Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. regula lui Cramer

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind o matrice inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer.

Metoda Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).

Formule folosind exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer

Referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să aflăm determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :

Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor:
Și .
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Să facem un lucru similar, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns:
Cometariu: Această metodă poate rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Cometariu: Dacă se dovedește că , dar nu poate fi împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul fie are infinite de soluții, fie nu are deloc soluții.

Exemplul 2(numar infinit de solutii):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Aceasta înseamnă că a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație pentru relația dintre variabile.
Am descoperit că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate între ele prin egalitate.
Soluția generală se va scrie după cum urmează:
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această egalitate de conexiune.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):

Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Formulele lui Cramer nu pot fi folosite. Să rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

Metoda Cramer este utilizată pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE) în care numărul de variabile necunoscute este egal cu numărul de ecuații, iar determinantul matricei principale este diferit de zero. În acest articol vom analiza modul în care variabilele necunoscute sunt găsite folosind metoda lui Cramer și vom obține formule. După aceasta, să trecem la exemple și să descriem în detaliu soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Navigare în pagină.

Metoda lui Cramer - derivarea formulelor.

Trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații liniare de forma

Unde x 1, x 2, …, x n sunt variabile necunoscute, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- coeficienți numerici, b 1, b 2, ..., b n - termeni liberi. O soluție a unui SLAE este un astfel de set de valori x 1 , x 2 , …, x n pentru care toate ecuațiile sistemului devin identități.

Sub formă de matrice, acest sistem poate fi scris ca A ⋅ X = B, unde - matricea principală a sistemului, elementele sale sunt coeficienții variabilelor necunoscute, - matricea este o coloană de termeni liberi și - matricea este o coloană de variabile necunoscute. După găsirea variabilelor necunoscute x 1, x 2, …, x n, matricea devine o soluție a sistemului de ecuații și egalitatea A ⋅ X = B devine o identitate.

Vom presupune că matricea A este nesingulară, adică determinantul ei este diferit de zero. În acest caz, sistemul de ecuații algebrice liniare are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. (Metodele de rezolvare a sistemelor pentru sunt discutate în secțiunea rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare).

Metoda lui Cramer se bazează pe două proprietăți ale determinantului matricei:

Deci, să începem să găsim variabila necunoscută x 1. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale primei ecuații a sistemului cu A 1 1, ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu A 2 1 și așa mai departe, ambele părți ale ecuației a n-a cu A n 1 (adică vom înmulțiți ecuațiile sistemului cu complementele algebrice corespunzătoare ale primei coloane a matricei A):

Să adunăm toate părțile din stânga ale ecuației sistemului, grupând termenii pentru variabilele necunoscute x 1, x 2, ..., x n și să echivalăm această sumă cu suma tuturor părților din dreapta ale ecuațiilor:

Dacă ne întoarcem la proprietățile menționate anterior ale determinantului, avem

iar egalitatea anterioară ia forma

Unde

În mod similar, găsim x 2. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuațiilor sistemului cu complementele algebrice ale celei de-a doua coloane a matricei A:

Adunăm toate ecuațiile sistemului, grupăm termenii pentru variabilele necunoscute x 1, x 2, ..., x n și aplicăm proprietățile determinantului:

Unde
.

Variabilele rămase necunoscute se găsesc în mod similar.

Dacă desemnăm

Apoi primim formule pentru găsirea variabilelor necunoscute folosind metoda lui Cramer .

Cometariu.

Dacă sistemul de ecuații algebrice liniare este omogen, adică , atunci are doar o soluție banală (la ). Într-adevăr, pentru zero termeni liberi, toți determinanții vor fi egale cu zero, deoarece vor conține o coloană cu zero elemente. Prin urmare, formulele va da .

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Cramer.

Să-l notăm algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Cramer.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Cramer.

Să ne uităm la soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul său folosind formula :

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, SLAE are o soluție unică și poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Să notăm determinanții și . Înlocuim prima coloană a matricei principale a sistemului cu o coloană de termeni liberi și obținem determinantul . În mod similar, înlocuim a doua coloană a matricei principale cu coloana de termeni liberi și obținem .

Calculăm acești determinanți:

Găsiți variabilele necunoscute x 1 și x 2 folosind formulele :

Sa verificam. Să substituim valorile obținute x 1 și x 2 în sistemul original de ecuații:

Ambele ecuații ale sistemului devin identități, prin urmare, soluția a fost găsită corect.

Răspuns:

.

Unele elemente ale matricei principale a SLAE pot fi egale cu zero. În acest caz, variabilele necunoscute corespunzătoare vor fi absente din ecuațiile sistemului. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer .

Soluţie.

Să rescriem sistemul în formă , astfel încât matricea principală a sistemului devine vizibilă . Să găsim determinantul său folosind formula

Avem

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare are o soluție unică. Să-l găsim folosind metoda lui Cramer. Să calculăm determinanții :

Prin urmare,

Răspuns:

Denumirile variabilelor necunoscute din ecuațiile sistemului pot diferi de x 1, x 2, ..., x n. Acest lucru nu afectează procesul decizional. Dar ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului este foarte importantă la compilarea matricei principale și a determinanților necesari ai metodei Cramer. Să lămurim acest punct cu un exemplu.

Exemplu.

Folosind metoda lui Cramer, găsiți o soluție la un sistem de trei ecuații algebrice liniare în trei necunoscute .

Soluţie.

În acest exemplu, variabilele necunoscute au o notație diferită (x, y și z în loc de x1, x2 și x3). Acest lucru nu afectează soluția, dar aveți grijă cu etichetele variabile. NU îl puteți lua ca matrice principală a sistemului . Este necesar să ordonăm mai întâi variabilele necunoscute în toate ecuațiile sistemului. Pentru a face acest lucru, rescriem sistemul de ecuații ca . Acum matricea principală a sistemului este clar vizibilă . Să calculăm determinantul acestuia:

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică. Să-l găsim folosind metoda lui Cramer. Să notăm determinanții (atenție la notație) și calculează-le:

Rămâne să găsiți variabilele necunoscute folosind formulele :

Sa verificam. Pentru a face acest lucru, înmulțiți matricea principală cu soluția rezultată (dacă este necesar, consultați secțiunea):

Ca rezultat, am obținut o coloană de termeni liberi ai sistemului original de ecuații, astfel încât soluția a fost găsită corect.

Răspuns:

x = 0, y = -2, z = 3.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer , unde a și b sunt numere reale.

Soluţie.

Răspuns:

Exemplu.

Găsiți soluția sistemului de ecuații prin metoda lui Cramer, - un număr real.

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului: . expresia este un interval, deci pentru orice valoare reală. În consecință, sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Calculăm și:

Metode KramerȘi Gauss- una dintre cele mai populare metode de rezolvare SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi vom analiza soluția folosind metoda lui Cramer. La urma urmei, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată X , în care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluție a sistemului, A Și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat în capul tău sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) într-un SLAE, iar aici simplele manipulări școlare nu sunt suficiente. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE-urile folosind metoda lui Cramer!

Deci, lăsați sistemul să fie format din n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici A – matricea principală a sistemului, X Și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și termeni liberi.

Rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda lui Cramer.

Conform metodei lui Cramer, soluția se găsește folosind formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x nth – determinant obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de termeni liberi.

Aceasta este întreaga esență a metodei Cramer. Înlocuind valorile găsite folosind formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid esența, vă oferim mai jos un exemplu de soluție detaliată a SLAE folosind metoda Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină practică, vei începe să spargi SLAU-uri precum nucile. Mai mult, acum nu este absolut necesar să studiezi cu atenție un caiet, rezolvând calcule greoaie și redactând nucleul. Puteți rezolva cu ușurință SLAE-urile folosind metoda lui Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finală. Puteți încerca un calculator de soluții online folosind metoda lui Cramer, de exemplu, pe acest site web.

Și dacă sistemul se dovedește a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, la. Dacă în sistem există cel puțin 100 de necunoscute, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și incert)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistemul este inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse la probleme de căutare a proprietăților generale ale oricăror fenomene sau obiecte. Adică ați inventat un material sau dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau cantitatea specimenului, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți pentru variabile există scrisori. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute