Aflați minimul funcției date. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții într-o regiune închisă

Definiție1: Se spune că o funcție are un maxim local într-un punct dacă există o vecinătate a punctului astfel încât pentru orice punct M cu coordonate (X y) inegalitatea este valabilă: . În acest caz, și anume, creșterea funcției< 0.

Definiție2: Se spune că o funcție are un minim local într-un punct dacă există o vecinătate a punctului astfel încât pentru orice punct M cu coordonate (X y) inegalitatea este valabilă: . În acest caz, adică, incrementul funcției > 0.

Definiția 3: Se numesc punctele de minim și maxim local puncte extremum.

Extreme condiționale

Când se caută extreme ale unei funcții a mai multor variabile, apar adesea probleme legate de așa-numitele extremul condiționat. Acest concept poate fi explicat folosind exemplul unei funcții a două variabile.

Să fie date o funcție și o linie L la suprafata 0xy. Sarcina este de a intra pe linie L găsi un astfel de punct P(x, y),în care valoarea unei funcții este cea mai mare sau cea mai mică în comparație cu valorile acestei funcții în puncte de pe linie L, situat în apropierea punctului P. Asemenea puncte P sunt numite puncte extreme condiționale funcții on-line L. Spre deosebire de punctul extremum obișnuit, valoarea funcției la punctul extremum condiționat este comparată cu valorile funcției nu în toate punctele din vecinătatea ei, ci numai la cele care se află pe linie. L.

Este absolut clar că punctul extremumului obișnuit (de asemenea, spun extremul necondiționat) este, de asemenea, un punct extremum condiționat pentru orice dreaptă care trece prin acest punct. Reversul, desigur, nu este adevărat: punctul extremum condiționat poate să nu fie punctul extremum obișnuit. Să explic ce am spus cu un exemplu simplu. Graficul funcției este emisfera superioară (Anexa 3 (Fig. 3)).

Această funcție are un maxim la origine; vârful îi corespunde M emisfere. Dacă linia L există o linie care trece prin puncte AȘi ÎN(ecuația ei x+y-1=0), atunci este clar din punct de vedere geometric că pentru punctele acestei drepte cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul situat la mijloc între puncte AȘi ÎN. Acesta este punctul de extremum condiționat (maximum) al funcției de pe această linie; corespunde punctului M 1 de pe emisferă, iar din figură reiese clar că aici nu se poate vorbi de vreun extremum obișnuit.

Rețineți că în partea finală a problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să găsim valorile extreme ale funcției la limita acestei regiuni, adică. pe o anumită linie și, prin urmare, rezolvăm problema extremumului condiționat.

Să trecem acum la căutarea practică a punctelor extreme condiționate ale funcției Z= f(x, y) cu condiția ca variabilele x și y să fie legate prin ecuația (x, y) = 0. Vom numi această relație ecuația conexiunii. Dacă din ecuația de cuplare y se poate exprima explicit în termeni de x: y=(x), se obține o funcție a unei variabile Z= f(x, (x)) = Ф(x).

După ce am găsit valoarea x la care această funcție atinge un extrem, și apoi am determinat din ecuația de conexiune valorile y corespunzătoare, obținem punctele dorite ale extremului condiționat.

Deci, în exemplul de mai sus, din ecuația relației x+y-1=0 avem y=1-x. De aici

Este ușor de verificat că z atinge maximul la x = 0,5; dar apoi din ecuația de conexiune y = 0,5 și obținem exact punctul P, găsit din considerente geometrice.

Problema unui extremum condiționat poate fi rezolvată foarte simplu atunci când ecuația de conexiune poate fi reprezentată prin ecuații parametrice x=x(t), y=y(t). Înlocuind expresiile pentru x și y în această funcție, ajungem din nou la problema găsirii extremului unei funcții a unei variabile.

Dacă ecuația de cuplare are o formă mai complexă și nu suntem în măsură să exprimăm în mod explicit o variabilă în termenii alteia sau să o înlocuim cu ecuații parametrice, atunci sarcina de a găsi un extremum condiționat devine mai dificilă. Vom continua să presupunem că în expresia funcției z= f(x, y) variabila (x, y) = 0. Derivata totală a funcției z= f(x, y) este egală cu:

Acolo unde derivata y` se găsește folosind regula de diferențiere a funcției implicite. În punctele extremului condiționat, derivata totală găsită trebuie să fie egală cu zero; aceasta dă o ecuație care raportează x și y. Deoarece trebuie să satisfacă și ecuația de cuplare, obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute

Să transformăm acest sistem într-unul mult mai convenabil scriind prima ecuație sub forma unei proporții și introducând o nouă necunoscută auxiliară:

(semnul minus din față este pentru comoditate). Din aceste egalități este ușor să treceți la următorul sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

care, împreună cu ecuația de conexiune (x, y) = 0, formează un sistem de trei ecuații cu necunoscute x, y și.

Aceste ecuații (*) sunt cel mai ușor de reținut folosind următoarea regulă: pentru a găsi puncte care pot fi puncte ale extremului condiționat al funcției

Z= f(x, y) cu ecuația de conexiune (x, y) = 0, trebuie să formați o funcție auxiliară

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Unde este o constantă și creați ecuații pentru a găsi punctele extreme ale acestei funcții.

Sistemul de ecuații indicat oferă, de regulă, doar condițiile necesare, adică. nu fiecare pereche de valori x și y care satisface acest sistem este în mod necesar un punct extremum condiționat. Nu voi da condiții suficiente pentru punctele de extremum condiționat; de foarte multe ori conținutul specific al problemei în sine sugerează care este punctul găsit. Tehnica descrisă pentru rezolvarea problemelor pe un extremum condiționat se numește metoda multiplicatorului Lagrange.

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a două variabile

1. Fie ca funcția să fie diferențiabilă continuu într-o vecinătate a punctului și să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi (pure și mixte).

2. Să notăm cu determinantul de ordinul doi

funcția de curs variabilă extremum

Teorema

Dacă punctul cu coordonate este un punct staționar pentru funcție, atunci:

A) La acesta este un punct de extremum local și, la un maxim local, este un minim local;

C) la punctul nu este un punct extremum local;

C) dacă, poate ambele.

Dovada

Să scriem formula Taylor pentru funcție, limitându-ne la doi termeni:

Deoarece, conform condițiilor teoremei, punctul este staționar, derivatele parțiale de ordinul doi sunt egale cu zero, i.e. Și. Apoi

Să notăm

Apoi, creșterea funcției va lua forma:

Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi (pure și mixte), conform condițiilor teoremei la un punct, putem scrie:

Unde sau; ,

1. Lasa si, i.e. sau.

2. Înmulțiți incrementul funcției și împărțiți cu, obținem:

3. Să adăugăm expresia dintre paranteze la pătratul complet al sumei:

4. Expresia în acolade este nenegativă, deoarece

5. Prin urmare, dacă un înseamnă și, atunci și, prin urmare, conform definiției, punctul este un punct minim local.

6. Dacă un mijloc și, atunci, conform definiției, punctul cu coordonate este un punct de maxim local.

2. Se consideră trinomul pătratic, discriminantul său, .

3. Dacă, atunci există puncte astfel încât polinomul

4. Scriem incrementul total al funcției într-un punct în conformitate cu expresia obținută în I ca:

5. Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi, conform condițiilor teoremei la un punct, putem scrie că

Prin urmare, există o vecinătate a unui punct astfel încât, pentru orice punct, trinomul pătratic este mai mare decât zero:

6. Luați în considerare vecinătatea unui punct.

Să alegem orice valoare, deci punct. Presupunând că în formula pentru creșterea funcției

Ce primim:

7. De atunci.

8. Argumentând în mod similar pentru rădăcină, constatăm că în orice -vecinătate a unui punct există un punct pentru care, prin urmare, în vecinătatea punctului nu păstrează semnul, deci nu există extremum la punct.

Extremul condiționat al unei funcții a două variabile

La găsirea extremelor unei funcții a două variabile, apar adesea probleme legate de așa-numitul extremum condiționat. Acest concept poate fi explicat folosind exemplul unei funcții a două variabile.

Fie date o funcție și o dreaptă L pe planul 0xy. Sarcina este de a găsi un punct P (x, y) pe linia L la care valoarea funcției este cea mai mare sau mai mică în comparație cu valorile acestei funcții în punctele de pe dreapta L situate în apropierea punctului P. Astfel de puncte P. sunt numite funcții de puncte extreme condiționale pe linia L. Spre deosebire de punctul extremum obișnuit, valoarea funcției la punctul extremum condiționat este comparată cu valorile funcției nu în toate punctele din vecinătatea ei, ci numai la cele care se află pe linia L.

Este absolut clar că punctul de extremum obișnuit (se mai spune și extremum necondiționat) este și punctul de extremum condiționat pentru orice linie care trece prin acest punct. Reversul, desigur, nu este adevărat: punctul extremum condiționat poate să nu fie punctul extremum obișnuit. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul nr. 1. Graficul funcției este emisfera superioară (Fig. 2).

Orez. 2.

Această funcție are un maxim la origine; corespunde vârfului M al emisferei. Dacă linia L este o dreaptă care trece prin punctele A și B (ecuația sa), atunci este clar din punct de vedere geometric că pentru punctele acestei drepte cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul situat la mijloc între punctele A și B. Acesta este punctul de funcții condiționale extremum (maximum) pe această linie; corespunde punctului M 1 de pe emisferă, iar din figură reiese clar că aici nu se poate vorbi de vreun extremum obișnuit.

Rețineți că în partea finală a problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să găsim valorile extreme ale funcției la limita acestei regiuni, adică. pe o anumită linie și, prin urmare, rezolvăm problema extremumului condiționat.

Definiția 1. Ei spun că unde are într-un punct care satisface ecuația un maxim condiționat sau relativ (minim): dacă pentru orice punct care satisface ecuația inegalitatea

Definiția 2. O ecuație de formă se numește ecuație de constrângere.

Teorema

Dacă funcțiile și sunt diferențiabile continuu în vecinătatea unui punct și derivata parțială, iar punctul este un punct extremum condiționat al funcției în raport cu ecuația constrângerii, atunci determinantul de ordinul doi este egal cu zero:

Dovada

1. Deoarece, conform condițiilor teoremei, derivata parțială și valoarea funcției, atunci într-un anumit dreptunghi

funcția implicită definită

O funcție complexă a două variabile într-un punct va avea un extremum local, prin urmare, sau.

2. Într-adevăr, conform proprietății de invarianță a formulei diferențiale de ordinul întâi

3. Ecuația conexiunii poate fi reprezentată în această formă, ceea ce înseamnă

4. Înmulțiți ecuația (2) cu și (3) cu și adăugați-le

Prin urmare, când

arbitrar. etc.

Consecinţă

Căutarea punctelor extreme condiționale ale unei funcții a două variabile în practică se realizează prin rezolvarea unui sistem de ecuații

Deci, în exemplul de mai sus nr. 1 din ecuația de conexiune avem. De aici este ușor să verifici ce ajunge la maxim la. Dar apoi din ecuația comunicării. Obținem punctul P, găsit geometric.

Exemplul nr. 2. Aflați punctele extreme condiționate ale funcției în raport cu ecuația de cuplare.

Să găsim derivatele parțiale ale funcției date și ecuația de cuplare:

Să creăm un determinant de ordinul doi:

Să scriem un sistem de ecuații pentru a găsi puncte extreme condiționate:

Aceasta înseamnă că există patru puncte ale extremului condiționat al funcției cu coordonate: .

Exemplul nr. 3. Găsiți punctele extreme ale funcției.

Echivalând derivatele parțiale cu zero: , găsim un punct staționar - originea. Aici,. În consecință, punctul (0, 0) nu este un punct extremum. Ecuația este ecuația unui paraboloid hiperbolic (Fig. 3) din figură se poate observa că punctul (0, 0) nu este un punct extremum.

Orez. 3.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții într-o regiune închisă

1. Fie funcția definită și continuă într-un domeniu închis mărginit D.

2. Fie ca funcția să aibă derivate parțiale finite în această regiune, cu excepția punctelor individuale ale regiunii.

3. În conformitate cu teorema lui Weierstrass, în această regiune există un punct în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.

4. Dacă aceste puncte sunt puncte interne ale regiunii D, atunci evident că vor avea un maxim sau un minim.

5. În acest caz, punctele de interes pentru noi se numără printre punctele suspecte de la extremum.

6. Cu toate acestea, funcția poate lua și cea mai mare sau cea mai mică valoare la limita regiunii D.

7. Pentru a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții în regiunea D, trebuie să găsiți toate punctele interne suspecte pentru un extremum, să calculați valoarea funcției din ele, apoi să comparați cu valoarea funcției la punctele de limită ale regiunii, iar cea mai mare dintre toate valorile găsite va fi cea mai mare în regiunea închisă D.

8. Metoda de găsire a unui maxim sau minim local a fost discutată mai devreme în secțiunea 1.2. și 1.3.

9. Rămâne de luat în considerare metoda de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției la limita regiunii.

10. În cazul unei funcții de două variabile, aria este de obicei limitată de o curbă sau mai multe curbe.

11. De-a lungul unei astfel de curbe (sau mai multor curbe), variabilele și fie depind una de alta, fie ambele depind de un parametru.

12. Astfel, la graniță funcția se dovedește a depinde de o variabilă.

13. Metoda de a găsi cea mai mare valoare a unei funcții a unei variabile a fost discutată mai devreme.

14. Fie granița regiunii D să fie dată de ecuații parametrice:

Atunci pe această curbă funcția a două variabile va fi o funcție complexă a parametrului: . Pentru o astfel de funcție, cele mai mari și cele mai mici valori sunt determinate folosind metoda de determinare a celor mai mari și mai mici valori pentru o funcție a unei variabile.

Fie definită funcția z - /(x, y) într-un domeniu D și fie Mo(xo, Vo) un punct interior al acestui domeniu. Definiție. Dacă există un număr astfel încât pentru toate condițiile care îndeplinesc inegalitatea este adevărată, atunci punctul Mo(xo, yo) se numește punctul maxim local al funcției /(x, y); dacă pentru toate Dx, Du, îndeplinind condițiile | atunci punctul Mo(xo,yo) se numește minim local subțire. Cu alte cuvinte, punctul M0(x0, y0) este un punct de maxim sau minim al funcției f(x, y) dacă există o vecinătate 6 a punctului A/o(x0, y0) astfel încât deloc punctele M(x, y) ale acesteia din vecinătate, incrementul funcției își menține semnul. Exemple. 1. Pentru punctul de funcționare - punct minim (Fig. 17). 2. Pentru funcție, punctul 0(0,0) este punctul maxim (Fig. 18). 3. Pentru o funcție, punctul 0(0,0) este un punct maxim local. 4 Într-adevăr, există o vecinătate a punctului 0(0, 0), de exemplu, un cerc cu raza j (vezi Fig. 19), în orice punct al căruia, diferit de punctul 0(0,0), valoarea funcției /(x,y) mai mică decât 1 = Vom lua în considerare numai punctele strict maxim și minim de funcții atunci când inegalitatea strictă sau inegalitatea strictă este satisfăcută pentru toate punctele M(x) y) dintr-o vecinătate 6 perforată a punctul Mq. Valoarea unei funcții în punctul maxim se numește maximă, iar valoarea funcției în punctul minim se numește minimă a acestei funcție. Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt numite puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției în sine sunt numite extreme ale acesteia. Teorema 11 (condiția necesară pentru un extremum). Dacă o funcţie este un extremum al unei funcţii de mai multe variabile.Conceptul de un extremum al unei funcţii de mai multe variabile. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum Extremum condiționat Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor continue au un extrem în punctul în care în acest punct fiecare derivată parțială u fie dispare, fie nu există. Fie în punctul M0(x0, yо) Funcția z = f(x) y) să aibă un extrem. Să dăm variabilei y valoarea oo. Atunci funcția z = /(x, y) va fi o funcție a unei variabile x\ Întrucât la x = xo are un extrem (maxim sau minim, Fig. 20), atunci derivata sa față de x = “o, | (*o,l>)" Egal cu zero sau nu există. În mod similar, suntem convinși că) fie este egal cu zero, fie nu există. Punctele în care = 0 și χ = 0 sau nu există sunt numite critice puncte ale funcţiei z = Dx, y).Punctele în care $£ = φ = 0 se mai numesc şi puncte staţionare ale funcţiei.Teorema 11 exprimă numai condiţii necesare pentru un extremum, care nu sunt suficiente.Exemplu: Funcţia Fig. 18 Fig. 20 derivate immt care se transformă în zero la. Dar această funcție este subțire pe imvat de strum. Într-adevăr, funcția este egală cu zero în punctul 0(0,0) și ia valori pozitive și negative în punctele M(x,y), în mod arbitrar apropiate de punctul 0(0,0). Pentru aceasta, deci în punctele din punctele (0, y) pentru un punct arbitrar mic 0(0,0) de tipul indicat se numește punct mini-max (Fig. 21). Condițiile suficiente pentru un extremum al unei funcții a două variabile sunt exprimate prin următoarea teoremă. Teorema 12 (condiții suficiente pentru un extremum în două variabile). Fie punctul Mo(xo»Yo) un punct staționar al funcției f(x, y), iar într-o apropiere a punctului /, inclusiv punctul Mo însuși, funcția f(z, y) are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Atunci". în punctul Mo(xo, V0) funcția /(xo, y) nu are extremă dacă D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Extremul funcției f(x, y) poate exista sau nu. În acest caz, sunt necesare cercetări suplimentare. m Să ne limităm la a demonstra afirmațiile 1) și 2) ale teoremei. Să scriem formula Taylor de ordinul doi pentru funcția /(i, y): unde. Conform condiției, este clar că semnul incrementului D/ este determinat de semnul trinomului din partea dreaptă a lui (1), adică semnul celei de-a doua diferențe d2f. Să o notăm pentru concizie. Atunci egalitatea (l) se poate scrie astfel: Fie în punctul MQ(deci, V0) avem... Deoarece, prin condiție, derivatele parțiale de ordinul doi ale funcției f(s, y) sunt continue, atunci inegalitatea (3) se va menține și la o anumită vecinătate a punctului M0(s0,yo). Dacă condiția este îndeplinită (în punctul А/0, și în virtutea continuității derivata /,z(s,y) își va păstra semnul în vreo vecinătate a punctului Af0. În regiunea în care А Ф 0, avem Este clar din aceasta că, dacă ЛС - В2 > 0 în vreo vecinătate a punctului M0(x0) y0), atunci semnul trinomului AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 coincide cu semnul lui A în punctul (deci , V0) (precum și cu semnul lui C, deoarece pentru AC - B2 > 0 A și C nu pot avea semne diferite). Deoarece semnul sumei AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 în punctul (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) determină semnul diferenței, ajungem la următoarea concluzie: dacă pentru funcția /(s,y) la condiția punctului staționar (s0, V0), apoi pentru suficient de mic || inegalitatea va fi satisfăcută. Astfel, în punctul (sq, V0) funcția /(s, y) are un maxim. Dacă condiția este îndeplinită în punctul staționar (s0, y0), atunci pentru toate |Dr| si |Du| inegalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că în punctul (so,yo) funcția /(s,y) are un minim. Exemple. 1. Investigați funcția pentru un extremum 4 Folosind condițiile necesare pentru un extremum, căutăm punctele staționare ale funcției. Pentru a face acest lucru, găsim derivatele parțiale u și le echivalăm cu zero. Obținem un sistem de ecuații de unde - un punct staționar. Să folosim acum teorema 12. Avem Aceasta înseamnă că există un extrem în punctul Ml. Pentru că acesta este minimul. Dacă transformăm funcția r în formă, este ușor de observat că partea dreaptă (“) va fi minimă atunci când este minimul absolut al acestei funcții. 2. Examinați funcția pentru un extremum.Găsim puncte staționare ale funcției, pentru care compunem un sistem de ecuații.Deci, astfel încât punctul să fie staționar. Deoarece, în virtutea teoremei 12, nu există un extremum în punctul M. * 3. Investigați extremul funcției.Găsiți punctele staționare ale funcției. Din sistemul de ecuații obținem că, deci punctul este staționar. În continuare avem că Teorema 12 nu răspunde la întrebarea despre prezența sau absența unui extremum. Hai să o facem așa. Pentru o funcție despre toate punctele diferite de punctul deci, prin definiție, și punctul A/o(0,0), funcția r are un minim absolut. Prin calcule similare stabilim că funcția are un maxim în punct, dar funcția nu are un extremum în punct. Fie o funcție de n variabile independente să fie diferențiabilă într-un punct Punctul Mo se numește punct staționar al funcției dacă Teorema 13 (până la condiții suficiente pentru un extrem). Fie definită funcția și să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi într-o vecinătate a finului Mt(xi..., care este o funcție fină staționară dacă forma pătratică (a doua diferență a funcției f în fin este pozitivă). definit (definit negativ), punctul minim (respectiv, maxim fin) al functiei f este fin Daca forma patratica (4) este alternanta in semn, atunci nu exista extremum in finul LG0.Pentru a stabili daca patratica forma (4) va fi pozitivă sau negativă definită, puteți folosi, de exemplu, criteriul Sylvester pentru certitudinea pozitivă (negativă) a formei pătratice 15.2. Extreme condiționale. Până acum, am căutat extremele locale ale unei funcții în întregul său domeniu de definiție, când argumentele funcției nu sunt legate de nicio condiție suplimentară.Asemenea extreme sunt numite necondiționate.Cu toate acestea, se întâlnesc adesea probleme de găsire a așa-numitelor extreme condiționate.Fie funcția z = /(x, y ) să fie definită în domeniul D. Să presupunem că o curbă L este dată în acest domeniu și trebuie să găsim extremele funcției f(x> y) numai între acelea dintre valorile sale care corespund punctelor ale curbei L. Aceleași extreme se numesc extreme condiționate ale funcției z = f(x) y) pe curba L. Definiție Se spune că într-un punct situat pe curba L, funcția f(x, y) are un maxim (minim) condiționat dacă inegalitatea este satisfăcută în toate punctele M (s, y) y) curba L, aparținând unei vecinătăți a punctului M0(x0, V0) și diferită de punctul M0 (Dacă curba L este dat de o ecuație, atunci problema este să găsim extremul condiționat al funcției r - f(x,y) pe curbă! poate fi formulat astfel: aflați extremele funcției x = /(z, y) în regiunea D, cu condiția ca Astfel, la aflarea extremelor condiționate ale funcției z = y), argumentele gnu nu mai pot fi considerate ca variabile independente: sunt legate între ele prin relaţia y ) = 0, care se numeşte ecuaţie de cuplare. Pentru a clarifica distincția dintre extremul necondiționat și cel condiționat, să ne uităm la un exemplu, maximul necondiționat al unei funcții (Fig. 23) este egal cu unu și se realizează la punctul (0,0). Corespunde punctului M - vârful pvvboloidului Să adăugăm ecuația de conexiune y = j. Atunci maximul condiționat va fi evident egal cu acesta.Se atinge în punctul (o,|), și corespunde vârfului Afj al bilei, care este linia de intersecție a bilei cu planul y = j. În cazul unui mvximum necondiționat, avem un mvximum aplicat între toate vpplicvt ale suprafeței * = 1 - l;2 ~ y1; summvv condițional - numai între punctele vllikvt pvraboloidv, corespunzătoare punctului* dreptei y = j nu planului xOy. Una dintre metodele de găsire a extremului condiționat al unei funcții în prezență și conexiune este următoarea. Fie ecuația de conexiune y) - O să definească y ca o funcție diferențiabilă unică a argumentului x: Substituind o funcție în loc de y în funcție, obținem o funcție a unui argument în care condiția de conexiune este deja luată în considerare. Extremul (necondiționat) al funcției este extremul condiționat dorit. Exemplu. Aflați extremul unei funcții cu condiția Extremul unei funcție a mai multor variabile Conceptul de extremum al unei funcție a mai multor variabile. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum Extremum condiționat Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor continue A Din ecuația de conexiune (2") găsim y = 1-x. Înlocuind această valoare y în (V), obținem o funcție de un argument x: Să-l examinăm pentru extremul: de unde x = 1 este punctul critic; , deci oferă minimul condiționat al funcției r (Fig. 24). Să indicăm o altă modalitate de a rezolva problema condiționalului extremum, numită metoda multiplicatorului Lagrange. Să existe un punct al extremului condiționat al funcției în prezența unei conexiuni. Să presupunem că ecuația conexiunii definește o funcție unică continuu derivabilă într-o anumită vecinătate a punctului xx. Presupunând că obținem că derivata față de x a funcției /(r, ip(x)) în punctul xq trebuie să fie egală cu zero sau, ceea ce este echivalent cu aceasta, diferența lui f(x, y) la punctul Mo" O) Din ecuația de conexiune avem (5) Înmulțind ultima egalitate cu un factor numeric A încă nedeterminat și adunând termen cu termen cu egalitate (4), vom avea (presupunem că). Apoi, din cauza arbitrarului lui dx, obținem Egalitățile (6) și (7) exprimă condițiile necesare pentru un extremum necondiționat în punctul funcției, care se numește funcție Lagrange. Astfel, punctul extremum condiționat al funcției /(x, y), if, este în mod necesar un punct staționar al funcției Lagrange unde A este un anumit coeficient numeric. De aici obținem o regulă pentru găsirea extremelor condiționate: pentru a găsi puncte care pot fi puncte ale extremului convențional al unei funcții în prezența unei conexiuni, 1) compunem funcția Lagrange, 2) prin echivalarea derivatelor acestei funcții. funcția la zero și adăugând ecuația de conexiune la ecuațiile rezultate, obținem un sistem de trei ecuații din care găsim valorile lui A și coordonatele x, y ale punctelor extreme posibile. Întrebarea existenței și naturii extremumului condiționat este rezolvată pe baza studierii semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange pentru sistemul de valori considerat x0, V0, A, obținut din (8) cu condiția ca, dacă , atunci în punctul (x0, V0) funcția /(x, y ) are un maxim condiționat; dacă d2F > 0 - atunci un minim condiționat. În special, dacă într-un punct staționar (xo, J/o) determinantul D pentru funcția F(x, y) este pozitiv, atunci în punctul (®o, V0) există un maxim condiționat al funcției f( x, y), dacă și minim condiționat al funcției /(x, y), dacă Exemplu. Să ne întoarcem din nou la condițiile din exemplul anterior: găsiți extremul funcției cu condiția ca x + y = 1. Vom rezolva problema folosind metoda multiplicatorului Lagrange. Funcția Lagrange în acest caz are forma Pentru a găsi puncte staționare, compunem un sistem Din primele două ecuații ale sistemului, obținem că x = y. Apoi din a treia ecuație a sistemului (ecuația de conexiune) aflăm că x - y = j sunt coordonatele punctului extremum posibil. În acest caz (se indică faptul că A = -1. Astfel, funcția Lagrange. este punctul minim condiționat al funcției * = x2 + y2 în condiția Nu există un extremum necondiționat pentru funcția Lagrange. P(x, y). ) nu înseamnă încă absența unui extremum condiționat pentru funcția /(x, y) în prezența unei conexiuni Exemplu: Aflați extremul unei funcții în condiția y 4 Compunem funcția Lagrange și scriem un sistem pentru determinând A și coordonatele punctelor extreme posibile: Din primele două ecuații obținem x + y = 0 și ajungem la sistemul de unde x = y = A = 0. Astfel, funcția Lagrange corespunzătoare are forma În punctul (0,0) funcția F(x, y; 0) nu are un extremum necondiționat, totuși, extremul condiționat al funcției r = xy. Când y = x, există ". Într-adevăr, în acest caz r = x2. De aici reiese clar ca in punctul (0,0) exista un minim conditionat. „Metoda multiplicatorilor Lagrange se transfera in cazul functiilor oricarui numar de argumente/ Sa cautam extremul functiei. în prezenţa ecuaţiilor de conexiune Compuneţi funcţia Lagrange unde A|, Az,..., A„, sunt factori constanţi nedeterminaţi. Echivalând la zero toate derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției F și adăugând ecuațiilor de conexiune (9) la ecuațiile rezultate, obținem un sistem de n + m ecuații, din care determinăm Ab A3|..., At și coordonatele x \) x2). » xn de puncte posibile de extremum condiționat. Întrebarea dacă punctele găsite folosind metoda Lagrange sunt de fapt puncte cu un extremum condiționat poate fi adesea rezolvată pe baza unor considerații de natură fizică sau geometrică. 15.3. Cele mai mari și mai mici valori ale funcțiilor continue Să fie necesar să găsim cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții z = /(x, y), continuă într-un domeniu limitat închis D. Conform teoremei 3, în această regiune există un punct (xo, V0) în care funcția ia cea mai mare (cea mai mică) valoare. Dacă punctul (xo, y0) se află în interiorul domeniului D, atunci funcția / are un maxim (minim) în ea, deci în acest caz punctul de interes pentru noi este cuprins între punctele critice ale funcției /(x, y). Cu toate acestea, funcția /(x, y) poate atinge cea mai mare (cea mai mică) valoare la limita regiunii. Prin urmare, pentru a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare luată de funcția z = /(x, y) într-o zonă închisă limitată 2), trebuie să găsiți toate maximele (minimul) funcției realizate în această zonă, precum și cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în limita acestei zone. Cea mai mare (mai mică) dintre toate aceste numere va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare dorită a funcției z = /(x,y) în regiunea 27. Să arătăm cum se face acest lucru în cazul unei funcții diferențiabile. Prmmr. Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției regiunii 4. Găsim punctele critice ale funcției în interiorul regiunii D. Pentru a face acest lucru, compunem un sistem de ecuații. De aici obținem x = y « 0, astfel încât punctul 0 (0,0) este punctul critic al funcției x. Deoarece Să găsim acum cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției la limita Г a regiunii D. Pe o parte a graniței avem că y = 0 este un punct critic, și deoarece = atunci în acest punct funcția z = 1 + y2 are un minim egal cu unu. La capetele segmentului Г", la punctele (, avem. Folosind considerații de simetrie, obținem aceleași rezultate pentru alte părți ale limitei. Obținem în final: cea mai mică valoare a funcției z = x2+y2 din regiune „B este egal cu zero și se realizează în regiunea punctului intern 0( 0, 0), iar valoarea maximă a acestei funcții, egală cu două, se realizează în patru puncte ale limitei (Fig. 25) Fig. 25 Exerciții Aflați domeniul de definire al funcțiilor: Construiți liniile de nivel ale funcțiilor: 9 Aflați suprafețele de nivel ale funcțiilor a trei variabile independente: Calculați funcțiile limită: Aflați derivate parțiale ale funcțiilor și diferențiale totale ale acestora: Aflați derivate de complexe funcții: 3 Găsiți J. Extremul unei funcții a mai multor variabile Conceptul de extrem al unei funcții a mai multor variabile Condiții necesare și suficiente pentru un extrem Extremul condiționat Valorile maxime și minime ale funcțiilor continue 34. Utilizarea formulei pentru derivata unei funcție complexă două variabile, găsiți și funcții: 35. Folosind formula pentru derivata unei funcții complexe a două variabile, găsiți |J și funcții: Aflați jj funcții date implicit: 40. Aflați panta curbei tangentei în punctul de intersecția sa cu dreapta x = 3. 41. Aflați punctele în care tangenta curbei x este paralelă cu axa Ox. . În următoarele probleme, găsiți și T: Scrieți ecuațiile planului tangent și normala suprafeței: 49. Scrieți ecuațiile planelor tangente ale suprafeței x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralele cu planul x + 4y + 6z = 0. Aflați primii trei sau patru termeni ai expansiunii folosind formula Taylor : 50. y în vecinătatea punctului (0, 0). Folosind definiția unui extremum al unei funcții, examinați următoarele funcții pentru extremum:). Folosind condiții suficiente pentru extremul unei funcții a două variabile, examinați extremul funcției: 84. Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției z = x2 - y2 într-un cerc închis 85. Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ​​a funcției * = x2y(4-x-y) într-un triunghi mărginit de drepte x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Determinați dimensiunile unui bazin dreptunghiular deschis care are cea mai mică suprafață, cu condiția ca volumul acestuia să fie egal cu V. 87. Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghiular care are volumul maxim având în vedere suprafața totală 5. Răspunsurile 1. și | Un pătrat format din segmente de dreaptă x inclusiv laturile sale. 3. Familia de inele concentrice 2= 0,1,2,... .4. Întregul plan, cu excepția punctelor de pe liniile drepte. O parte a planului situată deasupra parabolei y = -x?. 8. Punctele cercului x. Întregul plan cu excepția dreptelor x Expresia radicală este nenegativă în două cazuri j * ^ sau j x ^ ^ care echivalează, respectiv, cu o serie infinită de inegalități.Domeniul de definiție este pătratele umbrite (Fig. 26); l care este echivalent cu o serie infinită Funcția este definită în puncte. a) Drepte paralele cu dreapta x b) cercuri concentrice cu centrul la origine. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Avioane xc. 13.Prim - hiperboloizi cu o singură cavitate de rotație în jurul axei Oz; când și sunt hiperboloizi cu două foi de rotație în jurul axei Oz, ambele familii de suprafețe sunt separate printr-un con; Nu există limită, b) 0. 18. Să punem y = kxt apoi z lim z = -2, deci funcția dată în punctul (0,0) nu are limită. 19. a) Punctul (0,0); b) punctul (0,0). 20. a) Linie de rupere - cerc x2 + y2 = 1; b) linia de rupere este dreapta y = x. 21. a) Linii de rupere - axele de coordonate Ox și Oy; b) 0 (mult gol). 22. Toate punctele (m, n), unde și n sunt numere întregi

CONDIȚIONAL EXTREM

Valoarea minimă sau maximă atinsă de o anumită funcție (sau funcțională) cu condiția ca anumite alte funcții (funcționale) să ia valori dintr-un anumit set admisibil. Dacă nu există condiții care să limiteze modificările variabilelor (funcțiilor) independente în sensul indicat, atunci vorbim de un extremum necondiționat.
Clasic sarcina pe U. e. este problema determinării minimului unei funcţii a mai multor variabile

Cu condiția ca anumite alte funcții să ia valorile date:

În această problemă G, căruia trebuie să îi aparțină valorile funcției vectoriale g=(g 1, ...,g m), inclus în condițiile suplimentare (2), există un punct fix c=(c 1, ..., cu T)în spațiul euclidian m-dimensional
Dacă în (2) împreună cu semnul egal, sunt permise semnele de inegalitate

Acest lucru duce apoi la problema programare neliniară(13). În problema (1), (3), mulțimea G de valori admisibile ale funcției vectoriale g este o anumită curbilinie aparținând hipersuprafeței (n-m 1)-dimensionale definită de m 1 , m 1 condiții precum egalitatea (3). Limitele poliedrului curbiliniu specificat sunt construite ținând cont p.m 1 inegalități incluse în (3).
Un caz special de problemă (1), (3) pe U.V. este sarcina programare liniară,în care toate funcţiile f şi g i sunt liniare în x l , ... , x p.Într-o problemă de programare liniară, mulțimea G de valori admisibile ale funcției vectoriale g, incluse în condițiile care limitează aria de modificare a variabilelor x 1, .....x n , reprezintă , aparţinând hiperplanului (n-t 1)-dimensional specificat de m 1 condiţii ale tipului de egalitate din (3).
În mod similar, majoritatea problemelor de optimizare a funcționalelor reprezentând practice interesul se reduce la probleme pe U. e. (cm. Problemă izoperimetrică, Problemă inel, Problemă Lagrange, Problemă Manner). La fel ca la matematică. programarea, principalele probleme ale calculului variațiilor și teoria controlului optim sunt probleme în sistemele electronice.
La rezolvarea problemelor din sistemele electronice, mai ales atunci când sunt luate în considerare cele teoretice. întrebări legate de probleme în sistemele electronice, utilizarea nedefinită multiplicatori de Lagrange, permiţându-ne să reducem problema la U. e. la problema pe neconditionat si simplifica conditiile de optimitate necesare. Utilizarea multiplicatorilor Lagrange stă la baza celor mai multe studii clasice. metode de rezolvare a problemelor din sistemele electronice.

Lit.: Hedley J., Nonlinear și, trad. din engleză, M., 1967; Bliss G. A., Prelegeri despre calculul variațiilor, trad. din engleză, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical optimal processes, ed. a II-a, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vezi ce este „CONDITIONAL EXTREME” în ​​alte dicționare:

Extremum relativ, extremul unei funcții f (x1,..., xn + m) din n + m variabile în ipoteza că aceste variabile sunt supuse și la m ecuații de conexiune (condiții): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (vezi Extremum).… …

Lăsați setul să fie deschis și funcțiile date. Lasa. Aceste ecuații sunt numite ecuații de constrângere (terminologia este împrumutată de la mecanică). Să fie definită o funcție pe G... Wikipedia

- (din latinescul extremum extrem) valoarea unei funcții continue f (x), care este fie un maxim, fie un minim. Mai precis: o funcție f (x) continuă într-un punct x0 are un maxim (minim) la x0 dacă există o vecinătate (x0 + δ, x0 δ) a acestui punct,... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Acest termen are alte semnificații, vezi Extremum (sensuri). Extremum (lat. extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul... ... Wikipedia

O funcție utilizată în rezolvarea problemelor la extremul condiționat al funcțiilor multor variabile și funcționale. Cu ajutorul lui L. f. se notează condiţiile necesare optimităţii în probleme pe un extremum condiţionat. În acest caz, nu este necesar să exprimați doar variabile... Enciclopedie matematică

O disciplină matematică dedicată găsirii valorilor extreme (mai mari și mai mici) ale funcționalelor variabilelor care depind de alegerea uneia sau mai multor funcții. In si. este o dezvoltare firească a acestui capitol... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Variabile, cu ajutorul cărora se construiește funcția Lagrange atunci când se studiază probleme pe un extremum condiționat. Utilizarea metodelor liniare și a funcției Lagrange ne permite să obținem condițiile de optimitate necesare în problemele care implică un extremum condiționat într-un mod uniform... Enciclopedie matematică

Calculul variațiilor este o ramură a analizei funcționale care studiază variațiile funcționalelor. Cea mai obișnuită problemă în calculul variațiilor este de a găsi o funcție pe care o anumită funcțională realizează... ... Wikipedia

O ramură a matematicii dedicată studiului metodelor de găsire a extremelor funcționalelor care depind de alegerea uneia sau mai multor funcții sub diferite tipuri de restricții (fază, diferențială, integrală etc.) impuse acestora... ... Enciclopedie matematică

Calculul variațiilor este o ramură a matematicii care studiază variațiile funcționalelor. Cea mai tipică problemă în calculul variațiilor este de a găsi funcția la care funcționalul atinge o valoare extremă. Metode... ...Wikipedia

Cărți

• Prelegeri despre teoria controlului. Volumul 2. Control optim, V. Boss. Sunt luate în considerare problemele clasice ale teoriei controlului optim. Prezentarea începe cu conceptele de bază ale optimizării în spații finite-dimensionale: extremum condiționat și necondiționat,...

În primul rând, să luăm în considerare cazul unei funcții a două variabile. Extremul condiționat al unei funcții $z=f(x,y)$ în punctul $M_0(x_0;y_0)$ este extremul acestei funcții, realizat cu condiția ca variabilele $x$ și $y$ din vecinătatea acestui punct satisface ecuația de conexiune $\ varphi (x,y)=0$.

Numele de extremum „condițional” se datorează faptului că variabilelor li se impune o condiție suplimentară $\varphi(x,y)=0$. Dacă o variabilă poate fi exprimată din ecuația de conexiune prin alta, atunci problema determinării extremului condiționat se reduce la problema determinării extremului obișnuit al unei funcții a unei variabile. De exemplu, dacă ecuația conexiunii implică $y=\psi(x)$, atunci înlocuind $y=\psi(x)$ în $z=f(x,y)$, obținem o funcție a unei variabile $z =f\stânga (x,\psi(x)\dreapta)$. În cazul general, însă, această metodă este de puțin folos, așa că este necesară introducerea unui nou algoritm.

Metoda multiplicatorului Lagrange pentru funcții a două variabile.

Metoda multiplicatorului Lagrange constă în construirea unei funcții Lagrange pentru a găsi un extremum condiționat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametrul $\lambda$ se numește multiplicatorul Lagrange). Condițiile necesare pentru extremum sunt specificate de un sistem de ecuații din care se determină punctele staționare:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aliniat) \right. $$

O condiție suficientă din care se poate determina natura extremului este semnul $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Dacă într-un punct staționar $d^2F > 0$, atunci funcția $z=f(x,y)$ are un minim condiționat în acest punct, dar dacă $d^2F< 0$, то условный максимум.

Există o altă modalitate de a determina natura extremului. Din ecuația de cuplare obținem: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, prin urmare, în orice punct staționar avem:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \dreapta)$$

Al doilea factor (situat între paranteze) poate fi reprezentat sub această formă:

Elementele determinantului $\left| sunt evidențiate cu roșu. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") și F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") și F_(yy)^("") \end (matrice)\right|$, care este Hessianul funcției Lagrange. Dacă $H > 0$, atunci $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, adică avem un minim condiționat al funcției $z=f(x,y)$.

O notă privind notarea determinantului $H$. arată ascunde

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") și F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") și F_(xy)^("") și F_(yy)^("") \ sfârşit(matrice) \right| $$

În această situație, regula formulată mai sus se va modifica astfel: dacă $H > 0$, atunci funcția are un minim condiționat, iar dacă $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritm pentru studierea unei funcții a două variabile pentru un extremum condiționat

1. Compuneți funcția Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Rezolvați sistemul $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
3. Determinați natura extremului în fiecare dintre punctele staționare găsite în paragraful anterior. Pentru a face acest lucru, utilizați oricare dintre următoarele metode:
   • Compuneți determinantul lui $H$ și aflați semnul acestuia
   • Ținând cont de ecuația de cuplare, se calculează semnul lui $d^2F$

Metoda multiplicatorului Lagrange pentru funcții de n variabile

Să presupunem că avem o funcție de $n$ variabile $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ și $m$ ecuații de cuplare ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Notând multiplicatorii Lagrange ca $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, compunem funcția Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Condițiile necesare pentru prezența unui extremum condiționat sunt date de un sistem de ecuații din care se găsesc coordonatele punctelor staționare și valorile multiplicatorilor Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Puteți afla dacă o funcție are un minim condiționat sau un maxim condiționat în punctul găsit, ca înainte, folosind semnul $d^2F$. Dacă în punctul găsit $d^2F > 0$, atunci funcția are un minim condiționat, dar dacă $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant al matricei $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, evidențiat cu roșu în matricea $L$, este Hessianul funcției Lagrange. Folosim următoarea regulă:

• Dacă semnele minorilor unghiulari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricele $L$ coincid cu semnul $(-1)^m$, atunci punctul staționar studiat este punctul minim condiționat al funcției $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Dacă semnele minorilor unghiulari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternează, iar semnul minorului $H_(2m+1)$ coincide cu semnul numărului $(-1)^(m+1 )$, atunci punctul staționar este punctul maxim condiționat al funcției $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Exemplul nr. 1

Găsiți extremul condiționat al funcției $z(x,y)=x+3y$ în condiția $x^2+y^2=10$.

Interpretarea geometrică a acestei probleme este următoarea: se cere să se găsească cele mai mari și cele mai mici valori ale aplicației planului $z=x+3y$ pentru punctele de intersecție cu cilindrul $x^2+y ^2=10$.

Este oarecum dificil să exprimăm o variabilă prin alta din ecuația de cuplare și să o înlocuim în funcția $z(x,y)=x+3y$, așa că vom folosi metoda Lagrange.

Notând $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, compunem funcția Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Să scriem un sistem de ecuații pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aliniat)\dreapta.$$

Dacă presupunem $\lambda=0$, atunci prima ecuație devine: $1=0$. Contradicția rezultată indică faptul că $\lambda\neq 0$. În condiția $\lambda\neq 0$, din prima și a doua ecuație avem: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Înlocuind valorile obținute în a treia ecuație, obținem:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Deci, sistemul are două soluții: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ și $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Să aflăm natura extremului în fiecare punct staționar: $M_1(1;3)$ și $M_2(-1;-3)$. Pentru a face acest lucru, calculăm determinantul lui $H$ în fiecare punct.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

În punctul $M_1(1;3)$ obținem: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, deci la punct Funcția $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ are un maxim condiționat, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

În mod similar, în punctul $M_2(-1,-3)$ găsim: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Din moment ce $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Observ că, în loc să calculăm valoarea determinantului $H$ în fiecare punct, este mult mai convenabil să-l extindem în formă generală. Pentru a nu aglomera textul cu detalii, voi ascunde această metodă sub o notă.

Scrierea determinantului $H$ în formă generală. arată ascunde

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

În principiu, este deja evident ce semn are $H$. Deoarece niciunul dintre punctele $M_1$ sau $M_2$ nu coincide cu originea, atunci $y^2+x^2>0$. Prin urmare, semnul $H$ este opus semnului $\lambda$. Puteți finaliza calculele:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aliniat) $$

Întrebarea despre natura extremului în punctele staționare $M_1(1;3)$ și $M_2(-1;-3)$ poate fi rezolvată fără a folosi determinantul $H$. Să găsim semnul lui $d^2F$ la fiecare punct staționar:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Permiteți-mi să observ că notația $dx^2$ înseamnă exact $dx$ ridicat la a doua putere, adică. $\left(dx \right)^2$. Prin urmare, avem: $dx^2+dy^2>0$, prin urmare, cu $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ obținem $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Răspuns: în punctul $(-1;-3)$ funcția are un minim condiționat, $z_(\min)=-10$. La punctul $(1;3)$ funcția are un maxim condiționat, $z_(\max)=10$

Exemplul nr. 2

Găsiți extremul condiționat al funcției $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ în condiția $x+y=0$.

Prima metodă (metoda multiplicatorului Lagrange)

Notând $\varphi(x,y)=x+y$, compunem funcția Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(aliniat) \right. $$

După ce am rezolvat sistemul, obținem: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ și $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Avem două puncte staționare: $M_1(0;0)$ și $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Să aflăm natura extremului în fiecare punct staționar folosind determinantul $H$.

$$H=\stânga| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

În punctul $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, prin urmare în acest moment funcția are un maxim condiționat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Investigăm natura extremului în fiecare punct folosind o metodă diferită, bazată pe semnul $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Din ecuația conexiunii $x+y=0$ avem: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Deoarece $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, atunci $M_1(0;0)$ este punctul minim condiționat al funcției $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. În mod similar, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

A doua cale

Din ecuația conexiunii $x+y=0$ obținem: $y=-x$. Înlocuind $y=-x$ în funcția $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obținem o funcție a variabilei $x$. Să notăm această funcție ca $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Astfel, am redus problema găsirii extremului condiționat al unei funcții a două variabile la problema determinării extremului unei funcții a unei variabile.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \; ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Am obținut punctele $M_1(0;0)$ și $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Se cunosc cercetări ulterioare din cursul calculului diferențial al funcțiilor unei variabile. Examinând semnul lui $u_(xx)^("")$ la fiecare punct staționar sau verificând modificarea semnului lui $u_(x)^(")$ la punctele găsite, obținem aceleași concluzii ca și atunci când rezolvarea primei metode. De exemplu, vom verifica semnul $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Deoarece $u_(xx)^("")(M_1)>0$, atunci $M_1$ este punctul minim al funcției $u(x)$ și $u_(\min)=u(0)=0 $ . Din moment ce $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Valorile funcției $u(x)$ pentru o anumită condiție de conectare coincid cu valorile funcției $z(x,y)$, adică. extremele găsite ale funcției $u(x)$ sunt extremele condiționate căutate ale funcției $z(x,y)$.

Răspuns: în punctul $(0;0)$ funcția are un minim condiționat, $z_(\min)=0$. În punctul $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funcția are un maxim condiționat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Să luăm în considerare un alt exemplu în care vom clarifica natura extremului prin determinarea semnului lui $d^2F$.

Exemplul nr. 3

Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=5xy-4$ dacă variabilele $x$ și $y$ sunt pozitive și satisfac ecuația de cuplare $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Să compunem funcția Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Să găsim punctele staționare ale funcției Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aliniat) \right. $$

Toate transformările ulterioare sunt efectuate ținând cont de $x > 0; \; y > 0$ (acest lucru este specificat în declarația problemei). Din a doua ecuație exprimăm $\lambda=-\frac(5x)(y)$ și înlocuim valoarea găsită în prima ecuație: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4) )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Înlocuind $x=2y$ în a treia ecuație, obținem: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Deoarece $y=1$, atunci $x=2$, $\lambda=-10$. Determinăm natura extremului în punctul $(2;1)$ pe baza semnului lui $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Deoarece $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, atunci:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

În principiu, aici puteți înlocui imediat coordonatele punctului staționar $x=2$, $y=1$ și parametrul $\lambda=-10$, obținând:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Cu toate acestea, în alte probleme pe un extremum condiționat pot exista mai multe puncte staționare. În astfel de cazuri, este mai bine să reprezentați $d^2F$ în formă generală și apoi să înlocuiți coordonatele fiecăruia dintre punctele staționare găsite în expresia rezultată:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Înlocuind $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, obținem:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Deoarece $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Răspuns: în punctul $(2;1)$ funcția are un maxim condiționat, $z_(\max)=6$.

În partea următoare vom lua în considerare aplicarea metodei Lagrange pentru funcții ale unui număr mai mare de variabile.