Ordinea de calcul în exemple. Procedura de realizare a acțiunilor, regulilor, exemplelor

Această lecție discută în detaliu procedura de efectuare a operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze și cu paranteze. Elevii au posibilitatea, în timp ce îndeplinesc temele, să stabilească dacă semnificația expresiilor depinde de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice, să afle dacă ordinea operațiilor aritmetice este diferită în expresiile fără paranteze și cu paranteze, să exerseze aplicarea regula învăţată, pentru a găsi şi corecta erorile făcute la determinarea ordinii acţiunilor.

În viață, facem constant un fel de acțiune: mergem, studiem, citim, scriem, numărăm, zâmbim, ne certam și ne împăcăm. Efectuăm aceste acțiuni în diferite ordine. Uneori pot fi schimbate, alteori nu. De exemplu, când te pregătești de școală dimineața, poți mai întâi să faci exerciții, apoi să-ți faci patul sau invers. Dar nu poți merge mai întâi la școală și apoi te îmbraci.

În matematică, este necesar să se efectueze operații aritmetice într-o anumită ordine?

Sa verificam

Să comparăm expresiile:
8-3+4 și 8-3+4

Vedem că ambele expresii sunt exact aceleași.

Să efectuăm acțiuni într-o expresie de la stânga la dreapta, iar în cealaltă de la dreapta la stânga. Puteți folosi numere pentru a indica ordinea acțiunilor (Fig. 1).

Orez. 1. Procedura

În prima expresie, vom efectua mai întâi operația de scădere și apoi vom adăuga numărul 4 la rezultat.

În a doua expresie, găsim mai întâi valoarea sumei și apoi scădem rezultatul rezultat 7 din 8.

Vedem că semnificațiile expresiilor sunt diferite.

Să conchidem: Ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice nu poate fi schimbată.

Să învățăm regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze.

Dacă o expresie fără paranteze include doar adunarea și scăderea sau doar înmulțirea și împărțirea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care sunt scrise.

Sa exersam.

Luați în considerare expresia

Această expresie conține doar operații de adunare și scădere. Aceste acțiuni sunt numite acțiuni de primă etapă.

Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 2).

Orez. 2. Procedura

Luați în considerare a doua expresie

Această expresie conține doar operații de înmulțire și împărțire - Acestea sunt acțiunile din a doua etapă.

Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 3).

Orez. 3. Procedura

În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea?

Dacă o expresie fără paranteze include nu numai operațiile de adunare și scădere, ci și de înmulțire și împărțire, sau ambele operații, atunci mai întâi efectuați în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la expresie.

Să gândim așa. Această expresie conține operațiile de adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să aranjam ordinea acțiunilor.

Să calculăm valoarea expresiei.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă într-o expresie există paranteze?

Dacă o expresie conține paranteze, valoarea expresiilor din paranteze este evaluată mai întâi.

Să ne uităm la expresie.

30 + 6 * (13 - 9)

Vedem că în această expresie există o acțiune între paranteze, ceea ce înseamnă că vom efectua mai întâi această acțiune, apoi înmulțirea și adunarea în ordine. Să aranjam ordinea acțiunilor.

30 + 6 * (13 - 9)

Să calculăm valoarea expresiei.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Cum ar trebui să se stabilească corect ordinea operațiilor aritmetice într-o expresie numerică?

Înainte de a începe calculele, trebuie să vă uitați la expresie (aflați dacă conține paranteze, ce acțiuni conține) și abia apoi să efectuați acțiunile în următoarea ordine:

1. acțiuni scrise între paranteze;

2. înmulțirea și împărțirea;

3. adunare și scădere.

Diagrama vă va ajuta să vă amintiți această regulă simplă (Fig. 4).

Orez. 4. Procedura

Sa exersam.

Să luăm în considerare expresiile, să stabilim ordinea acțiunilor și să efectuăm calcule.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Vom acționa conform regulii. Expresia 43 - (20 - 7) +15 conține operații între paranteze, precum și operații de adunare și scădere. Să stabilim o procedură. Prima acțiune este de a efectua operația între paranteze, iar apoi, în ordine de la stânga la dreapta, scăderea și adunarea.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Expresia 32 + 9 * (19 - 16) conține operații între paranteze, precum și operații de înmulțire și adunare. Conform regulii, executam mai intai actiunea din paranteze, apoi inmultirea (inmultim numarul 9 cu rezultatul obtinut prin scadere) si adunare.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

În expresia 2*9-18:3 nu există paranteze, dar există operații de înmulțire, împărțire și scădere. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scădem rezultatul obținut din împărțire din rezultatul obținut prin înmulțire. Adică prima acțiune este înmulțirea, a doua este împărțirea, iar a treia este scăderea.

2*9-18:3=18-6=12

Să aflăm dacă ordinea acțiunilor din următoarele expresii este corect definită.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Să gândim așa.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Nu există paranteze în această expresie, ceea ce înseamnă că mai întâi facem înmulțirea sau împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea sau scăderea. În această expresie, prima acțiune este împărțirea, a doua este înmulțirea. A treia acțiune ar trebui să fie adunarea, a patra - scăderea. Concluzie: procedura este determinată corect.

Să găsim valoarea acestei expresii.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Să continuăm să vorbim.

A doua expresie contine paranteze, ceea ce inseamna ca mai intai executam actiunea intre paranteze, apoi de la stanga la dreapta inmultirea sau impartirea, adunarea sau scaderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este împărțirea, a treia este adunarea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim valoarea expresiei.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Această expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi executăm acțiunea în paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Să verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este înmulțirea, a treia este scăderea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim valoarea expresiei.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Să finalizăm sarcina.

Să aranjam ordinea acțiunilor în expresie folosind regula învățată (Fig. 5).

Orez. 5. Procedura

Nu vedem valori numerice, așa că nu vom putea găsi sensul expresiilor, dar vom exersa aplicarea regulii pe care am învățat-o.

Acționăm conform algoritmului.

Prima expresie conține paranteze, ceea ce înseamnă că prima acțiune este între paranteze. Apoi de la stânga la dreapta înmulțirea și împărțirea, apoi de la stânga la dreapta scăderea și adunarea.

A doua expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că facem prima acțiune între paranteze. După aceea, de la stânga la dreapta, înmulțirea și împărțirea, după aceea, scăderea.

Să ne verificăm singuri (Fig. 6).

Orez. 6. Procedura

Astăzi la clasă am aflat despre regula pentru ordinea acțiunilor în expresii fără și cu paranteze.

Bibliografie

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. - M.: „Iluminări”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M.: „Iluminări”, 2012.
3. M.I. Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodologice pentru profesori. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
4. Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M.: „Iluminismul”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: Programe pentru școala primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucrări de test. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Teme pentru acasă

1. Determinați ordinea acțiunilor în aceste expresii. Găsiți semnificația expresiilor.

2. Stabiliți în ce expresie se realizează această ordine de acțiuni:

1. înmulțire; 2. diviziune;. 3. adaos; 4. scădere; 5. adaos. Găsiți sensul acestei expresii.

3. Alcătuiți trei expresii în care se execută următoarea ordine a acțiunilor:

1. înmulțire; 2. adaos; 3. scădere

1. adaos; 2. scădere; 3. adaos

1. înmulțire; 2. diviziune; 3. adaos

Găsiți semnificația acestor expresii.

Școala primară se apropie de sfârșit, iar în curând copilul va păși în lumea avansată a matematicii. Dar deja în această perioadă studentul se confruntă cu dificultățile științei. Atunci când îndeplinește o sarcină simplă, copilul devine confuz și se pierde, ceea ce duce în cele din urmă la o notă negativă pentru munca depusă. Pentru a evita astfel de probleme, atunci când rezolvați exemple, trebuie să puteți naviga în ordinea în care trebuie să rezolvați exemplul. După ce a distribuit acțiunile incorect, copilul nu îndeplinește sarcina corect. Articolul dezvăluie regulile de bază pentru rezolvarea exemplelor care conțin întreaga gamă de calcule matematice, inclusiv paranteze. Procedura la matematică reguli de clasa a IV-a și exemple.

Înainte de a finaliza sarcina, cereți-i copilului să numere acțiunile pe care urmează să le efectueze. Dacă aveți dificultăți, vă rugăm să ajutați.

Câteva reguli de urmat atunci când rezolvați exemple fără paranteze:

Dacă o sarcină necesită un număr de acțiuni pentru a fi efectuate, trebuie mai întâi să efectuați împărțirea sau înmulțirea, apoi . Toate acțiunile sunt efectuate pe măsură ce scrisoarea progresează. În caz contrar, rezultatul deciziei nu va fi corect.

Dacă în exemplu trebuie să executați, o facem în ordine, de la stânga la dreapta.

27-5+15=37 (La rezolvarea exemplului ne ghidăm după regulă. Mai întâi facem scăderea, apoi adunarea).

Învață-ți copilul să planifice și să numere întotdeauna acțiunile efectuate.

Răspunsurile la fiecare acțiune rezolvată sunt scrise deasupra exemplului. Acest lucru va face mult mai ușor pentru copil să navigheze prin acțiuni.

Să luăm în considerare o altă opțiune în care este necesar să distribuim acțiunile în ordine:

După cum puteți vedea, la rezolvare, se respectă regula: mai întâi căutăm produsul, apoi căutăm diferența.

Acestea sunt exemple simple care necesită o analiză atentă atunci când le rezolvăm. Mulți copii sunt uluiți când văd o sarcină care conține nu numai înmulțirea și împărțirea, ci și paranteze. Un elev care nu cunoaște procedura de efectuare a acțiunilor are întrebări care îl împiedică să îndeplinească sarcina.

După cum se precizează în regulă, mai întâi găsim produsul sau coeficientul și apoi totul. Dar sunt paranteze! Ce să faci în acest caz?

Rezolvarea exemplelor cu paranteze

Să ne uităm la un exemplu concret:

• Când îndeplinim această sarcină, găsim mai întâi valoarea expresiei cuprinsă în paranteze.
• Ar trebui să începeți cu înmulțirea, apoi cu adunarea.
• După ce expresia dintre paranteze este rezolvată, trecem la acțiuni în afara acestora.
• Conform regulilor de procedură, următorul pas este înmulțirea.
• Etapa finală va fi.

După cum putem vedea în exemplul vizual, toate acțiunile sunt numerotate. Pentru a consolida subiectul, invitați-vă copilul să rezolve singur câteva exemple:

Ordinea în care trebuie calculată valoarea expresiei a fost deja aranjată. Copilul va trebui doar să ducă la îndeplinire decizia direct.

Să complicăm sarcina. Lăsați copilul să găsească singur sensul expresiilor.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Învață-ți copilul să rezolve toate sarcinile sub formă de schiță. În acest caz, elevul va avea posibilitatea de a corecta o decizie incorectă sau blots. Nu sunt permise corecții în registrul de lucru. Prin îndeplinirea sarcinilor pe cont propriu, copiii își văd greșelile.

Părinții, la rândul lor, ar trebui să fie atenți la greșeli, să ajute copilul să le înțeleagă și să le corecteze. Nu ar trebui să supraîncărcați creierul unui elev cu cantități mari de sarcini. Cu astfel de acțiuni vei descuraja dorința copilului de cunoaștere. Ar trebui să existe un simț al proporției în toate.

Ia o pauză. Copilul ar trebui să fie distras și să ia o pauză de la cursuri. Principalul lucru de reținut este că nu toată lumea are o minte matematică. Poate copilul tău va crește și va deveni un filosof celebru.

Când lucrăm cu diverse expresii care includ numere, litere și variabile, trebuie să efectuăm un număr mare de operații aritmetice. Când facem o conversie sau calculăm o valoare, este foarte important să urmărim ordinea corectă a acestor acțiuni. Cu alte cuvinte, operațiile aritmetice au propria lor ordine specială de execuție.

Yandex.RTB R-A-339285-1

În acest articol vă vom spune ce acțiuni trebuie făcute mai întâi și care după. Mai întâi, să ne uităm la câteva expresii simple care conțin doar variabile sau valori numerice, precum și semne de împărțire, înmulțire, scădere și adunare. Apoi să luăm exemple cu paranteze și să ne gândim în ce ordine ar trebui calculate. În a treia parte vom oferi ordinea necesară a transformărilor și calculelor în acele exemple care includ semne de rădăcini, puteri și alte funcții.

Definiția 1

În cazul expresiilor fără paranteze, ordinea acțiunilor este determinată fără ambiguitate:

1. Toate acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta.
2. Mai întâi facem împărțirea și înmulțirea, iar apoi scăderea și adunarea.

Semnificația acestor reguli este ușor de înțeles. Ordinea tradițională de scriere de la stânga la dreapta definește secvența de bază a calculelor, iar necesitatea de a înmulți sau împărți mai întâi este explicată prin însăși esența acestor operații.

Să luăm câteva sarcini pentru claritate. Am folosit doar cele mai simple expresii numerice, astfel încât toate calculele să poată fi făcute mental. Astfel, vă puteți aminti rapid ordinea dorită și puteți verifica rapid rezultatele.

Exemplul 1

Condiție: calcula cat va fi 7 − 3 + 6 .

Soluţie

Nu există paranteze în expresia noastră, nu există nici înmulțire și împărțire, așa că efectuăm toate acțiunile în ordinea specificată. Mai întâi scadem trei din șapte, apoi adăugăm șase la restul și ajungem la zece. Iată o transcriere a întregii soluții:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Răspuns: 7 − 3 + 6 = 10 .

Exemplul 2

Condiție:în ce ordine trebuie efectuate calculele în expresie? 6:2 8:3?

Soluţie

Pentru a răspunde la această întrebare, să recitim regula pentru expresiile fără paranteze pe care am formulat-o mai devreme. Avem aici doar înmulțirea și împărțirea, ceea ce înseamnă că păstrăm ordinea scrisă a calculelor și numărăm secvențial de la stânga la dreapta.

Răspuns: Mai întâi împărțim șase la doi, înmulțim rezultatul cu opt și împărțim numărul rezultat la trei.

Exemplul 3

Condiție: calculați cât va fi 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Soluţie

Mai întâi, să determinăm ordinea corectă a operațiilor, deoarece avem aici toate tipurile de bază de operații aritmetice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să împărțim și să înmulțim. Aceste acțiuni nu au prioritate una față de alta, așa că le executăm în ordinea scrisă de la dreapta la stânga. Adică, 5 trebuie înmulțit cu 6 pentru a obține 30, apoi 30 împărțit la 3 pentru a obține 10. După aceea, împărțiți 4 la 2, acesta este 2. Să înlocuim valorile găsite în expresia originală:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Nu mai există împărțire sau înmulțire aici, așa că facem calculele rămase în ordine și obținem răspunsul:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Răspuns:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Până când ordinea efectuării acțiunilor este bine memorată, puteți pune numere deasupra semnelor operațiilor aritmetice care indică ordinea de calcul. De exemplu, pentru problema de mai sus am putea scrie astfel:

Dacă avem expresii cu litere, atunci facem același lucru cu ele: mai întâi înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem.

Care sunt acțiunile din prima și a doua etapă?

Uneori, în cărțile de referință, toate operațiile aritmetice sunt împărțite în acțiuni din prima și a doua etapă. Să formulăm definiția necesară.

Operațiile primei etape includ scăderea și adunarea, a doua - înmulțirea și împărțirea.

Cunoscând aceste nume, putem scrie regula dată anterior cu privire la ordinea acțiunilor astfel:

Definiția 2

Într-o expresie care nu conține paranteze, trebuie să efectuați mai întâi acțiunile etapei a doua în direcția de la stânga la dreapta, apoi acțiunile primei etape (în aceeași direcție).

Ordinea calculelor în expresii cu paranteze

Parantezele în sine sunt un semn care ne spune ordinea dorită a acțiunilor. În acest caz, regula necesară poate fi scrisă după cum urmează:

Definiția 3

Dacă în expresie există paranteze, atunci primul pas este efectuarea operației în ele, după care înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem de la stânga la dreapta.

În ceea ce privește expresia parantetică în sine, aceasta poate fi considerată ca parte integrantă a expresiei principale. La calcularea valorii expresiei dintre paranteze, menținem aceeași procedură cunoscută nouă. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu.

Exemplul 4

Condiție: calcula cat va fi 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Soluţie

Există paranteze în această expresie, așa că să începem cu ele. Mai întâi de toate, să calculăm cât va fi 7 − 2 · 3. Aici trebuie să înmulțim 2 cu 3 și să scădem rezultatul din 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Calculăm rezultatul în a doua paranteză. Acolo avem o singură acțiune: 6 − 4 = 2 .

Acum trebuie să înlocuim valorile rezultate în expresia originală:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Să începem cu înmulțirea și împărțirea, apoi efectuăm scăderea și obținem:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Astfel se încheie calculele.

Răspuns: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Nu vă alarmați dacă starea noastră conține o expresie în care unele paranteze le încadrează pe altele. Trebuie doar să aplicăm regula de mai sus în mod consecvent tuturor expresiilor din paranteze. Să luăm această problemă.

Exemplul 5

Condiție: calcula cat va fi 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Soluţie

Avem paranteze în paranteze. Începem cu 3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3), și anume 2 + 3. Va fi 5. Valoarea va trebui înlocuită în expresie și calculată că 3 + 1 + 4 · 5. Ne amintim că mai întâi trebuie să înmulțim și apoi să adăugăm: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Înlocuind valorile găsite în expresia originală, calculăm răspunsul: 4 + 24 = 28 .

Răspuns: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3)) = 28.

Cu alte cuvinte, atunci când calculăm valoarea unei expresii care include paranteze în paranteze, începem cu parantezele interioare și ne îndreptăm spre cele exterioare.

Să presupunem că trebuie să aflăm cât va fi (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Începem cu expresia din parantezele interioare. Deoarece 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, expresia originală poate fi scrisă ca (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Privind din nou parantezele interioare: 4 + 1 = 5. Am ajuns la expresie (4 + 5 − 1) − 1 . Noi numărăm 4 + 5 − 1 = 8 și ca rezultat obținem diferența 8 - 1, al cărei rezultat va fi 7.

Ordinea de calcul în expresii cu puteri, rădăcini, logaritmi și alte funcții

Dacă condiția noastră conține o expresie cu o putere, rădăcină, logaritm sau funcție trigonometrică (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sau alte funcții, atunci în primul rând calculăm valoarea funcției. După aceasta, acționăm conform regulilor specificate în paragrafele precedente. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt egale ca importanță cu expresia cuprinsă între paranteze.

Să ne uităm la un exemplu de astfel de calcul.

Exemplul 6

Condiție: aflați cât este (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Soluţie

Avem o expresie cu grad, a cărei valoare trebuie găsită mai întâi. Numărăm: 6 2 = 36. Acum să substituim rezultatul în expresie, după care va lua forma (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Răspuns: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Într-un articol separat dedicat calculării valorilor expresiilor, oferim alte exemple mai complexe de calcule în cazul expresiilor cu rădăcini, grade etc. Vă recomandăm să vă familiarizați cu el.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulțimea infinită de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate în această formă:

Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă sunt ocupate toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitator”, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele banale de zi cu zi: există întotdeauna un singur Dumnezeu-Allah-Buddha, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele; numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:

Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.

Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.

Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).

Duminică, 4 august 2019

Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.

Să avem destule A format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set cu litera A, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.

După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că în esență totul a fost făcut corect; este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până astăzi; comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul mișcării (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

V-am spus deja asta cu ajutorul căruia şamanii încearcă să sorteze „“ realitatea. Cum fac ei asta? Cum are loc de fapt formarea unui set?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre două expresii: „concepibil ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, setul. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea unei mulțimi. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente individuale („întregul”), din care apoi se va forma o multitudine („întregul unic”). În același timp, factorul care face posibilă combinarea „întregului” într-un „unic întreg” este monitorizat cu atenție, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne arate.

Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu coș cu fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum ultima întrebare: seturile rezultate „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea a avut loc în patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.

Sâmbătă, 30 iunie 2018

Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic despre matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.

Astăzi, tot ceea ce nu luăm aparține unui set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă cu seturile cărora le aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca șamanii matematicieni să le introducă în seturile lor.

Cu mult timp în urmă, când nimeni nu auzise vreodată de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice ale seturi cutreierau câmpurile fizice (la urma urmei, șamanii nu inventaseră încă câmpurile matematice). Arătau cam așa.

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele setului sunt cel mai asemănătoare cu aricii de mare - dintr-un punct, cum ar fi acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca o grămadă de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această piesă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Ce unități de măsură formează un element al unei mulțimi? Tot felul de lucruri care descriu un anumit element din puncte de vedere diferite. Acestea sunt unități de măsură străvechi pe care strămoșii noștri le-au folosit și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt și unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.

