemul (6.1) poate fi scris într-o formă mai compactă

coloană vectorială de funcții, simbolul () T indică operația de transpon-

Găsirea de soluții la un sistem de ecuații neliniare este o sarcină mult mai dificilă decât rezolvarea unei singure ecuații neliniare. Cu toate acestea, o serie de metode iterative pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare pot fi extinse și la sistemele de ecuații neliniare.

Metodă simplă de iterație

Metoda iterației simple pentru sisteme de ecuații neliniare este în esență o generalizare a metodei cu același nume pentru o ecuație. Se bazează pe faptul că sistemul de ecuații (6.1) se reduce la forma

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

iar iterațiile sunt efectuate conform formulelor

x 1 (k + 1) \u003d g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)), x 2 (k + 1) \u003d g 2 (x 1 (k) ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1 )= g n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) .

Aici suprascriptul indică numărul de aproximare. Procesul iterativ (6.3) începe cu o aproximare inițială

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) și continuă până la modulele de increment

dintre toate argumentele după o k-iterație nu va deveni mai mică decât valoarea dată ε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Deși metoda de iterație simplă duce direct la soluție și este ușor de programat, are două dezavantaje semnificative. Una dintre ele este convergența lentă. Celălalt este că, dacă aproximarea inițială este aleasă departe de soluția adevărată (X 1 ,X 2 ,… ,X n ), atunci convergența

metoda nu este garantată. Este clar că problema alegerii aproximării inițiale, care nu este simplă nici măcar pentru o singură ecuație, devine foarte complicată pentru sistemele neliniare.

Rezolvați sistemul de ecuații neliniare:

	(X...		) =0
F n (x 1...		x n) = 0 .

Nu există metode directe de rezolvare a sistemelor generale neliniare. Doar în unele cazuri sistemul (4.1) poate fi rezolvat direct. De exemplu, pentru cazul a două ecuații, uneori este posibil să se exprime o necunoscută în termenii celeilalte și astfel să se reducă problema la rezolvarea unei ecuații neliniare în raport cu o necunoscută.

Metodele iterative sunt de obicei folosite pentru a rezolva sisteme de ecuații neliniare.

metoda lui Newton

În cazul unei ecuații F (x) = 0, algoritmul metodei lui Newton a fost ușor de obținut prin scrierea ecuațiilor tangentei la curba y = F (x) . Metoda lui Newton pentru sistemele de ecuații se bazează pe utilizarea expansiunii funcțiilor F 1 (x 1 ... x n) într-o serie Taylor și a termenilor care conțin

Toate derivatele secundare (și de ordin superior) sunt eliminate. Fie valorile aproximative ale necunoscutelor sistemului (4.1) să fie egale cu

în mod responsabil a 1 ,a 2 ,....,a n . Problema este să găsești incremente (cu

editări) la aceste valori	x 1 ,x 2 ,...,	x n , datorită căruia soluția sistemului
subiectele vor fi scrise astfel:
x 1= a 1+ x 1,	x 2= a 2+	x 2 , .... ,x n = a n + x n .

Să extindem laturile stângi ale ecuației (4.1) ținând cont de expansiunea într-o serie Taylor, limitându-ne la termeni liniari raportați la

incremente:
F1(x1...xn) ≈ F1(a1...an) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ F 1		xn,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂F2	x 1+			∂F2	xn,
	∂x				∂x
...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂Fn	x 1+			∂Fn	xn .
	∂x				∂x

Înlocuind în sistemul (4.1), obținem următorul sistem de ecuații algebrice liniare în funcție de incremente:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= -F ,
∂x			∂x			∂x
∂F2			∂F2				∂F2		= -F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= -F .
∂x			∂x				∂x
Valorile F 1...				derivate				calculat la

x 2 \u003d a 2, ... x n \u003d a n.

Determinantul sistemului (4.3) este jacobianul:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂F2		∂F2
J = ∂ x		∂x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1= a 1,

Pentru existența unei soluții unice a sistemului, jacobianul trebuie să fie diferit de zero la fiecare iterație.

Astfel, procesul iterativ de rezolvare a sistemului de ecuații prin metoda Newton constă în determinarea incrementelor x 1 ,x 2 , ...,x n la valorile necunoscutelor la fiecare iterație prin rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare (4.3). Numărarea se oprește dacă toate incrementele devin mici în valoare absolută: maxx i< ε . В ме-

Metoda lui Newton este de asemenea importantă pentru o bună alegere a aproximării inițiale pentru a asigura o bună convergență. Convergența se deteriorează odată cu creșterea numărului de ecuații ale sistemului.

