B14. Modul și mediana unei variabile aleatoare continue

Dintre caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare, este necesar, în primul rând, să le remarcăm pe cele care caracterizează poziția variabilei aleatoare pe axa numerică, adică. indicați o valoare medie, aproximativă, în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr care este, așa cum ar fi, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care descrie locația acesteia. pe axa numerică, adică „caracteristicile poziției”.

Dintre caracteristicile unei poziții în teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Să considerăm o variabilă aleatorie discretă având valori posibile cu probabilități. Trebuie să caracterizăm cu un anumit număr poziția valorilor unei variabile aleatoare pe axa x, ținând cont de faptul că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să se folosească așa-numita „medie ponderată” a valorilor, iar fiecare valoare în timpul medierii ar trebui luată în considerare cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare, pe care o vom nota cu:

sau, având în vedere că,

. (5.6.1)

Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de așteptare matematică.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.

Rețineți că în formularea de mai sus definiția așteptării matematice este valabilă, strict vorbind, doar pentru variabile aleatoare discrete; Mai jos vom generaliza acest concept la cazul cantităților continue.

Pentru a face mai clar conceptul de așteptare matematică, să ne întoarcem la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Să fie puncte cu abscise pe axa absciselor, în care sunt concentrate masele, respectiv, și . Atunci, evident, așteptarea matematică definită prin formula (5.6.1) nu este altceva decât abscisa centrului de greutate al unui sistem dat de puncte materiale.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt legate de o dependență particulară de media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pe un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip cu dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii se apropie (converge în probabilitate) de așteptările ei matematice. Din prezența unei legături între frecvență și probabilitate se poate deduce drept consecință prezența unei legături similare între media aritmetică și așteptarea matematică.

Într-adevăr, luăm în considerare o variabilă aleatoare discretă caracterizată printr-o serie de distribuție:

Unde .

Să se efectueze experimente independente, în fiecare dintre ele cantitatea să ia o anumită valoare. Să presupunem că valoarea a apărut o dată, valoarea a apărut o dată și valoarea a apărut o dată. Evident,

Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale mărimii, pe care, spre deosebire de așteptările matematice, o notăm:

Dar nu există nimic mai mult decât frecvența (sau probabilitatea statistică) a unui eveniment; această frecvenţă poate fi desemnată . Apoi

,

acestea. media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și frecvențele acestor valori.

Pe măsură ce numărul de experimente crește, frecvențele se vor apropia (converge în probabilitate) de probabilitățile corespunzătoare. În consecință, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare se va apropia (converge în probabilitate) de așteptările ei matematice pe măsură ce crește numărul de experimente.

Legătura dintre media aritmetică și așteptarea matematică formulată mai sus constituie conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari. Vom oferi o dovadă riguroasă a acestei legi în capitolul 13.

Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că unele medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice dintr-o serie de observații de aceeași mărime. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape non-aleatorie” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - așteptarea matematică.

Stabilitatea mediilor pe un număr mare de experimente poate fi ușor verificată experimental. De exemplu, la cântărirea unui corp într-un laborator pe cântare precise, în urma cântăririi obținem de fiecare dată o nouă valoare; Pentru a reduce eroarea de observare, cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin și, cu un număr suficient de mare de experimente, practic încetează să se schimbe.

Formula (5.6.1) pentru așteptarea matematică corespunde cazului unei variabile aleatoare discrete. Pentru o cantitate continuă, așteptarea matematică este în mod natural exprimată nu ca o sumă, ci ca o integrală:

, (5.6.2)

unde este densitatea de distribuție a cantității .

Formula (5.6.2) se obține din formula (5.6.1) dacă valorile individuale din ea sunt înlocuite cu un parametru în schimbare continuă x, probabilitățile corespunzătoare - cu elementul de probabilitate, iar suma finală - cu integrală. În viitor, vom folosi adesea această metodă de extindere a formulelor derivate pentru cantități discontinue la cazul cantităților continue.

