Enumerați proprietățile adăugării pe măsură ce sunt citite. Proprietăți de adunare, înmulțire, scădere și împărțire a numerelor întregi

Să desenăm un dreptunghi pe o bucată de hârtie într-o cușcă cu laturile de 5 cm și 3 cm. Să-l despărțim în pătrate cu latura de 1 cm ( fig. 143). Să numărăm numărul de celule situate în dreptunghi. Acest lucru se poate face, de exemplu, așa.

Numărul de pătrate cu latura de 1 cm este 5 * 3. Fiecare astfel de pătrat este format din patru celule. Prin urmare, numărul total de celule este (5 * 3 ) * 4 .

Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit. Fiecare dintre cele cinci coloane ale dreptunghiului este formată din trei pătrate cu latura de 1 cm. Prin urmare, o coloană conține 3 * 4 celule. Prin urmare, vor exista 5 * (3 * 4) celule în total.

Numărul de celule din Figura 143 ilustrează în două moduri proprietatea asociativă a înmulțirii pentru numerele 5, 3 și 4. Avem: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea număr.

(ab)c = a(bc)

Din proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii rezultă că atunci când se înmulțesc mai multe numere, factorii pot fi interschimbați și încadrați între paranteze, determinând astfel ordinea calculelor.

De exemplu, egalitățile sunt adevărate:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

În figura 144, segmentul AB împarte dreptunghiul considerat mai sus într-un dreptunghi și un pătrat.

Numărăm numărul de pătrate cu latura de 1 cm în două moduri.

Pe de o parte, sunt 3 * 3 dintre ele în pătratul rezultat și 3 * 2 în dreptunghi. În total obținem 3 * 3 + 3 * 2 pătrate. Pe de altă parte, fiecare dintre cele trei rânduri ale acestui dreptunghi conține 3 + 2 pătrate. Atunci numărul lor total este 3 * (3 + 2 ).

Egal cu 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrează proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

Pentru a înmulți un număr cu suma a două numere, puteți înmulți acest număr cu fiecare termen și adăugați produsele rezultate.

În formă literală, această proprietate este scrisă după cum urmează:

a(b + c) = ab + ac

Din proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea rezultă că

ab + ac = a(b + c).

Această egalitate permite formulei P = 2 a + 2 b să găsească perimetrul unui dreptunghi care să fie scris după cum urmează:

P = 2 (a + b).

Rețineți că proprietatea de distribuție este valabilă pentru trei sau mai mulți termeni. De exemplu:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea este de asemenea valabilă: dacă b > c sau b = c, atunci

a(b − c) = ab − ac

Exemplu 1 . Calculați într-un mod convenabil:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Folosim proprietățile comutative și apoi asociative ale înmulțirii:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Avem:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Exemplu 2 . Simplificați expresia:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Folosind proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii, obținem:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea, obținem:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Exemplu 3 . Scrieți expresia 5 (2 m + 7) astfel încât să nu conțină paranteze.

Conform proprietății distributive a înmulțirii față de adunare, avem:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

O astfel de transformare se numește paranteze de deschidere.

Exemplu 4 . Calculați valoarea expresiei 125 * 24 * 283 într-un mod convenabil.

Soluţie. Avem:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Exemplu 5 . Efectuați înmulțirea: 3 zile 18 ore * 6.

Soluţie. Avem:

3 zile 18 ore * 6 = 18 zile 108 ore = 22 zile 12 ore

La rezolvarea exemplului, s-a folosit proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea:

3 zile 18 ore * 6 = (3 zile + 18 ore) * 6 = 3 zile * 6 + 18 ore * 6 = 18 zile + 108 ore = 18 zile + 96 ore + 12 ore = 18 zile + 4 zile + 12 ore = 22 zile 12 ore

Se pot observa o serie de rezultate inerente acestei acțiuni. Aceste rezultate sunt numite proprietățile adunării numerelor naturale. În acest articol, vom analiza în detaliu proprietățile adunării numerelor naturale, le vom scrie folosind litere și vom oferi exemple explicative.

Navigare în pagină.

Proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale.

Acum dăm un exemplu care ilustrează proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale.

Imaginează-ți o situație: 1 măr a căzut din primul măr, iar 2 mere și încă 4 mere au căzut din al doilea măr. Acum luați în considerare următoarea situație: 1 măr și încă 2 mere au căzut din primul măr și 4 mere au căzut din al doilea măr. Este clar că același număr de mere vor fi pe pământ atât în ​​primul cât și în al doilea caz (care poate fi verificat recalcularea). Adică, rezultatul adunării numărului 1 la suma numerelor 2 și 4 este egal cu rezultatul adunării sumei numerelor 1 și 2 la numărul 4.

Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale: pentru a adăuga o sumă dată de două numere la un număr dat, puteți adăuga primul termen al acestei sume la acest număr și adăugați al doilea termen de această sumă la rezultatul obținut. Această proprietate poate fi scrisă folosind litere ca aceasta: a+(b+c)=(a+b)+c, unde a , b și c sunt numere naturale arbitrare.

Vă rugăm să rețineți că în egalitatea a+(b+c)=(a+b)+c există paranteze „(” și „)”. Parantezele sunt folosite în expresii pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile - acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi (mai multe despre aceasta în secțiune). Cu alte cuvinte, parantezele includ expresii ale căror valori sunt evaluate mai întâi.

În încheierea acestei secțiuni, observăm că proprietatea asociativă a adunării ne permite să determinăm în mod unic adunarea a trei, patru sau mai multe numere naturale.

Proprietatea de a adăuga zero și un număr natural, proprietatea de a adăuga zero la zero.

Știm că zero NU este un număr natural. Deci, de ce am decis să luăm în considerare proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural în acest articol? Există trei motive pentru aceasta. În primul rând, această proprietate este utilizată când adunarea pe coloană a numerelor naturale. În al doilea rând, această proprietate este folosită atunci când scăderea numerelor naturale. În al treilea rând: dacă presupunem că zero înseamnă absența a ceva, atunci sensul adunării zero și a unui număr natural este același cu sensul adunării a două numere naturale.

Să realizăm raționamentul care ne va ajuta să formulăm proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural. Imaginați-vă că nu există articole în cutie (cu alte cuvinte, există 0 articole în cutie) și că un element este plasat în ea, unde a este orice număr natural. Adică, a adăugat 0 și un item. Este clar că după această acțiune există articole în cutie. Prin urmare, egalitatea 0+a=a este adevărată.

În mod similar, dacă o cutie conține un articol și 0 elemente sunt adăugate la ea (adică nu sunt adăugate elemente), atunci după această acțiune, un articol va fi în cutie. Deci a+0=a .

Acum putem afirma proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural: suma a două numere, dintre care unul este zero, este egală cu al doilea număr. Din punct de vedere matematic, această proprietate poate fi scrisă ca următoarea egalitate: 0+a=a sau a+0=a, unde a este un număr natural arbitrar.

Separat, acordăm atenție faptului că la adăugarea unui număr natural și zero, proprietatea comutativă a adunării rămâne adevărată, adică a+0=0+a .

În cele din urmă, formulăm proprietatea de adăugare zero-zero (este destul de evidentă și nu necesită comentarii suplimentare): suma a două numere care sunt fiecare zero este zero. Acesta este, 0+0=0 .

Acum este timpul să ne dăm seama cum adunarea numerelor naturale.

Bibliografie.

• Matematica. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematica. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.

Subiectul căruia îi este dedicată această lecție este „Proprietățile adunării”. În acesta, vă veți familiariza cu proprietățile comutative și asociative ale adunării, examinându-le cu exemple specifice. Aflați când le puteți utiliza pentru a ușura procesul de calcul. Cazurile de testare vă vor ajuta să determinați cât de bine ați învățat materialul.

Lecția: Proprietăți de adăugare

Aruncă o privire atentă la expresia:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Trebuie să-i găsim valoarea. Hai să o facem.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultatul expresiei 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Spune-mi, a fost convenabil să calculezi? Calcularea nu a fost foarte convenabilă. Privește din nou numerele din această expresie. Este posibil să le schimbați astfel încât calculele să fie mai convenabile?

Dacă rearanjam numerele diferit:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Rezultatul final al expresiei este 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vedem că rezultatele expresiilor sunt aceleași.

Termenii pot fi interschimbați dacă este convenabil pentru calcule, iar valoarea sumei nu se va schimba de la aceasta.

Există o lege în matematică: Legea comutativă a adunării. Se spune că suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

Unchiul Fiodor și Sharik s-au certat. Sharik a găsit valoarea expresiei așa cum a fost scrisă, iar unchiul Fiodor a spus că știe un alt mod mai convenabil de a calcula. Vedeți o modalitate mai convenabilă de a calcula?

Mingea a rezolvat expresia așa cum este scrisă. Și unchiul Fiodor a spus că știe legea care vă permite să schimbați termenii și a schimbat numerele 25 și 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vedem că rezultatul rămâne același, dar calculul a devenit mult mai ușor.

Privește următoarele expresii și citește-le.

6 + (24 + 51) = 81 (la 6 se adaugă suma 24 și 51)
Există o modalitate convenabilă de a calcula?
Vedem că dacă adunăm 6 și 24, obținem un număr rotund. Este întotdeauna mai ușor să adăugați ceva la un număr rotund. Luați între paranteze suma numerelor 6 și 24.
(6 + 24) + 51 = …
(adăugați 51 la suma numerelor 6 și 24)

Să calculăm valoarea expresiei și să vedem dacă valoarea expresiei s-a schimbat?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vedem că valoarea expresiei rămâne aceeași.

Să exersăm cu încă un exemplu.

(27 + 19) + 1 = 47 (adăugați 1 la suma numerelor 27 și 19)
Ce numere pot fi grupate convenabil în așa fel încât să se obțină un mod convenabil?
Ai ghicit că acestea sunt numerele 19 și 1. Să luăm suma numerelor 19 și 1 dintre paranteze.
27 + (19 + 1) = …
(la 27 se adaugă suma numerelor 19 și 1)
Să găsim valoarea acestei expresii. Ne amintim că acțiunea din paranteze este executată mai întâi.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Sensul expresiei noastre rămâne același.

Legea asociativă a adunării: doi termeni alăturați pot fi înlocuiți cu suma lor.

Acum să exersăm folosind ambele legi. Trebuie să calculăm valoarea expresiei:

38 + 14 + 2 + 6 = …

În primul rând, folosim proprietatea comutativă a adunării, care ne permite să schimbăm termeni. Să schimbăm termenii 14 și 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Acum folosim proprietatea asociativă, care ne permite să înlocuim doi termeni vecini cu suma lor.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

În primul rând, aflăm valoarea sumei 38 și 2.

Acum suma este 14 și 6.

3. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().

face acasa

1. Calculați suma termenilor în diferite moduri:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Calculați rezultatele expresiilor:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Calculați suma într-un mod convenabil:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Am definit adunarea, înmulțirea, scăderea și împărțirea numerelor întregi. Aceste acțiuni (operații) au o serie de rezultate caracteristice, care se numesc proprietăți. În acest articol, vom lua în considerare proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor întregi, din care urmează toate celelalte proprietăți ale acestor operații, precum și proprietățile de scădere și împărțire a numerelor întregi.

Navigare în pagină.

Adunarea întregului are câteva alte proprietăți foarte importante.

Una dintre ele este legată de existența lui zero. Această proprietate a adunării întregi afirmă că adăugarea zero la orice număr întreg nu schimbă acel număr. Să scriem această proprietate a adunării folosind literele: a+0=a și 0+a=a (această egalitate este valabilă datorită proprietății comutative a adunării), a este orice număr întreg. S-ar putea să auzi că întregul zero se numește în plus element neutru. Să dăm câteva exemple. Suma unui număr întreg −78 și zero este −78 ; dacă adăugăm un număr întreg pozitiv 999 la zero, atunci obținem ca rezultat numărul 999.

Vom formula acum o altă proprietate a adunării întregi, care este legată de existența unui număr opus pentru orice număr întreg. Suma oricărui număr întreg cu numărul său opus este zero. Iată forma literală a acestei proprietăți: a+(−a)=0 , unde a și −a sunt numere întregi opuse. De exemplu, suma 901+(−901) este zero; în mod similar, suma numerelor întregi opuse -97 și 97 este zero.

Proprietățile de bază ale înmulțirii numerelor întregi

Înmulțirea numerelor întregi are toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale. Enumerăm principalele dintre aceste proprietăți.

La fel cum zero este un întreg neutru în ceea ce privește adunarea, unul este un întreg neutru în ceea ce privește înmulțirea numerelor întregi. Acesta este, înmulțirea oricărui număr întreg cu unul nu schimbă numărul înmulțit. Deci 1·a=a , unde a este orice număr întreg. Ultima egalitate poate fi rescrisă ca 1=a , aceasta ne permite să facem proprietatea comutativă a înmulțirii. Să dăm două exemple. Produsul întregului 556 cu 1 este 556; produsul dintre unu și un întreg negativ −78 este −78 .

Următoarea proprietate a înmulțirii întregi este legată de înmulțirea cu zero. Rezultatul înmulțirii oricărui număr întreg a cu zero este zero, adică a 0=0 . Egalitatea 0·a=0 este adevărată și datorită proprietății comutative a înmulțirii numerelor întregi. Într-un caz particular, când a=0, produsul dintre zero și zero este egal cu zero.

Pentru înmulțirea numerelor întregi este adevărată și proprietatea opusă celei anterioare. Pretinde că produsul a două numere întregi este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. În formă literală, această proprietate poate fi scrisă după cum urmează: a·b=0 , dacă fie a=0 , fie b=0 , fie ambele a și b sunt egale cu zero în același timp.

Proprietatea distributivă a înmulțirii numerelor întregi în raport cu adunarea

Împreună, adunarea și înmulțirea numerelor întregi ne permite să luăm în considerare proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea, care leagă cele două acțiuni indicate. Folosirea adunării și înmulțirii împreună ne deschide posibilități suplimentare pe care le-am lipsi dacă am lua în considerare adunarea separat de înmulțire.

Deci, proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea spune că produsul unui număr întreg a și suma a două numere întregi a și b este egal cu suma produselor a b și a c , adică a (b+c)=a b+a c. Aceeași proprietate poate fi scrisă sub altă formă: (a+b) c=a c+b c .

Proprietatea distributivă a înmulțirii numerelor întregi în raport cu adunarea, împreună cu proprietatea asociativă a adunării, face posibilă determinarea înmulțirii unui număr întreg cu suma a trei sau mai multe numere întregi și apoi înmulțirea sumei numerelor întregi cu sumă.

De asemenea, rețineți că toate celelalte proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor întregi pot fi obținute din proprietățile pe care le-am indicat, adică sunt consecințe ale proprietăților de mai sus.

Proprietăți de scădere întregi

Din egalitatea obținută, precum și din proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor întregi, urmează următoarele proprietăți de scădere a numerelor întregi (a, b și c sunt numere întregi arbitrare):

• Scăderea întregului NU are în general proprietatea comutativă: a−b≠b−a .
• Diferența numerelor întregi egale este egală cu zero: a−a=0 .
• Proprietatea de a scădea suma a două numere întregi dintr-un întreg dat: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Proprietatea de a scădea un număr întreg din suma a două numere întregi: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: a (b−c)=a b−a c și (a−b) c=a c−b c.
• Și toate celelalte proprietăți ale scăderii întregilor.

Proprietățile diviziunii întregi

Certând despre semnificația împărțirii numerelor întregi, am aflat că împărțirea numerelor întregi este inversul înmulțirii. Am dat următoarea definiție: împărțirea numerelor întregi este găsirea unui factor necunoscut printr-un produs cunoscut și un factor cunoscut. Adică, numim întregul c câtul întregului a împărțit la întregul b când produsul c·b este egal cu a .

Această definiție, precum și toate proprietățile operațiilor asupra numerelor întregi considerate mai sus, ne permit să stabilim validitatea următoarelor proprietăți de împărțire a numerelor întregi:

• Niciun număr întreg nu poate fi împărțit la zero.
• Proprietatea de a împărți zero la un număr întreg arbitrar diferit de zero a : 0:a=0 .
• Proprietatea împărțirii numerelor întregi egale: a:a=1 , unde a este orice număr întreg diferit de zero.
• Proprietatea împărțirii unui număr întreg arbitrar a la unu: a:1=a .
• În general, împărțirea numerelor întregi NU are proprietatea comutativă: a:b≠b:a .
• Proprietățile împărțirii sumei și diferenței a două numere întregi la un număr întreg sunt: ​​(a+b):c=a:c+b:c și (a−b):c=a:c−b:c , unde a , b și c sunt numere întregi astfel încât atât a cât și b sunt divizibile cu c și c este diferit de zero.
• Proprietatea de a împărți produsul a două numere întregi a și b la un întreg nenul c : (a b):c=(a:c) b dacă a este divizibil cu c ; (a b):c=a (b:c) dacă b este divizibil cu c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) dacă ambele a și b sunt divizibile cu c .
• Proprietatea împărțirii unui număr întreg a la produsul a două numere întregi b și c (numerele a , b și c astfel încât împărțirea a la b c este posibilă): a:(b c)=(a:b) c=(a :c) ) b .
• Orice altă proprietate a diviziunii întregi.