Ca exemplu, luați în considerare utilizarea metodei lui Newton pentru a rezolva un sistem de două ecuații:

∂ ∂ F 1. x

Valorile din partea dreaptă sunt calculate la x = a ,y = b .

Dacă sunt îndeplinite condițiile		y - b		< εи		x − a			pentru un M dat, atunci
valorile x și y sunt afișate,	in caz contrar								are loc ieșire
x,y,M.



Cuvinte cheie:

Scopul lucrării: studiați metodele de rezolvare a ecuațiilor neliniare cu o necunoscută și testați-le în muncă experimentală.

Sarcini de lucru:

1. Să analizeze literatura specială și să aleagă cele mai raționale modalități de rezolvare a ecuațiilor neliniare, permițând tuturor absolvenților de liceu să studieze și să asimileze în profunzime această temă.
2. Dezvoltați unele aspecte ale metodologiei de rezolvare a ecuațiilor neliniare folosind TIC.
3. Învață metode de rezolvare a ecuațiilor neliniare:

‒ Metoda pasului

‒ Metoda bisectiei

‒ metoda lui Newton

Introducere.

Fără alfabetizare matematică, este imposibil să stăpânești cu succes metodele de rezolvare a problemelor din fizică, chimie, biologie și alte discipline. Întregul complex de științe ale naturii este construit și dezvoltat pe baza cunoștințelor matematice. De exemplu, studiul unui număr de probleme de actualitate de fizică matematică duce la necesitatea rezolvării ecuațiilor neliniare. Rezolvarea ecuațiilor neliniare este necesară în optica neliniară, fizica plasmei, teoria supraconductivității și fizica temperaturii joase. Există o cantitate suficientă de literatură pe această temă, dar multe manuale și articole sunt greu de înțeles pentru un elev de liceu. În această lucrare sunt luate în considerare metode de rezolvare a ecuațiilor neliniare care pot fi utilizate în rezolvarea problemelor aplicate de fizică și chimie. Un aspect interesant este aplicarea tehnologiei informației la rezolvarea ecuațiilor și problemelor din matematică.

metoda pasului.

Fie necesar să se rezolve o ecuație neliniară de forma ecuației F(x)=0. Să presupunem, de asemenea, că ni se oferă un interval de căutare. Este necesar să se găsească intervalul [а,b] de lungime h care conține prima rădăcină a ecuației, începând de la marginea stângă a intervalului de căutare.

Orez. 1. Metoda pasului

Există mai multe modalități de a rezolva o astfel de problemă. Metoda pasului este cea mai simplă dintre metodele numerice de rezolvare a inegalităților, dar pentru a obține o precizie ridicată, este necesar să se reducă semnificativ pasul, iar acest lucru crește foarte mult timpul de calcul. Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor folosind această metodă constă din două etape.

euetapă. Secțiunea rădăcină.

În această etapă, se determină secțiuni, pe fiecare dintre care există o singură rădăcină a ecuației. Există mai multe opțiuni pentru implementarea acestei etape:

• Înlocuim valorile lui X (de preferință cu un pas destul de mic) și vedem unde funcția își schimbă semnul. Dacă funcția și-a schimbat semnul, aceasta înseamnă că există o rădăcină în secțiunea dintre valoarea anterioară și cea actuală a lui X (dacă funcția nu schimbă natura creșterii / scăderii, atunci se poate argumenta că există doar una rădăcină în acest interval).
• Metoda grafică. Construim un grafic și evaluăm la ce intervale se află o rădăcină.
• Investigăm proprietățile unei anumite funcții.

IIetapă. Rafinarea rădăcinilor.

În această etapă, este specificată valoarea rădăcinilor ecuației, determinată mai devreme. De regulă, metodele iterative sunt utilizate în această etapă. De exemplu, metoda semidiviziunii (dihotomie) sau metoda lui Newton.

Metoda semidiviziunii

O metodă numerică rapidă și destul de simplă pentru rezolvarea ecuațiilor bazată pe îngustarea succesivă a intervalului care conține rădăcina unică a ecuației F(x) = 0 până la atingerea preciziei specificate E. Această metodă este de obicei utilizată la rezolvarea ecuațiilor și ecuațiilor pătratice de grade superioare. Cu toate acestea, această metodă are un dezavantaj semnificativ - dacă segmentul [a, b] conține mai mult de o rădăcină, atunci nu va fi posibil să obțineți rezultate bune cu ajutorul său.

Orez. 2. Metoda dihotomiei

Algoritmul acestei metode este următorul:

– Să se determine o nouă aproximare a rădăcinii x în mijlocul segmentului [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Găsiți valorile funcției în punctele a și x: F(a) și F(x).

‒ Verificați starea F(a)*F(x)

‒ Treceți la pasul 1 și împărțiți din nou segmentul în jumătate. Continuați algoritmul până la condiția |F(x)|

metoda lui Newton

Cea mai precisă dintre metodele de rezolvare numerică; potrivit pentru rezolvarea de ecuații foarte complexe, dar complicat de necesitatea de a calcula derivate la fiecare pas. este că dacă x n este o aproximare a rădăcinii ecuației , atunci următoarea aproximare este definită ca rădăcina tangentei la funcția f(x) desenată în punctul x n .

Ecuația tangentei la funcția f(x) în punctul x n are forma:

În ecuația tangentei, să punem y \u003d 0 și x \u003d x n +1.

Atunci algoritmul calculelor secvențiale din metoda lui Newton este următorul:

Convergența metodei tangentei este pătratică, ordinea convergenței este 2.

Astfel, convergența metodei tangentei lui Newton este foarte rapidă.

Fără modificări, metoda este generalizată la cazul complex. Dacă rădăcina x i este rădăcina celei de-a doua multiplicități și mai mare, atunci ordinea de convergență scade și devine liniară.

Dezavantajele metodei lui Newton includ localitatea acesteia, deoarece este garantată să converge pentru o aproximare de pornire arbitrară numai dacă condiția , altfel există convergență doar într-o anumită vecinătate a rădăcinii.

Metoda lui Newton (metoda tangentei) este de obicei folosită dacă ecuația f(x) = 0 are o rădăcină și sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) funcția y=f(x) este definită și continuă pentru ;

2) f(a) f(b) (funcția ia valori de diferite semne la capetele segmentului [ a;b]);

3) derivate f"(x)Și f""(x) păstrați semnul pe segmentul [ a;b] (adică funcția f(x) fie crește, fie scade pe interval [ a;b], menținând în același timp direcția convexității);

Sensul metodei este următorul: pe segmentul [ a;b] se alege un astfel de număr x 0 , sub care f(x0) are acelasi semn ca f""(x0), adică starea f(x 0) f""(x) > 0. Astfel, se alege un punct cu abscisă x0, unde tangenta la curba y=f(x) pe segmentul [ a;b] traversează axa Bou. Pentru un punct x0În primul rând, este convenabil să alegeți unul dintre capetele segmentului.

Să luăm în considerare acest algoritm pe un exemplu specific.

Să ni se dea o funcție crescătoare y = f(x) = x 2– 2, continuă pe intervalul (0;2), și având f „(x)=2x>0Și f ""(x) = 2> 0.

În cazul nostru, ecuația tangentei are forma: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0).ÎN ca punct x 0 alege un punct B 1 (b; f(b)) = (2,2). Desenăm o tangentă la funcție y = f(x)în punctul B 1 și notăm punctul de intersecție al tangentei și a axei Bou punct x 1. Obținem ecuația primei tangente: y-2=2 2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =

Orez. 3. Construcția primei tangente la graficul funcției f(x)

y=f(x) Bou printr-un punct x 1, obținem un punct B2 =(1,5; 0,25). Desenați din nou o tangentă la funcție y = f(x)în punctul B 2, și notăm punctul de intersecție al tangentei și Bou punct x2.

Ecuația celei de-a doua tangente: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y=3x - 4,25. Punctul de intersecție al tangentei și al axei Ox: x 2 =.

Apoi găsim punctul de intersecție al funcției y=f(x)și o perpendiculară pe axă Bou prin punctul x 2, obținem punctul B 3 și așa mai departe.

Orez. 4. Construcția celei de-a doua tangente la graficul funcției f(x)

Prima aproximare a rădăcinii este determinată de formula:

= 1.5.

A doua aproximare a rădăcinii este determinată de formula:

=

A treia aproximare a rădăcinii este determinată de formula:

Prin urmare , i-a aproximarea rădăcinii este determinată de formula:

Calculele sunt efectuate până când zecimalele necesare în răspuns se potrivesc sau se atinge precizia specificată e - până când inegalitatea este îndeplinită |xi-xi-1|

În cazul nostru, să comparăm aproximarea obținută în pasul al treilea cu răspunsul real. După cum puteți vedea, deja la al treilea pas am primit o eroare mai mică de 0,000002.

Rezolvarea ecuațiilor cu CADMathCAD

Pentru cele mai simple ecuații ale formei f(X) = 0 soluția în MathCAD se găsește folosind funcția rădăcină.

rădăcină(f (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - returnează o valoare X 1 , aparținând segmentului [ a, b ] , în care expresia sau funcția f (X ) devine 0. Ambele argumente ale acestei funcții trebuie să fie scalari. Funcția returnează un scalar.

Orez. 5. Rezolvarea unei ecuații neliniare în MathCAD (funcția rădăcină)

Dacă apare o eroare ca urmare a aplicării acestei funcții, atunci aceasta poate însemna că ecuația nu are rădăcini sau rădăcinile ecuației sunt situate departe de aproximarea inițială, expresia are local maxȘi minîntre aproximarea iniţială şi rădăcini.

Pentru a determina cauza erorii, este necesar să examinați graficul funcției f(X). Va ajuta să aflați prezența rădăcinilor ecuației f(X) = 0 și, dacă sunt, atunci determinați-le valorile aproximative. Cu cât se alege mai precis aproximarea inițială a rădăcinii, cu atât mai rapid se va găsi valoarea exactă a acesteia.

Dacă aproximarea inițială este necunoscută, atunci este recomandabil să utilizați funcția rezolva . În acest caz, dacă ecuația conține mai multe variabile, trebuie să specificați după cuvântul cheie solve o listă de variabile în raport cu care se rezolvă ecuația.

Orez. 6. Rezolvarea unei ecuații neliniare în MathCAD (funcția de rezolvare)

Concluzie

Pe parcursul studiului au fost luate în considerare atât metodele matematice, cât și soluționarea ecuațiilor folosind programarea în CAD MathCAD. Diferite metode au propriile avantaje și dezavantaje. Trebuie remarcat faptul că aplicarea unei metode sau alteia depinde de condițiile inițiale ale ecuației date. Acele ecuații care sunt bine rezolvate prin metode de factorizare etc cunoscute în școală, nu au sens să rezolve în moduri mai complexe. Problemele de matematică aplicată care sunt importante pentru fizică și chimie și necesită operații de calcul complexe la rezolvarea ecuațiilor sunt rezolvate cu succes, de exemplu, cu ajutorul programării. Sunt bine rezolvate prin metoda lui Newton.

Pentru a rafina rădăcinile, puteți aplica mai multe metode pentru rezolvarea aceleiași ecuații. Acest studiu a stat la baza acestei lucrări. În același timp, este ușor de urmărit care metodă are cel mai mult succes în rezolvarea fiecărei etape a ecuației și care metodă este mai bine să nu se aplice în această etapă.

Materialul studiat, pe de o parte, contribuie la extinderea și aprofundarea cunoștințelor matematice, stârnind interesul pentru matematică. Pe de altă parte, este important să poți rezolva problemele de matematică reală pentru cei care urmează să dobândească profesia de direcție tehnică și inginerească. Prin urmare, această muncă este importantă pentru educația ulterioară (de exemplu, într-o instituție de învățământ superior).

Literatură:

1. Mityakov S. N. Informatică. Un complex de materiale educaționale și metodice. - Nijni Novgorod: Nijni Novgorod. stat tehnologie. Universitatea, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teoria de ramificare a soluțiilor ecuațiilor neliniare. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai VTU - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematică: manual. - Rostov n/a.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician. - M.: Pedagogie, 1989.
6. Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Matematică superioară bazată pe Mathcad. Curs general. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Metode numerice bazate pe Mathcad. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Cuvinte cheie: ecuații neliniare, matematică aplicată, MathCAD, metoda lui Newton, metoda pasului, metoda dihotomiei..

Adnotare: Articolul este dedicat studiului metodelor de rezolvare a ecuațiilor neliniare, inclusiv folosind sistemul de proiectare asistată de calculator MathCAD. Sunt luate în considerare metoda pasului, semidiviziunea și metodele Newton, sunt dați algoritmi detaliați pentru aplicarea acestor metode și se efectuează o analiză comparativă a acestor metode.