În interpretarea mecanică, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue păstrează același sens - abscisa centrului de greutate în cazul în care masa este distribuită de-a lungul abscisei continuu, cu densitate. Această interpretare permite adesea găsirea așteptărilor matematice fără a calcula integrala (5.6.2), din considerații mecanice simple.

Mai sus am introdus o notație pentru așteptarea matematică a mărimii. Într-un număr de cazuri, când o cantitate este inclusă în formule ca un anumit număr, este mai convenabil să o notăm cu o literă. În aceste cazuri, vom desemna așteptarea matematică a unei valori prin:

Notația și pentru așteptarea matematică vor fi folosite în paralel în viitor, în funcție de comoditatea unei anumite înregistrări a formulelor. Să fim, de asemenea, de acord, dacă este cazul, să prescurtăm cuvintele „aşteptare matematică” cu literele m.o.

De remarcat că cea mai importantă caracteristică a unei poziții - așteptarea matematică - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se compună exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care așteptarea matematică nu există, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge.

Luați în considerare, de exemplu, o variabilă aleatoare discontinuă cu o serie de distribuție:

Este ușor de verificat că, de ex. seria de distribuție are sens; totuși, suma în acest caz diverge și, prin urmare, nu există nicio așteptare matematică a valorii. Cu toate acestea, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ pentru practică. De obicei, variabilele aleatoare cu care ne ocupăm au ​​o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare matematică.

Mai sus am dat formulele (5.6.1) și (5.6.2), exprimând așteptarea matematică, respectiv, pentru o variabilă aleatoare discontinuă și, respectiv, continuă.

Dacă o cantitate aparține unor cantități de tip mixt, atunci așteptarea ei matematică este exprimată printr-o formulă de forma:

, (5.6.3)

unde suma se extinde la toate punctele în care funcția de distribuție este discontinuă, iar integrala se extinde la toate zonele în care funcția de distribuție este continuă.

Pe lângă cele mai importante caracteristici ale unei poziții - așteptarea matematică - în practică, uneori sunt folosite și alte caracteristici ale postului, în special modul și mediana unei variabile aleatoare.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă” strict vorbind se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Să fim de acord să notăm modul prin litera . În fig. 5.6.1 și 5.6.2 arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.

Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, distribuția se numește „multimodală” (Fig. 5.6.3 și 5.6.4).

Uneori există distribuții care au un minim la mijloc mai degrabă decât un maxim (Fig. 5.6.5 și 5.6.6). Astfel de distribuții sunt numite „anti-modale”. Un exemplu de distribuție antimodală este distribuția obținută în Exemplul 5, nr. 5.1.

În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul particular, când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există o așteptare matematică, atunci aceasta coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

Este adesea folosită o altă caracteristică de poziție - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei utilizată numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal pentru o variabilă discontinuă.

Mediana unei variabile aleatoare este valoarea acesteia pentru care

acestea. este la fel de probabil ca variabila aleatoare să fie mai mică sau mai mare decât . Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria limitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate (Fig. 5.6.7).

Scopul lecției: de a forma la elevi o idee despre mediana unui set de numere și capacitatea de a o calcula pentru mulțimi numerice simple, de a consolida conceptul de medie aritmetică a unui set de numere.

Tipul lecției: explicația materialului nou.

Dotare: tablă, manual ed. Yu.N Tyurina „Teoria și statistica probabilității”, computer cu proiector.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției și formulați-i obiectivele.

2. Actualizarea cunoștințelor anterioare.

Întrebări pentru studenți:

• Care este media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se află media aritmetică într-un set de numere?
• Ce caracterizează media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se folosește des media aritmetică a unui set de numere?

Sarcini orale:

Aflați media aritmetică a unui set de numere:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Verificarea temelor folosind un proiector ( Anexa 1):

Manual: nr. 12 (b, d), nr. 18 (c, d)

3. Studierea materialelor noi.

În lecția anterioară, ne-am familiarizat cu o astfel de caracteristică statistică precum media aritmetică a unui set de numere. Astăzi vom dedica o lecție unei alte caracteristici statistice - mediana.

Nu numai media aritmetică arată unde pe linia numerică sunt situate numerele oricărei mulțimi și unde este centrul lor. Un alt indicator este mediana.

Mediana unui set de numere este numărul care împarte mulțimea în două părți egale. În loc de „mediană”, ați putea spune „mijloc”.

Mai întâi, să ne uităm la exemple despre cum să găsim mediana și apoi să dăm o definiție strictă.

Luați în considerare următorul exemplu oral folosind un proiector ( Anexa 2)

La sfârșitul anului școlar, 11 elevi de clasa a VII-a au trecut standardul de alergare de 100 de metri. Au fost înregistrate următoarele rezultate:

După ce băieții au alergat pe distanță, Petya s-a apropiat de profesor și l-a întrebat care a fost rezultatul lui.

„Rezultatul cel mai mediu: 16,9 secunde”, a răspuns profesorul.

"De ce?" – Petya a fost surprinsă. – La urma urmei, media aritmetică a tuturor rezultatelor este de aproximativ 18,3 secunde și am alergat cu mai mult de o secundă mai bine. Și, în general, rezultatul Katya (18,4) este mult mai aproape de medie decât al meu.”

„Rezultatul tău este mediu, deoarece cinci persoane au alergat mai bine decât tine și cinci - mai rău. Adică ești chiar la mijloc”, a spus profesoara. [2]

Scrieți un algoritm pentru găsirea medianei unui set de numere:

1. Aranjați un set de numere (faceți o serie clasată).
2. În același timp, tăiați cele „mai mari” și „mai mici” numere ale unui anumit set de numere până când rămân un număr sau două numere.
3. Dacă a mai rămas un număr, atunci acesta este mediana.
4. Dacă au mai rămas două numere, atunci mediana va fi media aritmetică a celor două numere rămase.

Invitați cursanții să formuleze în mod independent definiția medianei unui set de numere, apoi citiți două definiții ale medianei din manual (pag. 50), apoi priviți exemplele 4 și 5 din manual (pag. 50-52)

Cometariu:

Atrageți atenția elevilor asupra unui fapt important: mediana este practic insensibilă la abaterile semnificative ale valorilor individuale extreme ale seturilor de numere. În statistică, această proprietate se numește stabilitate. Stabilitatea unui indicator statistic este o proprietate foarte importantă; ne asigură împotriva erorilor aleatorii și a datelor individuale nesigure.

4. Consolidarea materialului studiat.

Rezolvarea numerelor din manualul pentru paragraful 11 ​​„Media”.

Set de numere: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Set de numere: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Set de numere: 3,4,11,17,21

b) Set de numere: 17,18,19,25,28

c) Set de numere: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Concluzie: mediana unui set de numere format dintr-un număr impar de membri este egală cu numărul din mijloc.

a) Set de numere: 2, 4, 8 , 9.

Eu = (4+8):2=12:2=6

b) Set de numere: 1,3, 5,7 ,8,9.

Eu = (5+7):2=12:2=6

Mediana unui set de numere care conține un număr par de termeni este egală cu jumătate din suma celor două numere din mijloc.

Elevul a primit următoarele note la algebră în timpul trimestrului:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Găsiți media și mediana acestui set. [3]

Să ordonăm setul de numere: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Există doar 10 numere, pentru a găsi mediana trebuie să luați cele două numere din mijloc și să găsiți jumătatea lor.

Eu = (5+5):2 = 5

Întrebare pentru elevi: Dacă ai fi profesor, ce notă i-ai da acestui elev pentru trimestrul? Justificati raspunsul.

Președintele companiei primește un salariu de 300.000 de ruble. trei dintre adjuncții săi primesc câte 150.000 de ruble fiecare, patruzeci de angajați - câte 50.000 de ruble fiecare. iar salariul doamnei de curățenie este de 10.000 de ruble. Aflați media aritmetică și mediana salariilor din companie. Care dintre aceste caracteristici este mai benefică pentru președinte să le folosească în scopuri publicitare?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (frec.)

Sarcina 3. (Invitați elevii să o rezolve ei înșiși, proiectați problema folosind un proiector)

Tabelul arată volumul aproximativ de apă în metri cubi al celor mai mari lacuri și rezervoare din Rusia. km. (Anexa 3) [ 4 ]

A) Aflați volumul mediu de apă din aceste rezervoare (media aritmetică);

B) Aflați volumul de apă în dimensiunea medie a rezervorului (mediana datelor);

Î) În opinia dumneavoastră, care dintre aceste caracteristici - media aritmetică sau mediana - descrie mai bine volumul unui rezervor mare tipic din Rusia? Explică-ți răspunsul.

a) 2459 metri cubi km

b) 60 cu. km

c) Median, deoarece datele conțin valori care sunt foarte diferite de toate celelalte.

Sarcina 4. Oral.

A) Câte numere sunt într-o mulțime dacă al nouălea termen este mediana?

B) Câte numere sunt într-o mulțime dacă mediana ei este media aritmetică a termenilor 7 și 8?

C) Într-un set de șapte numere, cel mai mare număr este mărit cu 14. Va schimba acest lucru media aritmetică și mediana?

D) Fiecare dintre numerele din mulțime se mărește cu 3. Ce se întâmplă cu media aritmetică și cu mediana?

Dulciurile din magazin se vând la greutate. Pentru a afla câte bomboane sunt conținute într-un kilogram, Masha a decis să găsească greutatea unei bomboane. Ea a cântărit mai multe bomboane și a obținut următoarele rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ambele caracteristici sunt potrivite pentru estimarea greutății unei bomboane, deoarece nu sunt foarte diferiți unul de celălalt.

Deci, pentru a caracteriza informațiile statistice, se folosesc media aritmetică și mediana. În multe cazuri, una dintre caracteristici poate să nu aibă vreo semnificație semnificativă (de exemplu, având informații despre momentul accidentelor rutiere, nu are sens să vorbim despre media aritmetică a acestor date).

1. Teme: paragraful 11, nr. 3,4,9,11.
2. Rezumatul lecției. Reflecţie.

Literatură:

1. Yu.N. Tyurin și colab. „Teoria și statistica probabilității”, Editura MTsNMO, OJSC „Manuale de la Moscova”, Moscova 2008.
2. E.A. Bunimovici, V.A. Bulychev „Fundamentals of statistics and probability”, DROFA, Moscova 2004.
3. Ziarul „Matematică” nr. 23, 2007.
4. Versiunea demo a testului de teoria probabilităților și statistică pentru clasa a VII-a, anul școlar 2007/2008. an.

Modă() a unei variabile aleatoare continue este valoarea acesteia care corespunde valorii maxime a densității sale de probabilitate.

Median() O variabilă aleatoare continuă este valoarea ei care este determinată de egalitate:

B15. Legea distribuției binomiale și caracteristicile sale numerice. Distribuție binomială descrie experimente independente repetate. Această lege determină apariția unui eveniment o dată în încercări independente dacă probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare dintre aceste experimente nu se modifică de la o încercare la alta. Probabilitate:

,

unde: este probabilitatea cunoscută de apariție a unui eveniment într-un experiment, care nu se modifică de la experiment la experiment;

– probabilitatea de neapariție a unui eveniment în experiment;

– numărul specificat de apariții ale evenimentului în experimente;

– numărul de combinații de elemente prin .

B15. Legea distribuției uniforme, grafice ale funcției de distribuție și densității, caracteristici numerice. Se consideră o variabilă aleatoare continuă distribuite uniform, dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

Valorea estimata variabilă aleatoare cu distribuție uniformă:

Dispersia poate fi calculată după cum urmează:

Deviație standard va arata ca:

.

B17. Legea distribuției exponențiale, grafice ale funcției de distribuție și densității, caracteristici numerice. Distribuție exponențială O variabilă aleatoare continuă este o distribuție care este descrisă de următoarea expresie pentru densitatea de probabilitate:

,

unde este o valoare pozitivă constantă.

Funcția de distribuție a probabilității în acest caz are forma:

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare cu distribuție exponențială se obține pe baza formulei generale, ținând cont de faptul că atunci când:

.

Integrând această expresie pe părți, găsim: .

Varianta pentru distribuția exponențială poate fi obținută folosind expresia:

.

Înlocuind expresia pentru densitatea de probabilitate, găsim:

Calculând integrala pe părți, obținem: .

B16. Legea distribuției normale, grafice ale funcției de distribuție și densității. Distribuție normală standard. Funcția de distribuție normală reflectată. Normal se numește o astfel de distribuție a unei variabile aleatoare, a cărei densitate de probabilitate este descrisă de funcția Gaussiană:

unde este abaterea standard;

– așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.

Graficul densității unei distribuții normale se numește curbă Gaussiană normală.

B18. inegalitatea lui Markov. Inegalitatea generalizată de la Cebyshev. Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci este adevărat pentru oricine inegalitatea Markov .

Rezultă din inegalitatea generalizată a Cebîşev: Fie ca funcția să fie monoton crescătoare și nenegativă pe . Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci inegalitatea este valabilă pentru oricine .

B19. Legea numerelor mari în forma Cebyshev. Intelesul sau. Corolarul legii numerelor mari în forma Cebyshev. Legea numerelor mari în forma Bernoulli. Sub legea numerelor mariÎn teoria probabilităților, se înțeleg un număr de teoreme, fiecare dintre ele stabilește faptul aproximării asimptotice a valorii medii a unui număr mare de date experimentale la așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Demonstrațiile acestor teoreme se bazează pe inegalitatea lui Chebyshev. Această inegalitate poate fi obținută luând în considerare o variabilă aleatoare discretă având valori posibile.

Teorema. Să existe o secvență finită variabile aleatoare independente, cu aceleași așteptări și variații matematice, limitate de aceeași constantă:

Apoi, indiferent de numărul, probabilitatea evenimentului

tinde spre unitate la .

Teorema lui Cebyshev stabilește o legătură între teoria probabilității, care ia în considerare caracteristicile medii ale întregului set de valori ale unei variabile aleatoare, și statistica matematică, care operează pe un set limitat de valori ale acestei variabile. Arată că, cu un număr suficient de mare de măsurători ale unei anumite variabile aleatoare, media aritmetică a valorilor acestor măsurători se apropie de așteptarea matematică.

IN 20. Subiectul și sarcinile de statistică matematică. Populații generale și eșantionare. Metoda de selecție. Statistici matematice– știința metodelor matematice de sistematizare și utilizare a datelor statistice pentru concluzii științifice și practice, bazate pe teoria probabilității.

Obiectele de studiu ale statisticii matematice sunt evenimente aleatorii, mărimi și funcții care caracterizează fenomenul aleatoriu luat în considerare. Următoarele evenimente sunt aleatorii: câștigarea unui bilet de loterie în bani, conformitatea produsului controlat cu cerințele stabilite, funcționarea fără probleme a vehiculului în prima lună de funcționare a acestuia, îndeplinirea programului zilnic de lucru de către antreprenor.

Populație eșantion numită o colecție de obiecte alese aleatoriu.

Populatie generala denumește setul de obiecte din care este realizată proba.

LA 21. Metode de selecție.

Metode de selecție: 1 Selecție care nu necesită împărțirea populației generale în părți. Acestea includ a) eșantionare aleatorie simplă fără repetare și b) eșantionare aleatorie simplă repetată. 2) Selecția, în care populația este împărțită în părți. Acestea includ a) selecția tipică, b) selecția mecanică și c) selecția în serie.

Simplu aleatoriu numită selecție, în care obiectele sunt extrase pe rând din populație.

Tipic numită selecție, în care obiectele sunt selectate nu din întreaga populație, ci din fiecare dintre părțile sale „tipice”.

Mecanic se numește selecție, în care populația este împărțită mecanic în atâtea grupuri câte obiecte sunt incluse în eșantion și se selectează câte un obiect din fiecare grup.

Serial numită selecție în care obiectele sunt selectate din populația generală nu pe rând, ci în „serie” care sunt supuse unui sondaj continuu.

B22. Serii statistice și de variații. Funcția de distribuție empirică și proprietățile acesteia. Serii de variații pentru variabile aleatoare discrete și continue. Să fie extras un eșantion din populația generală, iar valoarea parametrului studiat a fost observată o dată, - o dată etc. Mai mult, dimensiunea eșantionului. Se numesc valorile observate Opțiuni, iar succesiunea de opțiuni scrise în ordine crescătoare este serie de variații. Se numesc numerele de observații frecvente, și relația lor cu dimensiunea eșantionului - frecvențe relative.Seria de variații poate fi reprezentat printr-un tabel ca:

X			…..
n			….

Distribuția statistică a eșantionului numiți o listă de opțiuni și frecvențele relative corespunzătoare. Distribuția statistică poate fi reprezentată astfel:

X			…..
w			….

unde sunt frecventele relative.

Funcția de distribuție empirică apelați o funcție care determină pentru fiecare valoare x frecvența relativă a evenimentului X

Pe lângă așteptările și dispersia matematică, teoria probabilității folosește și o serie de caracteristici numerice care reflectă anumite caracteristici ale distribuției.

Definiție. Modul Mo(X) al unei variabile aleatoare X este valoarea sa cea mai probabilă(pentru care probabilitatea r g sau densitatea de probabilitate

Dacă probabilitatea sau densitatea de probabilitate atinge un maxim nu în unul, ci în mai multe puncte, distribuția se numește multimodal(Fig. 3.13).

Modă Mușchi), la care probabilitate R ( sau densitatea de probabilitate (p(x) atinge un maxim global se numește cel mai probabil sens variabilă aleatoare (în Fig. 3.13 aceasta este Mo(X) 2).

Definiție. Mediana Ме(Х) a unei variabile aleatoare continue X este valoarea acesteia, pentru care

acestea. probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât mediana Blană) sau mai mare decât acesta, este același și egal cu 1/2. Linie dreaptă geometrică verticală X = Blană), trecând printr-un punct cu o abscisă egală cu Blană), împarte aria figurii iod a curbei de distribuție în două părți egale (Fig. 3.14). Evident, la punct X = Blană) funcția de distribuție este egală cu 1/2, adică. P(Me(X))= 1/2 (Fig. 3.15).

Să notăm o proprietate importantă a medianei unei variabile aleatoare: așteptarea matematică a valorii absolute a abaterii variabilei aleatoare X de la valoarea constantă C este minimă atunci, când această constantă C este egală cu mediana Me(X) = m, adică

(proprietatea este similară cu proprietatea (3,10") a pătratului minim al abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică).

O Exemplul 3.15. Găsiți modul, mediana și așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X s densitatea de probabilitate f(x) = 3x 2 pentru xx.

Soluţie. Curba de distribuție este prezentată în Fig. 3.16. Evident, densitatea de probabilitate φ(x) este maximă la X= Mo(X) = 1.

Median Blană) = b găsim din condiția (3.28):

Unde

Să calculăm așteptările matematice folosind formula (3.25):

Aranjarea reciprocă a punctelor M(X)>Me(X) Și Mușchi) în ordinea crescătoare a absciselor este prezentată în Fig. 3.16. ?

Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.

Definiție. Nivel cuantilă y-quantila )

se numește această valoare x q a unei variabile aleatoare , la care funcţia sa de distribuţie ia o valoare egală cu a muri.

Unele cuantile au primit un nume special. Evident, cele prezentate mai sus median variabila aleatoare este o cuantilă de nivel 0,5, adică Me(X) = x 05. Cuantilele dg 0 2 5 și x 075 au fost denumite respectiv inferior Și quartila superioarăK

Strâns legat de conceptul de cuantilă este conceptul punct procentual. Sub YuOuHo-noy punct cuantila este subînțeles x x (( , acestea. o astfel de valoare a unei variabile aleatoare X, la care

0 Exemplul 3.16. Pe baza datelor din Exemplul 3.15, găsiți cuantila x 03 și punctul de 30% al variabilei aleatoare X.

Soluţie. Conform formulei (3.23), funcţia de distribuţie

Găsim cuantila 0 s din ecuația (3.29), adică. x $ 3 =0,3, de unde L "oz -0,67. Să găsim punctul de 30% al variabilei aleatoare X, sau cuantila x 0 7, din Eq. x$ 7 = 0,7, de unde x 0 7 «0,89. ?

Dintre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare, momentele - inițiale și centrale - au o importanță deosebită.

Definiție. Momentul de pornireOrdinul k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a puterii k a acestei mărimi :

Definiție. Moment centralordinul k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a gradului k de abatere al unei variabile aleatoare X de la așteptarea sa matematică:

Formule pentru calcularea momentelor pentru variabile aleatoare discrete (luând valori x 1 cu probabilități p,) și continue (cu densitate de probabilitate cp(x)) sunt date în tabel. 3.1.

Tabelul 3.1

Este ușor de observat că atunci când k = 1 primul moment inițial al unei variabile aleatoare X este așteptarea sa matematică, adică h x = M[X) = a, la La= 2 secunde moment central - dispersie, i.e. p 2 = T)(X).

Momentele centrale p A pot fi exprimate prin momentele inițiale dar prin formulele:

etc.

De exemplu, c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (la derivare am avut în vedere că A = M(X)= V, este o valoare non-aleatorie). ?

S-a remarcat mai sus că așteptarea matematică M(X), sau primul moment inițial, caracterizează valoarea sau poziția medie, centrul distribuției unei variabile aleatoare X pe axa numerelor; dispersie OH), sau al doilea moment central p 2, - s t s - butucul de dispersie de distribuție X relativ M(X). Pentru o descriere mai detaliată a distribuției se folosesc momente de comenzi mai mari.

Al treilea punct central p 3 servește la caracterizarea asimetriei (asimetriei) distribuției. Are dimensiunea unui cub aleatoriu. Pentru a obține o mărime adimensională, aceasta se împarte la o 3, unde a este abaterea standard a variabilei aleatoare X. Valoarea rezultată A numit coeficientul de asimetrie al unei variabile aleatoare.

Dacă distribuția este simetrică față de așteptarea matematică, atunci coeficientul de asimetrie A = 0.

În fig. Figura 3.17 prezintă două curbe de distribuție: I și II. Curba I are o asimetrie pozitivă (pe partea dreaptă) (L > 0), iar curba II are o asimetrie negativă (pe partea stângă) (L

Al patrulea punct central p 4 servește la caracterizarea abruptului (ascuțimea sau planeitatea) distribuției.

Valorea estimata. Așteptări matematice variabilă aleatoare discretă X, luând un număr finit de valori Xi cu probabilităţi Ri, suma se numește:

Așteptări matematice variabilă aleatoare continuă X se numește integrala produsului valorilor sale X asupra densității distribuției de probabilitate f(X):

(6b)

Integrală necorespunzătoare (6 b) se presupune că este absolut convergent (altfel se spune că așteptarea matematică M(X) nu exista). Aşteptarea matematică caracterizează valoarea medie variabilă aleatorie X. Dimensiunea sa coincide cu dimensiunea variabilei aleatoare.

Proprietățile așteptărilor matematice:

Dispersia. Varianta variabilă aleatorie X numarul se numeste:

Varianta este caracteristică de împrăștiere valori ale variabilelor aleatoare X raportat la valoarea sa medie M(X). Dimensiunea varianței este egală cu dimensiunea variabilei aleatoare la pătrat. Pe baza definițiilor varianței (8) și a așteptărilor matematice (5) pentru o variabilă aleatoare discretă și (6) pentru o variabilă aleatoare continuă, obținem expresii similare pentru varianță:

(9)

Aici m = M(X).

Proprietăți de dispersie:

Deviație standard:

(11)

Deoarece abaterea standard are aceeași dimensiune ca o variabilă aleatoare, este mai des folosită ca măsură de dispersie decât varianță.

Momente de distribuție. Conceptele de așteptare matematică și dispersie sunt cazuri speciale ale unui concept mai general pentru caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare - momentele de distribuție. Momentele de distribuție ale unei variabile aleatoare sunt introduse ca așteptări matematice ale unor funcții simple ale unei variabile aleatoare. Deci, moment de comandă k relativ la punct X 0 se numește așteptare matematică M(X–X 0 )k. Momente despre origine X= 0 sunt numite momentele inițiale si sunt desemnate:

(12)

Momentul inițial de ordinul întâi este centrul distribuției variabilei aleatoare luate în considerare:

(13)

Momente despre centrul de distribuție X= m sunt numite punctele centrale si sunt desemnate:

(14)

Din (7) rezultă că momentul central de ordinul întâi este întotdeauna egal cu zero:

Momentele centrale nu depind de originea valorilor variabilei aleatoare, deoarece atunci când sunt deplasate cu o valoare constantă CU centrul său de distribuție se deplasează cu aceeași valoare CU, iar abaterea de la centru nu se modifică: X – m = (X – CU) – (m – CU).
Acum este evident că dispersie- Acest moment central de ordinul doi:

Asimetrie. Moment central de ordinul trei:

(17)

serveste pentru evaluare asimetrii de distribuție. Dacă distribuția este simetrică față de punct X= m, atunci momentul central de ordinul trei va fi egal cu zero (ca toate momentele centrale de ordine impare). Prin urmare, dacă momentul central de ordinul trei este diferit de zero, atunci distribuția nu poate fi simetrică. Mărimea asimetriei este evaluată folosind un adimensional coeficient de asimetrie:

(18)

Semnul coeficientului de asimetrie (18) indică asimetria din dreapta sau din stânga (Fig. 2).

Orez. 2. Tipuri de asimetrie de distribuție.

Exces. Moment central de ordinul al patrulea:

(19)

serveşte la evaluarea aşa-zisului exces, care determină gradul de abrupție (peakedness) al curbei de distribuție în apropierea centrului distribuției în raport cu curba de distribuție normală. Deoarece pentru o distribuție normală, valoarea luată ca curtoză este:

(20)

În fig. Figura 3 prezintă exemple de curbe de distribuție cu diferite valori de curtoză. Pentru distribuție normală E= 0. Curbele care sunt mai ascuțite decât în ​​mod normal au o curtoză pozitivă, cele care sunt mai platite au o kurtoză negativă.

Orez. 3. Curbe de distribuție cu grade variate de abrupție (kurtoză).

Momentele de ordin superior nu sunt utilizate de obicei în aplicațiile de inginerie ale statisticii matematice.

Modă discret o variabilă aleatorie este valoarea sa cea mai probabilă. Modă continuu o variabilă aleatorie este valoarea sa la care densitatea de probabilitate este maximă (Fig. 2). Dacă curba de distribuție are un maxim, atunci distribuția este numită unimodal. Dacă o curbă de distribuție are mai mult de un maxim, atunci distribuția este numită multimodal. Uneori există distribuții ale căror curbe au mai degrabă un minim decât un maxim. Astfel de distribuții sunt numite anti-modal. În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul special, pt modal, adică având un mod, distribuție simetrică și cu condiția să existe o așteptare matematică, aceasta din urmă coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

Median variabilă aleatorie X- acesta este sensul lui Meh, pentru care egalitatea este valabilă: i.e. este la fel de probabil ca variabila aleatoare X va fi mai puțin sau mai mult Meh. Geometric median este abscisa punctului în care aria de sub curba de distribuție este împărțită la jumătate (fig. 2). În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana, modul și așteptarea matematică sunt aceleași.