Am aranjat geometria - modelul propus al elementelor mulțimii are o reprezentare geometrică clară. Dar fizica? Unitățile de măsură sunt legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina adevărata știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor am vorbit despre ea ca fiind în epoca de piatră.

Dar să trecem la cel mai interesant lucru - algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al unei mulțimi este un produs (rezultat al înmulțirii) a unor cantități diferite.Arata astfel.

În mod deliberat, nu am folosit convențiile teoriei mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi în mediul său natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o cantitate separată, constând dintr-un număr indicat de litera " n" și unitatea de măsură indicată prin litera " A". Indicii de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al mulțimii poate consta dintr-un număr infinit de cantități (cât de mult avem noi și descendenții noștri suficientă imaginație). Fiecare paranteză este reprezentată geometric ca un segment separat.În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.

Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic despre matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic, de-a lungul căruia formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului; dacă nu există un astfel de ac, atunci acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele de gândire și despre întreg.

După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unor seturi foarte diferite. În continuare vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamanice. După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Dacă comparăm funcțiile adunare și scădere cu înmulțire și împărțire, atunci înmulțirea și împărțirea se calculează întotdeauna prima.

În exemplu, două funcții precum adunarea și scăderea, precum și înmulțirea și împărțirea, sunt echivalente una cu cealaltă. Ordinea de executare este determinată în ordine de la stânga la dreapta.

Trebuie amintit că acțiunile din paranteză au prioritate specială în exemplu. Astfel, chiar dacă există o înmulțire în afara parantezei și adunarea în interiorul parantezei, ar trebui să adunați mai întâi și apoi să înmulțiți.

Pentru a înțelege acest subiect, puteți lua în considerare toate cazurile unul câte unul.

Să ținem cont imediat de faptul că expresiile noastre nu au paranteze.

Deci, dacă în exemplu prima acțiune este înmulțirea, iar a doua este împărțirea, atunci efectuăm mai întâi înmulțirea.

Dacă în exemplu prima acțiune este împărțirea, iar a doua este înmulțirea, atunci facem mai întâi împărțirea.

În astfel de exemple, acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta, indiferent de numerele folosite.

Dacă în exemple, pe lângă înmulțire și împărțire, există și adunarea și scăderea, atunci se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

În cazul adunării și scăderii, nu are nicio diferență care dintre aceste acțiuni se face prima.Ordinea se respectă de la stânga la dreapta.

Să luăm în considerare diferite opțiuni:

În acest exemplu, prima acțiune care trebuie efectuată este înmulțirea și apoi adăugarea.

În acest caz, mai întâi înmulțiți valorile, apoi împărțiți și abia apoi adăugați.

În acest caz, trebuie mai întâi să faceți toate operațiile din paranteze, apoi să faceți doar înmulțirea și împărțirea.

Și deci trebuie să rețineți că în orice formulă, operațiuni precum înmulțirea și împărțirea sunt efectuate mai întâi, iar apoi numai scăderea și adunarea.

De asemenea, cu numerele care sunt între paranteze, trebuie să le numărați între paranteze și abia apoi să faceți diverse manipulări, amintindu-vă de succesiunea descrisă mai sus.

Primele operații vor fi: înmulțirea și împărțirea.

Abia atunci se efectuează adunarea și scăderea.

Cu toate acestea, dacă există o paranteză, atunci acțiunile care sunt în ele vor fi executate mai întâi. Chiar dacă este vorba de adunare și scădere.

De exemplu:

În acest exemplu, mai întâi vom înmulți, apoi 4 cu 5, apoi vom adăuga 4 la 20. Obținem 24.

Dar dacă este așa: (4+5)*4, atunci mai întâi facem adunarea, obținem 9. Apoi înmulțim 9 cu 4. Obținem 36.

Dacă exemplul conține toate cele 4 operații, atunci mai întâi există înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Sau în exemplul a 3 acțiuni diferite, atunci prima va fi fie înmulțirea (sau împărțirea), apoi fie adunarea (sau scăderea).

Atunci când NU există CONTRACTĂ.

Exemplu: 4-2*5:10+8=11,

1 acțiune 2*5 (10);

Fapte 2 10:10 (1);

3 actiunea 4-1 (3);

4 acțiune 3+8 (11).

Toate cele 4 operații pot fi împărțite în două grupe principale, într-una - adunarea și scăderea, în cealaltă - înmulțirea și împărțirea. Prima va fi acțiunea care este prima din exemplu, adică cea din stânga.

Exemplu: 60-7+9=62, mai întâi ai nevoie de 60-7, apoi ceea ce se întâmplă este (53) +9;

Exemplu: 5*8:2=20, mai întâi ai nevoie de 5*8, apoi ceea ce se întâmplă este (40) :2.

Când EXISTĂ PARAnteze într-un exemplu, acțiunile din paranteză sunt efectuate mai întâi (conform regulilor de mai sus), iar apoi restul sunt efectuate ca de obicei.

Exemplu: 2+(9-8)*10:2=7.

1 acțiune 9-8 (1);

a 2-a acțiune 1*10 (10);

Fapte 3 10:2 (5);

4 acțiune 2+5 (7).

Depinde de modul în care este scrisă expresia, să ne uităm la cea mai simplă expresie numerică:

18 - 6:3 + 10x2 =

Mai întâi efectuăm operații cu împărțire și înmulțire, apoi pe rând, de la stânga la dreapta, cu scădere și adunare: 18-2+20 = 36

Dacă aceasta este o expresie cu paranteze, atunci efectuați operațiile între paranteze, apoi înmulțirea sau împărțirea și în final adunarea/scăderea, de exemplu:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Totul este corect: mai întâi efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Dacă în exemplu nu există paranteze, atunci se efectuează mai întâi înmulțirea și împărțirea în ordine, apoi se efectuează adunarea și scăderea, la fel în ordine.

Dacă exemplul conține doar înmulțire și împărțire, atunci acțiunile vor fi efectuate în ordine.

Dacă exemplul conține doar adunare și scădere, atunci acțiunile vor fi, de asemenea, efectuate în ordine.

În primul rând, operațiile dintre paranteze se efectuează după aceleași reguli, adică mai întâi înmulțirea și împărțirea, iar abia apoi adunarea și scăderea.

22-(11+3X2)+14=19

Ordinea efectuării operațiilor aritmetice este strict prescrisă, astfel încât să nu existe discrepanțe atunci când se efectuează același tip de calcule de către persoane diferite. În primul rând, se efectuează înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea; dacă acțiunile de aceeași ordine vin una după alta, atunci acestea sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

Dacă folosiți paranteze atunci când scrieți o expresie matematică, atunci în primul rând ar trebui să efectuați acțiunile indicate în paranteze. Parantezele ajută la schimbarea ordinii atunci când este necesar să se efectueze mai întâi adunarea sau scăderea, apoi înmulțirea și împărțirea.

Orice paranteză poate fi extinsă și apoi ordinea de execuție va fi din nou corectă:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Mai bine imediat în exemple:

• 1+2*3/4-5=?

În acest caz, efectuăm mai întâi înmulțirea, deoarece este în stânga împărțirii. Apoi împărțirea. Apoi adăugare, din cauza locației mai din stânga, și la final scăderea.

• 1*3/(2+4)?

Mai întâi facem calculul în paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea.

• 1+2*(3-1*5)=?

Mai întâi facem operațiile dintre paranteze: înmulțirea, apoi scăderea. Aceasta este urmată de înmulțirea în afara parantezelor și adunarea la sfârșit.

Înmulțirea și împărțirea sunt pe primul loc. Dacă în exemplu există paranteze, atunci acțiunea din paranteze este considerată la început. Oricare ar fi semnul!

Aici trebuie să vă amintiți câteva reguli de bază:

1. Dacă în exemplu nu există paranteze și există operații - doar adunarea și scăderea, sau numai înmulțirea și împărțirea - în acest caz toate acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

De exemplu, 5+8-5=8 (facem totul în ordine - adunăm 8 la 5 și apoi scădem 5)

1. Dacă exemplul conține operații mixte - adunare, scădere, înmulțire și împărțire, atunci în primul rând efectuăm operațiile de înmulțire și împărțire, iar apoi doar adunarea sau scăderea.

De exemplu, 5+8*3=29 (înmulțiți mai întâi 8 cu 3 și apoi adăugați 5)

1. Dacă exemplul conține paranteze, acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi.

De exemplu, 3*(5+8)=39 (primul 5+8, apoi înmulțiți cu 3)