Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare x. Variabilă aleatoare discretă și funcția de distribuție a acesteia

Aleatoriu discret variabilele se numesc variabile aleatoare care iau doar valori care sunt îndepărtate unele de altele, care pot fi enumerate în prealabil.
legea distributiei
Legea distribuției unei variabile aleatoare este o relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.
Gama de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este o listă a valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete se numește funcție:
,
care determină pentru fiecare valoare a argumentului x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât acest x.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
,
unde este valoarea unei variabile aleatoare discrete; - probabilitatea de a accepta o variabilă aleatoare X valori.
Dacă o variabilă aleatorie ia un set numărabil de valori posibile, atunci:
.
Așteptările matematice ale numărului de apariții ale unui eveniment în n încercări independente:
,

Dispersia și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete
Dispersia unei variabile aleatoare discrete:
sau .
Variația numărului de apariții ale unui eveniment în n studii independente
,
unde p este probabilitatea producerii evenimentului.
Abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete:
.

Exemplul 1
Alcătuiți legea distribuției probabilității pentru o variabilă aleatoare discretă (d.r.v.) X – numărul k a cel puțin unui „șase” în n = 8 aruncări ale unei perechi de zaruri. Trasează poligonul de distribuție. Aflați caracteristicile numerice ale distribuției (modul de distribuție, așteptarea matematică M(X), varianța D(X), abaterea standard s(X)). Soluţie: Să introducem notația: evenimentul A - „în timpul aruncării unei perechi de zaruri, cei șase au apărut cel puțin o dată”. Pentru a găsi probabilitatea P(A) = p a evenimentului A, este mai convenabil să găsiți mai întâi probabilitatea P(Ā) = q a evenimentului opus Ā – „când aruncați o pereche de zaruri, cele șase nu apăreau nici măcar o singura data".
Deoarece probabilitatea de a nu apărea un „șase” la aruncarea unui zar este 5/6, atunci după teorema înmulțirii probabilității
P(Ā) = q = = .
Respectiv,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testele din problemă sunt efectuate conform schemei Bernoulli; prin urmare, d.r.v. magnitudinea X- număr k renunțarea la cel puțin șase atunci când aruncați două zaruri respectă legea binomială a distribuției probabilităților:

unde = este numărul de combinații din n De k.

Este convenabil să aranjați calculele efectuate pentru această problemă sub forma unui tabel:
Distribuția probabilității d.r.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
PN(k)

Poligon (poligon) al distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X prezentat în fig.:

Orez. Poligonul distribuției de probabilitate a d.r.v. X=k.
Linia verticală arată așteptările matematice ale distribuției M(X).

Să găsim caracteristicile numerice ale distribuției de probabilitate a d.r.v. X. Modul de distribuție este 2 (aici P 8(2) = 0,2932 maxim). Așteptările matematice, prin definiție, sunt:
M(X) = = 2,4444,
Unde xk = k este valoarea acceptată de d.r.v. X. dispersie D(X) găsim distribuțiile prin formula:
D(X) = = 4,8097.
Abaterea standard (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Exemplul 2
Variabilă aleatorie discretă X dat de legea distribuţiei

Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o.

Soluţie. Dacă , atunci (a treia proprietate).
Daca atunci . Într-adevăr, X poate lua valoarea 1 cu o probabilitate de 0,3.
Daca atunci . Într-adevăr, dacă satisface inegalitatea
, atunci este egală cu probabilitatea unui eveniment care poate fi realizat când X va lua valoarea 1 (probabilitatea acestui eveniment este 0,3) sau valoarea 4 (probabilitatea acestui eveniment este 0,1). Deoarece aceste două evenimente sunt incompatibile, atunci, conform teoremei de adunare, probabilitatea unui eveniment este egală cu suma probabilităților 0,3 + 0,1=0,4. Daca atunci . Într-adevăr, evenimentul este cert, prin urmare, probabilitatea sa este egală cu unu. Deci, funcția de distribuție poate fi scrisă analitic după cum urmează:

Graficul acestei funcții:
Să găsim probabilitățile corespunzătoare acestor valori. După condiție, probabilitățile de defecțiune a dispozitivelor sunt egale: atunci probabilitățile ca dispozitivele să fie funcționale în perioada de garanție sunt egale cu:




Legea distribuției are forma:

Definiție 2.3. O variabilă aleatoare notată cu X se numește discretă dacă ia un set finit sau numărabil de valori, de exemplu. multimea este o multime finita sau numarabila.

Luați în considerare exemple de variabile aleatoare discrete.

1. Două monede sunt aruncate o dată. Numărul de steme din acest experiment este o variabilă aleatorie X. Valorile sale posibile sunt 0,1,2, adică este o mulțime finită.

2. Se înregistrează numărul de apeluri la ambulanță într-o anumită perioadă de timp. Valoare aleatoare X– numărul de apeluri. Valorile sale posibile sunt 0, 1, 2, 3, ..., adică. =(0,1,2,3,...) este o mulțime numărabilă.

3. În grup sunt 25 de elevi. Într-o zi, se înregistrează numărul de elevi care au venit la cursuri - o variabilă aleatorie X. Valorile sale posibile sunt: ​​0, 1, 2, 3, ..., 25 i.e. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Deși toate cele 25 de persoane din exemplul 3 nu pot lipsi de la cursuri, dar variabila aleatoare X poate lua această valoare. Aceasta înseamnă că valorile unei variabile aleatoare au probabilități diferite.

Luați în considerare un model matematic al unei variabile aleatoare discrete.

Să fie efectuat un experiment aleator, care corespunde unui spațiu finit sau numărabil de evenimente elementare. Să luăm în considerare maparea acestui spațiu pe mulțimea numerelor reale, adică asociem fiecare eveniment elementar cu un număr real , . Setul de numere în acest caz poate fi finit sau numărabil, adică sau

Sistemul de submulțimi, care include orice submulțime, inclusiv una cu un punct, formează o -algebră a unei mulțimi numerice (-finit sau numărabil).

Întrucât orice eveniment elementar este asociat cu anumite probabilități p i(în cazul tuturor finite) și , atunci putem atribui o anumită probabilitate fiecărei valori a variabilei aleatoare p i, astfel încât .

Lăsa X este un număr real arbitrar. Denota R X (x) probabilitatea ca variabila aleatoare X a luat o valoare egală cu X, adică P X (x) \u003d P (X \u003d x). Apoi funcția R X (x) poate lua valori pozitive numai pentru acele valori X, care aparțin unei mulțimi finite sau numărabile , iar pentru toate celelalte valori, probabilitatea acestei valori P X (x)=0.

Deci, am definit setul de valori, -algebra ca un sistem al oricăror submulțimi și pentru fiecare eveniment ( X=x) a comparat probabilitatea pentru orice, i.e. construit un spațiu de probabilitate.

De exemplu, spațiul evenimentelor elementare ale unui experiment constând în aruncarea de două ori a unei monede simetrice este format din patru evenimente elementare: , unde

Când o monedă a fost aruncată de două ori, două zăbrele cădeau; când o monedă a fost aruncată de două ori, două steme au căzut;

La prima aruncare a unei monede, a căzut un grătar, iar la a doua, o stemă;

La prima aruncare a unei monede, stema a căzut, iar la a doua, grătarul.

Fie variabila aleatoare X este numărul de abandonuri ale rețelei. Este definit pe și setul de valori ale sale . Toate submulțimile posibile, inclusiv cele cu un punct, formează - o algebră, adică =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabilitatea unui eveniment ( X=x i}, і = 1,2,3 , îl definim ca fiind probabilitatea de apariție a unui eveniment care este prototipul său:

Astfel, asupra evenimentelor elementare ( X = x i) setați o funcție numerică R X, Asa de .

Definiție 2.4. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este un set de perechi de numere (xi, p i), unde x i sunt valorile posibile ale variabilei aleatoare, iar p i sunt probabilitățile cu care ia aceste valori și .

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel care listează valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare:

			…		…
			…		…

Un astfel de tabel se numește serie de distribuție. Pentru a face seria de distribuție mai vizuală, aceasta este reprezentată grafic: pe axă Oh pune puncte x iși trageți din ele perpendiculare de lungime p i. Punctele rezultate se conectează și se obține un poligon, care este una dintre formele legii distribuției (Fig. 2.1).

Astfel, pentru a seta o variabilă aleatoare discretă, trebuie să îi setați valorile și probabilitățile corespunzătoare.

Exemplul 2.2. Acceptătorul de numerar al aparatului este declanșat de fiecare dată când o monedă este aruncată cu o probabilitate R. Odată ce a funcționat, monedele nu sunt coborâte. Lăsa X- numărul de monede care trebuie redus înainte ca acceptorul de numerar al aparatului să fie declanșat. Construiți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X.

Soluţie. Valori posibile ale unei variabile aleatorii X: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ... Să găsim probabilitățile acestor valori: p 1 este probabilitatea ca sertarul de numerar să funcționeze la prima coborâre și p 1 =p; p 2 - probabilitatea ca două încercări să fie făcute. Pentru a face acest lucru, este necesar ca: 1) la prima încercare, receptorul de bani să nu funcționeze; 2) la a doua încercare - a funcționat. Probabilitatea acestui eveniment este (1–r)r. În mod similar și așa mai departe, . Domeniul de distribuție X va lua forma

	1	2	3	…	La	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 p

Rețineți că probabilitățile r la formați o progresie geometrică cu un numitor: 1–p=q, q<1, deci această distribuție de probabilitate se numește geometric.

Să presupunem în continuare că a fost construit un model matematic experiment descris de o variabilă aleatoare discretă X, și luați în considerare calculul probabilităților de apariție a evenimentelor arbitrare .

Fie ca un eveniment arbitrar să conțină un set finit sau numărabil de valori x i: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Eveniment A poate fi reprezentat ca o uniune de evenimente incompatibile de forma : . Apoi, aplicând axioma 3 a lui Kolmogorov , primim

întrucât am determinat ca probabilitățile de apariție a evenimentelor să fie egale cu probabilitățile de apariție a evenimentelor care sunt prototipurile lor. Aceasta înseamnă că probabilitatea oricărui eveniment , , poate fi calculat prin formula , deoarece acest eveniment poate fi reprezentat ca o uniune de evenimente, unde .

Apoi funcția de distribuție F(х) = Р(–<Х<х) se gaseste dupa formula. Rezultă că funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este discontinuă și crește în sărituri, adică este o funcție de treaptă (Fig. 2.2):

Dacă mulțimea este finită, atunci numărul de termeni din formulă este finit; dacă este numărabil, atunci și numărul de termeni este numărabil.

Exemplul 2.3. Dispozitivul tehnic este format din două elemente care funcționează independent unul de celălalt. Probabilitatea de defectare a primului element în timpul T este 0,2, iar probabilitatea de defectare a celui de-al doilea element este 0,1. Valoare aleatoare X- numărul de elemente eşuate în timpul T. Găsiţi funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare şi construiţi graficul acesteia.

Soluţie. Spațiul evenimentelor elementare ale experimentului, care constă în studierea fiabilității a două elemente ale unui dispozitiv tehnic, este determinat de patru evenimente elementare , , , : – ambele elemente sunt în stare bună; - primul element este funcțional, al doilea este defect; - primul element este defect, al doilea este reparabil; – ambele elemente sunt defecte. Fiecare dintre evenimentele elementare poate fi exprimat în termenii evenimentelor elementare ale spațiilor Și , unde – primul element este util; - primul element este deranjat; – al doilea element este util; - Al doilea element este neregulat. Apoi, și deoarece elementele dispozitivului tehnic funcționează independent unele de altele, atunci

8. Care este probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare discrete să aparțină intervalului?

X; sens F(5); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din intervalul . Construiți un poligon de distribuție.

