Suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor: derivarea formulelor, exemple. Cumpărați o diplomă de studii superioare ieftin
Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.
Definiție geometrică
|BD| - lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.
Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .
Cotangent ( ctg α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .
Tangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.
Graficul funcției tangente, y = tan x
Cotangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
.
De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:
;
;
.
Graficul funcției cotangente, y = ctg x
Proprietățile tangentei și cotangentei
Periodicitate
Funcțiile y = tg xși y = ctg x sunt periodice cu perioada π.
Paritate
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.
Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | ||
| Gama de valori | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Crescând | - | |
| Descendentă | - | |
| Extreme | - | - |
| Zerouri, y = 0 | ||
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Expresii folosind sinus și cosinus
;
;
;
;
;
Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență
Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu
Produsul tangentelor
Formula pentru suma și diferența tangentelor
Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului. 
Expresii folosind numere complexe
Expresii prin funcții hiperbolice
;
;
Derivate
; .
.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>
Integrale
Extinderi de serie
Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule.
La .
la .
Unde Bn- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei lui Laplace: 
Funcții inverse
Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.
Arctangent, arctg
, Unde n- întreg.
Arccotangent, arcctg
, Unde n- întreg.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.
Cosinusul sumei și diferenței a două unghiuri
În această secțiune vor fi demonstrate următoarele două formule:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Cosinusul sumei (diferența) a două unghiuri este egal cu produsul cosinusurilor acestor unghiuri minus (plus) produsul sinusurilor acestor unghiuri.
Ne va fi mai convenabil să începem cu demonstrarea formulei (2). Pentru simplitatea prezentării, să presupunem mai întâi că unghiurile α Și β satisfac urmatoarele conditii:
1) fiecare dintre aceste unghiuri este nenegativ și mai mic 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Fie partea pozitivă a axei 0x să fie partea de pornire comună a unghiurilor α Și β .
Notăm laturile de capăt ale acestor unghiuri cu 0A și, respectiv, 0B. Evident unghiul α - β poate fi considerat ca unghiul prin care fasciculul 0B trebuie rotit în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic, astfel încât direcția sa să coincidă cu direcția fasciculului 0A.
Pe razele 0A si 0B marcam punctele M si N, situate la o distanta de 1 de originea coordonatelor 0, astfel incat 0M = 0N = 1.
În sistemul de coordonate x0y, punctul M are coordonate ( cos α, sin α), iar punctul N este coordonatele ( cos β, sin β). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
În calculele noastre am folosit identitatea
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Acum luați în considerare un alt sistem de coordonate B0C, care se obține prin rotirea axelor 0x și 0y în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi β .
În acest sistem de coordonate, punctul M are coordonate (cos ( α - β ), păcat ( α - β )), iar punctul N este coordonatele (1,0). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Dar distanța dintre punctele M și N nu depinde de sistemul de coordonate cu care luăm în considerare aceste puncte. De aceea
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Aici urmează formula (2).
Acum ar trebui să ne amintim acele două restricții pe care le-am impus pentru simplitatea prezentării unghiurilor α Și β .
Cerința ca fiecare dintre colțuri α Și β a fost nenegativ, nu chiar semnificativ. La urma urmei, la oricare dintre aceste unghiuri puteți adăuga un unghi care este un multiplu de 2, care nu va afecta validitatea formulei (2). În același mod, din fiecare dintre aceste unghiuri puteți scădea un unghi care este un multiplu al 2π. Prin urmare putem presupune că 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
De asemenea, starea se dovedește a fi nesemnificativă α > β . Într-adevăr, dacă α < β , Acea β >α ; prin urmare, având în vedere paritatea funcției cos X , primim:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
care coincide în esență cu formula (2). Deci formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
adevărat pentru toate unghiurile α Și β . În special, înlocuirea în ea β pe - β şi având în vedere că funcţia cosX este pară, iar funcția păcatX ciudat, obținem:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
care demonstrează formula (1).
Deci, formulele (1) și (2) sunt dovedite.
Exemple.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Exerciții
1 . Calculați fără a folosi tabele trigonometrice:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Simplificați expresiile:
A). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) păcat ( α - 24°).
V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α + tg α păcatul 2 α .
3 . calculati :
A) cos(α - β), Dacă
cos α = - 2 / 5 , păcatul β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), dacă cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Găsi cos(α + β) si cos (α - β) ,dacă se știe că păcatul α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 și ambele unghiuri ( α Și β ) se încheie în același trimestru.
5 .Calculati:
A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Una dintre domeniile matematicii cu care elevii se luptă cel mai mult este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calculele. În plus, trebuie să fiți capabil să utilizați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deriva lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Familiarizarea cu această știință ar trebui să înceapă cu definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să înțelegeți ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, principalul obiect de studiu în această ramură a științei matematice a fost triunghiurile dreptunghiulare. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar în artă.
Primul stagiu
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi folosind exclusiv exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei ramuri a matematicii.
Studiul trigonometriei în școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care elevii folosesc cunoștințele dobândite în fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, care încep din liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă și cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să cunoaștem existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului și suprafața oricărei alte planete este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.
Luați globul și firul. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Vă rugăm să rețineți - a luat forma unui arc. Geometria sferică se ocupă de astfel de forme, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
Triunghi dreptunghic
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.
Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.
De exemplu, dacă cele două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este egală cu 180 de grade.
Definiție
În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză.
Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă în răspunsul dumneavoastră la o problemă obțineți un sinus sau un cosinus cu o valoare mai mare decât 1, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar incorect.
În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.
Cotangenta, în consecință, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unul la tangentă.
Deci, ne-am uitat la definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem trece la formule.
Cele mai simple formule
În trigonometrie nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă trebuie să cunoști dimensiunea unghiului mai degrabă decât latura.
Mulți elevi nu-și pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, reguli de transformare și mai multe formule de bază, puteți oricând să derivați formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.
Formule pentru unghiuri duble și adăugare de argumente
Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțiți de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus este adăugat.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi rearanjate pentru a reduce puterea sinusului, cosinusului, tangentei alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.
Teorema sinusului spune că împărțirea lungimii fiecărei laturi a unui triunghi la unghiul opus are ca rezultat același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele unui triunghi dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli neglijente
Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.
În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile în zecimale până când nu obțineți rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție, dacă nu este specificat altfel în condiții. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a problemei pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui reduse. În acest caz, îți vei pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau rădăcina lui doi, deoarece acestea se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.
Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Rețineți aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul său practic. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte cu ajutorul cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit sau puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
In cele din urma
Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.
Întregul punct al trigonometriei se reduce la faptul că folosind parametrii cunoscuți ai unui triunghi trebuie să calculați necunoscutele. Există șase parametri în total: lungimea a trei laturi și dimensiunea a trei unghiuri. Singura diferență în sarcini constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.
Acum știți cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă nimic mai mult decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al unei probleme de trigonometrie este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici matematica obișnuită a școlii vă va ajuta.
Identități trigonometrice- acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .
La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.
Găsirea tangentei și cotangentei folosind sinus și cosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonata y este un sinus, iar abscisa x este un cosinus. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.
Să adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile se vor menține, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z, z este un întreg.
Relația dintre tangentă și cotangentă
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.
Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproc inverse.
Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha este egală cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha diferit de \pi z.
Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice
Exemplul 1
Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Arată soluția
Soluţie
Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Această ecuație are 2 soluții:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Pentru a găsi bronz \alpha, folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Exemplul 2
Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Arată soluția
Soluţie
Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr dat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor pentru două unghiuri α și β ne permit să trecem de la suma acestor unghiuri la produsul unghiurilor α + β 2 și α - β 2. Să observăm imediat că nu trebuie să confundați formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor cu formulele pentru sinusuri și cosinusuri ale sumei și diferenței. Mai jos listăm aceste formule, dăm derivările lor și arătăm exemple de aplicare pentru probleme specifice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri
Să scriem cum arată formulele de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri
Formule de sumă și diferență pentru sinusuri
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Formule de sumă și diferență pentru cosinus
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β. Unghiurile α + β 2 și α - β 2 se numesc jumătate de sumă și jumătate de diferență a unghiurilor alfa și, respectiv, beta. Să dăm formula pentru fiecare formulă.
Definiții de formule pentru sume și diferențe de sinusuri și cosinusuri
Suma sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței.
Diferența sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semidiferenței acestor unghiuri și cosinusul semisumei.
Suma cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre cosinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri.
Diferența cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri, luate cu semn negativ.
Derivarea formulelor pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor
Pentru a obține formule pentru suma și diferența sinusului și cosinusului a două unghiuri, se folosesc formule de adunare. Să le enumerăm mai jos
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Să ne imaginăm, de asemenea, unghiurile în sine ca o sumă de jumătăți de sume și jumătate de diferențe.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Se trece direct la derivarea formulelor de sumă și diferență pentru sin și cos.
Derivarea formulei pentru suma sinusurilor
În suma sin α + sin β, înlocuim α și β cu expresiile pentru aceste unghiuri date mai sus. Primim
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Acum aplicăm formula de adunare la prima expresie, iar la a doua - formula pentru sinusul diferențelor de unghi (vezi formulele de mai sus)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Deschideți parantezele, adăugați termeni similari și obțineți formula necesară
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Pașii pentru a obține formulele rămase sunt similari.
Derivarea formulei pentru diferența de sinusuri
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Derivarea formulei pentru suma cosinusurilor
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Derivarea formulei pentru diferența cosinusurilor
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Exemple de rezolvare a problemelor practice
Mai întâi, să verificăm una dintre formule prin înlocuirea unor valori specifice unghiurilor în ea. Fie α = π 2, β = π 6. Să calculăm valoarea sumei sinusurilor acestor unghiuri. În primul rând, vom folosi tabelul cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, apoi vom aplica formula pentru suma sinusurilor.
Exemplul 1. Verificarea formulei pentru suma sinusurilor a două unghiuri
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Să luăm acum în considerare cazul în care valorile unghiului diferă de valorile de bază prezentate în tabel. Fie α = 165°, β = 75°. Să calculăm diferența dintre sinusurile acestor unghiuri.
Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței sinusurilor
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Folosind formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor, puteți trece de la suma sau diferența la produsul funcțiilor trigonometrice. Adesea, aceste formule sunt numite formule pentru trecerea de la o sumă la un produs. Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și în conversia expresiilor trigonometrice.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
