Ceea ce se numește baza gradului. Ce este o putere a unui număr

În acest articol ne vom da seama despre ce este vorba gradul de. Aici vom da definiții ale puterii unui număr, în timp ce vom lua în considerare în detaliu toți exponenții posibili, începând cu exponentul natural și terminând cu cel irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade, acoperind toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Putere cu exponent natural, pătrat al unui număr, cub al unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția puterii unui număr a cu exponent natural n este dată pentru a, pe care o vom numi baza de grad, și n, pe care îi vom numi exponent. De asemenea, observăm că un grad cu exponent natural este determinat printr-un produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos trebuie să înțelegeți înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea unui număr cu exponent natural n este o expresie de forma a n, a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a, adică .
În special, puterea unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Merită menționat imediat despre regulile de citire a diplomelor. Modul universal de a citi notația a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptate și următoarele opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a a”. De exemplu, să luăm puterea 8 12, aceasta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul numărului, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătratul numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numere cube, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau puteți spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu exponenți naturali. Să începem cu gradul 5 7, aici 5 este baza gradului, iar 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza puterii 4.32 este scrisă în paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom pune în paranteze toate bazele puterii care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, dăm următoarele grade cu exponenți naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă, în acest moment vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3. Expresia (−2) 3 este o putere a lui −2 cu un exponent natural de 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valorii puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru puterea unui număr a cu un exponent n de forma a^n. În plus, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și iată mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în primul rând notația de grade a formei a n .

Una dintre problemele inverse ridicării la o putere cu exponent natural este problema găsirii bazei unei puteri dintr-o valoare cunoscută a puterii și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și fracții, iar fiecare fracție poate fi reprezentată ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit un grad cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția unui grad cu un exponent rațional, trebuie să dăm sens gradului numărului a cu un exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea putere-la-putere să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am determinat , atunci este logic să o acceptăm cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că pentru toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile (acest lucru s-a făcut în secțiunea proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă sunt date m, n și a expresia are sens, atunci puterea lui a cu un exponent fracționar m/n se numește rădăcina a n-a a lui a la puterea lui m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Tot ce rămâne este să descriem la ce m, n și a are sens expresia. În funcție de restricțiile impuse asupra m, n și a, există două abordări principale.

Cea mai ușoară modalitate este de a impune o constrângere pe a luând a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece pentru m≤0 gradul 0 al lui m nu este definit). Apoi obținem următoarea definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcina a n-a a numărului a la puterea m, adică .

Puterea fracționată a lui zero este, de asemenea, determinată cu singura avertizare că indicatorul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu această definiție a unui grad cu exponent fracționar, există o avertizare: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am eliminat aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, intrările au sens sau , iar definiția dată mai sus ne obligă să spunem că puterile cu un exponent fracționar al formei nu au sens, deoarece baza nu ar trebui să fie negativă.

O altă abordare pentru a determina un grad cu un exponent fracționar m/n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: puterea numărului a, al cărui exponent este , este considerată puterea numărului a, al cărei exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (vom explica mai jos importanța acestei condiții ). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (o rădăcină pare a unui număr negativ nu are sens); pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel va exista divizare cu zero). Iar pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la această definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea unui număr cu exponent fracționar ireductibil m/n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m/n, atunci ne-am confrunta cu situații similare următoare: deoarece 6/10 = 3/5, atunci egalitatea trebuie să fie valabilă. , Dar , A .

„Grad comparativ” - Un dihor locuia în aceeași gaură. N.f. Smart + MAI MULT - mai inteligent N.f. Smart + LESS - mai puțin inteligent. Rol într-o propoziție. Câinii noștri mai puțin ageri merg să aplaude șoarecii la curse. Instituția de învățământ municipal „Școala Gimnazială Elgai”. Un hamster este mai agil decât un cățel. Cumva, pantoful nostru a fost târât de cățelușul unui vecin mai puțin agil.

„Grad cu un indicator natural” - Gradul cu un indicator natural și întreg. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Determinarea gradului cu un indicator natural. 1 la orice putere este egal cu 1 1n=1. Ce este o diplomă? Cum să scriu pe scurt. Înmulțirea puterilor cu aceleași baze. N termeni. 10n=100000…0.

„Grad cu un exponent întreg” - Calculați. Exprimați expresia ca o putere. Exprimați expresia x-12 ca produsul a două puteri cu baza x dacă se cunoaște un factor. Aranjați în ordine descrescătoare. Simplifica. Pentru ce valori ale lui x este adevărată egalitatea?

„Ecuații de gradul al treilea” - (În al treilea caz - minimul, în al patrulea - maximul). În primul și al doilea caz spunem că funcția este monotonă în punctul x =. Formula noastră dă: „Marea Artă”. Așa că Tartaglia s-a lăsat convins. Lema. În al treilea și al patrulea caz spunem că funcția are un extremum în punctul x =. Deschiderea parantezelor.

„Proprietățile unui grad” - Generalizarea cunoștințelor și abilităților în aplicarea proprietăților unei diplome cu un indicator natural. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Brainstorming. Cubul ce număr este 64? Pauza de calcul. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Dezvoltarea perseverenței, a activității mentale și a activității creative.

„Rădăcina gradului al n-lea” - Definiția 2: A). Să cubăm ambele părți ale ecuației: - Expresie radicală. Luați în considerare ecuația x? = 1. Să ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere: Să reprezentăm funcțiile y = x? și y = 1. Conceptul rădăcinii a n-a a unui număr real. Dacă n este impar, atunci o rădăcină: Să construim grafice ale funcțiilor y = x? și y = 1.

Vă rugăm să rețineți că această secțiune discută conceptul grade numai cu exponent naturalși zero.

Conceptul și proprietățile puterilor cu exponenți raționali (cu negativ și fracționar) vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Deci, să ne dăm seama ce este puterea unui număr. Pentru a scrie produsul unui număr în sine, notația prescurtată este folosită de mai multe ori.

În loc de produsul a șase factori identici 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, scrieți 4 6 și spuneți „patru la puterea a șasea”.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Expresia 4 6 se numește puterea unui număr, unde:

• 4 — baza gradului;
• 6 — exponent.

În general, un grad cu baza „a” și exponentul „n” se scrie folosind expresia:

Tine minte!

Puterea unui număr „a” cu un exponent natural „n” mai mare decât 1 este produsul dintre „n” factori identici, fiecare dintre ei egal cu numărul „a”.

Intrarea „a n” se citește astfel: „a la puterea lui n” sau „a n-a putere a numărului a”.

Excepțiile sunt următoarele intrări:

• a 2 - poate fi pronunțat ca „un pătrat”;
• a 3 - poate fi pronunțat ca „un cub”.

• a 2 - „a la a doua putere”;
• a 3 - „a la a treia putere”.

Apar cazuri speciale dacă exponentul este egal cu unu sau zero (n = 1; n = 0).

Tine minte!

Puterea numărului „a” cu exponentul n = 1 este acest număr în sine:
a 1 = a

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.
a 0 = 1

Zero față de orice putere naturală este egal cu zero.
0 n = 0

Unu la orice putere este egal cu 1.
1 n = 1

Expresia 0 0 ( zero la puterea zero) sunt considerate lipsite de sens.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Când rezolvați exemple, trebuie să vă amintiți că ridicarea la o putere înseamnă găsirea unei valori numerice sau litere după ce o ridicați la o putere.

Exemplu. Ridicați-vă la putere.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Ridicarea unui număr negativ la putere

Baza (numărul care este ridicat la putere) poate fi orice număr - pozitiv, negativ sau zero.

Tine minte!

Ridicarea unui număr pozitiv la o putere produce un număr pozitiv.

Când zero este ridicat la o putere naturală, rezultatul este zero.

Când un număr negativ este ridicat la o putere, rezultatul poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ. Depinde dacă exponentul a fost un număr par sau impar.

Să ne uităm la exemple de ridicare a numerelor negative la puteri.

Din exemplele luate în considerare, este clar că dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci se obține un număr negativ. Deoarece produsul unui număr impar de factori negativi este negativ.

Dacă un număr negativ este ridicat la o putere pară, acesta devine un număr pozitiv. Deoarece produsul unui număr par de factori negativi este pozitiv.

Tine minte!

Un număr negativ ridicat la o putere pară este un număr pozitiv.

Un număr negativ ridicat la o putere impară este un număr negativ.

Pătratul oricărui număr este un număr pozitiv sau zero, adică:

a 2 ≥ 0 pentru orice a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Notă!

Când se rezolvă exemple de exponențiere, se comit adesea greșeli, uitând că intrările (−5) 4 și −5 4 sunt expresii diferite. Rezultatele ridicării acestor expresii la puteri vor fi diferite.

A calcula (−5) 4 înseamnă a găsi valoarea celei de-a patra puteri a unui număr negativ.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

În timp ce găsirea „−5 4” înseamnă că exemplul trebuie rezolvat în 2 pași:

1. Ridicați numărul pozitiv 5 la a patra putere.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Puneți un semn minus în fața rezultatului obținut (adică efectuați o acțiune de scădere).
   −5 4 = −625

Exemplu. Calculați: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedura în exemple cu grade

Calcularea unei valori se numește acțiune de exponențiere. Aceasta este a treia etapă de acțiune.

Tine minte!

În expresiile cu puteri care nu conțin paranteze, mai întâi faceți exponentiare, apoi înmulțirea și împărțirea, iar la final adunare si scadere.

Dacă expresia conține paranteze, atunci executați mai întâi acțiunile din paranteze în ordinea indicată mai sus, apoi efectuați acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Exemplu. Calculati:

Pentru a facilita rezolvarea exemplelor, este util să cunoașteți și să utilizați tabelul puterilor, pe care îl puteți descărca gratuit de pe site-ul nostru.

Pentru a vă verifica rezultatele, puteți utiliza calculatorul de pe site-ul nostru "