Calculați în cel mai rațional mod. Metode raționale de calcul

Nivelul actual de dezvoltare a instrumentelor de automatizare computerizată a creat printre mulți iluzia că nu este deloc necesară dezvoltarea abilităților de calcul. Acest lucru a afectat pregătirea elevilor. În absența unui calculator, chiar și sarcinile simple de calcul devin o problemă pentru mulți.

În același timp, sarcinile de examinare și materialele pentru examenul de stat unificat conțin multe sarcini, a căror soluție necesită capacitatea examinatorilor de a organiza rațional calculele.

În acest articol, vom analiza câteva metode de optimizare a calculelor și aplicarea lor la problemele concurentei.

Cel mai adesea, metodele de optimizare a calculelor sunt asociate cu aplicarea legilor de bază ale efectuării operațiilor aritmetice.

De exemplu:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; sau

98 · 16(100 – 2) · 16 = 100 · 16 – 2 · 16 = 1600 – 32 = 1568 etc.

O alta directie - utilizarea formulelor de înmulțire abreviate.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; sau

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Următorul exemplu este interesant pentru calcule.

Calculati:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Acestea sunt modalități aproape standard de optimizare a calculelor. Uneori sunt oferite și altele mai exotice. Ca exemplu, luați în considerare metoda de înmulțire a numerelor din două cifre ale căror unități se adună până la 10.

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 sau

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Schema de înmulțire poate fi înțeleasă din figură.

De unde vine această schemă de înmulțire?

Numerele noastre conform condiției au forma: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Să compunem o piesă:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) iar metoda este justificată.

Există multe modalități inteligente de a transforma calcule destul de complexe în probleme mentale. Dar nu poți crede că toată lumea trebuie să-și amintească acestea și o grămadă de alte moduri inteligente de a simplifica calculele. Este important doar să înveți unele de bază. Analiza celorlalți are sens doar pentru dezvoltarea abilităților de utilizare a metodelor de bază. Utilizarea lor creativă face posibilă rezolvarea rapidă și corectă a problemelor de calcul.

Uneori, atunci când rezolvați exemple de calcul, este convenabil să treceți de la transformarea expresiilor cu numere la transformarea polinoamelor. Luați în considerare următorul exemplu.

Calculați în cel mai rațional mod:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Soluţie.

Fie a = 1/117 și b = 1/119. Atunci 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 – a, 5 118 / 119 = 6 – b.

Astfel, expresia dată poate fi scrisă ca (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b.

După efectuarea transformărilor simple ale polinomului, obținem 10a sau 10 / 117.

Aici am obținut că valoarea expresiei noastre nu depinde de b. Aceasta înseamnă că am calculat nu numai valoarea acestei expresii, ci și oricare alta obținută din (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b prin înlocuirea valorilor a și b. Dacă, de exemplu, a = 5 / 329, atunci răspunsul va fi 50 / 329 , oricare ar fi b.

Să ne uităm la un alt exemplu, a cărui soluție folosind un calculator este aproape imposibilă, iar răspunsul este destul de simplu dacă cunoașteți abordarea pentru rezolvarea exemplelor de acest tip

calculati

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Soluţie.

Să transformăm starea

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 – 1) = 1/6

Să ne uităm la un exemplu care a devenit deja manual în materialele de examen pentru cursul școlar de bază.

Calculați suma:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Adică, această problemă a fost rezolvată prin înlocuirea fiecărei fracții cu diferența a două fracții. Suma s-a dovedit a fi perechi de numere opuse tuturor, cu excepția primului și ultimului.

Dar acest exemplu poate fi generalizat. Să luăm în considerare suma:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1)k) (n + mk))

Același raționament ca în exemplul precedent este valabil pentru acesta. Într-adevăr:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)), etc.

Apoi vom construi răspunsul după aceeași schemă: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

Și mai multe despre sumele „lungi”.

Cantitate

X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

poate fi calculată ca suma a 11 termeni ai unei progresii geometrice cu numitorul 1/2 și primul termen de 1. Dar aceeași sumă poate fi calculată de un elev de clasa a V-a care habar n-are despre progresii. Pentru a face acest lucru, este suficient să selectați cu succes un număr pe care îl vom adăuga la suma X. Acest număr aici va fi 1/1024.

Să calculăm

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Acum este evident că X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

A doua metodă nu este mai puțin promițătoare. Folosind-o puteți calcula suma:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Aici numărul „norocos” este 11. Adăugați-l la S și distribuiți-l uniform între toți cei 11 termeni. Fiecare dintre ei va primi apoi 1. Atunci avem:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Prin urmare S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În trecutul îndepărtat, când sistemul numeric nu fusese încă inventat, oamenii numărau totul pe degete. Odată cu apariția aritmeticii și a elementelor de bază ale matematicii, a devenit mult mai ușor și mai practic să ținem evidența bunurilor, produselor și articolelor de uz casnic. Cu toate acestea, cum arată sistemul modern de calcul: în ce tipuri sunt împărțite numerele existente și ce înseamnă „forma rațională a numerelor”? Să ne dăm seama.

Câte tipuri de numere există în matematică?

Însuși conceptul de „număr” denotă o anumită unitate a oricărui obiect care îi caracterizează indicatorii cantitativi, comparativi sau ordinali. Pentru a calcula corect numărul anumitor lucruri sau pentru a efectua anumite operații matematice cu numere (adunare, înmulțire etc.), ar trebui în primul rând să vă familiarizați cu varietățile acestor numere.

Deci, numerele existente pot fi împărțite în următoarele categorii:

1. Numerele naturale sunt acele numere cu care numărăm numărul de obiecte (cel mai mic număr natural este 1, este logic ca seria numerelor naturale să fie infinită, adică nu există cel mai mare număr natural). Setul de numere naturale este de obicei notat cu litera N.
2. Numere întregi. Acest set include totul, în timp ce i se adaugă și valori negative, inclusiv numărul „zero”. Desemnarea unui set de numere întregi este scrisă ca litera latină Z.
3. Numerele raționale sunt acelea pe care le putem transforma mental într-o fracție, al căror numărător va aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul va aparține mulțimii numerelor naturale. Mai jos vom analiza mai detaliat ce înseamnă un „număr rațional” și vom da câteva exemple.
4. - o mulțime care include toate raționale și Această mulțime este notată cu litera R.
5. Numerele complexe conțin o parte dintr-un număr real și o parte dintr-un număr variabil. Ele sunt utilizate în rezolvarea diverselor ecuații cubice, care, la rândul lor, pot avea o expresie negativă în formule (i 2 = -1).

Ce înseamnă „rațional”: să ne uităm la exemple

Dacă acele numere pe care le putem reprezenta ca o fracție obișnuită sunt considerate raționale, atunci se dovedește că toate numerele întregi pozitive și negative sunt incluse și în mulțimea raționalelor. La urma urmei, orice număr întreg, de exemplu 3 sau 15, poate fi reprezentat ca o fracție, unde numitorul este unul.

Fracții: -9/3; 7/5, 6/55 sunt exemple de numere raționale.

Ce înseamnă „exprimare rațională”?

Daţi-i drumul. Am discutat deja ce înseamnă forma rațională a numerelor. Să ne imaginăm acum o expresie matematică care constă din suma, diferența, produsul sau câtul diferitelor numere și variabile. Iată un exemplu: o fracție în care numărătorul este suma a două sau mai multe numere întregi, iar numitorul conține atât un număr întreg, cât și o variabilă. Acest tip de expresie se numește rațional. Pe baza regulii „nu puteți împărți la zero”, puteți ghici că valoarea acestei variabile nu poate fi astfel încât valoarea numitorului să devină zero. Prin urmare, atunci când rezolvați o expresie rațională, trebuie mai întâi să determinați intervalul variabilei. De exemplu, dacă numitorul are următoarea expresie: x+5-2, atunci se dovedește că „x” nu poate fi egal cu -3. Într-adevăr, în acest caz, întreaga expresie se transformă în zero, deci la rezolvare este necesar să excludem întregul -3 pentru această variabilă.

Cum să rezolvi corect ecuațiile raționale?

Expresiile raționale pot conține un număr destul de mare de numere și chiar 2 variabile, așa că uneori rezolvarea lor devine dificilă. Pentru a facilita rezolvarea unei astfel de expresii, se recomandă efectuarea anumitor operații într-un mod rațional. Deci, ce înseamnă „într-un mod rațional” și ce reguli ar trebui aplicate atunci când se ia o decizie?

1. Primul tip, când este suficient doar pentru a simplifica expresia. Pentru a face acest lucru, puteți recurge la operația de reducere a numărătorului și numitorului la o valoare ireductibilă. De exemplu, dacă numărătorul conține expresia 18x și numitorul 9x, atunci, prin reducerea ambilor exponenți cu 9x, obținem pur și simplu un întreg egal cu 2.
2. A doua metodă este practică când avem un monom la numărător și un polinom la numitor. Să ne uităm la un exemplu: la numărător avem 5x, iar la numitor - 5x + 20x 2. În acest caz, cel mai bine este să scoatem variabila din numitor din paranteze, obținem următoarea formă a numitorului: 5x(1+4x). Acum puteți folosi prima regulă și simplifica expresia prin anularea 5x la numărător și numitor. Ca rezultat, obținem o fracție de forma 1/1+4x.

Ce operații poți efectua cu numere raționale?

Mulțimea numerelor raționale are un număr de caracteristici proprii. Multe dintre ele sunt foarte asemănătoare cu caracteristicile prezente în numerele întregi și naturale, datorită faptului că acestea din urmă sunt întotdeauna incluse în mulțimea raționalelor. Iată câteva proprietăți ale numerelor raționale, știind pe care le puteți rezolva cu ușurință orice expresie rațională.

1. Proprietatea comutativă vă permite să însumați două sau mai multe numere, indiferent de ordinea lor. Mai simplu spus, schimbarea locurilor termenilor nu schimbă suma.
2. Proprietatea distributivă vă permite să rezolvați probleme folosind legea distribuției.
3. Și în sfârșit, operațiile de adunare și scădere.

Chiar și școlarii știu ce înseamnă „forma rațională a numerelor” și cum să rezolve probleme pe baza unor astfel de expresii, așa că un adult educat trebuie pur și simplu să-și amintească cel puțin elementele de bază ale setului de numere raționale.

În acest articol vom începe să explorăm numere rationale. Aici vom da definiții numerelor raționale, vom oferi explicațiile necesare și vom da exemple de numere raționale. După aceasta, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

• Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
• Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1, .
• Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
• Orice număr mixt. Într-adevăr, puteți reprezenta întotdeauna un număr mixt ca o fracție improprie. De exemplu, și.
• Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3.

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58, −72, 0, −833.333.333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile comune 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții ca un semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități și. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5, 0, 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5, 0, -13 sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 și -7, (18).

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

• numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finită, precum și orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale dintr-un set de numere scrise.

Dar dacă numărul este dat sub forma unor , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebarea dacă acest număr este rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții de gândire.

Dacă un număr este dat ca expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numere raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem numărul rațional 18.

Uneori, după ce am simplificat expresiile și le-am făcut mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Rezultă că nu, nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a VIII-a, enumerat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când sub rădăcină există un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81 = 9 2 și 1 024 = 32 2, iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale.

Numărul este rațional sau nu? În acest caz, este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? S-a dovedit că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda prin contradicție permite să se demonstreze că logaritmii unor numere nu sunt numere raționale din anumite motive. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să spunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Atunci dăm următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece în partea stângă există numar impar 5 n, iar în partea dreaptă este numărul par 2 m. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, este de remarcat în special faptul că atunci când se determină raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la a face concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmați imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional; acest lucru este „aparent evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi un produs un număr rațional?” Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional: .

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru ilustrare, prezentăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Kozhinova Anastasia

BUGET NETIPIC MUNICIPAL

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT GENERALĂ

„LICEUM Nr. 76”

CARE ESTE SECRETUL CONTABILITĂȚII RAȚIONALE?

Efectuat:

Elev din clasa a V-a „B”.

Kozhinova Anastasia

supraveghetor:

Profesor de matematică

Shchiklina Tatyana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Introducere…………………………………………………… 3

Partea principală…………………………………………………………………… 5-13

Concluzii și concluzii………………………………………………………………….. 13-14

Referințe………………………………………………………………………. 15

Aplicații……………………………………………………. 16-31

eu. Introducere

Problemă: găsirea valorilor expresiilor numerice

Scopul lucrării: căutarea, studiul metodelor și tehnicilor existente de contabilitate rațională, aplicarea lor în practică.

Sarcini:

1. Efectuați o mini-cercetare sub forma unui sondaj între clasele paralele.

2. Analizați tema de cercetare: literatură disponibilă în biblioteca școlii, informații din manualul de matematică pentru clasa a 5-a, pe internet.

3. Selectați cele mai eficiente metode și mijloace de contabilitate rațională.

4. Clasificați tehnicile existente pentru numărare rapidă orală și scrisă.

5. Creați mementouri care să conțină tehnici de numărare rațională pentru a fi utilizate în paralele de gradul 5.

Obiect de studiu: cont raţional.

Subiect de studiu: metode de numărare rațională.

Pentru a asigura eficacitatea muncii de cercetare am folosit următoarele metode: analiza informațiilor obținute din diverse resurse, sinteză, generalizare; anchetă sociologică sub forma unui chestionar. Chestionarul a fost elaborat de mine în conformitate cu scopul și obiectivele studiului, vârsta respondenților și este prezentat în partea principală a lucrării.

În cadrul lucrărilor de cercetare s-au avut în vedere aspecte legate de metodele și tehnicile de calcul rațional și s-au dat recomandări pentru eliminarea problemelor legate de abilitățile de calcul și formarea unei culturi a calculului.

II. Parte principală

Formarea culturii informatice a elevilor

5-6 clase.

Este evident că tehnicile de calcul rațional sunt un element necesar al culturii computaționale în viața fiecărei persoane, în primul rând datorită semnificației lor practice, iar elevii au nevoie de el în aproape fiecare lecție.

Cultura computațională este fundamentul studiului matematicii și al altor discipline academice, deoarece, pe lângă faptul că calculele activează memoria și atenția, ajută la organizarea rațională a activităților și influențează semnificativ dezvoltarea umană.

În viața de zi cu zi, în sălile de clasă, când fiecare minut este valoros, este foarte important să efectuați rapid și rațional calcule orale și scrise, fără a greși și fără a utiliza instrumente de calcul suplimentare.

Noi, școlari, întâlnim această problemă peste tot: la clasă, acasă, în magazin etc. In plus, dupa clasele a 9-a si a 11-a va trebui sa sustinem examene sub forma IGA si Unified State Examination, unde nu este permisa folosirea unui microcalculator. Prin urmare, problema dezvoltării unei culturi de calcul în fiecare persoană, al cărei element este stăpânirea tehnicilor de calcul rațional, devine extrem de importantă.

Este deosebit de necesar să stăpânești tehnicile de numărare rațională

în studiul unor subiecte precum matematica, istoria, tehnologia, informatica etc., adică calculul rațional ajută la stăpânirea materiilor conexe, la o mai bună navigare a materialului studiat, în situațiile de viață. Deci, ce așteptăm? Să intrăm în lumea secretelor tehnicilor de numărare rațională!!!

Ce probleme au elevii la efectuarea calculelor?

Semenii de vârsta mea au adesea probleme în îndeplinirea diferitelor sarcini în care trebuie să facă calcule rapid și convenabil . De ce???

Iată câteva presupuneri:

1. Elevul nu a înțeles bine tema studiată

2. Elevul nu repetă materialul.

3. Elevul are abilități slabe de calcul.

4. Elevul nu dorește să studieze această temă

5. Elevul crede că nu îi va fi de folos.

Am luat toate aceste presupuneri din experiența mea și a colegilor mei de clasă și a colegilor mei. Cu toate acestea, în exercițiile de calcul, abilitățile de numărare rațională joacă un rol important, așa că am studiat, aplicat și vreau să vă prezint câteva tehnici de numărare rațională.

Metode raționale de calcul oral și scris.

În muncă și viața de zi cu zi, apare în mod constant nevoia de diferite tipuri de calcule. Folosirea celor mai simple metode de numărare mentală reduce oboseala, dezvoltă atenția și memoria. Utilizarea metodelor de calcul raționale este necesară pentru a crește forța de muncă, precizia și viteza de calcul. Viteza și acuratețea calculelor pot fi realizate numai cu utilizarea rațională a metodelor și mijloacelor de mecanizare a calculelor, precum și cu utilizarea corectă a metodelor de calcul mental.

eu. Tehnici de adunare simplificată a numerelor

Există patru metode de adunare cunoscute care pot accelera calculele.

Metoda de adăugare secvenţială pe biţi folosit în calculele mentale, deoarece simplifică și accelerează însumarea termenilor. Când utilizați această metodă, adunarea începe de la cifrele cele mai mari: cifrele corespunzătoare ale celui de-al doilea adunat sunt adăugate la primul adunat.

Exemplu. Să găsim suma numerelor 5287 și 3564 folosind metoda adunării secvențiale pe biți.

Soluţie. Vom efectua calculul în următoarea secvență:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Răspuns: 8 851. (lege combinativă-comutativă)

Un alt mod de adăugare secvenţială pe biţi constă în faptul că la cea mai mare cifră a primului termen se adaugă cea mai mare cifră a celui de-al doilea termen, apoi la următoarea cifră a primului termen se adaugă următoarea cifră a celui de-al doilea termen etc.

Să luăm în considerare această soluție folosind exemplul dat, obținem:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Răspuns: 8851.

Metoda numerelor rotunde . Un număr care are o cifră semnificativă și se termină cu unul sau mai multe zerouri se numește număr rotund. Această metodă se folosește atunci când, din doi sau mai mulți termeni, îi poți alege pe cei care pot fi completați pentru a forma un număr rotund. Diferența dintre numărul rotund și numărul specificat în condiția de calcul se numește complement. De exemplu, 1.000 - 978 = 22. În acest caz, numărul 22 este adunarea aritmetică de la 978 la 1.000.

Pentru a efectua adunarea folosind metoda numerelor rotunde, trebuie să rotunjiți unul sau mai mulți termeni aproape de numerele rotunde, să efectuați adunarea numerelor rotunde și să scădeți adunările aritmetice din suma rezultată.

Exemplu. Să găsim suma numerelor 1.238 și 193 folosind metoda numerelor rotunde.

Soluţie. Să rotunjim numărul de la 193 la 200 și să adăugăm după cum urmează: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431. (legea combinației)

Metoda de grupare a termenilor . Această metodă este utilizată în cazul în care termenii, atunci când sunt grupați împreună, dau numere rotunde, care sunt apoi adunate.

Exemplu. Să aflăm suma numerelor 74, 32, 67, 48, 33 și 26.

Soluţie. Să însumăm numerele grupate după cum urmează: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(legea combinativă-comutativă)

sau, atunci când gruparea numerelor are ca rezultat sume egale:

Exemplu:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(legea combinativă-comutativă)

II. Tehnici de scădere simplificată a numerelor

Metoda de scădere secvenţială pe biţi. Această metodă scade secvenţial fiecare cifră scăzută din minuend. Este folosit când numerele nu pot fi rotunjite.

Exemplu. Să aflăm diferența dintre numerele 721 și 398.

Soluţie. Să efectuăm pașii pentru a găsi diferența numerelor date în următoarea secvență:

Să ne imaginăm numărul 398 ca o sumă: 300 + 90 + 8 = 398;

Să efectuăm scăderea pe biți:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metoda numerelor rotunde . Această metodă este utilizată atunci când subtraend este aproape de un număr rotund. Pentru a calcula, este necesar să scădem scăderea, luată ca număr rotund, din minuend și să adăugați adunarea aritmetică la diferența rezultată.

Exemplu. Să calculăm diferența dintre numerele 235 și 197 folosind metoda numerelor rotunde.

Soluţie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor

Înmulțiți cu unu urmat de zerouri. La înmulțirea unui număr cu un număr care include unul urmat de zerouri (10; 100; 1.000 etc.), se adaugă în dreapta atâtea zerouri câte sunt în factorul după unu.

Exemplu. Să găsim produsul numerelor 568 și 100.

Soluţie. 568 x 100 = 56.800.

Metoda înmulțirii secvențiale pe biți . Această metodă este utilizată la înmulțirea unui număr cu orice număr format dintr-o singură cifră. Dacă trebuie să înmulțiți un număr de două cifre (trei, patru cifre etc.) cu un număr dintr-o singură cifră, atunci mai întâi factorul cu o singură cifră este înmulțit cu zecile unui alt factor, apoi cu unitățile sale și cu produsele rezultate sunt însumate.

Exemplu. Să găsim produsul numerelor 39 și 7.

Soluţie. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (legea distributivă a înmulțirii relativ la adunare)

Metoda numerelor rotunde . Această metodă este utilizată numai atunci când unul dintre factori este aproape de un număr rotund. Înmulțirea se înmulțește cu un număr rotund, apoi cu o adunare aritmetică, iar la sfârșit se scade al doilea din primul produs.

Exemplu. Să găsim produsul numerelor 174 și 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (legea distributivă a înmulțirii relativ la scădere)

O metodă de descompunere a unuia dintre factori. În această metodă, unul dintre factori este mai întâi împărțit în părți (adună), apoi al doilea factor este înmulțit pe rând cu fiecare parte a primului factor, iar produsele rezultate sunt însumate.

Exemplu. Să găsim produsul numerelor 13 și 325.

Să descompunăm numărul 13 în termeni: 13 = 10 + 3. Înmulțiți fiecare dintre termenii rezultați cu 325: 10 x 325 = 3.250; 3 x 325 = 975. Însumăm produsele rezultate: 3.250 + 975 = 4.225

Stăpânirea abilităților de calcul mental rațional vă va face munca mai eficientă. Acest lucru este posibil numai cu o bună stăpânire a tuturor operațiilor aritmetice date. Utilizarea tehnicilor de numărare rațională accelerează calculele și asigură precizia necesară. Dar nu trebuie doar să poți calcula, dar trebuie să cunoști și tabla înmulțirii, legile operațiilor aritmetice, clasele și rangurile.

Există sisteme de numărare mentală care vă permit să numărați oral rapid și rațional. Ne vom uita la unele dintre cele mai frecvent utilizate tehnici.

1. Înmulțirea unui număr din două cifre cu 11.

Am studiat această metodă, dar nu am studiat-o complet Secretul acestei metode este că poate fi considerată legile operațiilor aritmetice.

Exemple:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (legea distributivă a înmulțirii relativ la adunare)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legea distribuției și metoda numerelor rotunde)

Am studiat această metodă, dar nu știam alta Secretul înmulțirii numerelor din două cifre cu 11.

În timp ce observam rezultatele obținute la înmulțirea numerelor din două cifre cu 11, am observat că există o modalitate mai convenabilă de a obține răspunsul : la înmulțirea unui număr de două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt depărtate și suma acestor cifre este plasată în mijloc.

a) 23 11=253, deoarece 2+3=5;

b) 45 11=495, deoarece 4+5=9;

c) 57 11=627, deoarece 5+7=12, cele două s-au așezat la mijloc, iar cea a fost adăugată la locul sutelor;

d) 78 11 = 858, deoarece 7 + 8 = 15, atunci numărul zecilor va fi egal cu 5, iar numărul sutelor va crește cu unu și va fi egal cu 8.

Am găsit confirmarea acestei metode pe internet.

2) Produsul numerelor de două cifre care au același număr de zeci și suma unităților lor este 10, adică 23 27; 34 36; 52 58 etc.

Regulă: cifra zecilor se înmulțește cu următoarea cifră din seria naturală, rezultatul se notează și se adaugă produsul de unități.

a) 23 27=621. Cum ai obținut 621? Înmulțim numărul 2 cu 3 („doi” este urmat de „trei”), devine 6, iar lângă el adăugăm produsul celor: 3 7 = 21, rezultă 621.

b) 34 36 = 1224, deoarece 3 4 = 12, atribuim 24 numărului 12, acesta este produsul unităților acestor numere: 4 6.

c) 52 58 = 3016, deoarece înmulțim cifra zecilor 5 cu 6, va fi 30, atribuim produsul lui 2 și 8, adică 16.

d) 61 69=4209. Este clar că 6 a fost înmulțit cu 7 și am obținut 42. De unde vine zero? Unitățile au fost înmulțite și am obținut: 1 9 = 9, dar rezultatul trebuie să fie din două cifre, așa că luăm 09.

3) Împărțirea numerelor din trei cifre formate din cifre identice cu numărul 37. Rezultatul este egal cu suma acestor cifre identice ale numărului din trei cifre (sau numărul egal cu de trei ori cifra numărului din trei cifre).

Exemple: a) 222:37=6. Aceasta este suma 2+2+2=6; b) 333:37=9, deoarece 3+3+3=9.

c) 777:37=21, adică 7+7+7=21.

d) 888:37=24, deoarece 8+8+8=24.

De asemenea, luăm în considerare faptul că 888:24=37.

III. Concluzie

Pentru a dezvălui secretul principal al subiectului muncii mele, a trebuit să muncesc din greu - să caut, să analizez informații, să chestionez colegii de clasă, să repet metodele cunoscute timpurii și să găsesc multe metode nefamiliare de calcul rațional și, în sfârșit, să înțeleg. care este secretul lui? Și mi-am dat seama că principalul este să le cunoaștem și să le poți aplica pe cele cunoscute, să găsesc noi metode raționale de numărare, tabla înmulțirii, alcătuirea numerelor (clasele și rangurile), legile operațiilor aritmetice. In afara de asta,

caută noi moduri:

- Tehnici de adunare simplificată a numerelor: (metoda adunării secvenţiale pe biţi; metoda numărului rotund; metoda de descompunere în termeni a unuia dintre factori);

-Tehnici de scădere simplificată a numerelor(metoda scăderii secvenţiale pe biţi; metoda numărului rotund);

-Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor(înmulțire cu unu urmată de zerouri; metodă de înmulțire secvențială pe biți; metoda numărului rotund; metodă de descompunere a unuia dintre factori ;

- Secretele numărării mentale rapide(înmulțirea unui număr din două cifre cu 11: la înmulțirea unui număr din două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt îndepărtate și suma acestor cifre este plasată în mijloc; produsul numerelor din două cifre care au același număr de zeci, iar suma celor este 10. Împărțirea numerelor din trei cifre formate din aceleași cifre, la numărul 37. Probabil că există multe mai multe astfel de moduri, așa că voi continua să lucrez la acest subiect în continuare an.

IV. Bibliografie

1. Savin A. P. Miniaturi matematice / A. P. Savin. – M.: Literatură pentru copii, 1991

2. Zubareva I.I., Matematică, clasa a 5-a: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Matematică-repetiție. ru

V. Aplicații

Mini studiu (sondaj sub forma unui chestionar)

Pentru a identifica cunoștințele elevilor despre numărarea rațională, am realizat un sondaj sub forma unui chestionar pe următoarele întrebări:

* Știți ce sunt tehnicile de numărare rațională?

* Dacă da, atunci de unde, iar dacă nu, atunci de ce?

* Câte moduri de numărare rațională cunoașteți?

* Ai dificultăți în calculul mental?

* Cum studiezi matematica? a) la „5”; b) la „4”; c) la „3”

*Ce îți place cel mai mult la matematică?

a) exemple; b) sarcini; c) fracţii

* Unde crezi că poate fi utilă aritmetica mentală, în afară de matematică? *Îți amintești legile operațiilor aritmetice și, dacă da, care sunt?

După ce am realizat un sondaj, mi-am dat seama că colegii mei nu știu suficient despre legile operațiilor aritmetice, majoritatea au probleme cu numărarea rațională, mulți elevi numără încet și cu erori și toată lumea vrea să învețe cum să numere rapid, corect și într-un mod convenabil. Prin urmare, tema muncii mele de cercetare este extrem de importantă pentru toți studenții și nu numai.

1. Metode interesante de calcul orale și scrise pe care le-am studiat la lecțiile de matematică, folosind exemple din manualul „Matematică, clasa a V-a”:

Aici sunt câțiva dintre ei:

pentru a înmulți rapid un număr cu 5, este suficient să rețineți că 5=10:2.

De exemplu, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Pentru a înmulți un număr cu 50 , îl poți înmulți cu 100 și împărți cu 2.

De exemplu: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Pentru a înmulți un număr cu 25 , îl poți înmulți cu 100 și împărți cu 4,

De exemplu, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Pentru a înmulți un număr cu 125 , îl poți înmulți cu 1000 și împărți cu 8,

De exemplu: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Pentru a împărți un număr rotund cu două 0 la sfârșit la 25 , îl poți împărți la 100 și înmulți cu 4.

De exemplu: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Pentru a împărți un număr rotund la 50 , poate fi împărțit la 100 și înmulțit cu 2

De exemplu: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Dar nu trebuie doar să fii capabil să calculezi, ci trebuie să cunoști și tabla înmulțirii, legile operațiilor aritmetice, compoziția numerelor (clase și cifre) și să ai abilitățile de a le folosi

Legile operațiilor aritmetice.

A + b = b + A

Legea comutativă a adunării

(A + b) + c = A + (b + c)

Legea combinației adunării

A · b = b · A

Legea comutativă a înmulțirii

(A · b) · c = A · (b · c)

Legea combinativă a înmulțirii

(A = b) · c = A · c = b · c

Legea distributivă a înmulțirii (în raport cu adunarea)

Tabelul înmulțirii.

Ce este înmulțirea?

Acesta este un plus inteligent.

La urma urmei, este mai inteligent să înmulți ori,

Apoi adăugați totul timp de o oră.

Tabelul înmulțirii

Cu toții avem nevoie de ea în viața noastră.

Și nu se cheamă degeaba

Ea S-A MULTIPLICAT!

Rang și clase

Pentru a facilita citirea și amintirea numerelor cu valori mari, acestea ar trebui împărțite în așa-numitele „clase”: pornind de la dreapta, numărul este împărțit printr-un spațiu în trei cifre „prima clasă”, apoi o alta sunt selectate trei cifre, „clasa a doua” și etc. În funcție de semnificația numărului, ultima clasă se poate termina cu trei, două sau o cifră.

De exemplu, numărul 35461298 este scris după cum urmează:

Acest număr este împărțit în clase:

482 – clasa întâi (clasa de unități)

630 – clasa a doua (clasa mii)

35 – clasa a treia (clasa milioane)

Descarcare

Fiecare dintre cifrele incluse în clasă se numește cifra sa, care se numără și din dreapta.

De exemplu, numărul 35.630.482 poate fi împărțit în clase și ranguri:

482 – clasa întâi

2 – prima cifră (cifra unităților)

8 – a doua cifră (locul zecilor)

4 – a treia cifră (locul sutelor)

630 – clasa a doua

0 – prima cifră (cifra de mii)

3 – a doua cifră (cifra de zeci de mii)

6 – a treia cifră (cifra de sute de mii)

35 – clasa a treia

5 – prima cifră (cifra de milioane)

3 – a doua cifră (cifra de zeci de milioane)

Numărul 35.630.482 se citește:

Treizeci și cinci de milioane șase sute treizeci de mii patru sute optzeci și doi.

Probleme cu numărarea rațională și cum să le rezolvi

Metode raționale de memorare.

În urma sondajului și a observațiilor din lecții, am observat că unii elevi nu rezolvă bine diverse probleme și exerciții pentru că nu sunt familiarizați cu tehnicile de calcul rațional.

1. Una dintre tehnici este de a aduce materialul studiat într-un sistem care este convenabil pentru memorare și stocare în memorie.

2. Pentru ca materialul memorat să fie stocat prin memorie într-un anumit sistem, este necesar să se efectueze unele lucrări asupra conținutului său.

3. Apoi poți începe să asimilezi fiecare parte individuală a textului, recitindu-l și încercând să reproduci imediat (repetă-ți singur sau cu voce tare) ceea ce citești.

4. Repetarea materialului este de mare importanță pentru memorare. Proverbul popular vorbește despre asta: „Repetarea este mama învățării”. Dar trebuie repetat cu înțelepciune și corect.

Opera de repetare trebuie însuflețită prin folosirea de ilustrații sau exemple care nu existau înainte sau au fost deja uitate.

Pe baza celor de mai sus, putem formula pe scurt următoarele recomandări pentru stăpânirea cu succes a materialului educațional:

1. Stabiliți o sarcină, amintiți-vă rapid și ferm materialul educațional pentru o lungă perioadă de timp.

2. Concentrați-vă pe ceea ce trebuie învățat.

3. Înțelegeți bine materialul de studiu.

4. Faceți un plan pentru textul memorat, evidențiind gândurile principale din acesta și împărțiți textul în părți.

5. Dacă materialul este mare, stăpânește secvențial o parte după alta și apoi prezintă totul ca un întreg.

6. După ce ați citit materialul, trebuie să îl reproduceți (spuneți ce ați citit).

7. Repetați materialul înainte de a fi uitat.

8. Distribuiți repetarea pe o perioadă mai lungă de timp.

9. Când memorezi, folosește diferite tipuri de memorie (în primul rând semantică) și unele caracteristici individuale ale memoriei tale (vizuală, auditivă sau motrică).

10. Materialele dificile trebuie repetate înainte de culcare, iar apoi dimineața, „pentru o memorie proaspătă”.

11. Încercați să aplicați în practică cunoștințele dobândite. Acesta este cel mai bun mod de a le păstra în memorie (nu fără motiv ei spun: „Adevărata mamă a învățării nu este repetarea, ci aplicarea”).

12. Trebuie să dobândim mai multe cunoștințe, să învățăm ceva nou.

Acum ați învățat cum să vă amintiți rapid și corect materialul pe care l-ați studiat.

O tehnică interesantă pentru înmulțirea unor numere cu 9 în combinație cu adăugarea numerelor naturale consecutive de la 2 la 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Joc interesant „Ghicește numărul”

Ai jucat jocul „Ghicește numărul”? Acesta este un joc foarte simplu. Să presupunem că mă gândesc la un număr natural mai mic de 100, notează-l pe hârtie (ca să nu existe posibilitatea de a înșela) și încerci să-l ghiciți punând întrebări la care se poate răspunde doar „da” sau „nu”. Apoi ghiciți un număr și eu încerc să-l ghicesc. Cine ghiceste corect în mai puține întrebări câștigă.

De câte întrebări vă vor fi necesare pentru a ghici numărul meu? Nu stiu? Mă angajez să vă ghicesc numărul punând doar șapte întrebări. Cum? Iată cum, de exemplu. Lăsați-vă să ghiciți un număr. Întreb: „Este mai puțin de 64?” - "Da". - „Mai puțin de 32?” - "Da". - „Mai puțin de 16?” - "Da". - „Mai puțin de 8?” - "Nu". - „Mai puțin de 12?” - "Nu". - „Mai puțin de 14?” - "Da". - „Mai puțin de 13?” - "Nu". - „Numărul 13 este planificat.”

Este clar? Împărțim setul de numere posibile în jumătate, apoi jumătatea rămasă din nou în jumătate și așa mai departe, până când restul conține un număr.

Dacă ți-a plăcut jocul sau, dimpotrivă, vrei mai mult, atunci mergi la bibliotecă și ridică cartea „A. P. Savin (Miniaturi matematice). În această carte veți găsi o mulțime de lucruri interesante și interesante. Imaginea cărții:

Mulțumesc tuturor pentru atenție

Si iti doresc succes!!!

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Care este secretul numărării raționale?

Scopul lucrării: căutarea de informații, studierea metodelor și tehnicilor existente de contabilitate rațională, aplicarea lor în practică.

sarcini: 1. Efectuați o mini-cercetare sub forma unui sondaj între clasele paralele. 2. Analizați pe tema de cercetare: literatură disponibilă în biblioteca școlii, informații din manualul de matematică pentru clasa a 5-a, precum și pe internet. 3. Selectați cele mai eficiente metode și mijloace de numărare rațională. 4. Clasificați tehnicile existente pentru numărare rapidă orală și scrisă. 5. Creați memorii care să conțină tehnici de numărare rațională pentru a fi utilizate în paralele de clasa a 5-a.

După cum am spus deja, subiectul calculului rațional este relevant nu numai pentru elevi, ci și pentru fiecare persoană, pentru a mă asigura de acest lucru, am realizat un sondaj în rândul elevilor de clasa a V-a. Întrebările și răspunsurile din sondaj vă sunt prezentate în anexă.

Ce este numărarea rațională? Un cont rațional este un cont convenabil (cuvântul rațional înseamnă convenabil, corect)

De ce au elevii dificultăți???

Iată câteva ipoteze: Elevul: 1. a înțeles prost subiectul studiat; 2. nu repetă materialul; 3. are abilități slabe de calcul; 4 . crede că nu va avea nevoie.

Metode raționale de calcul oral și scris. În muncă și viața de zi cu zi, apare în mod constant nevoia de diferite tipuri de calcule. Folosirea celor mai simple metode de numărare mentală reduce oboseala, dezvoltă atenția și memoria.

Există patru metode de adunare cunoscute care pot accelera calculele. I. Tehnici de adunare simplificată a numerelor

Metoda de adunare secvențială pe biți este utilizată în calculele mentale, deoarece simplifică și accelerează însumarea termenilor. Când utilizați această metodă, adunarea începe de la cifrele cele mai mari: cifrele corespunzătoare ale celui de-al doilea adunat sunt adăugate la primul adunat. Exemplu. Să găsim suma numerelor 5287 și 3564 folosind această metodă. Soluţie. Vom efectua calculul în următoarea succesiune: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8.287 + 500 = 8.787; 8.787 + 60 = 8.847; 8847 + 4 = 8851. Răspuns: 8.851.

Un alt mod de adunare secvenţială pe biţi este acela că cea mai mare cifră a celui de-al doilea adunat este adăugată la cea mai mare cifră a primului adunat, apoi următoarea cifră a celui de-al doilea aditiv este adăugată la următoarea cifră a primului adunat etc. Să luăm în considerare această soluție folosind exemplul dat, obținem: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Răspuns: 8851.

Metoda numerelor rotunde. Un număr care se termină cu unul sau mai multe zerouri se numește număr rotund. Această metodă se folosește atunci când, din doi sau mai mulți termeni, îi poți alege pe cei care pot fi completați pentru a forma un număr rotund. Diferența dintre numărul rotund și numărul specificat în condiția de calcul se numește complement. De exemplu, 1.000 - 978 = 22. În acest caz, numărul 22 este adunarea aritmetică a numărului 978 la 1.000. Pentru a efectua adunarea folosind metoda numerelor rotunde, trebuie să rotunjiți unul sau mai mulți termeni aproape de numerele rotunde, să efectuați adunarea numerelor rotunde și să scădeți adunările aritmetice din suma rezultată. Exemplu. Să găsim suma numerelor 1.238 și 193 folosind metoda numerelor rotunde. Soluţie. Să rotunjim numărul de la 193 la 200 și să facem adunarea după cum urmează: 1.238 + 193 = (1.238 + 200) - 7 = 1.431.

Metoda de grupare a termenilor. Această metodă este utilizată în cazul în care termenii, atunci când sunt grupați împreună, dau numere rotunde, care sunt apoi adunate. Exemplu. Aflați suma numerelor 74, 32, 67, 48, 33 și 26. Rezolvare. Să însumăm numerele grupate după cum urmează: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

O metodă de adăugare bazată pe termeni de grupare. Exemplu: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Tehnici de scădere simplificată a numerelor

Metoda de scădere secvenţială pe biţi. Această metodă scade secvenţial fiecare cifră scăzută din minuend. Este folosit când numerele nu pot fi rotunjite. Exemplu. Să aflăm diferența dintre numerele 721 și 398. Să executăm pașii pentru a găsi diferența dintre numerele date în următoarea succesiune: imaginați-vă numărul 398 ca o sumă: 300 + 90 + 8 = 398; Să efectuăm scăderea pe biți: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metoda numerelor rotunde. Această metodă este utilizată atunci când subtraend este aproape de un număr rotund. Pentru a calcula, este necesar să scădem scăderea, luată ca număr rotund, din minuend și să adăugați adunarea aritmetică la diferența rezultată. Exemplu. Să calculăm diferența dintre numerele 235 și 197 folosind metoda numerelor rotunde. Soluţie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor

Înmulțiți cu unu urmat de zerouri. La înmulțirea unui număr cu un număr care include unul urmat de zerouri (10; 100; 1.000 etc.), se adaugă în dreapta atâtea zerouri câte sunt în factorul după unu. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 568 și 100. Rezolvare. 568 x 100 = 56.800.

Metoda înmulțirii secvențiale pe biți. Această metodă este utilizată la înmulțirea unui număr cu orice număr format dintr-o singură cifră. Dacă trebuie să înmulțiți un număr de două cifre (trei, patru cifre etc.) cu un număr de o singură cifră, atunci mai întâi unul dintre factori este înmulțit cu zecile celuilalt factor, apoi cu unitățile sale și cu produsele rezultate sunt însumate. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 39 și 7. Soluţie. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Metoda numerelor rotunde. Această metodă este utilizată numai atunci când unul dintre factori este aproape de un număr rotund. Înmulțirea se înmulțește cu un număr rotund, apoi cu o adunare aritmetică, iar la sfârșit se scade al doilea din primul produs. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 174 și 69. Soluţie. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12.180 - 174 = 12.006.

O metodă de descompunere a unuia dintre factori. În această metodă, unul dintre factori este mai întâi împărțit în părți (adună), apoi al doilea factor este înmulțit pe rând cu fiecare parte a primului factor, iar produsele rezultate sunt însumate. Exemplu. Să găsim produsul numerelor 13 și 325. Soluţie. Să descompunăm numărul în termeni: 13 = 10 + 3. Înmulțiți fiecare dintre termenii rezultați cu 325: 10 x 325 = 3.250; 3 x 325 = 975 Însumăm produsele rezultate: 3.250 + 975 = 4.225.

Secretele calculului mental rapid. Există sisteme de numărare mentală care vă permit să numărați oral rapid și rațional. Ne vom uita la unele dintre cele mai frecvent utilizate tehnici.

Înmulțirea unui număr din două cifre cu 11.

Exemple: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (legea distributivă a înmulțirii relativ la adunare) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (legea distributivă și metoda numerelor rotunde) Am studiat această metodă, dar nu știam un alt secret al înmulțirii numerelor din două cifre cu 11.

Observând rezultatele obținute la înmulțirea numerelor de două cifre cu 11, am observat că puteți obține răspunsul într-un mod mai convenabil: la înmulțirea unui număr de două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt îndepărtate și suma acestora. cifrele sunt puse în mijloc. Exemple. a) 23 11=253, deoarece 2+3=5; b) 45 11=495, deoarece 4+5=9; c) 57 11=627, deoarece 5+7=12, cele două s-au așezat la mijloc, iar cea a fost adăugată la locul sutelor; Am găsit confirmarea acestei metode pe internet.

2) Produsul numerelor de două cifre care au același număr de zeci și suma unităților este 10, adică 23 27; 34 36; 52 58 etc. Regula: cifra zecilor se înmulțește cu următoarea cifră din seria naturală, rezultatul se notează și se adaugă produsul de unități. Exemple. a) 23 27=621. Cum ai obținut 621? Înmulțim numărul 2 cu 3 („doi” este urmat de „trei”), devine 6, iar lângă el adăugăm produsul celor: 3 7 = 21, rezultă 621. b) 34 36 = 1224, deoarece 3 4 = 12, atribuim 24 numărului 12, acesta este produsul unităților acestor numere: 4 6.

3) Împărțirea numerelor din trei cifre formate din cifre identice la numărul 37. Rezultatul este egal cu suma acestor cifre identice ale unui număr de trei cifre (sau un număr egal cu triplul cifrei unui număr de trei cifre). Exemple. a) 222:37=6. Aceasta este suma 2+2+2=6. b) 333:37=9, deoarece 3+3+3=9. c) 777:37=21, adică 7+7+7=21. d) 888:37=24, deoarece 8+8+8=24. De asemenea, luăm în considerare faptul că 888:24=37.

Stăpânirea abilităților de calcul mental rațional vă va face munca mai eficientă. Acest lucru este posibil numai cu o bună stăpânire a tuturor operațiilor aritmetice date. Utilizarea tehnicilor de numărare rațională accelerează calculele și asigură precizia necesară.

Concluzie Pentru a dezvălui secretul principal din tema muncii mele, a trebuit să muncesc din greu - să caut, să analizez informații, să chestionez colegii de clasă, să repet metodele cunoscute timpurii și să găsesc multe metode necunoscute de calcul rațional și, în sfârșit, să înțeleg care este secretul acestuia? Și mi-am dat seama că principalul lucru este să le cunoaștem și să le poți aplica pe cele cunoscute, să găsești noi metode raționale de numărare, să cunoști tabla înmulțirii, alcătuirea numerelor (clase și ranguri), legile operațiilor aritmetice. În plus, căutați noi moduri:

Tehnici de adunare simplificată a numerelor: (metoda adunării secvenţiale pe biţi; metoda numărului rotund; metoda de descompunere în termeni a unuia dintre factori); - Tehnici de scădere simplificată a numerelor (metoda scăderii secvenţiale pe biţi; metoda numărului rotund); - Tehnici de înmulțire simplificată a numerelor (înmulțirea cu unu urmată de zerouri; o metodă de înmulțire secvențială pe biți; o metodă a numerelor rotunde; o metodă de descompunere a unuia dintre factori; - Secretele calculului mental rapid (înmulțirea unui număr de două cifre cu 11: la înmulțirea unui număr din două cifre cu 11, cifrele acestui număr sunt depărtate și în mijloc se pun suma acestor cifre; produsul numerelor din două cifre care au același număr de zeci și suma de unități este 10. Împărțirea numerelor de trei cifre formate din aceleași cifre cu numărul 37. Probabil că există mult mai multe astfel de metode, așa că voi continua să lucrez la acest subiect anul viitor.

În concluzie, aș dori să-mi închei discursul cu următoarele cuvinte:

Va multumesc tuturor pentru atentie, va doresc succes!!!