1. Este cunoscută funcția de distribuție F(x) a unei variabile aleatoare discrete X:

Precizați legea distribuției unei variabile aleatoare X sub forma unui tabel.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Probabilitatea ca magazinul să aibă certificate de calitate pentru întreaga gamă de produse este de 0,7. Comisia a verificat disponibilitatea certificatelor în patru magazine din raion. Faceți o lege de distribuție, calculați așteptarea și variația matematică a numărului de magazine în care nu s-au găsit certificate de calitate în timpul verificării.

1. Pentru a determina timpul mediu de ardere al lămpilor electrice într-un lot de 350 de cutii identice, a fost luată pentru testare câte o lampă electrică din fiecare cutie. Estimați de mai jos probabilitatea ca durata medie de ardere a lămpilor electrice selectate să difere de durata medie de ardere a întregului lot cu o valoare absolută mai mică de 7 ore, dacă se știe că abaterea standard a timpului de ardere a lămpilor electrice în fiecare cutie este mai puțin de 9 ore.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 500 de conexiuni să existe:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Trasează funcțiile și . Calculați media, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Mașina automată face role. Se crede că diametrul lor este o variabilă aleatorie distribuită normal, cu o valoare medie de 10 mm. Care este abaterea standard dacă, cu o probabilitate de 0,99, diametrul se află în intervalul de la 9,7 mm la 10,3 mm.

Proba A: 6 9 7 6 4 4

Proba B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opțiunea 17.

1. Dintre cele 35 de părți, 7 sunt non-standard. Găsiți probabilitatea ca două părți alese la întâmplare să fie standard.

1. Aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor de pe fețele lăsate să fie un multiplu de 9.

1. Cuvântul „AVENTURĂ” este alcătuit din cărți, fiecare cu o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase în ordinea apariției să formeze un cuvânt: a) AVENTURĂ; b) CAPTURA.

1. O urnă conține 6 bile negre și 5 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 2 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o bilă neagră.

1. Aîntr-un test este 0,4. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment A va apărea de 3 ori într-o serie de 7 încercări independente;
2. eveniment A va apărea de cel puțin 220 și nu mai mult de 235 de ori într-o serie de 400 de provocări.

1. Fabrica a trimis 5.000 de produse de înaltă calitate la bază. Probabilitatea de deteriorare a fiecărui produs în tranzit este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca nu mai mult de 3 produse să fie deteriorate pe drum.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 9 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 3 negre. Din prima urna sunt extrase aleatoriu 3 bile si din a doua urna 4. Aflati probabilitatea ca toate bilele extrase sa fie de aceeasi culoare.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. În cutie sunt 10 creioane. 4 creioane sunt desenate la întâmplare. Valoare aleatoare X este numărul de creioane albastre dintre cele selectate. Găsiți legea distribuției sale, momentele inițiale și centrale ale ordinului 2 și 3.

1. Departamentul de control tehnic verifică 475 de produse pentru defecte. Probabilitatea ca un produs să fie defect este de 0,05. Aflați cu o probabilitate de 0,95 limitele care vor conține numărul de produse defecte dintre cele testate.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,003. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de conexiuni să existe:
1. cel puțin 4 conexiuni incorecte;
2. mai mult de două conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de densitate de distribuție:

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X. Trasează funcțiile și . Calculați așteptările matematice, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de distribuție:

1. După probă A rezolva urmatoarele sarcini:
1. faceți o serie de variații;

media eșantionului;

Varianta eșantionului

Mod și mediană;

Proba A: 0 0 2 2 1 4

1. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opțiunea 18.

1. Dintre cele 10 bilete de loterie, 2 sunt câștigătoare. Găsiți probabilitatea ca unul dintre cele cinci bilete extrase aleatoriu să fie câștigător.

1. Aruncă trei zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor aruncate să fie mai mare decât 15.

1. Cuvântul „PERIMETRU” este format din cărți, fiecare având o literă scrisă pe el. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase să formeze un cuvânt: a) PERIMETRU; b) CONTORUL.

1. O urna contine 5 bile negre si 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:
1. 4 bile albe;
2. mai puțin de 2 bile albe;
3. cel puțin o bilă neagră.

1. Probabilitatea unui eveniment Aîntr-un test este 0,55. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
1. eveniment A va apărea de 3 ori într-o serie de 5 provocări;
2. eveniment A va apărea de cel puțin 130 și nu mai mult de 200 de ori într-o serie de 300 de provocări.

1. Probabilitatea unei scurgeri într-o cutie de conserve este de 0,0005. Găsiți probabilitatea ca două din 2000 de borcane să aibă scurgeri.

1. Prima urnă conține 4 bile albe și 8 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 4 negre. 2 bile sunt extrase aleatoriu din prima urna si 3 bile sunt extrase aleator din a doua urna. Găsiți probabilitatea ca toate bilele extrase să fie de aceeași culoare.

1. Dintre piesele sosite la asamblare, de la prima mașină 0,1% sunt defecte, de la a doua - 0,2%, de la a treia - 0,25%, de la a patra - 0,5%. Productivitatea mașinilor este corelată în mod corespunzător ca 4:3:2:1. O parte luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca articolul să fi fost fabricat pe prima mașină.

1. Având în vedere legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Calculați așteptările și varianța sa matematică.

1. Un electrician are trei becuri, fiecare dintre ele având un defect cu o probabilitate de 0,1 .. Becurile sunt înșurubate în priză și curentul este pornit. Când curentul este pornit, becul defect se arde imediat și este înlocuit cu altul. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța numărului de becuri testate.

1. Probabilitatea de a lovi ținta este de 0,3 pentru fiecare dintre cele 900 de lovituri independente. Folosind inegalitatea Chebyshev, estimați probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 240 de ori și de cel mult 300 de ori.

1. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 800 de conexiuni să existe:
1. cel puțin trei conexiuni incorecte;
2. mai mult de patru conexiuni incorecte.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de densitate de distribuție:

Aflați funcția de distribuție a variabilei aleatoare X. Construiți grafice ale funcțiilor și . Calculați media, varianța, modul și mediana unei variabile aleatoare X.

1. Variabila aleatoare este dată de funcția de distribuție:

1. După probă A rezolva urmatoarele sarcini:
1. faceți o serie de variații;
2. calculați frecvențele relative și acumulate;
3. alcătuiți o funcție de distribuție empirică și construiți graficul acesteia;
4. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba A: 4 7 6 3 3 4

1. Pentru proba B, rezolvați următoarele probleme:
1. faceți o serie de variații grupate;
2. construiți o histogramă și un poligon de frecvențe;
3. calculați caracteristicile numerice ale seriei variaționale:

media eșantionului;

Varianta eșantionului

· deviație standard;

mod și mediană;

Proba B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opțiunea 19.

1. La șantier lucrează 16 femei și 5 bărbați. 3 persoane au fost alese aleatoriu în funcție de numărul de personal. Găsiți probabilitatea ca toate persoanele selectate să fie bărbați.

2. Se aruncă patru monede. Găsiți probabilitatea ca doar două monede să aibă o stemă.

3. Cuvântul „PSIHOLOGIE” este format din cartonașe, fiecare având scrisă o literă pe ea. Cărțile sunt amestecate și scoase pe rând fără să se întoarcă. Aflați probabilitatea ca literele scoase să formeze un cuvânt: a) PSIHOLOGIE; b) PERSONALUL.

