Care este nodul numerelor coprime? Cel mai mare divizor comun

Se numesc numerele naturale a și b prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1 (GCD(a; b) = 1). Cu alte cuvinte, dacă numerele a și b nu au alți factori comuni decât 1, atunci ele sunt între prime.

Exemple de perechi de numere coprime: 2 și 5, 13 și 16, 35 și 88 etc. Puteți specifica mai multe numere coprime, de exemplu, numerele 7, 9, 16 sunt coprime.

Adesea numerele coprime se notează după cum urmează: (a, b) = 1. De exemplu, (23, 30) = 1. Această notație este, parcă, o notație scurtă pentru cel mai mare divizor comun a două numere (GCD(23) , 30) = 1) și spune că cel mai mare divizor comun al lor este 1.

Două numere naturale adiacente vor fi întotdeauna relativ prime. De exemplu, 15 și 16 sunt o pereche de numere relativ prime, la fel ca 16 și 17. Acest lucru este ușor de înțeles dacă țineți cont de „regula” conform căreia, dacă două numere naturale a și b sunt divizibile cu același număr natural, mai mult decât 1 ( n > 1), atunci diferența lor trebuie să fie și divizibilă cu acest număr n (aici ne referim la faptul că a, b și diferența lor sunt divizibile cu un număr întreg, adică sunt multipli ai numărului n). Dar dacă a și b sunt două numere adiacente (fie a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Din definiția numerelor prime și a numerelor prime rezultă și că numere prime diferite sunt întotdeauna coprime. La urma urmei, divizorii oricărui număr prim sunt doar el însuși și 1.

Proprietățile numerelor coprime

• Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unei perechi de numere coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, (3, 8) = 1 (aceasta înseamnă coprim), prin urmare LCM lor este 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Într-adevăr, nu veți găsi un număr mai mic decât 24 care este un multiplu al lui 3 și al lui 8.
• Dacă numerele a și b sunt între prime și numărul c este un multiplu atât al lui a cât și al lui b, atunci acest număr va fi, de asemenea, un multiplu al produsului ab. Aceasta se poate scrie astfel: dacă c a și c b, atunci c ab. De exemplu, (3, 10) = 1, numărul 60 este un multiplu atât al lui 3, cât și al lui 10 și este, de asemenea, un multiplu al lui 30 (3 × 10).
• Dacă numerele a și b sunt între prime și numărul c este un multiplu al lui b (c b ), atunci produsul ac va fi și un multiplu al lui b (ac b ). De exemplu, (2, 17) = 1, fie c = 34. Numărul 34 este un multiplu al lui b = 17, apoi ac = 2 × 34 = 68. Verificăm: 68 ÷ 17 = 4, adică este divizibil cu un întreg, ceea ce înseamnă că 68 este un multiplu 17.

De obicei, există mai multe proprietăți decât sunt enumerate aici. În plus, proprietățile numerelor coprime sunt formulate în moduri diferite. De asemenea, poate fi necesar să se dovedească aceste proprietăți (în acest caz nu se oferă nicio dovadă).

Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime este întotdeauna unul.

Exemple de noduri de numere coprime.

MCD al numerelor 11 și 7

Numerele 11 și 7 sunt relativ prime și, în același timp, prime.

Numerele 11 și 7 nu au alți factori comuni în afară de 1.

mcd(11, 7) = 1

MCD al numerelor 11 și 15

Numerele 11 și 15 sunt relativ prime. Mai mult, 11 este un număr prim, iar 15 este un număr compus.

Divizorii lui 11 sunt 1 și 11.

Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5, 15.

După cum puteți vedea, singurul factor comun al numerelor 11 și 15 este numărul 1. Prin urmare, unitatea este MCD-ul numerelor 11 și 15:

mcd(11, 15) = 1

MCD al numerelor 10 și 21

Numerele 10 și 21 sunt relativ prime. Mai mult, atât numărul 10, cât și numărul 21 sunt compuse.

Factorii lui 10 sunt 1, 2, 5, 10.

Factorii lui 21 sunt 1, 3, 7, 21.

După cum puteți vedea, singurul factor comun al numerelor 10 și 21 este numărul 1. Prin urmare, unitatea este MCD-ul numerelor 10 și 21:

GCD(21, 10) = 1

MCD al numerelor 16 și 23

Numerele 16 și 23 sunt relativ prime. Mai mult, 23 este un număr prim, iar 16 este un număr compus.

Sarcină: Găsiți GCD și LCM de numere în cel mai convenabil mod:

a) 12 și 40; b) 9 și 40; c) 12 și 72.

Sarcina are 5 minute.

Care este cel mai convenabil mod de a rezolva fiecare exercițiu?

Analiza prin diapozitiv.

a) Este mai convenabil să se rezolve prin factorizarea în factori primi

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Numerele 9 și 40 au factori comuni? (există, 1.)

Cum se numesc aceste numere? ? (prim reciproc.)

Care este mcd-ul acestor numere? ? (GCD(9,40) = 1)

Care este LCM-ul acestor numere? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

c) Ce poți spune despre numerele 12 și 72 ? (72 împărțit la 12) Ce regula stim? (dacă un număr este divizibil cu altul, atunci GCD = cel mai mic număr și LCM = cel mai mare)

mcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Verificați datele pe care le-ați obținut cu standardul care se află pe biroul profesorului.

FO: Ei se autoevaluează după criteriile scrise pe foaia standard. Bifând caseta de lângă criteriu.

7 căpușe – nivel înalt

6-4 căpușe – nivel mediu

1-3 căpușe – nivel scăzut

Fizminutka

S-au ridicat repede, au zâmbit,

S-au tras din ce în ce mai sus.

Ei bine, îndreaptă-ți umerii,

Ridicați, coborâți.

Virați la dreapta, virați la stânga,

Atinge-ți mâinile cu genunchii.

S-au așezat, s-au ridicat, s-au așezat, s-au ridicat,

Și au fugit pe loc.

Întrebarea profesorului: Unde folosim deja cunoștințele noastre despre GCD și LCA ale numerelor?

La rezolvarea problemelor.

În fața lor, pe biroul profesorului, este un „Mușețel de sarcină” format din 21 de petale.

Red Petal – sarcini de nivel C.

Petală galbenă – sarcini de nivel B.

Petală verde – sarcini de nivel A.

	Masha a cumpărat ouă pentru Urs de la magazin. În drum spre pădure, ea și-a dat seama că numărul de ouă este divizibil cu 2,3,5,10 și 15. Câte ouă a cumpărat Masha?
	Buchete au fost colectate din 210 trandafiri visiniu, 126 albi și 294 roșii, fiecare buchet conținând un număr egal de trandafiri de aceeași culoare. Care este cel mai mare număr de buchete realizate din acești trandafiri și câți trandafiri de fiecare culoare sunt într-un buchet?
	Foaia de carton are forma unui dreptunghi, lungimea căruia este de 48 cm și lățimea de 40 cm.Această foaie trebuie tăiată în pătrate egale fără deșeuri. Care sunt cele mai mari pătrate care pot fi obținute din această fișă de lucru și câte?
	Câți soldați defilează pe terenul de paradă dacă mărșăluiesc în formație de 12 oameni pe rând și se schimbă într-o coloană de 18 persoane pe rând?
	În orașul-port încep trei excursii turistice cu barca, dintre care prima durează 15 zile, a doua – 20 și a treia – 12 zile. După ce s-au întors în port, navele au pornit din nou în aceeași zi. Astăzi, navele au părăsit portul pe toate cele trei rute. Peste câte zile vor merge din nou la navigație împreună pentru prima dată?Câte călătorii va face fiecare navă?
	Semineul din camera trebuie sa fie placat cu gresie in forma de patrat. De câte plăci vor fi necesare pentru un șemineu care măsoară 195 ͯ 156 cm și care sunt cele mai mari dimensiuni de plăci?
	Pasul lui Volodya este de 75 cm, iar pasul Katiei este de 60 cm. La ce distanță minimă vor face amândoi un număr întreg de pași?
	Pentru cadourile de Revelion am cumpărat 180 de mere, 90 de portocale și 900 de bomboane. Toți copiii au primit aceleași cadouri. Care este cel mai mare număr de cadouri identice făcute din aceste fructe și dulciuri?
	Un teren de grădină care măsoară 54 ͯ 48 m în jurul perimetrului trebuie să fie împrejmuit; pentru a face acest lucru, trebuie amplasați stâlpi de beton la intervale regulate. Câți stâlpi trebuie aduși pentru șantier și la ce distanță maximă unul de celălalt vor fi plasați stâlpii?
	Găsiți: LOC(360.252).
	Pentru cadourile de Revelion am achiziționat 78 de batoane de ciocolată, 156 de fursecuri din turtă dulce, 52 de pachete de fursecuri, 104 de portocale și 130 de mere. Care este cel mai mare număr de cadouri identice care pot fi colectate?
	Este necesar să se facă o cutie cu fundul pătrat pentru depozitarea cutiilor care măsoară 16 ͯ 20 cm. Care trebuie să fie cea mai scurtă lungime a laturii unui fund pătrat pentru a se potrivi cu cutiile cap la cap într-o cutie?
	Calculați GCD(720.216), LCM(720.216).
	Care este raportul dintre LCM (308,264) și GCD (308,264)?
	Pentru a amenaja bradul de Crăciun am cumpărat nuci, dulciuri și turtă dulce - 760 de bucăți în total. Au luat cu 80 de nuci mai multe decât dulciuri și cu 120 de turte dulce mai puține decât nuci. Care este cel mai mare număr de cadouri identice pentru copii care pot fi făcute din acest stoc?
	Găsiți LOC(84,160,96),
	Aflați câtul de împărțire a LCM(24, 2004) la GCD a acelorași numere.
	Găsiți cel mai mic număr natural care este multiplu al lui 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Găsiți GCD (56, 72).
	Pe masă sunt cărți, al căror număr este mai mic de 100. Câte cărți există dacă se știe că pot fi legate în pachete de 3, 4 și 5 bucăți?
	Mai puțin de 600, dar peste 500 de farfurii au fost aduse în magazin. Când au început să le așeze în zeci, din numărul total de zeci lipseau 3 farfurii, iar când au început să le așeze în zeci (12 farfurii fiecare), au mai rămas 7 farfurii. Câte farfurii ai adus la magazin?

FO: Numărul predominant de petale roșii indică un nivel ridicat de absorbție, galben - un nivel mediu de absorbție și verde - un nivel scăzut de absorbție.