Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Poziția relativă a liniilor

Să ni se dea o anumită dreaptă, definită printr-o ecuație liniară, și un punct, definit de coordonatele sale (x0, y0) și care nu se află pe această dreaptă. Este necesar să se găsească un punct care să fie simetric față de un punct dat în jurul unei drepte date, adică să coincidă cu acesta dacă planul este îndoit mental în jumătate de-a lungul acestei linii drepte.

Instrucțiuni

1. Este clar că ambele puncte - cel dat și cel dorit - trebuie să se afle pe aceeași linie, iar această dreaptă trebuie să fie perpendiculară pe cea dată. Astfel, prima parte a problemei este de a descoperi ecuația unei drepte care ar fi perpendiculară pe o dreaptă dată și, în același timp, ar trece printr-un punct dat.

2. O linie dreaptă poate fi specificată în două moduri. Ecuația canonică a unei linii arată astfel: Ax + By + C = 0, unde A, B și C sunt constante. De asemenea, puteți determina o linie dreaptă folosind o funcție liniară: y = kx + b, unde k este exponentul unghiular, b este deplasarea.Aceste două metode sunt interschimbabile și vă puteți muta una la alta. Dacă Ax + By + C = 0, atunci y = – (Ax + C)/B. Cu alte cuvinte, într-o funcție liniară y = kx + b, exponentul unghiular k = -A/B, iar deplasarea b = -C/B. Pentru sarcina în cauză, este mai confortabil să raționezi pe baza ecuației canonice a dreptei.

3. Dacă două drepte sunt perpendiculare una pe cealaltă, iar ecuația primei linii este Ax + By + C = 0, atunci ecuația celei de-a doua drepte ar trebui să arate ca Bx – Ay + D = 0, unde D este o constantă. Pentru a detecta o anumită valoare a lui D, este necesar să se știe suplimentar prin ce punct trece dreapta perpendiculară. În acest caz, acesta este punctul (x0, y0) În consecință, D trebuie să satisfacă egalitatea: Bx0 – Ay0 + D = 0, adică D = Ay0 – Bx0.

4. După ce linia perpendiculară a fost descoperită, este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție al acesteia cu cel dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Soluția sa va da numerele (x1, y1), care servesc drept coordonate ale punctul de intersecție al liniilor.

5. Punctul dorit trebuie să se afle pe linia detectată, iar distanța sa până la punctul de intersecție trebuie să fie egală cu distanța de la punctul de intersecție la punctul (x0, y0). Coordonatele unui punct simetric punctului (x0, y0) pot fi găsite astfel prin rezolvarea sistemului de ecuații: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Dar o poți face mai ușor. Dacă punctele (x0, y0) și (x, y) sunt la distanțe egale față de punctul (x1, y1) și toate cele trei puncte se află pe aceeași linie dreaptă, atunci: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0.În consecință, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Prin înlocuirea acestor valori în a doua ecuație a primului sistem și simplificarea expresiilor, este ușor să vă asigurați că partea dreaptă a acesteia devine aceeași cu cea stângă. În plus, nu are rost să mai luăm în considerare prima ecuație, deoarece se știe că punctele (x0, y0) și (x1, y1) o satisfac, iar punctul (x, y) se află în mod evident pe aceeași dreaptă .

Formularea problemei. Găsiți coordonatele unui punct simetric față de un punct raportat la avion.

Plan de rezolvare.

1. Găsiți ecuația unei drepte care este perpendiculară pe un plan dat și trece prin punctul . Deoarece o dreaptă este perpendiculară pe un plan dat, atunci vectorul normal al planului poate fi luat ca vector de direcție, adică.

.

Prin urmare, ecuația dreptei va fi

.

2. Găsiți punctul intersecția unei linii drepte și avioane (vezi problema 13).

3. Punct este punctul de mijloc al segmentului unde punctul este un punct simetric față de punct , De aceea

Problema 14. Găsiți un punct simetric față de punctul relativ la plan.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct perpendicular pe un plan dat va fi:

.

Să găsim punctul de intersecție al dreptei și al planului.

Unde – punctul de intersecție al unei drepte și al unui plan.este mijlocul segmentului deci

Acestea. .

Coordonate plane omogene. Transformări afine pe plan.

Lăsa M XȘi la

M(X, laMae (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).

Mae (X, la

Mae (X, la hu.

(hx, hy, h), h  0,

cometariu

h(De exemplu, h

De fapt, având în vedere h

cometariu

Exemplul 1.

b) la un unghi (Fig. 9).

primul pas.

al 2-lea pas. Rotiți după unghiul 

matricea transformării corespunzătoare.

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b)

matricea transformării corespunzătoare.

Exemplul 3

 de-a lungul axei x și

primul pas.

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas.

al 3-lea pas.

o vom primi în sfârșit

cometariu

[R],[D],[M],[T],

Lăsa M- punct arbitrar al planului cu coordonate XȘi la, calculată în raport cu un sistem de coordonate rectiliniu dat. Coordonatele omogene ale acestui punct sunt orice triplu de numere simultan nenule x 1, x 2, x 3, legate de numerele date x și y prin următoarele relații:

La rezolvarea problemelor de grafică pe computer, coordonatele omogene sunt introduse de obicei după cum urmează: până la un punct arbitrar M(X, la) planului i se atribuie un punct Mae (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).

Rețineți că un punct arbitrar pe linia care leagă originea, punctul 0(0, 0, 0), cu punctul Mae (X, la, 1), poate fi dat de un triplu de numere de forma (hx, hy, h).

Vectorul cu coordonatele hx, hy, este vectorul direcție al dreptei care leagă punctele 0 (0, 0, 0) și Mae (X, la, 1). Această linie intersectează planul z = 1 în punctul (x, y, 1), care definește în mod unic punctul (x, y) al planului de coordonate hu.

Astfel, între un punct arbitrar cu coordonate (x, y) și un set de triple de numere de forma

(hx, hy, h), h  0,

se stabilește o corespondență (unu-la-unu) care ne permite să considerăm numerele hx, hy, h drept noile coordonate ale acestui punct.

cometariu

Utilizate pe scară largă în geometria proiectivă, coordonatele omogene fac posibilă descrierea eficientă a așa-numitelor elemente improprie (în esență acelea în care planul proiectiv diferă de planul euclidian familiar). Mai multe detalii despre noile posibilități oferite de coordonatele omogene introduse sunt discutate în secțiunea a patra a acestui capitol.

În geometria proiectivă pentru coordonate omogene, se acceptă următoarea notație:

x:y:1 sau, mai general, x1:x2:x3

(rețineți că aici este absolut necesar ca numerele x 1, x 2, x 3 să nu devină zero în același timp).

Utilizarea coordonatelor omogene se dovedește a fi convenabilă chiar și atunci când se rezolvă cele mai simple probleme.

Luați în considerare, de exemplu, problemele legate de schimbările de scară. Dacă dispozitivul de afișare funcționează numai cu numere întregi (sau dacă trebuie să lucrați numai cu numere întregi), atunci pentru o valoare arbitrară h(De exemplu, h= 1) un punct cu coordonate omogene

imposibil de imaginat. Cu toate acestea, cu o alegere rezonabilă a lui h, este posibil să ne asigurăm că coordonatele acestui punct sunt numere întregi. În special, pentru h = 10 pentru exemplul pe care îl avem

Să luăm în considerare un alt caz. Pentru a preveni ca rezultatele transformării să conducă la depășire aritmetică, pentru un punct cu coordonate (80000 40000 1000) puteți lua, de exemplu, h=0,001. Ca rezultat obținem (80 40 1).

Exemplele date arată utilitatea utilizării coordonatelor omogene la efectuarea calculelor. Cu toate acestea, scopul principal al introducerii coordonatelor omogene în grafica computerizată este comoditatea lor neîndoielnică în aplicarea transformărilor geometrice.

Folosind triple de coordonate omogene și matrice de ordinul trei, poate fi descrisă orice transformare afină a unui plan.

De fapt, având în vedere h= 1, comparați două intrări: marcate cu simbolul * și următoarea, matrice:

Este ușor de observat că după înmulțirea expresiilor din partea dreaptă a ultimei relații, obținem atât formulele (*), cât și egalitatea numerică corectă 1=1.

cometariu

Uneori, în literatură se folosește o altă notație - notație coloană:

Această notație este echivalentă cu notația linie cu linie de mai sus (și se obține din ea prin transpunere).

Elementele unei matrice de transformare afine arbitrară nu poartă o semnificație geometrică explicită. Prin urmare, pentru a implementa cutare sau cutare mapare, adică pentru a găsi elementele matricei corespunzătoare conform unei descrieri geometrice date, sunt necesare tehnici speciale. De obicei, construcția acestei matrice, în conformitate cu complexitatea problemei luate în considerare și cu cazurile speciale descrise mai sus, este împărțită în mai multe etape.

În fiecare etapă, se caută o matrice care corespunde unuia sau altuia dintre cazurile de mai sus A, B, C sau D, care au proprietăți geometrice bine definite.

Să notăm matricele de ordinul trei corespunzătoare.

A. Matricea de rotație

B. Matricea de dilatare

B. Matricea de reflexie

D. Matricea de transfer (traducere)

Să luăm în considerare exemple de transformări afine ale planului.

Exemplul 1.

Construiți o matrice de rotație în jurul punctului A (a,b) la un unghi (Fig. 9).

primul pas. Transfer în vector – A (-a, -b) pentru a alinia centrul de rotație cu originea coordonatelor;

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas. Rotiți după unghiul 

matricea transformării corespunzătoare.

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de rotație în poziția anterioară;

matricea transformării corespunzătoare.

Să înmulțim matricele în aceeași ordine în care sunt scrise:

Ca rezultat, descoperim că transformarea dorită (în notație matriceală) va arăta astfel:

Elementele matricei rezultate (în special în ultimul rând) nu sunt atât de ușor de reținut. În același timp, fiecare dintre cele trei matrici multiplicate poate fi construită cu ușurință din descrierea geometrică a mapării corespunzătoare.

Exemplul 3

Construiți o matrice de întindere cu coeficienți de întindere de-a lungul axei x și de-a lungul axei ordonatelor și cu centrul în punctul A(a, b).

primul pas. Transferați la vectorul -A(-a, -b) pentru a alinia centrul de întindere cu originea coordonatelor;

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas.Întinderea de-a lungul axelor de coordonate cu coeficienții  și respectiv ; matricea de transformare are forma

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de tensiune în poziția anterioară; matricea transformării corespunzătoare –

Înmulțirea matricelor în aceeași ordine

o vom primi în sfârșit

cometariu

Raționarea în mod similar, adică ruperea transformării propuse în etape susținute de matrici[R],[D],[M],[T], se poate construi o matrice a oricărei transformări afine din descrierea ei geometrică.

Schimbarea este implementată prin adunare, iar scalarea și rotația sunt implementate prin înmulțire.

Scaling Transform (dilatația) față de origine are forma:

sau sub formă de matrice:

Unde DX,Dy sunt factorii de scalare de-a lungul axelor și

- matricea de scalare.

Când D > 1, are loc expansiunea, când 0<=D<1- сжатие

Transformarea rotației relativ la origine are forma:

sau sub formă de matrice:

unde φ este unghiul de rotație și

- matricea de rotatie.

Cometariu: Coloanele și rândurile matricei de rotație sunt vectori unitari reciproc ortogonali. De fapt, pătratele lungimilor vectorilor rând sunt egale cu unu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 și (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

iar produsul scalar al vectorilor rând este

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Deoarece produsul scalar al vectorilor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, unde | A| - lungimea vectorului A, |B| - lungimea vectorului B, iar ψ este cel mai mic unghi pozitiv dintre ele, apoi din egalitatea 0 a produsului scalar a doi vectori rând de lungime 1 rezultă că unghiul dintre ei este de 90 °.

Oh-oh-oh-oh-oh... ei bine, e greu, de parcă și-ar fi citit o propoziție =) Cu toate acestea, relaxarea va ajuta mai târziu, mai ales că astăzi mi-am cumpărat accesoriile potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi menține o dispoziție veselă.

Poziția relativă a două linii drepte

Acesta este cazul când publicul cântă în cor. Două linii drepte pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : Vă rugăm să rețineți semnul matematic de intersecție, acesta va apărea foarte des. Notația înseamnă că linia se intersectează cu linia în punctul .

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, adică există un număr „lambda” astfel încât egalitățile sunt satisfăcute

Să luăm în considerare liniile drepte și să creăm trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu –1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației tăiat cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz, când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor sunt proporționali: , Dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este destul de evident că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o astfel de valoare a „lambda” încât egalitățile să fie satisfăcute

Deci, pentru linii drepte vom crea un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, puteți utiliza schema de soluții tocmai discutată. Apropo, amintește foarte mult de algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am uitat în clasă Conceptul de (in)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorilor. Dar există un ambalaj mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatoare la răscruce:

Restul sar peste piatra si urmeaza mai departe, direct catre Kashchei Nemuritorul =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie coincidente. Nu este nevoie să numărăm determinantul aici.

Este evident că coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, iar .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul format din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincidente.

Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curand vei invata (sau chiar ai invatat deja) sa rezolvi problema discutata verbal la propriu in cateva secunde. În acest sens, nu văd niciun rost să ofer ceva pentru o soluție independentă; este mai bine să punem o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se construiește o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Să notăm linia necunoscută cu litera . Ce spune starea despre ea? Linia dreaptă trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „tse” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Exemplul de geometrie pare simplu:

Testarea analitică constă din următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

În cele mai multe cazuri, testarea analitică poate fi efectuată cu ușurință pe cale orală. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi veți determina rapid paralelismul liniilor fără nici un desen.

Exemplele de soluții independente de astăzi vor fi creative. Pentru că tot va trebui să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu atât de rațională de a o rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este foarte familiară din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

Poftim semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute- acestea sunt două linii care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.

Metoda grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a dreptei, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt o soluție a sistemului. În esență, ne-am uitat la o soluție grafică sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică nu este, desigur, rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a șaptea decid astfel, ideea este că va dura timp pentru a crea un desen corect și EXACT. În plus, unele linii drepte nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi situat undeva în al treizecilea regat, în afara foii caietului.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție folosind metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilități relevante, luați o lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este convenabil să împărțiți sarcina în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația dreptei.
2) Scrieți ecuația dreptei.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției:

Nici măcar o pereche de pantofi nu a fost uzată înainte de a ajunge la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă.
Unghiul dintre liniile drepte

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se construiește o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație perpendiculară pe dreapta care trece prin punctul.

Soluţie: După condiţie se ştie că . Ar fi bine să găsiți vectorul de direcție al liniei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Să compunem ecuația unei drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să extindem schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Scoatem vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produsul scalar al vectorilor ajungem la concluzia că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Testul, din nou, este ușor de efectuat pe cale orală.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Există mai multe acțiuni în problemă, așa că este convenabil să se formuleze punct cu punct soluția.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră se află o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el pe calea cea mai scurtă. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea pe perpendiculară. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie este în mod tradițional notată cu litera greacă „rho”, de exemplu: – distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să efectuați calculele:

Răspuns:

Să facem desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă întocmești un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. = 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Să luăm în considerare o altă sarcină bazată pe același desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric față de punctul relativ la dreapta . Vă sugerez să efectuați singur pașii, dar voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment găsim .

Ar fi bine sa verificati ca distanta sa fie si de 2,2 unitati.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar un microcalculator este de mare ajutor în turn, permițându-vă să calculați fracții obișnuite. Te-am sfătuit de multe ori și te voi recomanda din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru a vă decide singur. Vă dau un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva acest lucru. Debriefing la sfârșitul lecției, dar este mai bine să încerci să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost bine dezvoltată.

Unghiul dintre două linii drepte

Fiecare colț este un gheț:


În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este considerat unghiul MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul „zmeură”.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția în care unghiul este „defilat” este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu dacă .

De ce ți-am spus asta? Se pare că ne putem descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că formulele prin care vom găsi unghiuri pot duce cu ușurință la un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsiți unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

SoluţieȘi Metoda unu

Să considerăm două drepte definite de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat Unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei devine zero, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea dreptelor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, este convenabil să formalizați soluția în doi pași:

1) Să calculăm produsul scalar al vectorilor de direcție ai dreptelor:
, ceea ce înseamnă că liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspunsul dvs., indicăm valoarea exactă, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, minus, nu e mare lucru. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a început tocmai cu ea.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

O linie dreaptă în spațiu poate fi întotdeauna definită ca linia de intersecție a două plane neparalele. Dacă ecuația unui plan este ecuația celui de-al doilea plan, atunci ecuația dreptei este dată ca

Aici necoliniare
. Aceste ecuații se numesc ecuații generale drept în spațiu.

Ecuații canonice ale dreptei

Orice vector diferit de zero situat pe o linie dată sau paralel cu ea se numește vector de direcție al acestei linii.

Daca se stie punctul
linie dreaptă și vectorul său de direcție
, atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma:

. (9)

Ecuații parametrice ale unei linii

Să fie date ecuațiile canonice ale dreptei

.

De aici, obținem ecuațiile parametrice ale dreptei:

(10)

Aceste ecuații sunt utile pentru găsirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte
Și
are forma:

.

Unghiul dintre liniile drepte

Unghiul dintre liniile drepte

Și

egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Prin urmare, poate fi calculat folosind formula (4):

Condiții pentru linii paralele:

.

Condiția ca avioanele să fie perpendiculare:

Distanța unui punct față de o dreaptă

P să zicem că punctul este dat
și drept

.

Din ecuațiile canonice ale dreptei cunoaștem punctul
, aparținând unei linii și vectorul de direcție al acesteia
. Apoi distanța punctului
dintr-o linie dreaptă este egală cu înălțimea unui paralelogram construit pe vectori Și
. Prin urmare,

.

Condiție pentru intersecția liniilor

Două linii neparalele

,

se intersectează dacă și numai dacă

.

Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.

Să fie dată linia dreaptă
si avionul. Colţ între ele pot fi găsite prin formula

.

Problema 73. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei

(11)

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale dreptei (9), este necesar să se cunoască orice punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al dreptei.

Să găsim vectorul , paralel cu această linie. Deoarece trebuie să fie perpendicular pe vectorii normali ai acestor plane, i.e.

,
, Acea

.

Din ecuațiile generale ale dreptei avem că
,
. Apoi

.

De la punctul
orice punct de pe o dreaptă, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuațiile dreptei și una dintre ele poate fi specificată, de exemplu,
, găsim celelalte două coordonate din sistemul (11):

De aici,
.

Astfel, ecuațiile canonice ale dreptei dorite au forma:

sau
.

Problema 74.

Și
.

Soluţie. Din ecuațiile canonice ale primei drepte se cunosc coordonatele punctului
aparținând dreptei și coordonatele vectorului de direcție
. Din ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte se cunosc și coordonatele punctului
și coordonatele vectorului de direcție
.

Distanța dintre liniile paralele este egală cu distanța punctului
din a doua linie dreaptă. Această distanță este calculată prin formula

.

Să găsim coordonatele vectorului
.

Să calculăm produsul vectorial
:

.

Problema 75. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept

.

Soluţie. Să notăm ecuația unui plan perpendicular pe o dreaptă dată și care trece printr-un punct . Ca vectorul său normal puteți lua vectorul de direcție al unei linii drepte. Apoi
. Prin urmare,

Să găsim un punct
punctul de intersecție al acestei drepte și planul P. Pentru a face acest lucru, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei folosind ecuațiile (10), obținem

Prin urmare,
.

Lăsa
punct simetric la punct
raportat la această linie. Apoi punct
punct de mijloc
. Pentru a afla coordonatele unui punct Folosim formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:

,
,
.

Asa de,
.

Problema 76. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă
Și

a) printr-un punct
;

b) perpendicular pe plan.

Soluţie. Să scriem ecuațiile generale ale acestei linii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două egalități:

Aceasta înseamnă că planul dorit aparține unui pachet de planuri cu generatoare și ecuația sa poate fi scrisă sub forma (8):

a) Să găsim
Și din condiţia ca planul să treacă prin punct
, prin urmare, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Să înlocuim coordonatele punctului
în ecuația unui grup de avioane:

Valoare găsită
Să o substituim în ecuația (12). obținem ecuația planului dorit:

b) Să găsim
Și din condiţia ca planul dorit să fie perpendicular pe plan. Vectorul normal al unui plan dat
, vector normal al planului dorit (vezi ecuația unui grup de plane (12).

Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero. Prin urmare,

Să înlocuim valoarea găsită
în ecuația unui mănunchi de plane (12). Obținem ecuația planului dorit:

Probleme de rezolvat independent

Problema 77. Aduceți la forma canonică a ecuației liniilor:

1)
2)

Problema 78. Scrieți ecuațiile parametrice ale unei linii
, Dacă:

1)
,
; 2)
,
.

Problema 79. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul
perpendicular pe o linie dreaptă

Problema 80. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe plan.

Problema 81. Găsiți unghiul dintre liniile drepte:

1)
Și
;

2)
Și

Problema 82. Demonstrați drepte paralele:

Și
.

Problema 83. Demonstrați perpendicularitatea dreptelor:

Și

Problema 84. Calculați distanța punctului
din linie dreaptă:

1)
; 2)
.

Problema 85. Calculați distanța dintre liniile paralele:

Și
.

Problema 86. În ecuațiile dreptei
defini parametrul astfel încât această dreaptă să se intersecteze cu dreapta și să găsească punctul de intersecție a acestora.

Problema 87. Arată că este drept
paralel cu planul
, și linia dreaptă
se află în acest plan.

Problema 88. Găsiți un punct punct simetric raportat la avion
, Dacă:

1)
, ;

2)
, ;.

Problema 89. Scrieți ecuația unei perpendiculare căzute dintr-un punct
direct
.

Problema 90. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept
.

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric față de punctul relativ la dreapta . Vă sugerez să efectuați singur pașii, dar voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment găsim .

Ar fi bine sa verificati ca distanta sa fie si de 2,2 unitati.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar un microcalculator este de mare ajutor în turn, permițându-vă să calculați fracții obișnuite. Te-am sfătuit de multe ori și te voi recomanda din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru a vă decide singur. Vă dau un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva acest lucru. Debriefing la sfârșitul lecției, dar este mai bine să încerci să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost bine dezvoltată.

Unghiul dintre două linii drepte

Fiecare colț este un gheț:


În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este considerat unghiul MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul „zmeură”.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția în care unghiul este „defilat” este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu dacă .

De ce ți-am spus asta? Se pare că ne putem descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că formulele prin care vom găsi unghiuri pot duce cu ușurință la un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsiți unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

SoluţieȘi Metoda unu

Să considerăm două drepte definite de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat Unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei devine zero, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea dreptelor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, este convenabil să formalizați soluția în doi pași:

1) Să calculăm produsul scalar al vectorilor de direcție ai dreptelor:

2) Găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspunsul dvs., indicăm valoarea exactă, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, minus, nu e mare lucru. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a început tocmai cu ea.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Nu o voi ascunde, selectez singur liniile drepte în ordine, astfel încât unghiul să se dovedească pozitiv. E mai frumos, dar nimic mai mult.

Pentru a vă verifica soluția, puteți lua un raportor și măsura unghiul.

Metoda a doua

Dacă dreptele sunt date de ecuaţii cu panta şi nu perpendicular, Acea orientat Unghiul dintre ele poate fi găsit folosind formula:

Condiția de perpendicularitate a dreptelor se exprimă prin egalitate, din care, de altfel, rezultă o relație foarte utilă între coeficienții unghiulari ai dreptelor perpendiculare: , care se folosește în unele probleme.

Algoritmul de soluție este similar cu paragraful anterior. Dar mai întâi, să ne rescriem liniile drepte în forma necesară:

Astfel, pantele sunt:

1) Să verificăm dacă dreptele sunt perpendiculare:
, ceea ce înseamnă că liniile nu sunt perpendiculare.

2) Folosiți formula:

Răspuns:

A doua metodă este adecvată pentru utilizare atunci când ecuațiile liniilor drepte sunt specificate inițial cu un coeficient unghiular. Trebuie remarcat faptul că, dacă cel puțin o dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor, atunci formula nu este deloc aplicabilă, deoarece pentru astfel de drepte panta nu este definită (vezi articolul Ecuația unei drepte pe un plan).

Există o a treia soluție. Ideea este de a calcula unghiul dintre vectorii de direcție ai liniilor folosind formula discutată în lecție Produsul punctual al vectorilor:

Aici nu mai vorbim despre un unghi orientat, ci „doar despre un unghi”, adică rezultatul va fi cu siguranță pozitiv. Problema este că s-ar putea să ajungeți cu un unghi obtuz (nu cel de care aveți nevoie). În acest caz, va trebui să faceți o rezervare că unghiul dintre liniile drepte este un unghi mai mic și să scădeți arcul cosinus rezultat din radiani „pi” (180 de grade).

Cei care doresc pot rezolva problema într-un al treilea mod. Dar tot recomand să rămânem la prima abordare cu unghi orientat, pentru că este larg răspândită.

Exemplul 11

Găsiți unghiul dintre linii.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Încercați să o rezolvați în două moduri.

Cumva, basmul s-a stins pe parcurs... Pentru că nu există Kashchei Nemuritorul. Sunt eu și nu sunt deosebit de abur. Sincer să fiu, m-am gândit că articolul va fi mult mai lung. Dar încă îmi voi lua pălăria și ochelarii recent achiziționate și voi merge la înot în apa lacului din septembrie. Ameliorează perfect oboseala și energia negativă.

Pe curând!

Și amintiți-vă, Baba Yaga nu a fost anulat =)

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3:Soluţie : Să găsim vectorul direcție al dreptei :

Să compunem ecuația dreptei dorite folosind punctul și vector de direcție . Deoarece una dintre coordonatele vectorului direcție este zero, Ec. hai sa o rescriem sub forma:

Răspuns :

Exemplul 5:Soluţie :
1) Ecuația unei drepte hai să facem două puncte :

2) Ecuația unei drepte hai să facem două puncte :

3) Coeficienți corespunzători pentru variabile nu proportional: , ceea ce înseamnă că liniile se intersectează.
4) Găsiți un punct :


Notă : aici prima ecuatie a sistemului se inmulteste cu 5, apoi a 2-a se scade termen cu termen din prima ecuatie.
Răspuns :