4. O urna contine 6 bile negre si 7 albe. 5 bile sunt extrase aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie:

A. 3 bile albe;

b. mai puțin de 3 bile albe;

c. cel putin o bila alba.

5. Probabilitatea evenimentului Aîntr-un test este 0,5. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:

A. eveniment A va apărea de 3 ori într-o serie de 5 încercări independente;

b. eveniment A va apărea de cel puțin 30 și nu mai mult de 40 de ori într-o serie de 50 de provocări.

6. Există 100 de mașini de aceeași putere, care funcționează independent unele de altele în același mod, în care unitatea lor este pornită timp de 0,8 ore de lucru. Care este probabilitatea ca, la un moment dat, să fie pornite între 70 și 86 de mașini?

7. Prima urna contine 4 bile albe si 7 negre, iar a doua urna contine 8 bile albe si 3 negre. Se extrag aleatoriu 4 bile din prima urna si 1 bile din a doua urna. Găsiți probabilitatea ca printre bilele extrase să fie doar 4 bile negre.

8. În fiecare zi, la reprezentanța auto sunt livrate trei mărci de mașini în volume: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; „Volga” - 40% din toate mașinile importate. Dintre mașinile mărcii Moskvich, 0,5% au un dispozitiv antifurt, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Aflați probabilitatea ca mașina luată la testare să aibă un dispozitiv antifurt.

9. Numerează și sunt alese la întâmplare pe segment. Aflați probabilitatea ca aceste numere să satisfacă inegalitățile.

10. Este dată legea distribuţiei unei variabile aleatoare X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Găsiți funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X; sens F(2); probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valori din intervalul . Construiți un poligon de distribuție.

LEGEA DISTRIBUȚIEI ȘI CARACTERISTICI

VALORI ALEATORII

Variabile aleatoare, clasificarea lor și metode de descriere.

O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare, dar care nu este cunoscută dinainte. Pentru o variabilă aleatorie, prin urmare, pot fi indicate doar valori, dintre care una va lua neapărat ca rezultat al experimentului. Aceste valori vor fi denumite posibile valori ale variabilei aleatoare. Deoarece o variabilă aleatoare caracterizează cantitativ rezultatul aleatoriu al unui experiment, poate fi considerată o caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin, de exemplu, X..Y..Z, iar valorile lor posibile prin literele mici corespunzătoare.

Există trei tipuri de variabile aleatoare:

discret; Continuu; Amestecat.

Discret se numește o astfel de variabilă aleatorie, numărul de valori posibile al cărui număr formează un set numărabil. La rândul său, o mulțime numărabilă este o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate. Cuvântul „discret” provine din latinescul discretus, care înseamnă „discontinuu, format din părți separate”.

Exemplul 1. O variabilă aleatorie discretă este numărul de părți defecte X dintr-un lot de nfl. Într-adevăr, valorile posibile ale acestei variabile aleatoare sunt o serie de numere întregi de la 0 la n.

Exemplul 2. O variabilă aleatorie discretă este numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei. Aici, ca și în exemplul 1, valorile posibile pot fi numerotate, deși în cazul limită valoarea posibilă este un număr infinit de mare.

continuu se numește variabilă aleatoare, ale cărei valori posibile umple continuu un anumit interval al axei numerice, numit uneori interval de existență a acestei variabile aleatoare. Astfel, pe orice interval finit de existență, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit de mare.

Exemplul 3. O variabilă aleatoare continuă este consumul de energie electrică la întreprindere pentru o lună.

Exemplul 4. O variabilă aleatoare continuă este eroarea în măsurarea înălțimii folosind un altimetru. Să se știe din principiul de funcționare al altimetrului că eroarea se află în intervalul de la 0 la 2 m. Prin urmare, intervalul de existență a acestei variabile aleatoare este intervalul de la 0 la 2 m.

Legea distribuției variabilelor aleatoare.

O variabilă aleatoare este considerată complet specificată dacă valorile ei posibile sunt indicate pe axa numerică și se stabilește legea distribuției.

Legea distribuției unei variabile aleatoare se numește relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Se spune că o variabilă aleatorie este distribuită conform unei legi date sau supusă unei legi de distribuție date. Ca legi de distribuție sunt folosite un număr de probabilități, o funcție de distribuție, o densitate de probabilitate, o funcție caracteristică.

Legea distribuției oferă o descriere completă probabilă a unei variabile aleatoare. Conform legii distribuției, este posibil să se judece înainte de experiență care valori posibile ale unei variabile aleatoare vor apărea mai des și care sunt mai rar.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, legea distribuției poate fi dată sub forma unui tabel, analitic (sub forma unei formule) și grafic.

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel (matrice), care listează în ordine crescătoare toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare, de exemplu.

Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. 1

Evenimentele X 1 , X 2 ,..., X n , constând în faptul că, în urma testului, variabila aleatoare X va lua valorile x 1 , x 2 , respectiv... x n , sunt inconsecvente și singurele posibile (deoarece tabelul listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare), adică formează un grup complet. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu 1. Astfel, pentru orice variabilă aleatoare discretă

(Această unitate este oarecum distribuită între valorile variabilei aleatoare, de unde și termenul „distribuție”).

O serie de distribuție poate fi afișată grafic dacă valorile unei variabile aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor și probabilitățile lor corespunzătoare de-a lungul axei ordonatelor. Legătura punctelor obținute formează o linie întreruptă, numită poligon sau poligon al distribuției de probabilitate (Fig. 1).

Exemplu Se joacă loteria: o mașină de 5000 de den. unitati, 4 televizoare in valoare de 250 den. unitate, 5 VCR-uri în valoare de 200 den. unitati În total, 1000 de bilete sunt vândute pentru 7 den. unitati Întocmește legea de repartizare a câștigurilor nete primite de participantul la loterie care a cumpărat un bilet.

Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare X - câștiguri nete pe bilet - sunt 0-7 = -7 den. unitati (dacă biletul nu a câștigat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unitati (dacă biletul a câștigat VCR-ul, respectiv televizorul sau mașina). Având în vedere că din 1000 de bilete numărul necâștigătorilor este de 990, iar câștigurile indicate sunt 5, 4 și, respectiv, 1, iar folosind definiția clasică a probabilității, obținem.

Pe această pagină am adunat exemple de rezolvare educațională probleme pe variabile aleatoare discrete. Aceasta este o secțiune destul de extinsă: sunt studiate diferite legi de distribuție (binomiale, geometrice, hipergeometrice, Poisson și altele), proprietățile și caracteristicile numerice, pot fi construite reprezentări grafice pentru fiecare serie de distribuție: un poligon (poligon) de probabilități, o funcție de distribuție .

Mai jos veți găsi exemple de decizii despre variabile aleatoare discrete, în care este necesar să aplicați cunoștințele din secțiunile anterioare ale teoriei probabilităților pentru a întocmi o lege de distribuție, iar apoi să calculați așteptarea matematică, varianța, abaterea standard, construirea unei funcții de distribuție. , răspunde la întrebări despre DSV etc. P.

Exemple pentru legile populare de distribuție a probabilității:

Calculatoare pentru caracteristicile DSV

• Calculul așteptărilor matematice, varianței și abaterii standard a DSV.

Probleme rezolvate despre DSV

Distribuții apropiate de geometric

Sarcina 1. Pe drumul mașinii sunt 4 semafoare, fiecare interzicând mișcarea ulterioară a mașinii cu o probabilitate de 0,5. Aflați numărul de distribuție al numărului de semafoare trecute de mașină înainte de prima oprire. Care este așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare?

Sarcina 2. Vânătorul trage în joc înainte de prima lovitură, dar nu reușește să facă mai mult de patru lovituri. Notați legea distribuției pentru numărul de rateuri dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,7. Aflați varianța acestei variabile aleatoare.

Sarcina 3. Tragatorul, avand 3 cartuse, trage in tinta pana la prima lovitura. Probabilitățile de a lovi prima, a doua și a treia lovitură sunt 0,6, 0,5, 0,4, respectiv. S.V. $\xi$ - numărul de cartușe rămase. Compilați o serie de distribuție a unei variabile aleatoare, găsiți așteptarea matematică, varianța, abaterea standard a r.v., construiți funcția de distribuție a r.v., găsiți $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Sarcina 4. Cutia contine 7 piese standard si 3 piese defecte. Piesele se scot secvenţial până când apare cea standard, fără a le returna înapoi. $\xi$ - numărul de piese defecte recuperate.
Alcătuiți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă $\xi$, calculați așteptarea ei matematică, varianța, abaterea standard, desenați un poligon de distribuție și un grafic al funcției de distribuție.

Sarcini cu evenimente independente

Sarcina 5. 3 elevi au venit la reexaminarea în teoria probabilităților. Probabilitatea ca primul să treacă examenul este de 0,8, al doilea - 0,7, al treilea - 0,9. Găsiți seria de distribuție a variabilei aleatoare $\xi$ a numărului de studenți care au promovat examenul, construiți un grafic al funcției de distribuție, găsiți $M(\xi), D(\xi)$.

Sarcina 6. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8 și scade cu fiecare lovitură cu 0,1. Întocmește legea distribuției pentru numărul de lovituri pe țintă dacă sunt trase trei focuri. Găsiți așteptările matematice, varianța și S.K.O. această variabilă aleatoare. Reprezentați grafic funcția de distribuție.

Sarcina 7. Se trag 4 focuri în țintă. În acest caz, probabilitatea de a lovi crește astfel: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Găsiți legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de accesări. Aflați probabilitatea ca $X \ge 1$.

Sarcina 8. Se aruncă două monede simetrice, se numără numărul de steme de pe ambele fețe superioare ale monedelor. Considerăm o variabilă aleatorie discretă $X$ - numărul de steme de pe ambele monede. Scrieți legea distribuției variabilei aleatoare $X$, găsiți așteptările ei matematice.

Alte sarcini și legi de distribuție a DSV

Sarcina 9. Doi jucători de baschet fac trei lovituri în coș. Probabilitatea de a lovi pentru primul jucător de baschet este de 0,6, pentru al doilea - 0,7. Fie $X$ diferența dintre numărul de aruncări reușite ale primului și celui de-al doilea jucător de baschet. Găsiți seria de distribuție, modul și funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$. Construiți un poligon de distribuție și reprezentați grafic funcția de distribuție. Calculați așteptările matematice, varianța și abaterea standard. Aflați probabilitatea evenimentului $(-2 \lt X \le 1)$.

Sarcina 10. Numărul de nave nerezidente care sosesc zilnic pentru încărcare într-un anumit port este o valoare aleatorie $X$, dată după cum urmează:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) asigurați-vă că seria de distribuție este setată,
B) găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$,
C) dacă într-o anumită zi sosesc mai mult de trei nave, portul își asumă responsabilitatea pentru costurile datorate necesității de a angaja șoferi și încărcătoare suplimentare. Care este probabilitatea ca portul să suporte costuri suplimentare?
D) găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare $X$.

Sarcina 11. Aruncă 4 zaruri. Aflați așteptarea matematică a sumei numărului de puncte care vor cădea pe toate fețele.

Sarcina 12. Doi jucători aruncă pe rând o monedă până la prima apariție a stemei. Jucătorul a cărui stemă a căzut primește 1 rublă de la un alt jucător. Găsiți așteptările matematice ale câștigului fiecărui jucător.