Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Poziția relativă a liniilor
Formularea problemei. Găsiți coordonatele unui punct simetric față de un punct raportat la avion.
Plan de rezolvare.
1. Găsiți ecuația unei drepte care este perpendiculară pe un plan dat și trece prin punctul . Deoarece o dreaptă este perpendiculară pe un plan dat, atunci vectorul normal al planului poate fi luat ca vector de direcție, adică.
.
Prin urmare, ecuația dreptei va fi
.
2. Găsiți punctul intersecția unei linii drepte și avioane (vezi problema 13).
3. Punct este punctul de mijloc al segmentului unde punctul este un punct simetric față de punct , De aceea
Problema 14. Găsiți un punct simetric față de punctul relativ la plan.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct perpendicular pe un plan dat va fi:
.
Să găsim punctul de intersecție al dreptei și al planului.
Unde – punctul de intersecție al unei drepte și al unui plan.este mijlocul segmentului deci
Acestea. .
Coordonate plane omogene. Transformări afine pe plan.
Lăsa M XȘi la
M(X, laMae (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).
Mae (X, la
Mae (X, la hu.
(hx, hy, h), h 0,
cometariu
h(De exemplu, h
De fapt, având în vedere h
cometariu
Exemplul 1.
b) la un unghi (Fig. 9).
primul pas.
al 2-lea pas. Rotiți după unghiul
matricea transformării corespunzătoare.
al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b)
matricea transformării corespunzătoare.
Exemplul 3
de-a lungul axei x și
primul pas.
matricea transformării corespunzătoare.
al 2-lea pas.
al 3-lea pas.
o vom primi în sfârșit
cometariu
[R],[D],[M],[T],
Lăsa M- punct arbitrar al planului cu coordonate XȘi la, calculată în raport cu un sistem de coordonate rectiliniu dat. Coordonatele omogene ale acestui punct sunt orice triplu de numere simultan nenule x 1, x 2, x 3, legate de numerele date x și y prin următoarele relații:
La rezolvarea problemelor de grafică pe computer, coordonatele omogene sunt introduse de obicei după cum urmează: până la un punct arbitrar M(X, la) planului i se atribuie un punct Mae (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).
Rețineți că un punct arbitrar pe linia care leagă originea, punctul 0(0, 0, 0), cu punctul Mae (X, la, 1), poate fi dat de un triplu de numere de forma (hx, hy, h).
Vectorul cu coordonatele hx, hy, este vectorul direcție al dreptei care leagă punctele 0 (0, 0, 0) și Mae (X, la, 1). Această linie intersectează planul z = 1 în punctul (x, y, 1), care definește în mod unic punctul (x, y) al planului de coordonate hu.
Astfel, între un punct arbitrar cu coordonate (x, y) și un set de triple de numere de forma
(hx, hy, h), h 0,
se stabilește o corespondență (unu-la-unu) care ne permite să considerăm numerele hx, hy, h drept noile coordonate ale acestui punct.
cometariu
Utilizate pe scară largă în geometria proiectivă, coordonatele omogene fac posibilă descrierea eficientă a așa-numitelor elemente improprie (în esență acelea în care planul proiectiv diferă de planul euclidian familiar). Mai multe detalii despre noile posibilități oferite de coordonatele omogene introduse sunt discutate în secțiunea a patra a acestui capitol.
În geometria proiectivă pentru coordonate omogene, se acceptă următoarea notație:
x:y:1 sau, mai general, x1:x2:x3
(rețineți că aici este absolut necesar ca numerele x 1, x 2, x 3 să nu devină zero în același timp).
Utilizarea coordonatelor omogene se dovedește a fi convenabilă chiar și atunci când se rezolvă cele mai simple probleme.
