Calculul celei de-a doua limite remarcabile. Calculator online Rezolvarea limitelor

Termenul „limită remarcabilă” este utilizat pe scară largă în manuale și materiale didactice pentru a desemna identități importante care ajută în mod semnificativ simplificați-vă munca privind găsirea limitelor.

Dar sa să poată aduce limita dvs. la remarcabil, trebuie să vă uitați bine la ea, deoarece acestea nu se găsesc în formă directă, ci adesea sub formă de consecințe, echipate cu termeni și factori suplimentari. Totuși, mai întâi teoria, apoi exemplele și vei reuși!

Prima limită minunată

Ți-a plăcut? Adăugați la marcaje

Prima limită remarcabilă este scrisă după cum urmează (incertitudinea formei $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Corolare de la prima limită remarcabilă

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Exemple de soluții: 1 limită minunată

Exemplul 1. Calculați limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Soluţie. Primul pas este întotdeauna același - înlocuim valoarea limită $x=0$ în funcție și obținem:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Am obținut o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, care ar trebui dezvăluită. Dacă te uiți cu atenție, limita inițială este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar nu este aceeași. Sarcina noastră este să o aducem la similitudine. Să o transformăm așa - uită-te la expresia de sub sinus, fă același lucru la numitor (relativ vorbind, înmulțim și împărțim cu $3x$), apoi reduceți și simplificați:

$$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Mai sus este exact prima limită remarcabilă: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( a făcut o înlocuire condiționată ) y=3x. $$ Răspuns: $3/8$.

Exemplul 2. Calculați limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Soluţie. Inlocuim valoarea limita $x=0$ in functie si obtinem:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\dreapta].$$

Am obținut o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Să transformăm limita folosind prima limită minunată (de trei ori!) în simplificare:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Răspuns: $9/16$.

Exemplul 3. Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Soluţie. Ce se întâmplă dacă există o expresie complexă sub funcția trigonometrică? Nu contează, procedăm în același mod aici. Mai întâi, să verificăm tipul de incertitudine, să înlocuim $x=0$ în funcție și să obținem:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Am obținut o incertitudine de forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Înmulțiți și împărțiți cu $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\la 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Din nou avem incertitudine, dar în acest caz este doar o fracțiune. Să reducem numărătorul și numitorul cu $x$:

$$ =\lim\limits_(x\la 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Răspuns: $3/5$.

A doua limită minunată

A doua limită remarcabilă este scrisă după cum urmează (incertitudinea formei $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\la \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(sau) \quad \lim\limits_( x\la 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Consecințele celei de-a doua limite remarcabile

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\la 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\la 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Exemple de soluții: 2 limită minunată

Exemplul 4. Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Soluţie. Să verificăm tipul de incertitudine, înlocuim $x=\infty$ în funcție și obținem:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Am obținut o incertitudine de forma $\left$. Limita poate fi redusă la al doilea lucru remarcabil. Să transformăm:

$$ \lim\limits_(x\la \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\la \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\la \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Expresia din paranteze este de fapt a doua limită remarcabilă $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, doar $t= - 3x/2$, deci

$$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Răspuns:$e^(-2/3)$.

Exemplul 5. Găsiți limita $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Soluţie. Inlocuim $x=\infty$ in functie si obtinem o incertitudine de forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Și avem nevoie de $\left$. Deci, să începem prin a transforma expresia în paranteze:

$$ \lim\limits_(x\la \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\la \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Expresia din paranteze este de fapt a doua limită remarcabilă $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, doar $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, prin urmare

$$ = \lim\limits_(x\la \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Există mai multe limite remarcabile, dar cele mai cunoscute sunt prima și a doua limite remarcabile. Lucrul remarcabil la aceste limite este că sunt utilizate pe scară largă și cu ajutorul lor se pot găsi și alte limite întâlnite în numeroase probleme. Aceasta este ceea ce vom face în partea practică a acestei lecții. Pentru a rezolva probleme reducându-le la prima sau a doua limită remarcabilă, nu este nevoie să dezvăluie incertitudinile conținute în ele, deoarece valorile acestor limite au fost deduse mult timp de marii matematicieni.

Prima limită remarcabilă se numește limita raportului dintre sinusul unui arc infinitezimal și același arc, exprimat în radiani:

Să trecem la rezolvarea problemelor la prima limită remarcabilă. Notă: dacă există o funcție trigonometrică sub semnul limită, acesta este un semn aproape sigur că această expresie poate fi redusă la prima limită remarcabilă.

Exemplul 1. Găsiți limita.

Soluţie. Înlocuire în schimb X zero duce la incertitudine:

.

Numitorul este sinus, prin urmare, expresia poate fi adusă la prima limită remarcabilă. Să începem transformarea:

.

Numitorul este sinusul a trei X, dar numărătorul are doar un X, ceea ce înseamnă că trebuie să obțineți trei X la numărător. Pentru ce? A introduce 3 X = Ași obțineți expresia .

Și ajungem la o variație a primei limite remarcabile:

pentru că nu contează ce literă (variabilă) din această formulă este în locul lui X.

Înmulțim X cu trei și împărțim imediat:

.

În conformitate cu prima limită remarcabilă observată, înlocuim expresia fracțională:

Acum putem rezolva în sfârșit această limită:

.

Exemplul 2. Găsiți limita.

Soluţie. Substituția directă duce din nou la incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Pentru a obține prima limită remarcabilă, este necesar ca x sub semnul sinus la numărător și doar x la numitor să aibă același coeficient. Fie acest coeficient egal cu 2. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă coeficientul curent pentru x ca mai jos, efectuând operații cu fracții, obținem:

.

Exemplul 3. Găsiți limita.

Soluţie. Când înlocuim, obținem din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Probabil că deja înțelegeți că din expresia originală puteți obține prima limită minunată înmulțită cu prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, descompunem pătratele lui x la numărător și sinusul la numitor în factori identici, iar pentru a obține aceiași coeficienți pentru x și sinus, împărțim x din numărător cu 3 și imediat înmulțim cu 3. Obținem:

.

Exemplul 4. Găsiți limita.

Soluţie. Din nou, obținem incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Putem obține raportul dintre primele două limite remarcabile. Împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu x. Apoi, astfel încât coeficienții pentru sinusuri și axe să coincidă, înmulțim x superior cu 2 și împărțim imediat cu 2 și înmulțim x inferior cu 3 și împărțim imediat cu 3. Obținem:

Exemplul 5. Găsiți limita.

Soluţie. Și din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

Ne amintim din trigonometrie că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cosinusul lui zero este egal cu unu. Efectuăm transformările și obținem:

.

Exemplul 6. Găsiți limita.

Soluţie. Funcția trigonometrică sub semnul unei limite sugerează din nou utilizarea primei limite remarcabile. O reprezentăm ca raportul dintre sinus și cosinus.

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? Este posibil să nu înțelegeți ce sunt determinanții și să-i rezolvați cu succes; este posibil să nu înțelegeți deloc ce este o derivată și să le găsiți cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar ne vom uita la semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă, ci și o funcție elementară sau o funcție complexă poate acționa ca parametru. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu; aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi fie hotărât între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să se ofere să rezolve un exemplu simplu („poate că el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. La lectie Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Puteți raționa astfel: în acest exemplu parametrul este , ceea ce înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Dovada:

Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului

Conform formulei binomiale a lui Newton:

Presupunând că primim

Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci valorile cresc. Prin urmare, succesiunea crescând și (2)*Arătăm că este mărginit. Înlocuiți fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă va crește și obținem inegalitatea

Să întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice: Prin urmare (3)*

Deci, șirul este mărginit de sus și inegalitățile (2) și (3) sunt satisfăcute: Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (criteriul de convergență a unei secvențe), secvența crește monoton și este limitat, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Acestea.

Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că . Să luăm în considerare două cazuri:

1. Fie fiecare valoare a lui x inclusă între două numere întregi pozitive: ,unde este partea întreagă a lui x. => =>

Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită Avem

Pe baza criteriului (despre limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor

2. Fie . Să facem înlocuirea − x = t, atunci

Din aceste două cazuri rezultă că pentru x real.

Consecințe:

9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente în limită și teorema privind partea principală a infinitezimalelor.

Fie funcțiile a( X) și b( X) – b.m. la X ® X 0 .

DEFINIȚII.

1)a( X) numit infinitezimal de ordin superior b (X) Dacă

Scrieți: a( X) = o(b( X)) .

2)a( X) Și b( X)sunt numite infinitezimale de același ordin, Dacă

unde CÎℝ și C¹ 0 .

Scrieți: a( X) = O(b( X)) .

3)a( X) Și b( X) sunt numite echivalent , Dacă

Scrieți: a( X) ~ b( X).

4)a( X) numit infinitezimal de ordinul k relativ
absolut infinitezimal b( X), dacă infinitezimal A( X)Și(b( X))k au aceeași ordine, adică Dacă

unde CÎℝ și C¹ 0 .

TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).

Lăsa A( X), b( X), a 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. la x ® X 0 . Dacă A( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

Acea

Dovada: Fie a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Apoi

TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitezimalului).

Lăsa A( X)Și b( X)– b.m. la x ® X 0 , și b( X)– b.m. ordin mai mare decât A( X).

= , a deoarece b( X) – ordin mai mare decât a( X), atunci, i.e. din este clar că un( X) + b( X) ~ a( X)

10) Continuitatea unei funcții într-un punct (în limbajul epsilon-delta, limite geometrice) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.

1. Definiții de bază

Lăsa f(X) este definită într-o vecinătate a punctului X 0 .

DEFINIȚIA 1. Funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă egalitatea este adevărată

Note.

1) În virtutea teoremei 5 §3, egalitatea (1) se poate scrie sub forma

Condiție (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.

2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:

Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct X 0, atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate."

DEFINIȚIA 2 (în limbajul e-d).

Funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 Dacă„e>0 $d>0 astfel de, Ce

dacă xОU( X 0, d) (adică | X – X 0 | < d),

apoi f(X)ÎU( f(X 0), e) (adică | f(X) – f(X 0) | < e).

Lăsa X, X 0 Î D(f) (X 0 – fix, X - arbitrar)

Să notăm: D X= x – x 0 – increment de argument

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – creșterea funcției la punctulx 0

DEFINIȚIA 3 (geometrică).

Funcția f(X) pe numit continuu la un punct X 0 dacă în acest moment un increment infinitezimal în argument îi corespunde unui increment infinitezimal în funcție, adică

Lasă funcția f(X) este definită pe intervalul [ X 0 ; X 0 + d) (pe intervalul ( X 0 – d; X 0 ]).

DEFINIȚIE. Funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 pe dreapta (stânga ), dacă egalitatea este adevărată

Este evident că f(X) este continuă la punct X 0 Û f(X) este continuă la punct X 0 dreapta si stanga.

DEFINIȚIE. Funcția f(X) numit continuu pentru un interval e ( A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

Funcția f(X) se numeste continuu pe segment [A; b] dacă este continuă pe interval (A; b) și are continuitate unidirecțională la punctele de limită(adică continuu la punctul A pe dreapta, la punct b- stânga).

11) Puncte de break, clasificarea lor

DEFINIȚIE. Dacă funcția f(X) definit într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acest moment, atunci f(X) numită discontinuă în punctul x 0 , și punctul în sine X 0 numit punct de întrerupere funcții f(X) .

Note.

1) f(X) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului X 0 .

Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.

2) Din definiția punctului Þ X 0 este punctul de întrerupere al funcției f(X) în două cazuri:

a) U( X 0, d)О D(f) , dar pentru f(X) egalitatea nu este valabilă

b) U * ( X 0, d)О D(f) .

Pentru funcțiile elementare, este posibil doar cazul b).

Lăsa X 0 – punctul de întrerupere a funcției f(X) .

DEFINIȚIE. Punctul x 0 numit punct de rupere eu un fel de dacă funcția f(X)are limite finite în stânga și în dreapta în acest moment.

Dacă aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere detașabil , in caz contrar - punct de salt .

DEFINIȚIE. Punctul x 0 numit punct de rupere II un fel de dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(X)în acest moment este egal¥ sau nu exista.

12) Proprietăți ale funcțiilor continue pe un interval (teoreme ale lui Weierstrass (fără dovezi) și Cauchy

teorema lui Weierstrass

Fie funcția f(x) continuă pe interval, atunci

1)f(x) este limitat la

2) f(x) ia cea mai mică și cea mai mare valoare a intervalului

Definiție: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x€ D(f).

Se spune că valoarea funcției m=f este cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).

Funcția poate lua cea mai mică/mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.

f(x 3)=f(x 4)=max

teorema lui Cauchy.

Fie funcția f(x) continuă pe segment și x numărul conținut între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, trebuie să ne ocupăm de incertitudinea formei 1 ∞, i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Să luăm în considerare problemele în care capacitatea de a calcula a doua limită remarcabilă va fi utilă.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Să înlocuim formula necesară și să efectuăm calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi unul la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudine. Să alegem a doua limită remarcabilă și să facem o schimbare de variabile.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Dacă x → ​​∞, atunci t → - ∞.

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Să înlocuim infinitul și să obținem următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită remarcabilă. Apoi, trebuie să selectăm întreaga parte de la baza funcției de putere:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceasta, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuiți variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞, atunci t → ∞.

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

După aceea, trebuie să transformăm funcția pentru a aplica cea de-a doua mare limită. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Prin înlocuirea t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obținem o a doua limită remarcabilă. Înseamnă ceea ce:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

concluzii

Incertitudinea 1 ∞, i.e. unitatea la o putere infinită este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențiale.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter