Tabel de funcții integrale Laplace. Calcularea funcției Laplace în Microsoft Excel

Funcția Laplace este o funcție neelementară și este adesea folosită atât în ​​teoria ecuațiilor diferențiale și teoria probabilităților, cât și în statistică. Funcția Laplace necesită un anumit set de cunoștințe și pregătire, deoarece vă permite să rezolvați diverse probleme din domeniul aplicațiilor aplicate și teoretice.

Funcția Laplace este adesea folosită pentru a rezolva ecuații diferențiale și este adesea numită integrală de probabilitate. Să vedem cum poate fi utilizată această funcție în Excel și cum funcționează.

Integrala de probabilitate sau funcția Laplace din Excel corespunde operatorului „NORMSDIST”, care are sintaxa: „=NORMSDIST(z). În versiunile mai noi ale programului, operatorul are și numele „NORM.ST.DIST.” și o sintaxă ușor modificată „=NORM.ST.DIST(z; integral).

Argumentul „Z” este responsabil pentru valoarea numerică a distribuției. Argumentul „Integral” returnează două valori – „1” - funcția de distribuție integrală, „0” - funcția de distribuție a greutății.

Am rezolvat teoria. Să trecem la practică. Să ne uităm la utilizarea funcției Laplace în Excel.

1. Scrieți o valoare într-o celulă și introduceți o funcție în următoarea.

2. Să scriem manual funcția „=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Sau folosim asistentul de inserare a funcției - mergeți la categoria „Static” și indicați „Lista alfabetică completă.

4. În fereastra de argumente ale funcției care apare, indicați valorile inițiale. Celula noastră originală va fi responsabilă pentru variabila „Z” și va introduce „1” în „Integral”. Funcția noastră va returna funcția de distribuție cumulativă.

5. Obținem o soluție gata făcută a distribuției integrale normale standard pentru această funcție „NORM.ST.DIST”. Dar asta nu este tot, scopul nostru a fost să găsim funcția Laplace sau integrala de probabilitate, așa că haideți să mai facem câțiva pași.

6. Funcția Laplace implică faptul că „0,5” trebuie scăzut din valoarea funcției rezultate. Adăugăm la funcție operația necesară. Apăsăm „Enter” și obținem soluția finală. Valoarea dorită este corectă și rapid găsită.

Excel calculează cu ușurință această funcție pentru orice valoare de celulă, interval de celule sau referințe de celule. Funcția „NORM.ST.DIST” este un operator standard pentru căutarea integralei de probabilitate sau, așa cum este numită și a funcției Laplace.

Formula Bayes

Evenimentele B 1, B 2,…, B n sunt incompatibile și formează un grup complet, adică. P(B 1)+ P(B 2)+...+ P(B n)=1. Și să se producă evenimentul A numai când apare unul dintre evenimentele B 1,B 2,…,B n. Atunci probabilitatea evenimentului A se găsește folosind formula probabilității totale.

Fie ca evenimentul A să fi avut deja loc. Atunci probabilitățile ipotezelor B 1, B 2,..., B n pot fi supraestimate folosind formula Bayes:

formula lui Bernoulli

Să fie efectuate n încercări independente, în fiecare eveniment A poate să apară sau nu. Probabilitatea de apariție (neapariție) a evenimentului A este aceeași și egală cu p (q=1-p).

Probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară exact o dată (în funcție de ce secvență) este găsită folosind formula lui Bernoulli:

Probabilitatea ca un eveniment să se producă în n încercări independente este:

A). Mai puțin de ori P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

b). De mai multe ori P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). de cel puțin ori P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). nu mai mult de k ori P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Teoreme locale și integrale ale lui Laplace.

Folosim aceste teoreme atunci când n este suficient de mare.

Teorema Laplace locală

Probabilitatea ca un eveniment să apară exact de „k” ori în n încercări independente este aproximativ egală cu:

Tabelul de funcții pentru valorile pozitive (x) este prezentat în cartea de probleme Gmurman din Anexa 1, pp. 324-325.

Deoarece () este par, folosim același tabel pentru valorile negative (x).

Teorema integrală a lui Laplace.

Probabilitatea ca un eveniment să apară de cel puțin „k” ori în n încercări independente este aproximativ egală cu:

Funcția Laplace

Tabelul de funcții pentru valori pozitive este dat în cartea de probleme Gmurman din Anexa 2, pp. 326-327. Pentru valori mai mari de 5 setăm Ф(х)=0,5.

Deoarece funcția Laplace este impară Ф(-х)=-Ф(х), atunci pentru valori negative (x) folosim același tabel, doar luăm valorile funcției cu semnul minus.

Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete

Legea distribuției binomiale.

Discret- o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile sunt numere individuale izolate, pe care această variabilă le ia cu anumite probabilități. Cu alte cuvinte, valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete pot fi numerotate.

Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

Variabilele aleatoare discrete sunt notate cu litere mari X, iar valorile lor posibile cu litere mici x1, x2, x3...

De exemplu.

X este numărul de puncte aruncate pe zar; X ia șase valori posibile: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 cu probabilități p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete numiți o listă a valorilor posibile ale acesteia și a probabilităților corespunzătoare.

Legea distribuției poate fi dată:

1. sub forma unui tabel.

2. Analitic – sub forma unei formule.

3. grafic. În acest caz, în sistemul de coordonate XOP dreptunghiular se construiesc punctele M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn). Aceste puncte sunt conectate prin segmente drepte. Cifra rezultată se numește poligon de distribuție.

Pentru a scrie legea distribuției unei variabile aleatoare discrete (x), este necesar să enumerați toate valorile posibile ale acesteia și să găsiți probabilitățile corespunzătoare.

Dacă probabilitățile corespunzătoare sunt găsite folosind formula Bernoulli, atunci o astfel de lege de distribuție se numește binom.

Exemplul nr. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Valori numerice ale variabilelor aleatoare discrete.

Așteptări, varianță și abatere standard.

Caracteristica valorii medii a unei variabile aleatoare discrete este așteptarea matematică.

Așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora. Acestea. dacă este dată legea distribuției, atunci așteptarea matematică

Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete este infinit, atunci

Mai mult, seria din partea dreaptă a egalității converge absolut, iar suma tuturor probabilităților pi este egală cu unu.

Proprietățile așteptărilor matematice.

1. M(C)=C, C=constant.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. Pentru o lege de distribuție binomială, așteptarea matematică se găsește prin formula:

Caracteristicile dispersării valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul așteptării matematice sunt dispersia și abaterea standard.

Varianta variabila aleatoare discretă (x) se numește așteptarea matematică a abaterii la pătrat. D(x)=M(x-M(x)) 2.

Este convenabil să se calculeze dispersia folosind formula: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

Proprietăți de dispersie.

1. D(S)=0, C=constant.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Dispersia legii distribuției binomiale

Deviație standard o variabilă aleatoare se numește rădăcina pătrată a varianței.

exemple. 191, 193, 194, 209, d/z.

Funcția de distribuție cumulativă (CDF) a probabilităților unei variabile aleatoare continue (RCV). Continuu- o cantitate care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Există o serie de valori posibile pentru NSV și nu poate fi renumerotat.

De exemplu.

Distanța pe care o parcurge un proiectil când este tras este NSV.

IFR se numește funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca NSV X să ia valoarea X<х, т.е. F(x)=Р(X

Adesea, în loc de IFR, se spune FR.

Geometric, egalitatea F(x)=P(X

Proprietățile IF.

1. Valoarea IF aparține intervalului, adică. F(x).

2. DACA este o functie nedescrescatoare, i.e. x2>x1.

Corolarul 1. Probabilitatea ca NSV X să ia o valoare cuprinsă în intervalul (a; b) este egală cu incrementul funcției integrale pe acest interval, adică.

P(a

Corolarul 2. Probabilitatea ca NSV X să ia o anumită valoare, de exemplu, x1=0, este egală cu 0, adică. P(x=x1)=0.

3. Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin lui (a;c), atunci F(x)=0 la x<а, и F(x)=1 при х>V.

Corolarul 3. Următoarele relații limită sunt valabile.

Funcția de distribuție diferențială (DDF) a probabilităților unei variabile aleatoare continue (RNV) (densitatea probabilității).

DF f(x) distribuțiile de probabilitate ale NSV se numește prima derivată a IFR:

Adesea, în loc de PDR, se spune densitate de probabilitate (PD).

Din definiție rezultă că, cunoscând DF F(x), putem găsi DF f(x). Dar se realizează și transformarea inversă: cunoscând DF f(x), puteți găsi DF F(x).

Probabilitatea ca NSV X să ia o valoare aparținând (a;b) se găsește:

A). Dacă este dat IF, corolarul 1.

B). Dacă este specificat DF

Proprietățile lui DF.

1. DF - nu negativ, i.e. .

2. integrala improprie a DF din () este egală cu 1, adică. .

Corolarul 1. Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin lui (a;c), atunci.

Exemple. Nr. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

Caracteristicile numerice ale NSV.

1. Așteptările matematice (ME) ale NSV X, ale căror posibile valori aparțin întregii axe OX, este determinată de formula:

Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin lui (a;c), atunci MO este determinată de formula:

Toate proprietățile MO indicate pentru cantități discrete sunt păstrate și pentru cantități continue.

2. Dispersia NSV X, ale cărui posibile valori aparțin întregii axe OX, este determinată de formula:

Dacă toate valorile posibile ale NSV X aparțin (a;c), atunci dispersia este determinată de formula:

Toate proprietățile de dispersie specificate pentru cantități discrete sunt păstrate și pentru cantități continue.

3. Abaterea standard a NSV X este determinată în același mod ca și pentru mărimile discrete:

Exemple. Nr. 276, 279, X, d/z.

Calcul operațional (OC).

SAU este o metodă care vă permite să reduceți operațiile de diferențiere și integrare a funcțiilor la acțiuni mai simple: înmulțirea și împărțirea prin argumentul așa-numitelor imagini ale acestor funcții.

Utilizarea OI facilitează rezolvarea multor probleme. În special, problemele de integrare a LDE-urilor cu coeficienți constanți și sisteme de astfel de ecuații, reducându-le la cele algebrice liniare.

Originale și imagini. Laplace se transformă.

f(t)-original; F(p)-imagine.

Tranziția f(t)F(p) se numește Transformarea Laplace.

Transformarea Laplace a unei funcții f(t) se numește F(p), în funcție de o variabilă complexă și definită prin formula:

Această integrală se numește integrală Laplace. Pentru convergența acestei integrale improprie, este suficient să presupunem că în intervalul f(t) este continuă pe bucăți și pentru unele constante M>0 și satisface inegalitatea

Se numește o funcție f(t) având astfel de proprietăți original, iar tranziția de la original la imaginea sa se numește Transformarea Laplace.

Proprietățile transformării Laplace.

Determinarea directă a imaginilor folosind formula (2) este de obicei dificilă și poate fi facilitată semnificativ prin utilizarea proprietăților transformării Laplace.

Fie F(p) și G(p) imagini ale originalelor f(t) și respectiv g(t). Atunci sunt valabile următoarele proprietăți-relații:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - proprietate de omogenitate.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - proprietatea aditivității.

3. f(t)F(p-) - teorema deplasării.

tranziția derivatei a n-a a originalului într-o imagine (teorema de diferențiere a originalului).

Teoreme locale și integrale ale lui Laplace

Acest articol este o continuare firească a lecției despre teste independente, unde ne-am întâlnit formula lui Bernoulliși a lucrat la exemple tipice pe această temă. Teoremele locale și integrale ale lui Laplace (Moivre-Laplace) rezolvă o problemă similară cu diferența că sunt aplicabile unui număr suficient de mare de teste independente. Nu este nevoie să treceți peste cuvintele „local”, „integral”, „teoreme” - materialul este stăpânit cu aceeași ușurință cu care Laplace a bătut capul creț al lui Napoleon. Prin urmare, fără complexe și comentarii preliminare, să luăm imediat în considerare un exemplu demonstrativ:

Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete de 200 de ori.

În funcție de trăsăturile caracteristice, ar trebui să se aplice aici formula lui Bernoulli . Să ne amintim semnificația acestor litere:

– probabilitatea ca în studiile independente un eveniment aleatoriu să se producă exact o dată;
– coeficient binomial;
– probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare probă;

În legătură cu sarcina noastră:
– numărul total de teste;
– numărul de aruncări în care trebuie să cadă capete;

Astfel, probabilitatea ca în urma a 400 de aruncări de monede să apară capete exact de 200 de ori: ...Stop, ce să faci mai departe? Microcalculatorul (cel puțin al meu) nu a reușit să facă față gradului 400 și a capitulat în fața factoriale. Dar nu am vrut să calculez ceva printr-un produs =) Să folosim funcția standard Excel, care a reușit să prelucreze monstrul: .

Aș dori să vă atrag atenția asupra celor primite corect sens și o astfel de soluție pare a fi ideală. La prima vedere. Iată câteva contraargumente convingătoare:

– în primul rând, este posibil ca software-ul să nu fie la îndemână;
– și în al doilea rând, soluția va arăta nestandard (cu o probabilitate considerabilă va trebui să vă răzgândiți);

Prin urmare, dragi cititori, ne așteptăm în viitorul apropiat:

Teorema Laplace locală

Dacă probabilitatea ca un eveniment întâmplător să apară în fiecare probă este constantă, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă exact o dată în fiecare probă este aproximativ egală cu:
, Unde .

Mai mult, cu cât este mai mare, cu atât probabilitatea calculată va aproxima mai bine valoarea exactă obținută (cel putin ipotetic) conform formulei lui Bernoulli. Numărul minim recomandat de teste este de aproximativ 50-100, altfel rezultatul poate fi departe de adevăr. În plus, teorema locală Laplace funcționează mai bine cu cât probabilitatea este mai aproape de 0,5 și invers - dă o eroare semnificativă pentru valori apropiate de zero sau unu. Din acest motiv, un alt criteriu pentru utilizarea eficientă a formulei este inegalitatea () .

Deci, de exemplu, dacă , atunci aplicarea teoremei lui Laplace pentru 50 de teste este justificată. Dar dacă și , atunci și o aproximare (la valoarea exacta) va fi rău.

Despre de ce și despre o funcție specială vom vorbi în clasă despre distribuția normală de probabilitate, dar deocamdată avem nevoie de partea formală de calcul a problemei. În special, un fapt important este paritate aceasta functie: .

Să oficializăm relația cu exemplul nostru:

Problema 1

Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea ca capete să aterizeze exact:

a) de 200 de ori;
b) de 225 de ori.

Unde sa încep soluţie? Mai întâi, să notăm cantitățile cunoscute, astfel încât să fie în fața ochilor noștri:

– numărul total de teste independente;
– probabilitatea de a obține cap la fiecare aruncare;
– probabilitatea capetelor de aterizare.

a) Să găsim probabilitatea ca într-o serie de 400 de aruncări capete să iasă exact o dată. Datorită numărului mare de teste, folosim teorema locală a lui Laplace: , Unde .

La primul pas, calculăm valoarea necesară a argumentului:

În continuare găsim valoarea funcției corespunzătoare: . Acest lucru se poate face în mai multe moduri. În primul rând, desigur, calculele directe se sugerează:

Rotunjirea se face de obicei la 4 zecimale.

Dezavantajul calculului direct este că nu orice microcalculator poate digera exponentul; în plus, calculele nu sunt deosebit de plăcute și necesită timp. De ce suferi atât de mult? Utilizare calculator terver (punctul 4)și obțineți valori instantaneu!

În plus, există tabelul cu valorile funcției, care este în aproape orice carte despre teoria probabilității, în special, în manual V.E. Gmurman. Dacă nu l-ați descărcat încă, descărcați-l - există o mulțime de lucruri utile acolo ;-) Și asigurați-vă că învățați cum să utilizați tabelul (chiar acum!)– este posibil ca echipamentul de calcul adecvat să nu fie întotdeauna la îndemână!

În etapa finală, aplicăm formula :
– probabilitatea ca în 400 de aruncări de monede, capete să aterizeze exact de 200 de ori.

După cum puteți vedea, rezultatul obținut este foarte aproape de valoarea exactă calculată de formula lui Bernoulli.

b) Aflați probabilitatea ca într-o serie de 400 de încercări capete să apară exact o dată. Folosim teorema locală a lui Laplace. Unu, doi, trei - și ați terminat:

– probabilitatea dorită.

Răspuns:

Următorul exemplu, după cum mulți au ghicit, este dedicat nașterii - și acesta este pentru a decide singur :)

Problema 2

Probabilitatea de a avea un băiat este de 0,52. Aflați probabilitatea ca între 100 de nou-născuți să fie exact: a) 40 de băieți, b) 50 de băieți, c) 30 de fete.

Rotunjiți rezultatele la 4 zecimale.

...Expresia „teste independente” sună interesant aici =) Apropo, real probabilitate statistică rata natalității pentru un băiat în multe regiuni ale lumii variază de la 0,51 la 0,52.

Un exemplu aproximativ de sarcină la sfârșitul lecției.

Toată lumea a observat că numerele s-au dovedit a fi destul de mici, iar acest lucru nu ar trebui să inducă în eroare - la urma urmei, vorbim despre probabilități individuale, local valori (de unde și numele teoremei). Și există multe astfel de valori și, la figurat vorbind, probabilitatea „ar trebui să fie suficientă pentru toată lumea”. Adevărat, multe evenimente vor fi aproape imposibil.

Permiteți-mi să explic cele de mai sus folosind exemplul monedelor: într-o serie de patru sute de încercări, capetele pot cădea teoretic de la 0 la 400 de ori, iar aceste evenimente se formează grup complet:

Cu toate acestea, cele mai multe dintre aceste valori sunt doar minuscule, de exemplu, probabilitatea ca capete să apară de 250 de ori este deja una din zece milioane: . Despre valori precum Hai sa tacem cu tact =)

Pe de altă parte, rezultatele modeste nu trebuie subestimate: dacă este vorba doar despre , atunci probabilitatea de a ateriza capete, de exemplu, de la 220 la 250 de ori, va fi foarte vizibil.

Acum să ne gândim: cum să calculăm această probabilitate? Nu conta după teorema adunării probabilităților de evenimente incompatibile Cantitate:

Aceste valori sunt mult mai simple combina. Și combinarea a ceva, după cum știți, se numește integrare:

Teorema integrală a lui Laplace

Dacă probabilitatea ca un eveniment întâmplător să apară în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea că evenimentul va avea loc în procese nici mai puțin și nici de mai multe ori (de la ori inclusiv), este aproximativ egal cu:

În acest caz, numărul de teste, desigur, ar trebui să fie suficient de mare și probabilitatea să nu fie prea mică/mare (aproximativ), altfel aproximarea va fi neimportantă sau proastă.

Funcția este numită Funcția Laplace, iar valorile sale sunt din nou rezumate într-un tabel standard ( găsiți și învățați să lucrați cu el!!). Un microcalculator nu va ajuta aici, deoarece integrala este necombinabilă. Dar Excel are funcționalitatea corespunzătoare - utilizarea punctul 5 layout-ul de proiectare.

În practică, cele mai comune valori sunt:
- Copiați-l în caiet.
Pornind de la , putem presupune că , sau, pentru a o scrie mai strict:

Mai mult, funcția Laplace ciudat: , iar această proprietate este exploatată activ în sarcini de care ne-am săturat deja:

Problema 3

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca, cu 100 de lovituri, ținta să fie lovită de la 65 la 80 de ori.

Am ales cel mai realist exemplu, altfel am găsit aici câteva sarcini în care trăgătorul trage mii de focuri =)

Soluţie: în această problemă despre care vorbim teste independente repetate, iar numărul lor este destul de mare. Conform condiției, trebuie să găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 65, dar nu mai mult de 80 de ori, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați teorema integrală a lui Laplace: , unde

Pentru comoditate, să rescriem datele originale într-o coloană:
– lovituri totale;
– numărul minim de accesări;
– numărul maxim de accesări;
– probabilitatea de a lovi ținta la fiecare lovitură;
- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Prin urmare, teorema lui Laplace va oferi o bună aproximare.

Să calculăm valorile argumentelor:

Aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că lucrarea nu trebuie extrasă complet din rădăcini. (deoarece autorilor de probleme le place să „ajusteze” numerele)– fără umbră de îndoială, extrageți rădăcina și rotunjiți rezultatul; Sunt obișnuit să las 4 zecimale. Dar valorile rezultate sunt de obicei rotunjite la 2 zecimale - de la care provine această tradiție tabelele de valori ale funcției, unde argumentele sunt prezentate exact în această formă.

Folosim tabelul de mai sus sau design layout pentru terver (punctul 5).
Ca comentariu scris, vă sfătuiesc să puneți următoarea frază: vom găsi valorile funcției folosind tabelul corespunzător:

– probabilitatea ca cu 100 de lovituri ținta să fie lovită de 65 până la 80 de ori.

Asigurați-vă că profitați de numărul impar al funcției! Pentru orice eventualitate, o voi scrie în detaliu:

Adevărul este că tabelul cu valorile funcției conține doar „X” pozitive și lucrăm (cel puțin conform „legendei”) cu o masa!

Răspuns:

Rezultatul este cel mai adesea rotunjit la 4 zecimale (din nou conform formatului tabelului).

Pentru a o rezolva singur:

Problema 4

În clădire sunt 2500 de lămpi, probabilitatea de a aprinde fiecare dintre ele seara este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca cel puțin 1250 și nu mai mult de 1275 de lămpi să fie aprinse seara.

O mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că sarcinile luate în considerare apar foarte des într-o formă „impersonală”, de exemplu:

Se efectuează un experiment în care poate apărea un eveniment aleatoriu cu o probabilitate de 0,5. Experimentul se repetă în condiții neschimbate de 2500 de ori. Determinați probabilitatea ca în 2500 de experimente evenimentul să se producă de la 1250 la 1275 de ori

Și formulări similare sunt prin acoperiș. Datorită naturii de clișeu a sarcinilor, ei încearcă adesea să acopere starea - aceasta este „singura șansă” de a diversifica și complica cumva soluția:

Problema 5

Sunt 1000 de studenți care studiază la institut. Sala de mese are 105 locuri. Fiecare elev merge la cantină în timpul pauzei mari cu probabilitatea 0,1. Care este probabilitatea ca într-o zi obișnuită de școală:

a) sala de mese nu va fi plină mai mult de două treimi;
b) nu există locuri suficiente pentru toată lumea.

Aș dori să vă atrag atenția asupra clauzei importante „într-o zi de școală REGULARE” - asigură că situația rămâne relativ neschimbată. După vacanță, la institut pot veni semnificativ mai puțini studenți, iar o delegație flămândă poate coborî în „Ziua Porților Deschise” =) Adică într-o zi „neobișnuită” probabilitățile vor fi semnificativ diferite.

Soluţie: folosim teorema integrală a lui Laplace, unde

În această sarcină:
– total studenți la institut;
– probabilitatea ca un elev să meargă la cantină într-o pauză lungă;
– probabilitatea evenimentului opus.

a) Să calculăm câte locuri reprezintă două treimi din numărul total: locuri

Să aflăm probabilitatea ca, într-o zi normală de școală, cantina să fie plină pe mai mult de două treimi. Ce înseamnă? Asta înseamnă că în pauza mare vor veni de la 0 la 70 de persoane. Faptul că nu vine nimeni sau vin doar câțiva studenți – sunt evenimente practic imposibil, totuși, în scopul aplicării teoremei integrale a lui Laplace, aceste probabilități ar trebui totuși luate în considerare. Prin urmare:

Să calculăm argumentele corespunzătoare:

Ca urmare:

– probabilitatea ca într-o zi normală de școală cantina să nu fie plină mai mult de două treimi.

Aducere aminte : când funcţia Laplace este considerată egală cu .

Totuși, este pe placul mulțimii =)

b) Eveniment „Nu sunt suficiente locuri pentru toată lumea” este că de la 106 la 1000 de persoane vor veni în sala de mese pentru prânz în timpul pauzei mari (principalul este să-l compactezi bine =)). Este clar că participarea mare este incredibilă, dar totuși: .

Calculăm argumentele:

Astfel, probabilitatea ca nu vor fi suficiente locuri pentru toată lumea este:

Răspuns:

Acum să ne concentrăm pe unul nuanță importantă metoda: cand efectuam calcule pe un singur segment, atunci totul este „fără nori” - decideți în funcție de șablonul luat în considerare. Totuși, dacă luăm în considerare grup complet de evenimente ar trebui arătat o anumită precizie. Permiteți-mi să explic acest punct folosind exemplul problemei discutate. La punctul „fii” am găsit probabilitatea că nu vor fi suficiente locuri pentru toată lumea. Apoi, folosind aceeași schemă, calculăm:
– probabilitatea ca să fie suficiente locuri.

De la aceste evenimente opus, atunci suma probabilităților ar trebui să fie egală cu unu:

Ce s-a întâmplat? – totul pare să fie logic aici. Ideea este că funcția Laplace este continuu, dar nu am ținut cont interval de la 105 la 106. Aici a dispărut piesa de 0,0338. De aceea folosind aceeași formulă standard ar trebui calculat:

Ei bine, sau chiar mai simplu:

Se pune întrebarea: ce se întâmplă dacă am găsi ÎNTÂI? Apoi va exista o altă versiune a soluției:

Dar cum poate fi asta?! – cele două metode dau răspunsuri diferite! Este simplu: teorema integrală a lui Laplace este o metodă închide calcule și, prin urmare, ambele moduri sunt acceptabile.

Pentru calcule mai precise ar trebui să utilizați formula lui Bernoulliși, de exemplu, funcția Excel BINOMIDST. Ca urmare aplicarea acestuia primim:

Și îmi exprim recunoștința față de unul dintre vizitatorii site-ului care a atras atenția asupra acestei subtilități - a ieșit din câmpul meu vizual, deoarece studiul unui grup complet de evenimente este rar întâlnit în practică. Cei interesați se pot familiariza cu