Luați în considerare, de exemplu, problemele legate de schimbările de scară. Dacă dispozitivul de afișare funcționează numai cu numere întregi (sau dacă trebuie să lucrați numai cu numere întregi), atunci pentru o valoare arbitrară h(De exemplu, h= 1) un punct cu coordonate omogene
imposibil de imaginat. Cu toate acestea, cu o alegere rezonabilă a lui h, este posibil să ne asigurăm că coordonatele acestui punct sunt numere întregi. În special, pentru h = 10 pentru exemplul pe care îl avem
Să luăm în considerare un alt caz. Pentru a preveni ca rezultatele transformării să conducă la depășire aritmetică, pentru un punct cu coordonate (80000 40000 1000) puteți lua, de exemplu, h=0,001. Ca rezultat obținem (80 40 1).
Exemplele date arată utilitatea utilizării coordonatelor omogene la efectuarea calculelor. Cu toate acestea, scopul principal al introducerii coordonatelor omogene în grafica computerizată este comoditatea lor neîndoielnică în aplicarea transformărilor geometrice.
Folosind triple de coordonate omogene și matrice de ordinul trei, poate fi descrisă orice transformare afină a unui plan.
De fapt, având în vedere h= 1, comparați două intrări: marcate cu simbolul * și următoarea, matrice:
Este ușor de observat că după înmulțirea expresiilor din partea dreaptă a ultimei relații, obținem atât formulele (*), cât și egalitatea numerică corectă 1=1.
cometariu
Uneori, în literatură se folosește o altă notație - notație coloană:
Această notație este echivalentă cu notația linie cu linie de mai sus (și se obține din ea prin transpunere).
Elementele unei matrice de transformare afine arbitrară nu poartă o semnificație geometrică explicită. Prin urmare, pentru a implementa cutare sau cutare mapare, adică pentru a găsi elementele matricei corespunzătoare conform unei descrieri geometrice date, sunt necesare tehnici speciale. De obicei, construcția acestei matrice, în conformitate cu complexitatea problemei luate în considerare și cu cazurile speciale descrise mai sus, este împărțită în mai multe etape.
În fiecare etapă, se caută o matrice care corespunde unuia sau altuia dintre cazurile de mai sus A, B, C sau D, care au proprietăți geometrice bine definite.
Să notăm matricele de ordinul trei corespunzătoare.
A. Matricea de rotație
B. Matricea de dilatare
B. Matricea de reflexie
D. Matricea de transfer (traducere)
Să luăm în considerare exemple de transformări afine ale planului.
Exemplul 1.
Construiți o matrice de rotație în jurul punctului A (a,b) la un unghi (Fig. 9).
primul pas. Transfer în vector – A (-a, -b) pentru a alinia centrul de rotație cu originea coordonatelor;
matricea transformării corespunzătoare.
al 2-lea pas. Rotiți după unghiul
matricea transformării corespunzătoare.
al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de rotație în poziția anterioară;
matricea transformării corespunzătoare.
Să înmulțim matricele în aceeași ordine în care sunt scrise:
Ca rezultat, descoperim că transformarea dorită (în notație matriceală) va arăta astfel:
Elementele matricei rezultate (în special în ultimul rând) nu sunt atât de ușor de reținut. În același timp, fiecare dintre cele trei matrici multiplicate poate fi construită cu ușurință din descrierea geometrică a mapării corespunzătoare.
Exemplul 3
Construiți o matrice de întindere cu coeficienți de întindere de-a lungul axei x și de-a lungul axei ordonatelor și cu centrul în punctul A(a, b).
primul pas. Transferați la vectorul -A(-a, -b) pentru a alinia centrul de întindere cu originea coordonatelor;
matricea transformării corespunzătoare.
al 2-lea pas.Întinderea de-a lungul axelor de coordonate cu coeficienții și respectiv ; matricea de transformare are forma
al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de tensiune în poziția anterioară; matricea transformării corespunzătoare –
Înmulțirea matricelor în aceeași ordine
o vom primi în sfârșit
cometariu
Raționarea în mod similar, adică ruperea transformării propuse în etape susținute de matrici[R],[D],[M],[T], se poate construi o matrice a oricărei transformări afine din descrierea ei geometrică.
Schimbarea este implementată prin adunare, iar scalarea și rotația sunt implementate prin înmulțire.
Scaling Transform (dilatația) față de origine are forma:
sau sub formă de matrice:
Unde DX,Dy sunt factorii de scalare de-a lungul axelor și
- matricea de scalare.
Când D > 1, are loc expansiunea, când 0<=D<1- сжатие
Transformarea rotației relativ la origine are forma:
sau sub formă de matrice:
unde φ este unghiul de rotație și
- matricea de rotatie.
Cometariu: Coloanele și rândurile matricei de rotație sunt vectori unitari reciproc ortogonali. De fapt, pătratele lungimilor vectorilor rând sunt egale cu unu:
cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 și (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,
iar produsul scalar al vectorilor rând este
cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.
Deoarece produsul scalar al vectorilor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, unde | A| - lungimea vectorului A, |B| - lungimea vectorului B, iar ψ este cel mai mic unghi pozitiv dintre ele, apoi din egalitatea 0 a produsului scalar a doi vectori rând de lungime 1 rezultă că unghiul dintre ei este de 90 °.
O linie dreaptă în spațiu poate fi întotdeauna definită ca linia de intersecție a două plane neparalele. Dacă ecuația unui plan este ecuația celui de-al doilea plan, atunci ecuația dreptei este dată ca
Aici necoliniare
. Aceste ecuații se numesc ecuații generale
drept în spațiu.
Ecuații canonice ale dreptei
Orice vector diferit de zero situat pe o linie dată sau paralel cu ea se numește vector de direcție al acestei linii.
Daca se stie punctul
linie dreaptă și vectorul său de direcție
, atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma:
. (9)
Ecuații parametrice ale unei linii
Să fie date ecuațiile canonice ale dreptei
.
De aici, obținem ecuațiile parametrice ale dreptei:
(10)
Aceste ecuații sunt utile pentru găsirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte
Și
are forma:
.
Unghiul dintre liniile drepte
Unghiul dintre liniile drepte
Și
egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Prin urmare, poate fi calculat folosind formula (4):
Condiții pentru linii paralele:
.
Condiția ca avioanele să fie perpendiculare:
Distanța unui punct de o dreaptă
P să zicem că punctul este dat
si drept
.
Din ecuațiile canonice ale dreptei cunoaștem punctul
, aparținând unei linii și vectorul de direcție al acesteia
. Apoi distanța punctului
dintr-o linie dreaptă este egală cu înălțimea unui paralelogram construit pe vectori Și
. Prin urmare,
.
Condiție pentru intersecția liniilor
Două linii neparalele
,
se intersectează dacă și numai dacă
.
Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.
Să fie dată linia dreaptă
si avionul. Colţ între ele pot fi găsite prin formula
.
Problema 73. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei
(11)
Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale dreptei (9), este necesar să se cunoască orice punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al dreptei.
Să găsim vectorul , paralel cu această linie. Deoarece trebuie să fie perpendicular pe vectorii normali ai acestor plane, i.e.
,
, Acea
.
Din ecuațiile generale ale dreptei avem că
,
. Apoi
.
De la punctul
orice punct de pe o dreaptă, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuațiile dreptei și una dintre ele poate fi specificată, de exemplu,
, găsim celelalte două coordonate din sistemul (11):
De aici,
.
Astfel, ecuațiile canonice ale dreptei dorite au forma:
sau
.
Problema 74.
Și
.
Soluţie. Din ecuațiile canonice ale primei drepte se cunosc coordonatele punctului
aparținând dreptei și coordonatele vectorului de direcție
. Din ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte se cunosc și coordonatele punctului
și coordonatele vectorului de direcție
.
Distanța dintre liniile paralele este egală cu distanța punctului
din a doua linie dreaptă. Această distanță este calculată prin formula
.
Să găsim coordonatele vectorului
.
Să calculăm produsul vectorial
:
.
Problema 75. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept
.
Soluţie. Să notăm ecuația unui plan perpendicular pe o dreaptă dată și care trece printr-un punct . Ca vectorul său normal puteți lua vectorul de direcție al unei linii drepte. Apoi
. Prin urmare,
Să găsim un punct
punctul de intersecție al acestei drepte și planul P. Pentru a face acest lucru, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei folosind ecuațiile (10), obținem
Prin urmare,
.
Lăsa
punct simetric la punct
raportat la această linie. Apoi punct
punct de mijloc
. Pentru a afla coordonatele unui punct Folosim formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:
,
,
.
Asa de,
.
Problema 76. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă
Și
a) printr-un punct
;
b) perpendicular pe plan.
Soluţie. Să scriem ecuațiile generale ale acestei linii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două egalități:
Aceasta înseamnă că planul dorit aparține unui pachet de planuri cu generatoare și ecuația sa poate fi scrisă sub forma (8):
a) Să găsim
Și din condiţia ca planul să treacă prin punct
, prin urmare, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Să înlocuim coordonatele punctului
în ecuația unui grup de avioane:
Valoare găsită
Să o substituim în ecuația (12). obținem ecuația planului dorit:
b) Să găsim
Și din condiţia ca planul dorit să fie perpendicular pe plan. Vectorul normal al unui plan dat
, vector normal al planului dorit (vezi ecuația unui grup de plane (12).
Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero. Prin urmare,
Să înlocuim valoarea găsită
în ecuația unui mănunchi de plane (12). Obținem ecuația planului dorit:
Probleme de rezolvat independent
Problema 77. Aduceți la forma canonică a ecuației liniilor:
1)
2)
Problema 78. Scrieți ecuațiile parametrice ale unei linii
, Dacă:
1)
,
;
2)
,
.
Problema 79. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul
perpendicular pe o linie dreaptă
Problema 80. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe plan.
Problema 81. Găsiți unghiul dintre liniile drepte:
1)
Și
;
2)
Și
Problema 82. Demonstrați drepte paralele:
Și
.
Problema 83. Demonstrați perpendicularitatea dreptelor:
Și
Problema 84. Calculați distanța punctului
din linie dreaptă:
1)
;
2)
.
Problema 85. Calculați distanța dintre liniile paralele:
Și
.
Problema 86. În ecuațiile dreptei
defini parametrul astfel încât această dreaptă să se intersecteze cu dreapta și să găsească punctul de intersecție a acestora.
Problema 87. Arată că este drept
paralel cu planul
, și linia dreaptă
se află în acest plan.
Problema 88. Găsiți un punct punct simetric raportat la avion
, Dacă:
1)
,
;
2)
,
;.
Problema 89. Scrieți ecuația unei perpendiculare căzute dintr-un punct
direct
.
Problema 90. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept
.
Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric față de punctul relativ la dreapta . Vă sugerez să efectuați singur pașii, dar voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:
1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta.
2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .
Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.
3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment găsim .
Ar fi bine sa verificati ca distanta sa fie si de 2,2 unitati.
Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar un microcalculator este de mare ajutor în turn, permițându-vă să calculați fracții obișnuite. Te-am sfătuit de multe ori și te voi recomanda din nou.
Cum se află distanța dintre două linii paralele?
Exemplul 9
Aflați distanța dintre două drepte paralele
Acesta este un alt exemplu pentru a vă decide singur. Vă dau un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva acest lucru. Debriefing la sfârșitul lecției, dar este mai bine să încerci să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost bine dezvoltată.
Unghiul dintre două linii drepte
Fiecare colț este un gheț:
În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este considerat unghiul MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul „zmeură”.
Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.
Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția în care unghiul este „defilat” este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu dacă .
De ce ți-am spus asta? Se pare că ne putem descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că formulele prin care vom găsi unghiuri pot duce cu ușurință la un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).
Cum să găsiți unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:
Exemplul 10
Găsiți unghiul dintre linii
SoluţieȘi Metoda unu
Să considerăm două drepte definite de ecuații în formă generală:
Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat Unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:
Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:
Dacă , atunci numitorul formulei devine zero, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea dreptelor în formulare.
Pe baza celor de mai sus, este convenabil să formalizați soluția în doi pași:
1) Să calculăm produsul scalar al vectorilor de direcție ai dreptelor:
2) Găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind formula:
Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):
Răspuns:
În răspunsul dvs., indicăm valoarea exactă, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.
Ei bine, minus, minus, nu e mare lucru. Iată o ilustrație geometrică:
Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a început tocmai cu ea.
Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .
Nu o voi ascunde, selectez singur liniile drepte în ordine, astfel încât unghiul să se dovedească pozitiv. E mai frumos, dar nimic mai mult.
Pentru a vă verifica soluția, puteți lua un raportor și măsura unghiul.
Metoda a doua
Dacă dreptele sunt date de ecuaţii cu panta şi nu perpendicular, Acea orientat Unghiul dintre ele poate fi găsit folosind formula:
Condiția de perpendicularitate a dreptelor se exprimă prin egalitate, din care, de altfel, rezultă o relație foarte utilă între coeficienții unghiulari ai dreptelor perpendiculare: , care se folosește în unele probleme.
Algoritmul de soluție este similar cu paragraful anterior. Dar mai întâi, să ne rescriem liniile drepte în forma necesară:
Astfel, pantele sunt:
1) Să verificăm dacă dreptele sunt perpendiculare:
, ceea ce înseamnă că liniile nu sunt perpendiculare.
2) Folosiți formula:
Răspuns:
A doua metodă este adecvată pentru utilizare atunci când ecuațiile liniilor drepte sunt specificate inițial cu un coeficient unghiular. Trebuie remarcat faptul că, dacă cel puțin o dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor, atunci formula nu este deloc aplicabilă, deoarece pentru astfel de drepte panta nu este definită (vezi articolul Ecuația unei drepte pe un plan).
Există o a treia soluție. Ideea este de a calcula unghiul dintre vectorii de direcție ai liniilor folosind formula discutată în lecție Produsul punctual al vectorilor:
Aici nu mai vorbim despre un unghi orientat, ci „doar despre un unghi”, adică rezultatul va fi cu siguranță pozitiv. Problema este că s-ar putea să ajungeți cu un unghi obtuz (nu cel de care aveți nevoie). În acest caz, va trebui să faceți o rezervare că unghiul dintre liniile drepte este un unghi mai mic și să scădeți arcul cosinus rezultat din radiani „pi” (180 de grade).
Cei care doresc pot rezolva problema într-un al treilea mod. Dar tot recomand să rămânem la prima abordare cu unghi orientat, pentru că este larg răspândită.
Exemplul 11
Găsiți unghiul dintre linii.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Încercați să o rezolvați în două moduri.
Cumva, basmul s-a stins pe parcurs... Pentru că nu există Kashchei Nemuritorul. Sunt eu și nu sunt deosebit de abur. Sincer să fiu, m-am gândit că articolul va fi mult mai lung. Dar încă îmi voi lua pălăria și ochelarii recent achiziționate și voi merge la înot în apa lacului din septembrie. Ameliorează perfect oboseala și energia negativă.
Pe curând!
Și amintiți-vă, Baba Yaga nu a fost anulat =)
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 3:Soluţie
: Să găsim vectorul direcție al dreptei
:
Să compunem ecuația dreptei dorite folosind punctul
și vector de direcție . Deoarece una dintre coordonatele vectorului direcție este zero, Ec.
hai sa o rescriem sub forma:
Răspuns
:
Exemplul 5:Soluţie
:
1) Ecuația unei drepte
hai să facem două puncte :
2) Ecuația unei drepte
hai să facem două puncte :
3) Coeficienți corespunzători pentru variabile
nu proportional:
, ceea ce înseamnă că liniile se intersectează.
4) Găsiți un punct
:
Notă
: aici prima ecuatie a sistemului se inmulteste cu 5, apoi a 2-a se scade termen cu termen din prima ecuatie.
Răspuns
: