Ecuație liniară omogenă de ordinul doi. Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior

Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.

Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

Teorema 1

O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.

Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 1

Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.

În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația generală este y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Am inteles

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să transformăm:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci este clar că

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

După condiție este clar că

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Definiția 1

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:

• găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
• adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)

Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.

În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.

Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GR a LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC

Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.

Regula #1.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare care sunt egale cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).

Regula nr. 2.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Regula nr. 3.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.

Regula nr. 4.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:

• înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stângă a LNDU-2;
• în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
• în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
• rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: ​​$k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.

Găsim prima derivată a Republicii Cehe:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În plus, deoarece exponentul $e^(3\cdot x)$ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis. Obținem:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Am primit un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.

Să trecem la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordin superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu lecția Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuziilor de ordinul întâi se extind automat la ecuații diferențiale de ordin superior, prin urmare este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi.

Mulți cititori pot avea o prejudecată că controlul de la distanță al comenzii 2, 3 și alte comenzi este ceva foarte dificil și inaccesibil de stăpânit. Este gresit . Învățarea rezolvării difuzelor de ordin superior este cu greu mai dificilă decât DE „obișnuite” de ordinul I. Și în unele locuri este și mai simplu, deoarece soluțiile folosesc în mod activ materiale din programa școlară.

Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi. La o ecuație diferențială de ordinul doi Neapărat include derivata a doua și nu este inclus

Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație; este important ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente; conform observațiilor mele subiective, ar obține aproximativ 3-4% din voturi în Duma de Stat.

La o ecuație diferențială de ordinul trei Neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: – tata e acasă, toți copiii sunt la plimbare.

Într-un mod similar, puteți defini ecuații diferențiale de ordinul 4, 5 și superior. În problemele practice, astfel de sisteme de control rareori eșuează, totuși, voi încerca să dau exemple relevante.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior, care sunt propuse în probleme practice, pot fi împărțite în două grupe principale.

1) Primul grup - așa-numitul ecuații care pot fi reduse în ordine. Haide!

2) A doua grupă - ecuații liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. La care vom începe să ne uităm chiar acum.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți

În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații: ecuație omogenăȘi ecuație neomogenă.

DE omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți are următoarea formă:
, unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă – strict zero.

După cum puteți vedea, nu există dificultăți deosebite cu ecuațiile omogene, principalul lucru este Rezolvați corect ecuația pătratică.

Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu o ecuație în formă , unde la derivata a doua există o constantă diferită de unitate (și, în mod natural, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc; ar trebui să compuneți cu calm o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Dacă ecuaţia caracteristică va avea două rădăcini reale diferite, de exemplu: , atunci soluția generală va fi scrisă conform schemei obișnuite: .

În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, pot apărea rădăcini „rele”, ceva de genul . Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:

Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca nici o problema, solutie generala:

Acesta este, oricum exista o solutie generala. Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.

În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:

Ecuații liniare omogene de ordin superior

Totul este foarte, foarte asemănător.

O ecuație liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație, trebuie să creați și o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
, si el Oricum Are exact trei rădăcină

Să fie, de exemplu, toate rădăcinile reale și distincte: , atunci soluția generală se va scrie după cum urmează:

Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt complexe conjugate, atunci scriem soluția generală după cum urmează:

Un caz special când toate cele trei rădăcini sunt multipli (la fel). Să considerăm cel mai simplu DE omogen de ordinul 3 cu un tată singuratic: . Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:

Dacă ecuaţia caracteristică are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, în consecință, este următoarea:

Exemplul 9

Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei

Soluţie: Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

, – se obțin o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.

Răspuns: decizie comună

În mod similar, putem considera o ecuație omogenă liniară de ordinul al patrulea cu coeficienți constanți: , unde sunt constante.