Formule de bază ale planimetriei. Cum să găsiți zona formelor geometrice

Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață nesistemică este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața care se măsoară este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, unitatea de măsură a suprafeței plane este metrul pătrat. În GHS, unitatea de suprafață este exprimată ca un centimetru pătrat.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul ariilor figurilor plane se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe figuri, sunt derivate mai multe opțiuni din care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cea mai simplă soluție posibilă. Acest lucru va facilita calculul și va reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare principalele zone ale figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe opțiuni:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este considerată a fi partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă luăm piciorul ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,b și funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. O poți afla și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

Folosind această egalitate, vă puteți asigura, de asemenea, că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile picioarelor. Deoarece unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, a cărui latură a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă trebuie să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci veți avea nevoie de o funcție a sinusului unghiului format atunci când se intersectează. Această formulă pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este determinată ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un pătrat este dreptunghi. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calcularea ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați diagonala:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimea și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va fi necesară o anumită valoare, care va fi luată de funcția trigonometrică a unghiului format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind matematică simplă cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale din d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pentru un unghi drept această funcție este egală cu unitatea. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. Nici acest lucru nu este greu de demonstrat, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă problema indică lungimile acestora? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. Deoarece această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. Se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular se îmbină conceptele de înălțime și latură. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii laterale în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Să luăm în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri numite baze și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza lungimii egale cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale se potrivesc cu perechea specifică. Fețele opuse au aceiași parametri. Mai întâi, găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Atunci aria suprafeței paralelipipedului este:

Inel

Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul dintre ele, care calculează aria inelului, conține razele R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată prin diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului pe baza razelor cunoscute se calculează după cum urmează:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este regulată? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, ar putea fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Peake. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul liniei întrerupte cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează astfel:

unde B, G - numărul de puncte situate în interiorul și respectiv pe întreaga linie întreruptă.

Toate formulele pentru aria figurilor plane

Aria unui trapez isoscel

1. Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind laturile și unghiurile

a - baza inferioară

b - baza superioară

c - laturi egale

α - unghi la baza inferioară

Formula pentru aria unui trapez isoscel prin laturi, (S):

Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind laturile și unghiurile, (S):

2. Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește raza cercului înscris

R - raza cercului înscris

D - diametrul cercului înscris

O - centrul cercului înscris

H - înălțimea trapezului

α, β - unghiuri trapezoidale

Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește raza cercului înscris, (S):

FAIR, pentru un cerc înscris într-un trapez isoscel:

3. Formula pentru aria unui trapez isoscel prin diagonale și unghiul dintre ele

d- diagonala trapezului

α,β- unghiuri între diagonale

Formula pentru aria unui trapez isoscel prin diagonale și unghiul dintre ele, (S):

4. Formula pentru aria unui trapez isoscel prin linia mediană, partea laterală și unghiul de la bază

partea c-

m - linia mediană a trapezului

α, β - unghiuri la bază

Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind linia mediană, partea laterală și unghiul de bază,

(S):

5. Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind baze și înălțime

a - baza inferioară

b - baza superioară

h - înălțimea trapezului

Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind baze și înălțime, (S):

Aria unui triunghi bazat pe o latură și două unghiuri, formulă.

a, b, c - laturile triunghiului

α, β, γ - unghiuri opuse

Aria unui triunghi printr-o latură și două unghiuri (S):

Formula pentru aria unui poligon regulat

a - latura poligonului

n - numărul de laturi

Aria unui poligon regulat, (S):

Formula (Heron) pentru aria unui triunghi prin semiperimetrul (S):

Aria unui triunghi echilateral este:

Formule pentru calcularea ariei unui triunghi echilateral.

a - latura triunghiului

h – înălțime

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel?

b - baza triunghiului

a - laturi egale

h – înălțime

3. Formula pentru aria unui trapez folosind patru laturi

a - baza inferioară

b - baza superioară

c, d - laturile

Raza cercului circumscris unui trapez de-a lungul laturilor și diagonalelor

a - laturile laterale ale trapezului

c - baza inferioară

b - baza superioară

d - diagonala

h - înălțime

Formula circumradiusului trapez, (R)

găsiți circumraza unui triunghi isoscel folosind laturile

Cunoscând laturile unui triunghi isoscel, puteți folosi formula pentru a găsi raza cercului circumscris din jurul acestui triunghi.

a, b - laturile triunghiului

Circumraza unui triunghi isoscel (R):

Raza cercului înscris într-un hexagon

a - partea hexagonului

Raza cercului înscris într-un hexagon, (r):

Raza cercului înscris într-un romb

r - raza cercului înscris

a - latura rombului

D, d - diagonale

h - înălțimea rombului

Raza cercului înscris într-un trapez echilateral

c - baza inferioară

b - baza superioară

a - laturi

h - înălțime

Raza cercului înscris într-un triunghi dreptunghic

a, b - catetele triunghiului

c - ipotenuza

Raza cercului înscris într-un triunghi isoscel

a, b - laturile triunghiului

Demonstrați că aria unui patrulater înscris este

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

unde p este semiperimetrul și a, b, c și d sunt laturile patrulaterului.

Demonstrați că aria unui patrulater înscris într-un cerc este egală cu

1/2 (ab + cb) · sin α, unde a, b, c și d sunt laturile patrulaterului și α este unghiul dintre laturile a și b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Citiți mai multe pe FB.ru:

Aria unui patrulater arbitrar (Fig. 1.13) poate fi exprimată prin laturile sale a, b, c și suma unei perechi de unghiuri opuse:

unde p este semiperimetrul patrulaterului.

Aria unui patrulater înscris într-un cerc () (Fig. 1.14, a) se calculează folosind formula lui Brahmagupta

și descris (Fig. 1.14, b) () - conform formulei

Dacă patrulaterul este înscris și descris în același timp (Fig. 1.14, c), atunci formula devine foarte simplă:

Formula lui Pick

Pentru a estima aria unui poligon pe hârtie în carouri, este suficient să numărăm câte celule acoperă acest poligon (luăm aria unei celule ca una). Mai precis, dacă S este aria poligonului, este numărul de celule care se află în întregime în interiorul poligonului și este numărul de celule care au cel puțin un punct comun cu interiorul poligonului.

Mai jos vom lua în considerare doar acele poligoane ale căror vârfuri se află în nodurile hârtiei în carouri - acelea în care liniile grilei se intersectează. Se pare că pentru astfel de poligoane se poate specifica următoarea formulă:

unde este aria, r este numărul de noduri care se află strict în interiorul poligonului.

Această formulă se numește „formula Pick” - după matematicianul care a descoperit-o în 1899.

Ce este zona?

Aria este o caracteristică a unei figuri geometrice închise (cerc, pătrat, triunghi etc.), care arată dimensiunea acesteia. Aria se măsoară în centimetri pătrați, metri etc. Notat prin scrisoare S(pătrat).

Cum să găsiți aria unui triunghi?

S= A h

Unde A- lungimea bazei, h– înălțimea triunghiului trasat la bază.

În plus, baza nu trebuie să fie în partea de jos. O să fie și asta.

Dacă un triunghi obtuz, apoi înălțimea este coborâtă până la continuarea bazei:

Dacă un triunghi dreptunghiular, atunci baza și înălțimea sunt picioarele sale:

2. O altă formulă, care nu este mai puțin utilă, dar care din anumite motive este mereu uitată:

S= a b sinα

Unde AȘi b- două laturi ale triunghiului, sinα este sinusul unghiului dintre aceste laturi.

Condiția principală este ca unghiul să fie luat între două laturi cunoscute.

3. Formula pentru suprafața pe trei părți (formula lui Heron):

S=

Unde A, bȘi Cu sunt laturile triunghiului și R - semiperimetrul p = (a+b+c)/2.

4. Formula pentru aria unui triunghi în funcție de raza cercului circumscris:

S=

Unde A, bȘi Cu sunt laturile triunghiului și R – raza cercului circumscris.

5. Formula pentru aria unui triunghi în funcție de raza cercului înscris:

S= relatii cu publicul

Unde R - semiperimetrul unui triunghi și r – raza cercului înscris.

Cum să găsiți aria unui dreptunghi?

1. Aria unui dreptunghi se găsește destul de simplu:

S=A b

Fara trucuri.

Cum să găsiți aria unui pătrat?

1. Deoarece un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale, i se aplică aceeași formulă:

S=A · a = a 2

2. De asemenea, aria unui pătrat poate fi găsită prin diagonala acestuia:

S= d 2

Cum să găsiți aria unui paralelogram?

1. Aria unui paralelogram se găsește prin formula:

S=A h

Acest lucru se datorează faptului că, dacă tăiați un triunghi dreptunghic din el în dreapta și îl puneți în stânga, veți obține un dreptunghi:

2. De asemenea, aria unui paralelogram poate fi găsită prin unghiul dintre două laturi:

S=A · b · sinα

Cum să găsiți aria unui romb?

Un romb este în esență un paralelogram cu toate laturile egale. Prin urmare, i se aplică aceleași formule de zonă.

1. Aria unui romb prin înălțime:

S=A h

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple pe care le vom acoperi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie din a doua parte a profilului Unified State Examen de matematică, se folosesc alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale cu și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Răspuns: .

2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea acestui triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .

Răspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc.Găsiți aria unui sector al unui cerc de rază a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (deoarece), iar lungimea arcului unui sector dat este egală, prin urmare, lungimea arcului este un factor mai mic decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.