Găsirea matricei inverse prin matricea identității. Matematică superioară

Similar cu inversul în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Matrice inversă #1

✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3

✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2

Subtitrări

Proprietățile unei matrice inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.

Metode de găsire a matricei inverse

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: the A si singura E. Să prezentăm matricea A la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.

Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu unități pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea complementului algebric

Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Selectarea unei aproximări inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.

Exemple

Matrice 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Matricea inversă pentru o matrice dată este o astfel de matrice, înmulțind cea originală cu care dă matricea de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inversă este ca determinantul matricei originale să fie nu este egal cu zero (ceea ce la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește singular și o astfel de matrice nu are inversă. În matematica superioară, matricele inverse sunt importante și sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse a fost construită o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații. Site-ul nostru de servicii permite calculează matrice inversă online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Prima implică un număr mare de transformări elementare în interiorul matricei, a doua presupune calcularea adunărilor determinante și algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calculul determinantului unei matrice online

.

Găsiți matricea inversă pentru site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid si gratuit. Pe site se fac calcule folosind serviciul nostru iar rezultatul este dat cu o soluție detaliată de găsire matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar un răspuns corect și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici a fost diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Sarcina de a găsi matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort semnificativ, mult timp, calcule și mare grijă pentru a evita greșelile de scriere sau erorile minore în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse onlineîți va ușura sarcina mult și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvarea problemelor matematice. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea originală pe site-ul nostru. Calculați matricea inversă online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu face niciodată greșeli și nu găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.

Definiția 1: o matrice se numește singulară dacă determinantul ei este zero.

Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.

Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.

O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.

Schema de calcul a matricei inverse:

1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.

2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".

3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)

4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T

5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.

6) Efectuați verificarea:

La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.

Acum să rezolvăm împreună o sarcină practică calculând matricea inversă.

Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:

Rezolvăm totul exact așa cum este indicat în planul de calcul al matricei inverse.

1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":

Explicaţie:

Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.

În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.

În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.

Avem un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:

5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:

6. Acum trebuie doar să verificăm:

În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.

2 moduri de a calcula matricea inversă.

1. Transformarea matricei elementare

2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.

Transformarea matricei elementare include:

1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.

2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.

3. Schimbați rândurile matricei.

4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Să ne uităm la asta folosind un exemplu practic cu numere reale.

Exercițiu: Aflați matricea inversă.

Soluţie:

Sa verificam:

O mica precizare asupra solutiei:

Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).

După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.

Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem matricea de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.

După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.

După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.

La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.

Algebră matriceală - Matrice inversă

matrice inversă

Matrice inversă este o matrice care, înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.
Să notăm matricea inversă a matricei A prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E- matrice de identitate.
Matrice pătrată numit Nimic special (nedegenerat) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste special (degenerat) sau singular.

Teorema este valabilă: Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Adunarea algebrică a unui element matrici n-a ordine A se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( n–1)a ordinea obținută prin ștergere i-a linia și j coloana a matricei A:

Să creăm așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei A.
Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei A sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ – valoarea determinantului matricei A, obținem matricea inversă ca rezultat:

Să notăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată A matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăȘi stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată singulară (singulară) nu are o matrice inversă.

Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă a matricei transpuse dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma: