Interval de încredere. Interval de încredere pentru așteptarea matematică a unei distribuții normale cu o varianță cunoscută

Interval de încredere sunt valorile limită ale mărimii statistice, care, cu o probabilitate de încredere dată γ, va fi în acest interval cu o dimensiune a eșantionului mai mare. Notat cu P(θ - ε . În practică, probabilitatea de încredere γ este aleasă dintre valorile γ = 0,9 , γ = 0,95 , γ = 0,99 suficient de aproape de unitate.

Atribuirea serviciului. Acest serviciu definește:

• interval de încredere pentru media generală, interval de încredere pentru varianță;
• interval de încredere pentru abaterea standard, interval de încredere pentru fracția generală;

Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word (vezi exemplu). Mai jos este o instrucțiune video despre cum să completați datele inițiale.

Exemplul #1. Într-o fermă colectivă, dintr-un efectiv total de 1.000 de oi, 100 de oi au fost supuse tunderii cu control selectiv. Ca urmare, s-a stabilit o forfecare medie a lânii de 4,2 kg per oaie. Determinați cu o probabilitate de 0,99 eroarea standard a eșantionului în determinarea forfecării medii a lânii per oaie și limitele în care se află valoarea forfecării dacă varianța este 2,5. Eșantionul este nerepetitiv.
Exemplul #2. Din lotul de produse importate de la postul Vămii de Nord Moscova, au fost prelevate 20 de mostre de produs „A” în ordinea reeșantionării aleatorii. În urma verificării, a fost stabilit conținutul mediu de umiditate al produsului „A” din probă, care s-a dovedit a fi de 6% cu o abatere standard de 1%.
Determinați cu o probabilitate de 0,683 limitele conținutului mediu de umiditate al produsului în întregul lot de produse importate.
Exemplul #3. Un sondaj efectuat pe 36 de studenți a arătat că numărul mediu de manuale citite de aceștia pe an universitar s-a dovedit a fi 6. Presupunând că numărul de manuale citite de un student pe semestru are o lege de distribuție normală cu o abatere standard egală cu 6, găsiți : A) cu o fiabilitate de 0,99 estimare de interval pentru așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare; B) cu ce probabilitate se poate argumenta că numărul mediu de manuale citite de un student pe semestru, calculat pentru acest eșantion, se abate de la așteptarea matematică în valoare absolută cu cel mult 2.

Clasificarea intervalelor de încredere

După tipul de parametru evaluat:

După tipul de eșantion:

1. Interval de încredere pentru eșantionare infinită;
2. Interval de încredere pentru eșantionul final;

Eșantionarea se numește reeșantionare, dacă obiectul selectat este returnat populației generale înainte de a-l alege pe următorul. Eșantionul se numește nerepetitiv. dacă obiectul selectat nu este returnat populației generale. În practică, se ocupă de obicei cu mostre care nu se repetă.

Calculul erorii medii de eșantionare pentru selecția aleatorie

Discrepanța dintre valorile indicatorilor obținuți din eșantion și parametrii corespunzători ai populației generale se numește eroare de reprezentativitate.
Desemnări ale parametrilor principali ai populației generale și eșantionului.

Exemple de formule de eroare medie
reselectare		selecție nerepetitivă
pentru mijloc	pentru împărțire	pentru mijloc	pentru împărțire

Raportul dintre limita erorii de eșantionare (Δ) garantat cu o oarecare probabilitate P(t), iar eroarea medie de eșantionare are forma: sau Δ = t μ, unde t– coeficient de încredere, determinat în funcție de nivelul de probabilitate P(t) conform tabelului funcției Laplace integrale.

Formule pentru calcularea mărimii eșantionului cu o metodă adecvată de selecție aleatorie

Fie o variabilă aleatoare (putem vorbi despre populația generală) să fie distribuită conform legii normale, pentru care se cunoaște varianța D = 2 (> 0). Din populația generală (pe mulțimea de obiecte din care se determină o variabilă aleatorie), se realizează un eșantion de mărimea n. Eșantionul x 1 , x 2 ,..., x n este considerat ca o mulțime de n variabile aleatoare independente distribuite în același mod ca (abordarea explicată mai sus în text).

Anterior, au fost discutate și dovedite și următoarele egalități:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Este suficient să demonstrăm pur și simplu (omitem dovada) că și variabila aleatoare în acest caz este distribuită conform legii normale.

Să notăm cu a valoarea necunoscută M și să alegem numărul d > 0 în funcție de fiabilitatea dată, astfel încât să fie îndeplinită următoarea condiție:

P(-a< d) = (1)

Deoarece variabila aleatoare este distribuită conform legii normale cu așteptarea matematică M = M = a și varianța D = D /n = 2 /n, obținem:

P(-a< d) =P(a - d < < a + d) =

Rămâne să alegem d astfel încât egalitatea

Pentru oricine, se poate găsi un astfel de număr t din tabel care (t) \u003d / 2. Acest număr t este uneori numit cuantilă.

Acum de la egalitate

definiți valoarea lui d:

Rezultatul final îl obținem prezentând formula (1) sub forma:

Semnificația ultimei formule este următoarea: cu fiabilitate, intervalul de încredere

acoperă parametrul necunoscut a = M al populației. Se poate spune altfel: o estimare punctuală determină valoarea parametrului M cu o precizie de d= t / și fiabilitate.

Sarcină. Să existe o populație generală cu o caracteristică distribuită conform legii normale cu o dispersie egală cu 6,25. S-a realizat un eșantion de mărime n = 27 și s-a obținut valoarea medie a eșantionului a caracteristicii = 12. Aflați intervalul de încredere care acoperă așteptarea matematică necunoscută a caracteristicii studiate a populației generale cu fiabilitate = 0,99.

Soluţie. În primul rând, folosind tabelul pentru funcția Laplace, găsim valoarea lui t din ecuația (t) \u003d / 2 \u003d 0,495. Pe baza valorii obținute t = 2,58, determinăm acuratețea estimării (sau jumătate din lungimea intervalului de încredere) d: d = 2,52,58 / 1,24. De aici obținem intervalul de încredere dorit: (10,76; 13,24).

ipoteza statistică variaţională generală

Interval de încredere pentru așteptarea unei distribuții normale cu varianță necunoscută

Fie o variabilă aleatoare distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică necunoscută M, pe care o notăm cu litera a . Să facem un eșantion de mărimea n. Să determinăm eșantionul mediu și varianța eșantionului corectat s 2 folosind formule cunoscute.

Valoare aleatoare

distribuite conform legii Student cu n - 1 grade de libertate.

Sarcina este de a găsi un astfel de număr t în funcție de fiabilitatea dată și de numărul de grade de libertate n - 1, astfel încât egalitatea

sau egalitate echivalentă

Aici, între paranteze, se scrie condiția ca valoarea parametrului necunoscut a să aparțină unui anumit interval, care este intervalul de încredere. Limitele sale depind de fiabilitate, precum și de parametrii de eșantionare și s.

Pentru a determina valoarea lui t după mărime, transformăm egalitatea (2) în forma:

Acum, conform tabelului pentru o variabilă aleatoare t, distribuită conform legii lui Student, după probabilitatea 1 - și numărul de grade de libertate n - 1, găsim t. Formula (3) oferă răspunsul la problemă.

Sarcină. În testele de control a 20 de lămpi electrice, durata medie de funcționare a acestora a fost egală cu 2000 de ore cu o abatere standard (calculată ca rădăcină pătrată a variației eșantionului corectat) egală cu 11 ore. Se știe că durata de funcționare a lămpii este o variabilă aleatoare distribuită în mod normal. Determinați cu o fiabilitate de 0,95 intervalul de încredere pentru așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare.

Soluţie. Valoarea 1 - în acest caz este egală cu 0,05. Conform tabelului de distribuție a lui Student, cu numărul de grade de libertate egal cu 19, găsim: t = 2,093. Să calculăm acum acuratețea estimării: 2,093121/ = 56,6. De aici obținem intervalul de încredere dorit: (1943,4; 2056,6).

Interval de încredere pentru așteptările matematice - acesta este un astfel de interval calculat din date, care cu o probabilitate cunoscută conține așteptarea matematică a populației generale. Estimarea naturală pentru așteptarea matematică este media aritmetică a valorilor observate. Prin urmare, în continuare pe parcursul lecției vom folosi termenii „medie”, „valoare medie”. În problemele de calculare a intervalului de încredere, răspunsul cel mai adesea solicitat este „Intervalul de încredere al numărului mediu [valoarea unei anumite probleme] este de la [valoare mai mică] la [valoare mai mare]”. Cu ajutorul intervalului de încredere, este posibil să se evalueze nu numai valorile medii, ci și ponderea uneia sau alteia caracteristici a populației generale. Valorile medii, varianța, abaterea standard și eroarea, prin care vom ajunge la noi definiții și formule, sunt analizate în lecție Eșantionul și caracteristicile populației .

Estimări punctuale și pe intervale ale mediei

Dacă valoarea medie a populației generale este estimată printr-un număr (punct), atunci o medie specifică calculată dintr-un eșantion de observații este luată ca o estimare a mediei necunoscute a populației generale. În acest caz, valoarea mediei eșantionului - o variabilă aleatorie - nu coincide cu valoarea medie a populației generale. Prin urmare, atunci când se indică valoarea medie a eșantionului, este, de asemenea, necesar să se indice eroarea eșantionului în același timp. Eroarea standard este utilizată ca măsură a erorii de eșantionare, care este exprimată în aceleași unități ca și media. Prin urmare, se folosește adesea următoarea notație: .

Dacă estimarea mediei se cere să fie asociată cu o anumită probabilitate, atunci parametrul populației generale de interes trebuie estimat nu printr-un singur număr, ci printr-un interval. Un interval de încredere este un interval în care, cu o anumită probabilitate, P se constată valoarea indicatorului estimat al populaţiei generale. Interval de încredere în care cu probabilitate P = 1 - α este o variabilă aleatorie, se calculează după cum urmează:

,

α = 1 - P, care poate fi găsit în anexa la aproape orice carte de statistică.

În practică, media și varianța populației nu sunt cunoscute, astfel încât varianța populației este înlocuită cu varianța eșantionului, iar media populației cu media eșantionului. Astfel, intervalul de încredere în majoritatea cazurilor se calculează după cum urmează:

.

Formula intervalului de încredere poate fi utilizată pentru a estima media populației dacă

• se cunoaște abaterea standard a populației generale;
• sau abaterea standard a populației nu este cunoscută, dar dimensiunea eșantionului este mai mare de 30.

Media eșantionului este o estimare imparțială a mediei populației. La rândul său, varianța eșantionului nu este o estimare imparțială a varianței populației. Pentru a obține o estimare imparțială a varianței populației în formula variației eșantionului, dimensiunea eșantionului este n ar trebui inlocuit cu n-1.

Exemplul 1 Informații sunt colectate de la 100 de cafenele selectate aleatoriu dintr-un anumit oraș că numărul mediu de angajați din ele este de 10,5 cu o abatere standard de 4,6. Determinați intervalul de încredere de 95% din numărul de angajați ai cafenelei.

unde este valoarea critică a distribuției normale standard pentru nivelul de semnificație α = 0,05 .

Astfel, intervalul de încredere de 95% pentru numărul mediu de angajați ai cafenelei a fost între 9,6 și 11,4.

Exemplul 2 Pentru un eșantion aleatoriu dintr-o populație generală de 64 de observații, au fost calculate următoarele valori totale:

suma valorilor din observații,

suma abaterilor pătrate ale valorilor de la medie .

Calculați intervalul de încredere de 95% pentru valoarea așteptată.

calculați abaterea standard:

,

calculați valoarea medie:

.

Înlocuiți valorile din expresie pentru intervalul de încredere:

unde este valoarea critică a distribuției normale standard pentru nivelul de semnificație α = 0,05 .

Primim:

Astfel, intervalul de încredere de 95% pentru așteptarea matematică a acestui eșantion a variat între 7,484 și 11,266.

Exemplul 3 Pentru un eșantion aleatoriu dintr-o populație generală de 100 de observații, au fost calculate o valoare medie de 15,2 și o abatere standard de 3,2. Calculați intervalul de încredere de 95% pentru valoarea așteptată, apoi intervalul de încredere de 99%. Dacă puterea eșantionului și variația acesteia rămân aceleași, dar factorul de încredere crește, intervalul de încredere se va îngusta sau se va lărgi?

Inlocuim aceste valori in expresia pentru intervalul de incredere:

unde este valoarea critică a distribuției normale standard pentru nivelul de semnificație α = 0,05 .

Primim:

.

Astfel, intervalul de încredere de 95% pentru media acestui eșantion a fost de la 14,57 la 15,82.

Din nou, înlocuim aceste valori în expresia pentru intervalul de încredere:

unde este valoarea critică a distribuției normale standard pentru nivelul de semnificație α = 0,01 .

Primim:

.

Astfel, intervalul de încredere de 99% pentru media acestui eșantion a fost de la 14,37 la 16,02.

După cum puteți vedea, pe măsură ce factorul de încredere crește, crește și valoarea critică a distribuției normale standard și, prin urmare, punctele de început și de sfârșit ale intervalului sunt situate mai departe de medie și, astfel, intervalul de încredere pentru așteptarea matematică. crește.

Estimări punctiforme și pe intervale ale greutății specifice

Ponderea unei anumite caracteristici a eșantionului poate fi interpretată ca o estimare punctuală a cotei p aceeași trăsătură în populația generală. Dacă această valoare trebuie să fie asociată cu o probabilitate, atunci intervalul de încredere al greutății specifice trebuie calculat p caracteristică în populația generală cu o probabilitate P = 1 - α :

.

Exemplul 4 Sunt doi candidați într-un anumit oraș AȘi B candideaza la functia de primar. 200 de locuitori ai orașului au fost chestionați aleatoriu, dintre care 46% au răspuns că vor vota pentru candidat A, 26% - pentru candidat B iar 28% nu știu pe cine vor vota. Determinați intervalul de încredere de 95% pentru proporția de locuitori ai orașului care susțin candidatul A.

Puteți folosi acest formular de căutare pentru a găsi sarcina potrivită. Introduceți un cuvânt, o expresie din sarcină sau numărul acesteia, dacă îl cunoașteți.

Cauta doar in aceasta sectiune

Intervale de încredere: listă de soluții de probleme

Intervale de încredere: teorie și probleme

Înțelegerea intervalelor de încredere

Să introducem pe scurt conceptul de interval de încredere, care
1) estimează un parametru al unui eșantion numeric direct din datele eșantionului în sine,
2) acoperă valoarea acestui parametru cu probabilitatea γ.

Interval de încredere pentru parametru X(cu probabilitate γ) se numește un interval de forma , astfel încât , iar valorile sunt calculate într-un fel din eșantion .

De obicei, în problemele aplicate, probabilitatea de încredere este luată egală cu γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Luați în considerare un eșantion de mărime n, alcătuit din populația generală, distribuit probabil conform legii distribuției normale. Să arătăm ce formule sunt folosite pentru a găsi intervale de încredere pentru parametrii de distribuție- așteptarea și dispersia matematică (abatere standard).

Interval de încredere pentru așteptările matematice

Cazul 1 Varianta distributiei este cunoscuta si egala cu . Apoi intervalul de încredere pentru parametru A se pare ca:
t este determinată din tabelul de distribuție Laplace prin raport

Cazul 2 Varianta distribuției este necunoscută; din eșantion a fost calculată o estimare punctuală a varianței. Apoi intervalul de încredere pentru parametru A se pare ca:
, unde este media eșantionului calculată din parametrul eșantionului t determinat din tabelul de distribuție al Studentului

Exemplu. Pe baza datelor a 7 măsurători de o anumită valoare, media rezultatelor măsurătorilor a fost găsită egală cu 30 și varianța eșantionului egală cu 36. Aflați limitele în care este conținută valoarea adevărată a valorii măsurate cu o fiabilitate de 0,99. .

Soluţie. Sa gasim . Apoi limitele de încredere pentru intervalul care conține valoarea adevărată a valorii măsurate pot fi găsite prin formula:
, unde este media eșantionului, este varianța eșantionului. Introducând toate valorile, obținem:

Interval de încredere pentru varianță

Considerăm că, în general, așteptările matematice sunt necunoscute și se cunoaște doar o estimare punctuală a varianței. Atunci intervalul de încredere arată astfel:
, Unde - cuantile de distribuţie determinate din tabele.

Exemplu. Pe baza datelor a 7 teste s-a constatat valoarea estimării pentru abaterea standard s=12. Găsiți cu o probabilitate de 0,9 lățimea intervalului de încredere construit pentru a estima varianța.

Soluţie. Intervalul de încredere pentru varianța necunoscută a populației poate fi găsit folosind formula:

Înlocuiește și obține:


Atunci lățimea intervalului de încredere este 465,589-71,708=393,881.

Interval de încredere pentru probabilitate (procent)

Cazul 1 Fie cunoscute în problemă dimensiunea eșantionului și fracția eșantionului (frecvența relativă). Atunci intervalul de încredere pentru fracția generală (probabilitatea adevărată) este:
, unde parametrul t este determinată din tabelul de distribuție Laplace prin raportul .

Cazul 2 Dacă problema mai cunoaște dimensiunea totală a populației din care a fost prelevat eșantionul, intervalul de încredere pentru fracția generală (probabilitatea adevărată) poate fi găsit folosind formula ajustată:
.

Exemplu. Se știe că Găsiți limitele în care cota generală se încheie cu probabilitate.

Soluţie. Folosim formula:

Să găsim parametrul din condiție , obținem Substitut în formula:

Puteți găsi alte exemple de probleme în statistica matematică pe pagină