Extreme condiționale și metoda multiplicatorului Lagrange. Metoda multiplicatorului Lagrange

Scurtă teorie

Metoda multiplicatorului Lagrange este o metodă clasică de rezolvare a problemelor de programare matematică (în special a celor convexe). Din păcate, aplicarea practică a metodei poate întâmpina dificultăți de calcul semnificative, restrângând sfera de utilizare a acesteia. Considerăm aici metoda Lagrange în principal pentru că este un aparat care este utilizat în mod activ pentru a fundamenta diferite metode numerice moderne care sunt utilizate pe scară largă în practică. În ceea ce privește funcția Lagrange și multiplicatorii Lagrange, acestea joacă un rol independent și extrem de important în teoria și aplicațiile nu numai programării matematice.

Luați în considerare o problemă clasică de optimizare:

Printre restricțiile acestei probleme nu există inegalități, nu există condiții pentru nenegativitatea variabilelor, discretitatea acestora, iar funcțiile sunt continue și au derivate parțiale de cel puțin ordinul doi.

Abordarea clasică a rezolvării problemei oferă un sistem de ecuații (condiții necesare) care trebuie satisfăcut de punctul care asigură funcția cu un extremum local pe mulțimea de puncte care satisfac restricțiile (pentru o problemă de programare convexă, punctul găsit). va fi, de asemenea, punctul extremum global).

Să presupunem că la o funcție punctuală (1) are un extremum condiționat local și rangul matricei este egal cu . Apoi condițiile necesare vor fi scrise sub forma:

există o funcție Lagrange; – Multiplicatori de Lagrange.

Există și condiții suficiente în care soluția sistemului de ecuații (3) determină punctul extremum al funcției. Această întrebare este rezolvată pe baza studiului semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. Cu toate acestea, condițiile suficiente sunt în principal de interes teoretic.

Puteți specifica următoarea procedură pentru rezolvarea problemei (1), (2) folosind metoda multiplicatorului Lagrange:

1) alcătuiți funcția Lagrange (4);

2) găsiți derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu toate variabilele și egalați-le

zero. Astfel, se va obtine un sistem (3) format din ecuatii Rezolvati sistemul rezultat (daca acest lucru se dovedeste a fi posibil!) si gasiti astfel toate punctele stationare ale functiei Lagrange;

3) din punctele staționare luate fără coordonate, selectați puncte la care funcția are extreme locale condiționate în prezența restricțiilor (2). Această alegere se face, de exemplu, folosind condiții suficiente pentru un extremum local. Adesea, studiul este simplificat dacă sunt utilizate condiții specifice ale problemei.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Firma produce două tipuri de mărfuri în cantităţi şi . Funcția de cost util este determinată de relație. Prețurile acestor bunuri pe piață sunt egale și în consecință.

Determinați la ce volume de producție se realizează profitul maxim și cu ce este egal dacă costurile totale nu depășesc

Aveți dificultăți în înțelegerea progresului unei decizii? Site-ul ofera un serviciu Rezolvarea problemelor folosind metode de solutii optime la comanda

Rezolvarea problemei

Modelul economic și matematic al problemei

Funcția de profit:

Restricții de cost:

Obținem următorul model economic și matematic:

În plus, conform sensului sarcinii

Metoda multiplicatorului Lagrange

Să compunem funcția Lagrange:

Găsim derivatele parțiale de ordinul 1:

Să creăm și să rezolvăm un sistem de ecuații:

De atunci

Profit maxim:

Răspuns

Astfel, este necesar să se elibereze alimente. mărfuri de primul tip și unități. bunuri de al 2-lea tip. În acest caz, profitul va fi maxim și se va ridica la 270.
Este dat un exemplu de rezolvare a unei probleme de programare pătratică convexă folosind o metodă grafică.

Rezolvarea unei probleme liniare prin metoda grafica
Este considerată o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) cu două variabile. Folosind exemplul unei probleme, se oferă o descriere detaliată a construcției unui desen și a găsirii unei soluții.

Modelul de gestionare a stocurilor al lui Wilson
Folosind exemplul de rezolvare a problemei, se ia în considerare modelul de bază al managementului stocurilor (modelul Wilson). Au fost calculați indicatori de model precum dimensiunea optimă a lotului de comandă, costurile anuale de stocare, intervalul dintre livrări și punctul de plasare a comenzii.

Matricea raportului cost direct și matricea intrări-ieșiri
Folosind exemplul rezolvării unei probleme, se ia în considerare modelul intersectorial al lui Leontiev. Este prezentată calculul matricei coeficienților costurilor directe ale materialelor, matricei „input-output”, matricei coeficienților costurilor indirecte, vectorilor consumului final și producției brute.

CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema extremului condiționat la rezolvarea problemei extremului necondiționat. Luați în considerare modelul de programare neliniară:

(5.2)

Unde
– funcții cunoscute,

A
– coeficienți dați.

Rețineți că în această formulare a problemei, constrângerile sunt specificate prin egalități și nu există nicio condiție ca variabilele să fie nenegative. În plus, credem că funcțiile
sunt continue cu primele lor derivate parțiale.

Să transformăm condițiile (5.2) astfel încât în ​​partea stângă sau dreaptă a egalităților să existe zero:

(5.3)

Să compunem funcția Lagrange. Include funcția obiectiv (5.1) și părțile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții
. Vor fi atât de mulți coeficienți Lagrange câte constrângeri există în problemă.

Punctele extreme ale funcției (5.4) sunt punctele extreme ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1)-(5.2) este punctul extremum global al funcției Lagrange.

Într-adevăr, să se găsească o soluție
problemele (5.1)-(5.2), atunci condițiile (5.3) sunt îndeplinite. Să înlocuim planul
în funcția (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).

Astfel, pentru a găsi planul optim pentru problema inițială, este necesar să se examineze funcția Lagrange pentru extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero. Se numesc astfel de puncte staționar.

Să definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)

,

.

După egalizare zero derivate obținem sistemul m+n ecuatii cu m+n necunoscut

,(5.6)

În cazul general, sistemul (5.6)-(5.7) va avea mai multe soluții, care vor include toate maximele și minimele funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiectiv sunt calculate la toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cel mai mic va fi minimul global. În unele cazuri este posibil să se utilizeze condiţii suficiente pentru un extremum strict funcții continue (vezi problema 5.2 de mai jos):

lasa sa functioneze
este continuu si de doua ori diferentiabil intr-o apropiere a punctului sau stationar (acestea.
)). Apoi:

A ) Dacă
, (5.8)

Acea – punctul de maxim strict al funcției
;

b) Dacă
, (5.9)

Acea – punctul de minim strict al funcției
;

G ) Dacă
,

atunci chestiunea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

În plus, unele soluții ale sistemului (5.6)-(5.7) pot fi negative. Ceea ce este incompatibil cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui să luați în considerare înlocuirea valorilor negative cu valori zero.

Sensul economic al multiplicatorilor Lagrange. Valoarea optimă a multiplicatorului
arată cât de mult se va modifica valoarea criteriului Z când resursa crește sau scade j cu o unitate, din moment ce

Metoda Lagrange poate fi folosită și în cazul în care constrângerile sunt inegalități. Astfel, găsirea extremului funcției
in conditii

,

realizat în mai multe etape:

1. Determinați punctele staționare ale funcției obiectiv, pentru care rezolvă un sistem de ecuații

.

2. Din punctele staționare, selectați cele ale căror coordonate îndeplinesc condițiile

3. Folosind metoda Lagrange, rezolvați problema cu constrângeri de egalitate (5.1)-(5.2).

4. Punctele găsite în a doua și a treia etapă sunt examinate pentru maximul global: valorile funcției obiective în aceste puncte sunt comparate - cea mai mare valoare corespunde planului optim.

Problema 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, considerată în prima secțiune, folosind metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă de un model matematic

.

Să compunem funcția Lagrange

Să găsim maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero

,

Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare de forma

Soluția sistemului de ecuații reprezintă un plan optim de distribuție a resurselor de apă în zonele irigate

, .

Cantitati
măsurată în sute de mii de metri cubi.
- suma venitului net la o sută de mii de metri cubi de apă de irigare. Prin urmare, prețul marginal al 1 m 3 de apă de irigare este egal cu
den. unitati

Venitul net suplimentar maxim din irigare va fi

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (unități den.)

Problema 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară

Să reprezentăm limitarea sub forma:

.

Să compunem funcția Lagrange și să determinăm derivatele ei parțiale

.

Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, derivatele sale parțiale ar trebui să fie egale cu zero. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații

.

Din prima ecuație rezultă

. (5.10)

Expresie să substituim în a doua ecuație

,

ceea ce presupune două soluţii pt :

Și
. (5.11)

Înlocuind aceste soluții în a treia ecuație, obținem

,
.

Valorile multiplicatorului Lagrange și ale necunoscutului Să calculăm folosind expresiile (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Astfel, avem două puncte extreme:

;
.

Pentru a afla dacă aceste puncte sunt puncte maxime sau minime, folosim condiții suficiente pentru extremul strict (5.8)-(5.9). Pre-exprimare pentru , obținut din constrângerea modelului matematic, îl substituim în funcția obiectiv

,

. (5.12)

Pentru a verifica condițiile unui extremum strict, ar trebui să determinăm semnul derivatei a doua a funcției (5.11) în punctele extreme pe care le-am găsit
Și
.

,
;

.

Prin urmare, (·)
este punctul minim al problemei inițiale (
), A (·)
– punct maxim.

Planul optim:

,
,
,

.

Astăzi la lecție vom învăța să găsim condiţional sau, cum se mai numesc, extreme relative funcții ale mai multor variabile și, în primul rând, vom vorbi, desigur, despre extreme condiționale funcții de doiȘi trei variabile, care se regăsesc în marea majoritate a problemelor tematice.

Ce trebuie să știi și să poți face în acest moment? În ciuda faptului că acest articol este „la periferia” subiectului, nu este nevoie de mult pentru a stăpâni cu succes materialul. În acest moment, ar trebui să fiți conștienți de elementele de bază suprafețe ale spațiului, să poată găsi derivate parțiale (cel putin la un nivel mediu)și, așa cum ne dictează logica nemiloasă, să înțelegem extreme necondiționate. Dar chiar dacă aveți un nivel scăzut de pregătire, nu vă grăbiți să plecați - toate cunoștințele/deprinderile lipsă pot fi într-adevăr „culease pe parcurs” și fără ore de chin.

Mai întâi, să analizăm conceptul în sine și, în același timp, să realizăm o repetare rapidă a celor mai comune suprafete. Deci, ce este un extremum condiționat? ...Logica aici nu este mai puțin nemiloasă =) Extremul condiționat al unei funcții este un extremum în sensul obișnuit al cuvântului, care se realizează atunci când sunt îndeplinite o anumită condiție (sau condiții).

Imaginați-vă un „oblic” arbitrar avion V Sistemul cartezian. Nici unul extremum aici nu există nicio urmă. Dar asta este deocamdată. Sa luam in considerare cilindru eliptic, pentru simplitate - o „țeavă” rotundă nesfârșită paralelă cu axa. Evident, această „țeavă” va „tăi” din avionul nostru elipsă, în urma căruia va exista un maxim în punctul său superior și un minim în punctul său inferior. Cu alte cuvinte, funcția care definește planul atinge extreme dat fiind că era străbătută de un cilindru circular dat. Exact „prevăzut”! Un alt cilindru eliptic care intersectează acest plan va produce aproape sigur valori minime și maxime diferite.

Dacă nu este foarte clar, atunci situația poate fi simulată în mod realist (deși în ordine inversă): luați un topor, ieșiți afară și tăiați... nu, Greenpeace nu vă va ierta mai târziu - este mai bine să tăiați țeava de scurgere cu o râșniță =). Minimul și maximul condiționat vor depinde de la ce înălțime și sub ce (neorizontal) tăierea se face în unghi.

A sosit momentul să îmbrăcăm calculele în ținute matematice. Sa luam in considerare paraboloid eliptic, care are minim absolut la punctul . Acum să găsim extremul dat fiind. Acest avion paralel cu axa, ceea ce înseamnă că „taie” din paraboloid parabolă. Vârful acestei parabole va fi minimul condiționat. Mai mult, planul nu trece prin originea coordonatelor, prin urmare, punctul va rămâne irelevant. Nu ai oferit o poză? Să urmărim imediat link-urile! Va dura de multe, de multe ori.

Întrebare: cum să găsiți acest extremum condiționat? Cel mai simplu mod de a rezolva este să folosiți ecuația (care se numește - condiție sau ecuația conexiunii) exprimă, de exemplu: – și înlocuiește-l în funcția:

Rezultatul este o funcție a unei variabile care definește o parabolă, al cărei vârf este „calculat” cu ochii închiși. Sa gasim puncte critice:

- punct critic.

Următorul lucru cel mai ușor de utilizat este a doua condiție suficientă pentru extremum:

În special: aceasta înseamnă că funcția atinge un minim în punctul . Se poate calcula direct: , dar vom lua un traseu mai academic. Să găsim coordonatele „joc”:
,

notează punctul minim condiționat, asigură-te că se află într-adevăr în avion (satisface ecuația de cuplare):

și calculați minimul condiționat al funcției:
dat fiind (este necesar un aditiv!!!).

Metoda considerată poate fi folosită în practică fără nicio îndoială, totuși, are o serie de dezavantaje. În primul rând, geometria problemei nu este întotdeauna clară și, în al doilea rând, este adesea neprofitabilă să exprimați „x” sau „y” din ecuația de conexiune. (dacă este posibil să exprim ceva). Și acum vom lua în considerare o metodă universală pentru găsirea extremelor condiționale, numită Metoda multiplicatorului Lagrange:

Exemplul 1

Găsiți extremele condiționale ale funcției cu ecuația specificată de conexiune la argumente.

Recunoașteți suprafețele? ;-) ...ma bucur sa vad fetele fericite =)

Apropo, din formularea acestei probleme devine clar de ce se numește condiția ecuația conexiunii– argumente ale funcției conectat o condiție suplimentară, adică punctele extreme găsite trebuie să aparțină în mod necesar unui cilindru circular.

Soluţie: în primul pas trebuie să prezentați ecuația conexiunii în formă și să compuneți Funcția Lagrange:
, unde este așa-numitul multiplicator Lagrange.

În cazul nostru și:

Algoritmul pentru găsirea extremelor condiționale este foarte asemănător cu schema de găsire a „obișnuit” extreme. Sa gasim derivate parțiale Funcțiile Lagrange, în timp ce „lambda” ar trebui tratată ca o constantă:

Să compunem și să rezolvăm următorul sistem:

Încurcătura este dezlegată ca standard:
din prima ecuație pe care o exprimăm ;
din a doua ecuație pe care o exprimăm .

Să substituim conexiunile în ecuație și să facem simplificări:

Ca rezultat, obținem două puncte staționare. Daca atunci:

daca atunci:

Este ușor de observat că coordonatele ambelor puncte satisfac ecuația . Oamenii scrupuloși pot efectua și o verificare completă: pentru aceasta trebuie să înlocuiți în prima și a doua ecuație a sistemului și apoi faceți același lucru cu mulțimea . Totul trebuie să „se adună”.

Să verificăm îndeplinirea condiției extreme suficiente pentru punctele staționare găsite. Voi discuta trei abordări pentru a rezolva această problemă:

1) Prima metodă este o justificare geometrică.

Să calculăm valorile funcției în punctele staționare:

În continuare, notăm o frază cu aproximativ următorul conținut: o secțiune a unui plan printr-un cilindru circular este o elipsă, la vârful superior al cărei maxim se atinge, iar la vârful inferior minimul. Astfel, o valoare mai mare este un maxim condiționat, iar o valoare mai mică este un minim condiționat.

Dacă este posibil, este mai bine să utilizați această metodă - este simplă, iar această decizie este numărată de profesori (un mare plus este că ați arătat o înțelegere a semnificației geometrice a problemei). Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, nu este întotdeauna clar ce se intersectează cu ce și unde, iar apoi verificarea analitică vine în ajutor:

2) A doua metodă se bazează pe utilizarea semnelor diferențiale de ordinul doi. Dacă se dovedește că într-un punct staționar, atunci funcția atinge un maxim acolo, dar dacă o face, atunci atinge un minim.

Sa gasim derivate parțiale de ordinul doi:

și creați această diferență:

Când , aceasta înseamnă că funcția atinge maximul în punctul ;
la , ceea ce înseamnă că funcția atinge un minim în punctul respectiv .

Metoda luată în considerare este foarte bună, dar are dezavantajul că în unele cazuri este aproape imposibil să se determine semnul diferenţialului 2. (de obicei acest lucru se întâmplă dacă și/sau sunt semne diferite). Și apoi „artileria grea” vine în ajutor:

3) Să diferențiem ecuația conexiunii prin „X” și „Y”:

și compune următoarele simetric matrice:

Dacă într-un punct staționar, atunci funcția ajunge acolo ( Atenţie!) minim, dacă – atunci maxim.

Să scriem matricea pentru valoarea și punctul corespunzător:

Să-l calculăm determinant:
, astfel, funcția are un maxim în punctul .

La fel pentru valoare și punct:

Astfel, funcția are un minim în punctul .

Răspuns: dat fiind :

După o analiză amănunțită a materialului, pur și simplu nu pot să nu vă ofer câteva sarcini tipice pentru autotest:

Exemplul 2

Găsiți extremul condiționat al funcției dacă argumentele sale sunt legate de ecuație

Exemplul 3

Găsiți extremele funcției având în vedere condiția

Și din nou, recomand cu tărie înțelegerea esenței geometrice a sarcinilor, mai ales în ultimul exemplu, unde verificarea analitică a unei condiții suficiente nu este un dar. Amintește-ți ce A doua linie de comandă stabilește ecuația și ce suprafaţă această linie generează în spațiu. Analizați de-a lungul cărei curbe cilindrul va intersecta planul și unde pe această curbă va fi un minim și unde va fi un maxim.

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Problema luată în considerare este utilizată pe scară largă în diverse domenii, în special - nu vom merge departe - în geometrie. Să rezolvăm problema preferată a tuturor despre sticla de jumătate de litru (vezi Exemplul 7 al articoluluiProvocări extreme ) a doua cale:

Exemplul 4

Care ar trebui să fie dimensiunile unei conserve cilindrice, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea conservei, dacă volumul cutiei este egal cu

Soluţie: luați în considerare o rază variabilă a bazei, o înălțime variabilă și compuneți o funcție a ariei suprafeței totale a cutiei:
(suprafață a două capace + suprafață laterală)

Nume parametru	Sens
Subiect articol:	Metoda Lagrange.
Rubrica (categoria tematica)	Matematică

Găsirea unui polinom înseamnă determinarea valorilor coeficientului său . Pentru a face acest lucru, folosind condiția de interpolare, puteți forma un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE).

Determinantul acestui SLAE este de obicei numit determinant Vandermonde. Determinantul Vandermonde nu este egal cu zero pentru , adică în cazul în care nu există noduri care se potrivesc în tabelul de căutare. Cu toate acestea, se poate argumenta că SLAE are o soluție și această soluție este unică. După rezolvarea SLAE și determinat coeficienții necunoscuți puteți construi un polinom de interpolare.

Un polinom care satisface condițiile de interpolare, atunci când este interpolat prin metoda Lagrange, este construit sub forma unei combinații liniare de polinoame de gradul al n-lea:

Polinoamele sunt de obicei numite de bază polinomiale. Pentru a polinomul Lagrange satisface condițiile de interpolare, este extrem de important ca următoarele condiții să fie îndeplinite pentru polinoamele sale de bază:

Pentru .

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci pentru oricare avem:

Mai mult, îndeplinirea condițiilor specificate pentru polinoamele de bază înseamnă că și condițiile de interpolare sunt îndeplinite.

Să determinăm tipul de polinoame de bază pe baza restricțiilor impuse acestora.

Prima condiție: la .

a 2-a condiție: .

În cele din urmă, pentru polinomul de bază putem scrie:

Apoi, înlocuind expresia rezultată pentru polinoamele de bază în polinomul original, obținem forma finală a polinoamului Lagrange:

O formă particulară a polinomului Lagrange la este de obicei numită formulă de interpolare liniară:

.

Polinomul Lagrange luat la se numește de obicei formulă de interpolare pătratică:

Metoda Lagrange. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda Lagrange”. 2017, 2018.

- Metoda Lagrange (metoda de variaţie a unei constante arbitrare).

Telecomenzi liniare. Definiție. tip DU, adică liniară în raport cu o funcție necunoscută și derivata ei se numește liniară. Pentru o soluție de acest tip vom avea în vedere două metode: metoda Lagrange și metoda Bernoulli.Se consideră o ecuație diferențială omogenă.Această ecuație este cu variabile separabile.Rezolvarea ecuației este Generală... .

- Sisteme de control liniare, omogene și eterogene. Conceptul de decizie generală. Metoda Lagrange de variație a constantelor de producție.

Definiție. Un sistem de control se numește omogen dacă funcția poate fi reprezentată ca relația dintre argumentele sale.Exemplu. A f-a se numește f-a măsură omogenă dacă Exemple: 1) - ordinul 1 de omogenitate. 2) - ordinul 2 de omogenitate. 3) - ordinul zero al omogenității (pur și simplu omogen... .

- Curs 8. Aplicarea derivatelor parţiale: probleme extremum. Metoda Lagrange.

Problemele extreme sunt de mare importanță în calculele economice. Acesta este calculul, de exemplu, al venitului maxim, al profitului, al costurilor minime în funcție de mai multe variabile: resurse, active de producție etc. Teoria găsirii extremelor funcțiilor... .

- T.2.3. DE de ordine superioare. Ecuație în diferențiale totale. T.2.4. Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți. Metoda Lagrange.

3. 2. 1. DE cu variabile separabile S.R. 3. În științele naturii, tehnologie și economie, de multe ori trebuie să se ocupe de formule empirice, i.e. formule întocmite pe baza prelucrării datelor statistice sau...

Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1) .
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:

• metoda de variație a constantei (Lagrange).

Să luăm în considerare rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi folosind metoda Lagrange.

Metoda de variație a constantei (Lagrange)

În metoda variației constantei, rezolvăm ecuația în doi pași. În primul pas, simplificăm ecuația inițială și rezolvăm o ecuație omogenă. În a doua etapă, înlocuim constanta de integrare obținută în prima etapă a soluției cu o funcție. Apoi căutăm o soluție generală a ecuației inițiale.

Luați în considerare ecuația:
(1)

Pasul 1 Rezolvarea unei ecuații omogene

Căutăm o soluție pentru ecuația omogenă:

Aceasta este o ecuație separabilă

Separăm variabilele - înmulțim cu dx, împărțim cu y:

Să integrăm:

Integrală peste y - tabelar:

Apoi

Hai sa potentam:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnul modulului, care se rezumă la înmulțirea cu o constantă ±1, pe care îl vom include în C:

Pasul 2 Înlocuiți constanta C cu funcția

Acum să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)
Adică, vom căuta o soluție la ecuația originală (1) la fel de:
(2)
Găsirea derivatei.

Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Conform regulii de diferențiere a produselor:

.
Înlocuiți în ecuația inițială (1) :
(1) ;

.
Doi membri sunt redusi:
;
.
Să integrăm:
.
Înlocuiește în (2) :
.
Ca rezultat, obținem o soluție generală pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi:
.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange

Rezolvați ecuația

Soluţie

Rezolvăm ecuația omogenă:

Separăm variabilele:

Înmulțit cu:

Să integrăm:

Integrale tabulare:

Hai sa potentam:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnele modulului:

De aici:

Să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)

Găsirea derivatei:
.
Înlocuiți în ecuația inițială:
;
;
Sau:
;
.
Să integrăm:
;
Rezolvarea ecuației:
.