Erori de măsurare absolute și relative. Eroare absolută de măsurare
Eroare de măsurare- evaluarea abaterii valorii măsurate a unei mărimi de la valoarea ei adevărată. Eroarea de măsurare este o caracteristică (măsură) a preciziei de măsurare.
Deoarece este imposibil să se afle cu exactitate absolută valoarea adevărată a oricărei mărimi, este imposibil să se indice și mărimea abaterii valorii măsurate față de cea adevărată. (Această abatere este de obicei numită eroare de măsurare. Într-o serie de surse, de exemplu, în Marea Enciclopedie Sovietică, termenii Eroare de măsurareși Eroare de măsurare sunt folosite ca sinonime, dar conform RMG 29-99 termenul Eroare de măsurare nu este recomandat ca fiind mai puțin reușit). Este posibil să se estimeze amploarea acestei abateri, de exemplu, folosind metode statistice. În practică, în locul adevăratei valori, folosim valoarea reală x d, adică valoarea unei mărimi fizice obținută experimental și atât de aproape de valoarea adevărată încât poate fi folosită în locul acesteia în sarcina de măsurare stabilită. O astfel de valoare este de obicei calculată ca valoare medie obținută prin prelucrarea statistică a rezultatelor unei serii de măsurători. Această valoare obţinută nu este exactă, ci doar cea mai probabilă. Prin urmare, este necesar să se indice în măsurători care este precizia lor. Pentru a face acest lucru, împreună cu rezultatul obținut, este indicată eroarea de măsurare. De exemplu, intrarea T=2,8±0,1 c. înseamnă că adevărata valoare a cantității T se află în intervalul de la 2,7 s inainte de 2,9 s cu o anumită probabilitate specificată
În 2004, la nivel internațional a fost adoptat un nou document, care dicta condițiile pentru efectuarea măsurătorilor și stabilește noi reguli de comparare a standardelor de stat. Conceptul de „eroare” a devenit învechit, a fost introdus în schimb conceptul de „incertitudine de măsurare”, cu toate acestea, GOST R 50.2.038-2004 permite utilizarea termenului eroare pentru documentele folosite în Rusia.
Există următoarele tipuri de erori:
Eroarea absolută
Eroare relativă
eroarea redusă;
Eroarea principală
Eroare suplimentară
· eroare sistematică;
Eroare aleatorie
Eroare instrumentală
· eroare metodică;
· eroare personală;
· eroare statică;
eroare dinamică.
Erorile de măsurare sunt clasificate după următoarele criterii.
· Conform metodei de exprimare matematică, erorile se împart în erori absolute și erori relative.
· În funcție de interacțiunea schimbărilor în timp și a valorii de intrare, erorile sunt împărțite în erori statice și erori dinamice.
După natura apariției erorilor, sunt împărțite în erori sistematice și erori aleatorii.
· În funcție de natura dependenței erorii de valorile de influență, erorile se împart în de bază și suplimentare.
· În funcție de natura dependenței erorii de valoarea de intrare, erorile sunt împărțite în aditive și multiplicative.
Eroare absolută este valoarea calculată ca diferență între valoarea mărimii obținute în timpul procesului de măsurare și valoarea reală (reală) a mărimii date. Eroarea absolută se calculează folosind următoarea formulă:
AQ n =Q n /Q 0 , unde AQ n este eroarea absolută; Qn- valoarea unei anumite cantităţi obţinute în procesul de măsurare; Q0- valoarea aceleiasi marimi, luata ca baza de comparatie (valoare reala).
Eroarea absolută de măsură este valoarea calculată ca diferență între număr, care este valoarea nominală a măsurii, și valoarea reală (reală) a cantității reproduse de măsură.
Eroare relativă este un număr care reflectă gradul de precizie al măsurării. Eroarea relativă se calculează folosind următoarea formulă:
Unde ∆Q este eroarea absolută; Q0 este valoarea reală (reală) a mărimii măsurate. Eroarea relativă este exprimată ca procent.
Eroare redusă este valoarea calculată ca raport dintre valoarea erorii absolute și valoarea de normalizare.
Valoarea de normalizare este definită după cum urmează:
Pentru instrumentele de măsurare pentru care este aprobată o valoare nominală, această valoare nominală este luată ca valoare de normalizare;
· pentru instrumentele de măsură, la care valoarea zero este situată pe marginea scalei de măsurare sau în afara scalei, valoarea de normalizare se ia egală cu valoarea finală din domeniul de măsurare. Excepție fac instrumentele de măsurare cu o scară de măsurare semnificativ neuniformă;
· pentru instrumentele de măsură, în care marcajul zero este situat în domeniul de măsurare, valoarea de normalizare se ia egală cu suma valorilor numerice finale ale domeniului de măsurare;
Pentru instrumentele de măsură (instrumente de măsură) cu o scară neuniformă, valoarea de normalizare se ia egală cu întreaga lungime a scalei de măsurare sau lungimea acelei părți a acesteia care corespunde domeniului de măsurare. Eroarea absolută este apoi exprimată în unități de lungime.
Eroarea de măsurare include eroarea instrumentală, eroarea metodologică și eroarea de citire. Mai mult, eroarea de citire apare din cauza inexactității în determinarea fracțiilor de divizare a scalei de măsurare.
Eroare instrumentală- aceasta este eroarea apărută din cauza erorilor făcute în procesul de fabricație a părților funcționale ale instrumentelor de măsurare a erorilor.
Eroare metodologică este o eroare din următoarele motive:
· inexactitatea în construirea unui model al procesului fizic pe care se bazează instrumentul de măsurare;
Utilizarea incorectă a instrumentelor de măsură.
Eroare subiectivă- aceasta este o eroare apărută din cauza gradului scăzut de calificare a operatorului instrumentului de măsurare, precum și din cauza erorii organelor vizuale umane, adică factorul uman este cauza erorii subiective.
Erorile în interacțiunea schimbărilor în timp și valoarea de intrare sunt împărțite în erori statice și dinamice.
Eroare statică- aceasta este eroarea care apare în procesul de măsurare a unei valori constante (nu se modifică în timp).
Eroare dinamică- aceasta este o eroare, a cărei valoare numerică este calculată ca diferență între eroarea care apare la măsurarea unei mărimi neconstante (variabilă în timp) și o eroare statică (eroarea în valoarea mărimii măsurate la un un anumit moment în timp).
În funcție de natura dependenței erorii de mărimile care influențează, erorile sunt împărțite în de bază și suplimentare.
Eroare de bază este eroarea obținută în condiții normale de funcționare a instrumentului de măsură (la valori normale ale mărimilor de influență).
Eroare suplimentară- aceasta este eroarea care apare atunci când valorile mărimilor de influență nu corespund valorilor lor normale sau dacă mărimea de influență depășește limitele zonei valorilor normale.
Condiții normale sunt condițiile în care toate valorile mărimilor de influență sunt normale sau nu depășesc limitele intervalului de valori normale.
Conditii de lucru- sunt condiții în care modificarea cantităților de influență are o gamă mai largă (valorile celor de influență nu depășesc limitele intervalului de lucru al valorilor).
Interval de lucru al valorilor cantității de influență este intervalul de valori în care sunt normalizate valorile erorii suplimentare.
În funcție de natura dependenței erorii de valoarea de intrare, erorile sunt împărțite în aditive și multiplicative.
Eroare de aditiv- aceasta este eroarea care apare din cauza însumării valorilor numerice și nu depinde de valoarea mărimii măsurate, luată modulo (absolut).
Eroare de multiplicare- aceasta este o eroare care se modifică odată cu o modificare a valorilor mărimii măsurate.
Trebuie remarcat faptul că valoarea erorii aditive absolute nu este legată de valoarea mărimii măsurate și de sensibilitatea instrumentului de măsurare. Erorile aditive absolute sunt neschimbate pe întregul domeniu de măsurare.
Valoarea erorii aditive absolute determină valoarea minimă a mărimii care poate fi măsurată de instrumentul de măsurare.
Valorile erorilor multiplicative se modifică proporțional cu modificările valorilor mărimii măsurate. Valorile erorilor multiplicative sunt, de asemenea, proporționale cu sensibilitatea instrumentului de măsurare.Eroarea multiplicativă apare din cauza influenței cantităților de influență asupra caracteristicilor parametrice ale elementelor instrumentului.
Erorile care pot apărea în timpul procesului de măsurare sunt clasificate în funcție de natura apariției lor. Aloca:
erori sistematice;
erori aleatorii.
În procesul de măsurare pot apărea, de asemenea, erori grave și erori.
Eroare sistematică- aceasta este o parte integrantă a întregii erori a rezultatului măsurării, care nu se modifică sau se modifică în mod natural cu măsurători repetate de aceeași valoare. De obicei, o eroare sistematică este încercată să fie eliminată prin mijloace posibile (de exemplu, prin utilizarea metodelor de măsurare care reduc probabilitatea apariției acesteia), dar dacă o eroare sistematică nu poate fi exclusă, atunci aceasta este calculată înainte de începerea măsurătorilor și este adecvată. se fac corecții la rezultatul măsurării. În procesul de normalizare a erorii sistematice, se determină limitele valorilor sale admisibile. Eroarea sistematică determină corectitudinea măsurătorilor instrumentelor de măsură (proprietatea metrologică). Erorile sistematice în unele cazuri pot fi determinate experimental. Rezultatul măsurării poate fi apoi rafinat prin introducerea unei corecții.
Metodele de eliminare a erorilor sistematice sunt împărțite în patru tipuri:
eliminarea cauzelor și surselor de erori înainte de începerea măsurătorilor;
· Eliminarea erorilor în procesul de măsurare deja început prin metode de substituție, compensare a erorilor în semn, opoziții, observații simetrice;
Corectarea rezultatelor măsurătorilor prin efectuarea unei modificări (eliminarea erorilor prin calcule);
Determinarea limitelor erorii sistematice în cazul în care aceasta nu poate fi eliminată.
Eliminarea cauzelor și surselor de erori înainte de începerea măsurătorilor. Această metodă este cea mai bună opțiune, deoarece utilizarea ei simplifică cursul ulterioar al măsurătorilor (nu este necesar să se elimine erorile în procesul unei măsurători deja începute sau să se modifice rezultatul obținut).
Pentru a elimina erorile sistematice în procesul unei măsurători deja începute, se folosesc diverse metode.
Metoda de modificare se bazează pe cunoașterea erorii sistematice și a modelelor actuale ale schimbării acesteia. Când se utilizează această metodă, rezultatul măsurării obținut cu erori sistematice este supus unor corecții egale ca mărime cu aceste erori, dar semn opus.
metoda de substitutie consta in faptul ca valoarea masurata este inlocuita cu o masura plasata in aceleasi conditii in care a fost situat obiectul masurarii. Metoda substituției este utilizată la măsurarea următorilor parametri electrici: rezistență, capacitate și inductanță.
Metoda de compensare a erorilor de semnare constă în faptul că măsurătorile sunt efectuate de două ori în aşa fel încât eroarea, necunoscută ca mărime, să fie inclusă în rezultatele măsurătorilor cu semnul opus.
Metoda contrastanta similar cu compensarea bazată pe semne. Această metodă constă în faptul că măsurătorile sunt efectuate de două ori în așa fel încât sursa de eroare din prima măsurare să aibă efect invers asupra rezultatului celei de-a doua măsurători.
eroare aleatorie- aceasta este o componentă a erorii rezultatului măsurării, care se modifică aleatoriu, neregulat în timpul măsurătorilor repetate de aceeași valoare. Apariția unei erori aleatoare nu poate fi prevăzută și prezisă. Eroarea aleatorie nu poate fi eliminată complet; întotdeauna distorsionează într-o oarecare măsură rezultatele finale ale măsurătorilor. Dar puteți face ca rezultatul măsurării să fie mai precis luând măsurători repetate. Cauza unei erori aleatoare poate fi, de exemplu, o modificare aleatorie a factorilor externi care afectează procesul de măsurare. O eroare aleatorie în timpul măsurătorilor multiple cu un grad suficient de mare de precizie duce la împrăștierea rezultatelor.
Ratele și gafele sunt erori care sunt mult mai mari decât erorile sistematice și aleatorii așteptate în condițiile de măsurare date. Pot apărea alunecări și erori grave din cauza erorilor grave în procesul de măsurare, a unei defecțiuni tehnice a instrumentului de măsurare și a modificărilor neașteptate ale condițiilor externe.
Lasă o variabilă aleatoare A măsurat n ori in aceleasi conditii. Rezultatele măsurătorilor au dat un set n diverse numere
Eroare absolută- valoare dimensională. Printre n valorile erorilor absolute se întâlnesc în mod necesar atât pozitive, cât și negative.
Pentru valoarea cea mai probabilă a cantității A de obicei ia in medie sensul rezultatelor măsurătorii
.
Cu cât numărul de măsurători este mai mare, cu atât valoarea medie este mai aproape de valoarea adevărată.
Eroare absolutăi
.
Eroare relativăi a-a dimensiune se numește cantitate
Eroarea relativă este o mărime adimensională. De obicei, eroarea relativă este exprimată în procente, pentru aceasta e i inmultiti cu 100%. Valoarea erorii relative caracterizează precizia măsurării.
Eroare absolută medie este definit astfel:
.
Subliniem necesitatea însumării valorilor absolute (module) ale mărimilor D și eu .În caz contrar, se va obține rezultatul identic zero.
Eroare relativă medie se numeste cantitate
.
Pentru un număr mare de măsurători.
Eroarea relativă poate fi considerată ca fiind valoarea erorii pe unitatea mărimii măsurate.
Precizia măsurătorilor este evaluată pe baza unei comparații a erorilor rezultatelor măsurătorilor. Așadar, erorile de măsurare sunt exprimate în așa formă încât, pentru a aprecia acuratețea, ar fi suficient să se compare doar erorile rezultatelor, fără a compara dimensiunile obiectelor măsurate sau a cunoaște aceste dimensiuni foarte aproximativ. Din practică se știe că eroarea absolută de măsurare a unghiului nu depinde de valoarea unghiului, iar eroarea absolută de măsurare a lungimii depinde de valoarea lungimii. Cu cât valoarea lungimii este mai mare, cu atât eroarea absolută este mai mare pentru această metodă și condițiile de măsurare. Prin urmare, în funcție de eroarea absolută a rezultatului, este posibil să se judece acuratețea măsurării unghiului, dar este imposibil să se judece acuratețea măsurării lungimii. Exprimarea erorii în formă relativă face posibilă compararea, în anumite cazuri, a preciziei măsurătorilor unghiulare și liniare.
Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Eroare aleatorie.
Eroare aleatorie numită componenta erorii de măsurare, care se modifică aleatoriu cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi.
Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurării indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.
Eroarea aleatorie apare din acțiunea simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar efectul total al tuturor surselor poate fi destul de puternic.
Erorile aleatorii sunt o consecință inevitabilă a oricărei măsurători și se datorează:
a) citiri inexacte la scara instrumentelor și sculelor;
b) nu sunt condiții identice pentru măsurători repetate;
c) modificări aleatorii ale condițiilor externe (temperatură, presiune, câmp de forță etc.) care nu pot fi controlate;
d) toate celelalte influențe asupra măsurătorilor, ale căror cauze ne sunt necunoscute. Mărimea erorii aleatoare poate fi minimizată prin repetarea repetată a experimentului și prin prelucrarea matematică adecvată a rezultatelor.
O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care nu pot fi prezise pentru un anumit act de măsurare. Această eroare poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, ele fac ca măsurătorile repetate să se împrăștie în jurul valorii adevărate.
Sa presupunem ca cu ajutorul unui cronometru masuram perioada de oscilatie a pendulului, iar masurarea se repeta de multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea referinței, o mică mișcare neuniformă a pendulului - toate acestea provoacă o împrăștiere a rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate drept erori aleatorii.
Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi ușor subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, ceasul este și în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.
Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în momentele de pornire și oprire a ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, de fiecare dată când ne grăbim să pornim cronometrul și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.
Erorile aleatorii sunt cauzate de o eroare de paralaxă la citirea diviziunilor scalei instrumentului, scuturarea fundației clădirii, influența mișcării ușoare a aerului etc.
Deși este imposibil să excludem erori aleatorii ale măsurătorilor individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii ne permite să reducem influența acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât mai multe măsurători trebuie efectuate.
Datorită faptului că apariția erorilor aleatoare este inevitabilă și inevitabilă, sarcina principală a oricărui proces de măsurare este de a reduce erorile la minimum.
Teoria erorilor se bazează pe două ipoteze principale, confirmate de experiență:
1. Cu un număr mare de măsurători, erori aleatorii de aceeași amploare, dar de semn diferit, adică erori în direcția de creștere și scădere a rezultatului sunt destul de frecvente.
2. Erorile absolute mari sunt mai puțin frecvente decât cele mici, astfel încât probabilitatea unei erori scade pe măsură ce valoarea acesteia crește.
Comportamentul variabilelor aleatoare este descris prin regularități statistice, care fac obiectul teoriei probabilităților. Definiția statistică a probabilității w i evoluții i este atitudinea
Unde n- numărul total de experimente, n i- numărul de experimente în care a avut loc evenimentul i s-a întâmplat. În acest caz, numărul total de experimente ar trebui să fie foarte mare ( n®¥). Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatoare se supun unei distribuții normale (distribuția Gauss), ale cărei caracteristici principale sunt următoarele:
1. Cu cât abaterea valorii măsurate de la valoarea adevărată este mai mare, cu atât probabilitatea unui astfel de rezultat este mai mică.
2. Abaterile în ambele direcții de la valoarea adevărată sunt la fel de probabile.
Din ipotezele de mai sus rezultă că, pentru a reduce influența erorilor aleatorii, este necesară măsurarea acestei mărimi de mai multe ori. Să presupunem că măsurăm o valoare x. Lăsați produs n masuratori: x 1 , x 2 , ... x n- prin aceeași metodă și cu aceeași grijă. Se poate aștepta ca numărul dn rezultate obţinute, care se află într-un interval destul de îngust de la X inainte de x + dx, ar trebui să fie proporțional cu:
Valoarea intervalului luat dx;
Numărul total de măsurători n.
Probabilitate dw(X) că ceva valoare X se află în intervalul de la X inainte de x+dx, definite după cum urmează :
(cu numărul de măsurători n ®¥).
Funcţie f(X) se numește funcție de distribuție sau densitate de probabilitate.
Ca postulat al teoriei erorilor, se presupune că rezultatele măsurătorilor directe și erorile lor aleatoare, cu un număr mare de ele, respectă legea distribuției normale.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue găsită de Gauss X are următoarea formă:
, unde mis -
parametrii de distribuție .
Parametrul m al distribuției normale este egal cu valoarea medie á Xñ o variabilă aleatoare, care, pentru o funcție de distribuție cunoscută arbitrară, este determinată de integrală
.
În acest fel, valoarea m este valoarea cea mai probabilă a valorii măsurate x, adică. cea mai bună estimare a ei.
Parametrul s 2 al distribuției normale este egal cu varianța D a variabilei aleatoare, care este determinată în general de următoarea integrală
.
Rădăcina pătrată a varianței se numește abaterea standard a variabilei aleatoare.
Abaterea medie (eroarea) variabilei aleatoare ásñ este determinată folosind funcția de distribuție după cum urmează
Eroarea medie de măsurare ásñ, calculată din funcția de distribuție Gaussiană, este legată de valoarea abaterii standard s după cum urmează:
< s > = 0,8s.
Parametrii s și m sunt legați după cum urmează:
.
Această expresie vă permite să găsiți abaterea standard s dacă există o curbă de distribuție normală.
Graficul funcției Gauss este prezentat în figuri. Funcţie f(X) este simetrică în raport cu ordonata trasată în punct x= m; trece prin maxim în punct x= m și are o inflexiune în punctele m ±s. Astfel, dispersia caracterizează lățimea funcției de distribuție sau arată cât de larg sunt împrăștiate valorile unei variabile aleatoare în raport cu valoarea ei adevărată. Cu cât măsurătorile sunt mai precise, cu atât rezultatele măsurătorilor individuale sunt mai aproape de valoarea reală, adică valoarea lui s este mai mică. Figura A prezintă funcția f(X) pentru trei valori s .
Aria unei figuri delimitată de o curbă f(X) și linii verticale trasate din puncte X 1 și X 2 (Fig. B) , este numeric egală cu probabilitatea ca rezultatul măsurării să se încadreze în intervalul D x = x 1 - X 2, care se numește nivelul de încredere. Aria de sub întreaga curbă f(X) este egală cu probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul de la 0 la ¥, i.e.
,
întrucât probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.
Folosind distribuția normală, teoria erorii pune și rezolvă două probleme principale. Prima este o evaluare a preciziei măsurătorilor. Al doilea este o evaluare a preciziei mediei aritmetice a rezultatelor măsurătorilor.5. Interval de încredere. Coeficientul elevului.
Teoria probabilității vă permite să determinați dimensiunea intervalului în care cu o probabilitate cunoscută w sunt rezultatele măsurătorilor individuale. Această probabilitate se numește nivel de încredere, și intervalul corespunzător (<X>±D X)w numit interval de încredere. Nivelul de încredere este, de asemenea, egal cu proporția relativă a rezultatelor care se încadrează în intervalul de încredere.
Dacă numărul de măsurători n este suficient de mare, atunci probabilitatea de încredere exprimă proporția din numărul total n acele măsurători în care valoarea măsurată a fost în intervalul de încredere. Fiecare nivel de încredere w corespunde intervalului său de încredere.w 2 80%. Cu cât intervalul de încredere este mai larg, cu atât este mai probabil să obțineți un rezultat în intervalul respectiv. În teoria probabilității, se stabilește o relație cantitativă între valoarea intervalului de încredere, probabilitatea de încredere și numărul de măsurători.
Dacă alegem ca interval de încredere intervalul corespunzător erorii medii, adică D a = ANUNȚ Añ, atunci pentru un număr suficient de mare de măsurători corespunde probabilității de încredere w 60%. Pe măsură ce numărul de măsurători scade, probabilitatea de încredere corespunzătoare unui astfel de interval de încredere (á Añ ± ANUNȚ Añ) scade.
Astfel, pentru a estima intervalul de încredere al unei variabile aleatoare, se poate folosi valoarea erorii medii -D Añ .
Pentru a caracteriza magnitudinea unei erori aleatoare, este necesar să se stabilească două numere, și anume, mărimea intervalului de încredere și mărimea probabilității de încredere. . Specificarea doar a mărimii erorii fără probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de sens.
Dacă eroarea medie de măsurare ásñ este cunoscută, intervalul de încredere scris ca (<X> ±asñ) w, determinat cu probabilitate de încredere w= 0,57.
Dacă abaterea standard s este cunoscută distribuția rezultatelor măsurătorilor, intervalul indicat are forma (<X>± tw s) w, Unde tw- coeficient in functie de valoarea probabilitatii de incredere si calculat dupa distributia gaussiana.
Cantitățile cele mai frecvent utilizate D X sunt prezentate în tabelul 1.
Pagina 1
Eroarea absolută de determinare nu depășește 0,01 μg de fosfor. Această metodă a fost folosită de noi pentru determinarea fosforului în acizii nitric, acetic, clorhidric și sulfuric și acetonă cu evaporarea lor preliminară.
Eroarea absolută de determinare este 0 2 - 0 3 mg.
Eroarea absolută în determinarea zincului în ferite de zinc-mangan prin metoda propusă nu depășește 0,2 % rel.
Eroarea absolută în determinarea hidrocarburilor C2 - C4, când conținutul lor în gaz este de 0 2 - 50%, este de 0 01 - 0 2%, respectiv.
Aici Ay este eroarea absolută în definiția lui r/, care rezultă din eroarea Da în definiția lui a. De exemplu, eroarea relativă a pătratului unui număr este de două ori eroarea la determinarea numărului în sine, iar eroarea relativă a numărului de sub rădăcina cubă este doar o treime din eroarea la determinarea numărului.
Considerații mai complexe sunt necesare atunci când se alege o măsură de comparare a erorilor absolute în determinarea orei de începere a accidentului TV - Ts, unde Tv și Ts sunt momentul accidentului restaurat și, respectiv, real. Prin analogie, aici putem folosi timpul mediu pentru atingerea vârfului de poluare de la o deversare reală la acele puncte de monitorizare care au înregistrat un accident în timpul trecerii poluării Tsm. Calculul fiabilității determinării puterii accidentelor se bazează pe calculul erorii relative MV - Ms / Mv, unde Mv și Ms sunt puterile restabilite și, respectiv, reale. În fine, eroarea relativă în determinarea duratei unei declanșări de urgență este caracterizată de valoarea rv - rs / re, unde rv și rs sunt duratele reconstruite și, respectiv, reale ale accidentelor.
Considerații mai complexe sunt necesare atunci când se alege o măsură de comparare a erorilor absolute în determinarea orei de începere a accidentului TV - Ts, unde Tv și Ts sunt momentul accidentului restaurat și, respectiv, real. Prin analogie, aici putem folosi timpul mediu pentru atingerea vârfului de poluare de la o deversare reală la acele puncte de monitorizare care au înregistrat un accident în timpul trecerii poluării Tsm. Calculul fiabilității determinării puterii accidentelor se bazează pe calculul erorii relative Mv - Ms / Ms, unde Mv și Ms sunt puterile restabilite și, respectiv, reale. În fine, eroarea relativă în determinarea duratei unei declanșări de urgență este caracterizată de valoarea rv - rs / rs, unde rv și rs sunt duratele reconstruite și, respectiv, reale ale accidentelor.
Cu aceeași eroare absolută de măsurare ay, eroarea absolută în determinarea cantității de ax scade cu creșterea sensibilității metodei.
Deoarece erorile se bazează nu pe erori aleatorii, ci pe erori sistematice, eroarea finală absolută în determinarea ventuzelor poate ajunge la 10% din cantitatea de aer necesară teoretic. Numai în cazul cuptoarelor inacceptabil de libere (A 0 25) metoda general acceptată dă rezultate mai mult sau mai puțin satisfăcătoare. Descrisul este bine cunoscut reglatorilor, care, atunci când reduc echilibrul de aer al cuptoarelor dense, obțin adesea valori negative de aspirație.
O analiză a erorii în determinarea valorii animalelor de companie a arătat că acesta constă din 4 componente: eroarea absolută în determinarea masei matricei, capacitatea eșantionului, cântărirea și eroarea relativă datorată fluctuațiilor masei probei în jurul valorii de valoarea de echilibru.
Sub rezerva tuturor regulilor de selecție, numărare a volumelor și analiza gazelor cu ajutorul analizorului de gaz GKhP-3, eroarea absolută totală în determinarea conținutului de CO2 și O2 nu trebuie să depășească 0 2 - 0 4% din valoarea lor reală.
Din Tabel. 1 - 3, putem concluziona că datele pe care le folosim pentru substanțele inițiale, luate din surse diferite, au diferențe relativ mici care se încadrează în erorile absolute în determinarea acestor cantități.
Erorile aleatorii pot fi absolute sau relative. Eroarea aleatorie, care are dimensiunea valorii măsurate, se numește eroare absolută de determinare. Media aritmetică a erorilor absolute ale tuturor măsurătorilor individuale se numește eroarea absolută a metodei de analiză.
Valoarea abaterii admisibile, sau a intervalului de încredere, nu este stabilită în mod arbitrar, ci este calculată pe baza datelor de măsurare specifice și a caracteristicilor instrumentelor utilizate. Abaterea rezultatului unei măsurători individuale de la valoarea adevărată a unei mărimi se numește eroare absolută de determinare sau pur și simplu eroare. Raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată se numește eroare relativă, care este de obicei exprimată ca procent. Cunoașterea erorii unei măsurători individuale nu are o semnificație independentă și, în orice experiment serios, trebuie efectuate mai multe măsurători paralele, din care se calculează eroarea experimentului. Erorile de măsurare, în funcție de cauzele apariției lor, sunt împărțite în trei tipuri.
Este practic imposibil de determinat valoarea adevărată a unei mărimi fizice absolut exact, deoarece orice operație de măsurare este asociată cu un număr de erori sau, în caz contrar, erori. Motivele erorilor pot fi foarte diferite. Apariția lor se poate datora unor inexactități în fabricarea și reglarea dispozitivului de măsurare, din cauza caracteristicilor fizice ale obiectului studiat (de exemplu, la măsurarea diametrului unui fir de grosime neomogenă, rezultatul depinde aleatoriu de alegerea zona de măsurare), motive aleatorii etc.
Sarcina experimentatorului este de a reduce influența lor asupra rezultatului și, de asemenea, de a indica cât de aproape este rezultatul de cel adevărat.
Există concepte de eroare absolută și relativă.
Sub eroare absolută măsurarea va înțelege diferența dintre rezultatul măsurării și valoarea adevărată a mărimii măsurate:
∆x i =x i -x și (2)
unde ∆x i este eroarea absolută a i-a măsurătoare, x i _ este rezultatul i-a măsurători, x i este valoarea adevărată a valorii măsurate.
Rezultatul oricărei măsurători fizice este de obicei scris astfel:
unde este valoarea medie aritmetică a mărimii măsurate cea mai apropiată de valoarea adevărată (validitatea lui x și ≈ va fi afișată mai jos), este eroarea absolută de măsurare.
Egalitatea (3) trebuie înțeleasă în așa fel încât valoarea adevărată a valorii măsurate să fie în intervalul [- , + ].
Eroarea absolută este o valoare dimensională, are aceeași dimensiune ca și valoarea măsurată.
Eroarea absolută nu caracterizează pe deplin acuratețea măsurătorilor efectuate. Într-adevăr, dacă măsurăm cu aceeași eroare absolută de ± 1 mm segmente de 1 m și 5 mm lungime, precizia măsurării va fi incomparabilă. Prin urmare, împreună cu eroarea de măsurare absolută, se calculează eroarea relativă.
Eroare relativă măsurători este raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată în sine:
Eroarea relativă este o mărime adimensională. Se exprimă în procente:
În exemplul de mai sus, erorile relative sunt 0,1% și 20%. Ele diferă semnificativ unele de altele, deși valorile absolute sunt aceleași. Eroarea relativă oferă informații despre acuratețe
Erori de măsurare
În funcție de natura manifestării și de motivele apariției erorii, aceasta poate fi împărțită condiționat în următoarele clase: instrumental, sistematic, aleatoriu și rateuri (erori grosolane).
Greșelile se datorează fie unei defecțiuni a dispozitivului, fie unei încălcări a metodologiei sau a condițiilor experimentale, fie sunt de natură subiectivă. În practică, ele sunt definite ca rezultate care diferă mult de altele. Pentru a elimina aspectul lor, este necesar să se respecte acuratețea și minuțiozitatea în lucrul cu dispozitivele. Rezultatele care conțin greșeli trebuie excluse din luare în considerare (eliminate).
erori instrumentale. Dacă dispozitivul de măsurare este funcțional și ajustat, atunci măsurătorile pot fi efectuate pe el cu o precizie limitată, determinată de tipul de dispozitiv. Se acceptă că eroarea instrumentală a instrumentului indicator este considerată egală cu jumătate din cea mai mică diviziune a scalei sale. În dispozitivele cu citire digitală, eroarea instrumentului este echivalată cu valoarea unei cifre mici de pe scara instrumentului.
Erorile sistematice sunt erori ale căror mărime și semn sunt constante pentru întreaga serie de măsurători efectuate prin aceeași metodă și folosind aceleași instrumente de măsurare.
Atunci când se efectuează măsurători, este important nu numai să se țină seama de erorile sistematice, dar este și necesar să se obțină eliminarea acestora.
Erorile sistematice sunt împărțite condiționat în patru grupuri:
1) erori, a căror natură este cunoscută și amploarea lor poate fi determinată destul de precis. O astfel de eroare este, de exemplu, o modificare a masei măsurate în aer, care depinde de temperatură, umiditate, presiunea aerului etc.;
2) erori, a căror natură este cunoscută, dar amploarea erorii în sine este necunoscută. Astfel de erori includ erori cauzate de dispozitivul de măsurare: funcționarea defectuoasă a dispozitivului în sine, nerespectarea scalei cu valoarea zero, clasa de precizie a acestui dispozitiv;
3) erori, a căror existență nu poate fi bănuită, dar amploarea lor poate fi adesea semnificativă. Astfel de erori apar cel mai adesea cu măsurători complexe. Un exemplu simplu al unei astfel de erori este măsurarea densității unei probe care conține o cavitate în interior;
4) erori datorate caracteristicilor obiectului de măsurat însuși. De exemplu, la măsurarea conductivității electrice a unui metal, din acesta din urmă se ia o bucată de sârmă. Pot apărea erori dacă există vreun defect al materialului - o fisură, îngroșarea firului sau neomogenitatea care îi modifică rezistența.
Erorile aleatorii sunt erori care se modifică aleatoriu în semn și mărime în condiții identice pentru măsurători repetate ale aceleiași mărimi.
Informații similare.
Eroare absolută de măsurare numită valoare determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:
Δ X = |X - X 0 |.
Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:
Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a numărului π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0,00159. Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate din ultima cifră a numărului a, atunci ei spun că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52400 este egală cu 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, ca 524·10 2 sau 0,524·10 5 . Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând câte cifre adevărate semnificative conține. La numărarea cifrelor semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.
De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.
Reguli de rotunjire a numerelor. Dacă numărul aproximativ conține caractere suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară, care nu depășește jumătate din unitatea ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire se păstrează doar semnele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.
Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în fracții zecimale sunt eliminate (precum și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zero și aruncate este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148935 cu o precizie de măsurare de 50 are o rotunjire de 148900. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este 5 și nu este urmată de nicio cifre sau zerouri, atunci rotunjirea este efectuată la cea mai apropiată cifră pară. număr. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.
Exemplul 2.2. La rotunjirea numărului de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 - 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 - 1284 = 4.
Exemplul 2.3. La rotunjirea numărului de la 197 la 200, eroarea absolută este 200 - 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.
Exemplul 2.4. Vânzătorul cântărește pepenele pe o cântar. În setul de greutăți, cel mai mic este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelor este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.
Erori la rezolvarea problemei pe PC
Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea sunt așa-numitele erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, când se folosesc metode iterative pentru găsirea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care dau o soluție exactă.
Erori de trunchiere
Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă problemei în sine. Poate fi din cauza inexactității în definirea datelor inițiale. De exemplu, dacă sunt specificate dimensiuni în starea problemei, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.
Erori de propagare
Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a problemei. În cursul calculelor, are loc inevitabil o acumulare sau, cu alte cuvinte, propagarea erorilor. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorii depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.
Erori de rotunjire
Acest tip de eroare se datorează faptului că valoarea adevărată a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în aproape același mod în care este afișat un număr pe un calculator.
