Exemple de determinanți de ordinul al patrulea cu soluție. Calculul determinantului

Formularea problemei

Sarcina implică familiarizarea utilizatorului cu conceptele de bază ale metodelor numerice, cum ar fi determinantul și matricea inversă, precum și cu diferite moduri de a le calcula. În acest raport teoretic, într-un limbaj simplu și accesibil, sunt introduse mai întâi conceptele și definițiile de bază, pe baza cărora se efectuează cercetări ulterioare. Este posibil ca utilizatorul să nu aibă cunoștințe speciale în domeniul metodelor numerice și algebrei liniare, dar va putea utiliza cu ușurință rezultatele acestei lucrări. Pentru claritate, este dat un program de calcul al determinantului matricei prin mai multe metode, scris în limbajul de programare C++. Programul este folosit ca stand de laborator pentru crearea de ilustrații pentru raport. De asemenea, se efectuează un studiu al metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Inutilitatea calculării matricei inverse este dovedită, prin urmare, lucrarea oferă modalități mai optime de a rezolva ecuații fără a le calcula. Se explică de ce există atât de multe metode diferite de calculare a determinanților și matricelor inverse și sunt analizate deficiențele acestora. Sunt de asemenea luate în considerare erorile în calculul determinantului și se estimează acuratețea obținută. Pe lângă termenii ruși, echivalentele lor în engleză sunt, de asemenea, folosite în lucrare pentru a înțelege sub ce nume să caute proceduri numerice în biblioteci și ce înseamnă parametrii acestora.

Definiții de bază și proprietăți simple

Determinant

Să introducem definiția determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Această definiţie va recurent, adică pentru a stabili care este determinantul matricei de ordine, trebuie să știți deja care este determinantul matricei de ordine. Rețineți, de asemenea, că determinantul există numai pentru matrice pătrată.

Determinantul unei matrice pătrate va fi notat cu sau det .

Definiția 1. determinant matrice pătrată se numește numărul de ordine al doilea .

determinant matricea pătrată de ordin, se numește număr

unde este determinantul matricei de ordine obtinut din matrice prin stergerea primului rand si a coloanei cu numarul .

Pentru claritate, scriem cum puteți calcula determinantul unei matrice de ordinul al patrulea:

Cometariu. Calculul propriu-zis al determinanților pentru matricele de peste ordinul trei pe baza definiției este utilizat în cazuri excepționale. De regulă, calculul se efectuează conform altor algoritmi, care vor fi discutați mai târziu și care necesită mai puțină muncă de calcul.

Cometariu.În Definiția 1, ar fi mai corect să spunem că determinantul este o funcție definită pe mulțimea matricelor de ordine pătrată și luând valori în mulțimea numerelor.

Cometariu.În literatură, în locul termenului „determinant”, se folosește și termenul „determinant”, care are același sens. Din cuvântul „determinant” a apărut desemnarea det.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale determinanților, pe care le formulăm sub formă de aserțiuni.

Afirmația 1. La transpunerea unei matrice, determinantul nu se modifică, adică .

Afirmația 2. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților factorilor, adică .

Afirmația 3. Dacă două rânduri dintr-o matrice sunt schimbate, atunci determinantul său își va schimba semnul.

Afirmația 4. Dacă o matrice are două rânduri identice, atunci determinantul ei este zero.

În viitor, va trebui să adăugăm șiruri și să înmulțim un șir cu un număr. Vom efectua aceste operații pe rânduri (coloane) în același mod ca și operațiunile pe matrice de rând (matrice de coloană), adică element cu element. Rezultatul va fi un rând (coloană), care, de regulă, nu se potrivește cu rândurile matricei originale. În prezența operațiilor de adunare de rânduri (coloane) și de înmulțire a acestora cu un număr, putem vorbi și despre combinații liniare de rânduri (coloane), adică sume cu coeficienți numerici.

Afirmația 5. Dacă un rând al unei matrice este înmulțit cu un număr, atunci determinantul său va fi înmulțit cu acel număr.

Afirmația 6. Dacă matricea conține un rând zero, atunci determinantul său este zero.

Afirmația 7. Dacă unul dintre rândurile matricei este egal cu celălalt înmulțit cu un număr (rândurile sunt proporționale), atunci determinantul matricei este zero.

Afirmația 8. Fie rândul i din matrice să arate ca . Apoi, unde matricea se obține din matrice prin înlocuirea rândului i cu rândul, iar matricea se obține prin înlocuirea rândului i cu rândul.

Afirmația 9. Dacă unul dintre rândurile matricei este adăugat la altul, înmulțit cu un număr, atunci determinantul matricei nu se va schimba.

Afirmația 10. Dacă unul dintre rândurile unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri, atunci determinantul matricei este zero.

Definiția 2. Adunarea algebrică unui element de matrice se numește număr egal cu , unde este determinantul matricei obținut din matrice prin ștergerea rândului i și coloanei j. Complementul algebric la un element de matrice este notat cu .

Exemplu. Lăsa . Apoi

Cometariu. Folosind adunări algebrice, definiția unui determinant poate fi scrisă după cum urmează:

Afirmația 11. Descompunerea determinantului într-un șir arbitrar.

Determinantul matricei satisface formula

Exemplu. calculati .

Soluţie. Să folosim expansiunea din a treia linie, este mai profitabilă, pentru că în a treia linie două numere din trei sunt zerouri. obține

Afirmația 12. Pentru o matrice pătrată de ordin la , avem relația .

Afirmația 13. Toate proprietățile determinantului formulat pentru rânduri (propozițiile 1 - 11) sunt valabile și pentru coloane, în special, descompunerea determinantului în coloana j-a este valabilă și egalitate la .

Afirmația 14. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.

Consecinţă. Determinantul matricei de identitate este egal cu unu, .

Concluzie. Proprietățile enumerate mai sus fac posibilă găsirea determinanților matricilor de ordine suficient de mare cu o cantitate relativ mică de calcule. Algoritmul de calcul este următorul.

Algoritm pentru crearea zerourilor într-o coloană. Să fie necesar să se calculeze determinantul de ordine. Dacă , atunci schimbați prima linie și orice altă linie în care primul element nu este zero. Ca urmare, determinantul , va fi egal cu determinantul noii matrice cu semnul opus. Dacă primul element al fiecărui rând este egal cu zero, atunci matricea are o coloană zero și, prin afirmațiile 1, 13, determinantul său este egal cu zero.

Deci, considerăm că deja în matricea originală. Lăsați prima linie neschimbată. Să adăugăm la a doua linie prima linie, înmulțită cu numărul . Atunci primul element al celui de-al doilea rând va fi egal cu .

Elementele rămase din noul al doilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu . Înmulțiți prima linie cu numărul și adăugați-o la a treia. Primul element al noului al treilea rând va fi egal cu

Elementele rămase din noul al treilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu .

Vom continua procesul de obținere a zerourilor în locul primelor elemente de șiruri. În cele din urmă, înmulțim prima linie cu un număr și o adăugăm la ultima linie. Rezultatul este o matrice, notată cu , care are forma

și . Pentru a calcula determinantul matricei, folosim expansiunea din prima coloană

De atunci

Determinantul matricei de ordine este în partea dreaptă. Îi aplicăm același algoritm, iar calculul determinantului matricei se va reduce la calculul determinantului matricei de ordine. Procesul se repetă până ajungem la determinantul de ordinul doi, care se calculează prin definiție.

Dacă matricea nu are proprietăți specifice, atunci nu este posibil să se reducă semnificativ cantitatea de calcule în comparație cu algoritmul propus. O altă parte bună a acestui algoritm este că este ușor să scrieți un program pentru un computer pentru a calcula determinanții matricilor de ordine mari. În programele standard pentru calcularea determinanților, acest algoritm este utilizat cu modificări minore asociate cu minimizarea influenței erorilor de rotunjire și a erorilor de date de intrare în calculele computerizate.

Exemplu. Calculați determinantul matricei .

Soluţie. Prima linie este lăsată neschimbată. La a doua linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a patra linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. Drept urmare, obținem

Folosind același algoritm, calculăm determinantul unei matrice de ordinul 3, care se află în dreapta. Lăsăm prima linie neschimbată, la a doua linie o adunăm pe prima, înmulțită cu numărul :

La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul :

Drept urmare, obținem

Răspuns. .

Cometariu. Deși s-au folosit fracții în calcule, rezultatul a fost un număr întreg. Într-adevăr, folosind proprietățile determinanților și faptul că numerele originale sunt numere întregi, operațiile cu fracții ar putea fi evitate. Dar în practica ingineriei, numerele sunt extrem de rar numere întregi. Prin urmare, de regulă, elementele determinantului vor fi fracții zecimale și nu este indicat să folosiți niciun truc pentru a simplifica calculele.

matrice inversă

Definiția 3. Matricea se numește matrice inversă pentru o matrice pătrată dacă .

Din definiție rezultă că matricea inversă va fi o matrice pătrată de același ordin ca și matricea (altfel unul dintre produse sau nu ar fi definit).

Matricea inversă pentru o matrice se notează cu . Astfel, dacă există, atunci.

Din definiția unei matrice inversă, rezultă că matricea este inversul matricei, adică . Matrice și se poate spune că sunt inverse între ele sau reciproc inverse.

Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci inversul său nu există.

Deoarece pentru găsirea matricei inverse este important dacă determinantul matricei este egal cu zero sau nu, introducem următoarele definiții.

Definiția 4. Să numim matrice pătrată degenerat sau matrice specială, dacă nedegenerate sau matrice nesingulară, Dacă .

Afirmație. Dacă există o matrice inversă, atunci aceasta este unică.

Afirmație. Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci inversul ei există și (1) unde sunt adunări algebrice la elemente .

Teorema. O matrice inversă pentru o matrice pătrată există dacă și numai dacă matricea este nesingulară, matricea inversă este unică și formula (1) este validă.

Cometariu. O atenție deosebită trebuie acordată locurilor ocupate de adunări algebrice în formula matriceală inversă: primul indice arată numărul coloană, iar al doilea este numărul linii, în care trebuie scris complementul algebric calculat.

Exemplu. .

Soluţie. Găsirea determinantului

Deoarece , atunci matricea este nedegenerată, iar inversul pentru ea există. Găsirea adunărilor algebrice:

Compunem matricea inversă plasând adunările algebrice găsite astfel încât primul indice să corespundă coloanei, iar al doilea rândului: (2)

Matricea rezultată (2) este răspunsul la problemă.

Cometariu.În exemplul anterior, ar fi mai corect să scrieți răspunsul astfel:
(3)

Cu toate acestea, notația (2) este mai compactă și este mai convenabil să efectuați calcule suplimentare, dacă există, cu ea. Prin urmare, scrierea răspunsului în forma (2) este de preferat dacă elementele matricelor sunt numere întregi. Și invers, dacă elementele matricei sunt fracții zecimale, atunci este mai bine să scrieți matricea inversă fără un factor în față.

Cometariu. Când găsiți matricea inversă, trebuie să efectuați destul de multe calcule și o regulă neobișnuită pentru aranjarea adunărilor algebrice în matricea finală. Prin urmare, există șanse mari de eroare. Pentru a evita erorile, ar trebui să faceți o verificare: calculați produsul matricei originale cu cel final într-o ordine sau alta. Dacă rezultatul este o matrice de identitate, atunci matricea inversă este găsită corect. În caz contrar, trebuie să căutați o eroare.

Exemplu. Aflați inversul unei matrice .

Soluţie. - există.

Răspuns: .

Concluzie. Găsirea matricei inverse prin formula (1) necesită prea multe calcule. Pentru matricele de ordinul al patrulea și mai mari, acest lucru este inacceptabil. Algoritmul real pentru găsirea matricei inverse va fi dat mai târziu.

Calculul determinantului și al matricei inverse folosind metoda Gauss

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a găsi determinantul și matricea inversă.

Și anume, determinantul matricei este egal cu det .

Matricea inversă se găsește prin rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda de eliminare gaussiană:

Unde este j-a coloană a matricei de identitate, este vectorul dorit.

Vectorii soluție rezultați - formează, evident, coloanele matricei, deoarece .

Formule pentru determinant

1. Dacă matricea este nesingulară, atunci și (produsul elementelor conducătoare).

Metode de calcul al acestora

Definiție. Expresie

se numește determinant de ordinul al patrulea. Acest determinant poate fi scris astfel:

unde este minorul elementului la intersecția rândului i și coloanei j, este complementul algebric al acestui element.

Formula (6) poate fi scrisă folosind pictograma sumă:

, (7)

unde i=1,2,3,4.

Formula (7) se numește extinderea determinantului pe elemente

I-a linie. De asemenea, puteți scrie descompunerea determinantului peste elementele coloanei j-a:

(8)

unde j=1,2,3,4.

Metoda de scădere a ordinii unui determinant se bazează pe transformarea la zero a tuturor elementelor rândului sau coloanei determinantului, cu excepția unuia, folosind proprietățile determinanților.

Exemplul 11. Calculați determinant

.

Soluţie. Să adăugăm elementele primului rând la elementele celui de-al doilea rând:

.

Înmulțiți elementele primului rând cu (-2) și adăugați-le la elementele celui de-al treilea rând:

.

Înmulțiți elementele primului rând cu (-1) și adăugați-le la elementele celui de-al patrulea rând:

.

Să extindem determinantul rezultat cu elementele primei coloane

Să rearanjam primele două rânduri, în timp ce semnul determinantului se va schimba în opus, în același timp vom scoate factorul comun a 3 elemente din a treia coloană dincolo de semnul determinantului:

.

Înmulțiți elementele primului rând cu (-2) și adăugați elementele celui de-al doilea rând:

.

Extindem determinantul rezultat cu elementele celui de-al doilea rând

Exemplul 12. Calculați determinant .

Soluţie. Să schimbăm primul și al doilea rând și, conform proprietății 2, semnul determinantului se va schimba în opus:

.

În primul rând, înmulțim elementele primului rând cu (-2) și le adăugăm la elementele celui de-al doilea și al patrulea rând, apoi înmulțim elementele primului rând cu (-3) și le adăugăm la elementele din al treilea rând, obținem:

.

Adăugăm elementele celui de-al doilea rând la elementele celui de-al patrulea rând:

.

Înmulțiți elementele celui de-al treilea rând cu (-1) și adăugați-le la elementele celui de-al patrulea rând:

.

Obținem un determinant triunghiular, a cărui valoare este egală cu produsul elementelor diagonalei principale.

Exemplul 13. Calculați determinant

.

Soluţie. Extindeți determinantul cu elementele celui de-al treilea rând

Determinanții de ordin al treilea obținuți pot fi calculați după regula triunghiului

Sarcini pentru decizie independentă.

1. Calculați determinanții:

2. Rezolvați ecuații:

3. Rezolvați inegalitățile:

4. Calculați determinanții:

Raspunsuri: 1. a) 7; b) 26; c) 0; d)0; e) 30. 2 . a) 5; b) 2; la 2;

G) 3 . A) b) V) d)[-1;7]. 4 . a) -24; b) -40; la 9; d) 57; e) -5; f)1; g)1; h) 55; i) 30; j) 48; k)0; m) -1004; m)150.

matrici

Noțiuni de bază

Definiție. O matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri de aceeași lungime și n coloane de aceeași lungime, care se scrie ca

(9)

sau, pe scurt, , Unde , (adică ) - Numărul de linie, (acestea. ) este numărul coloanei, numerele se numesc elemente de matrice. Matricea se numește matricea mărimii și este scrisă. De exemplu. , .

Definiție. Două matrice Și sunt egale între ele dacă dimensiunile lor sunt aceleași, iar elementele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. , Dacă , Unde .

De exemplu. Deoarece dimensiunile matricelor sunt aceleași și elementele corespunzătoare sunt egale, deci matricele și sunt egale, i.e.

Definiție. O matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane se numește matrice pătrată. O matrice de dimensiune pătrată se numește matrice de ordinul n-lea.

De exemplu. acestea. dată o matrice de ordinul doi.

Definiție. O matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția elementelor diagonalei principale, sunt egale cu zero, se numește diagonală.

Matrice - diagonala.

Definiție. O matrice diagonală în care fiecare element al diagonalei principale este egal cu unu se numește matrice de identitate. Este marcat cu o literă.

sau .

Definiție. O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele situate deasupra diagonalei principale (sau sub diagonala principală) sunt egale cu zero.

sau sunt matrici triunghiulare.

O caracteristică importantă a unei matrice pătrate de ordinul n este determinantul (sau determinantul), care este notat cu sau . .

Definiție. O matrice pătrată al cărei determinant este diferit de zero, adică , se numește nedegenerat. În caz contrar, matricea se numește degenerată.

De exemplu,

Matrice A- degenerat.

Matrice ÎN- nedegenerate.

Definiție. O matrice, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero, se numește zero și se notează cu litera O.

În calculul matriceal, matricele O și E joacă rolul numerelor 0 și 1 în aritmetică.

Definiție. O matrice care conține un rând se numește matrice de rând.

O matrice de dimensiune , constând dintr-un număr, este identificată cu acest număr, adică au 3.

Definiție. O matrice obtinuta de la una data prin inlocuirea fiecaruia dintre randurile sale cu o coloana cu acelasi numar se numeste matrice transpusa in cea data. Desemnat .

Dacă , Acea , Dacă , Acea .

Matricea transpusă are următoarea proprietate: .

În cursul rezolvării problemelor de matematică superioară, este foarte adesea necesar să calculați determinantul matricei. Determinantul matricei apare în algebra liniară, geometria analitică, analiza matematică și alte ramuri ale matematicii superioare. Astfel, pur și simplu nu se poate face fără priceperea de a rezolva determinanți. De asemenea, pentru autotestare, puteți descărca gratuit calculatorul de determinanți, nu vă va învăța cum să rezolvați determinanții de la sine, dar este foarte convenabil, deoarece este întotdeauna benefic să cunoașteți răspunsul corect în avans!

Nu voi da o definiție matematică strictă a determinantului și, în general, voi încerca să minimizez terminologia matematică, acest lucru nu va ușura majoritatea cititorilor. Scopul acestui articol este să vă învețe cum să rezolvați determinanții de ordinul al doilea, al treilea și al patrulea. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă și chiar și un ibric plin (gol) la matematică superioară, după un studiu atent al materialului, va putea rezolva corect determinanții.

În practică, cel mai adesea puteți găsi un determinant de ordinul doi, de exemplu: , și un determinant de ordinul trei, de exemplu: .

Determinant de ordinul al patrulea de asemenea, nu este o antichitate și vom ajunge la el la sfârșitul lecției.

Sper ca toata lumea sa inteleaga urmatoarele: Numerele din interiorul determinantului trăiesc de la sine și nu se pune problema vreunei scăderi! Nu poți schimba numerele!

(În special, este posibil să se efectueze permutări în perechi ale rândurilor sau coloanelor unui determinant cu o schimbare a semnului său, dar adesea acest lucru nu este necesar - vezi lecția următoare Proprietățile unui determinant și scăderea ordinii acestuia)

Astfel, dacă este dat vreun determinant, atunci nu atinge nimic în interiorul ei!

Notaţie: Dacă i se oferă o matrice , atunci determinantul său se notează cu . De asemenea, de foarte multe ori determinantul este notat printr-o literă latină sau greacă.

1)Ce înseamnă a rezolva (găsește, dezvălui) un determinant? Pentru a calcula determinantul este să GĂSIȚI NUMĂRUL. Semnele de întrebare din exemplele de mai sus sunt numere complet obișnuite.

2) Acum rămâne de dat seama CUM să găsesc acest număr? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați anumite reguli, formule și algoritmi, care vor fi discutate acum.

Să începem cu determinantul „doi” la „doi”:

ASTA TREBUIE REAMINAT, cel puțin pentru perioada studierii matematicii superioare la universitate.

Să ne uităm imediat la un exemplu:

Gata. Cel mai important, NU CONFUNDA SEMNE.

Determinant de matrice trei câte trei poate fi deschis în 8 moduri, 2 dintre ele sunt simple și 6 sunt normale.

Să începem cu două moduri simple

Similar cu determinantul „doi cu doi”, determinantul „trei cu trei” poate fi extins folosind formula:

Formula este lungă și este ușor să faci o greșeală din cauza neatenției. Cum să eviți greșelile jenante? Pentru aceasta, a fost inventată o a doua metodă de calcul a determinantului, care de fapt coincide cu prima. Se numește metoda Sarrus sau metoda „fâșiilor paralele”.
Linia de jos este că prima și a doua coloană sunt atribuite la dreapta determinantului, iar liniile sunt trasate cu grijă cu un creion:

Factorii localizați pe diagonalele „roșii” sunt incluși în formulă cu un semn „plus”.
Factorii localizați pe diagonalele „albastre” sunt incluși în formula cu semnul minus:

Exemplu:

Comparați cele două soluții. Este ușor de observat că acesta este ACEȘI, doar în al doilea caz factorii formulei sunt ușor rearanjați și, cel mai important, probabilitatea de a face o greșeală este mult mai mică.

Acum luați în considerare cele șase moduri normale de a calcula determinantul

De ce normal? Pentru că în marea majoritate a cazurilor, determinanții trebuie deschiși în acest fel.

După cum puteți vedea, determinantul de trei câte trei are trei coloane și trei rânduri.
Puteți rezolva determinantul extinzându-l pe orice rând sau pe orice coloană.
Astfel, se dovedește 6 moduri, în timp ce în toate cazurile se utilizează de acelasi tip algoritm.

Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor rândului (coloanei) și adunărilor algebrice corespunzătoare. Infricosator? Totul este mult mai simplu, vom folosi o abordare neștiințifică, dar de înțeles, accesibilă chiar și unei persoane care este departe de matematică.

În exemplul următor, vom extinde determinantul pe prima linie.
Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o matrice de semne: . Este ușor de observat că semnele sunt eșalonate.

Atenţie! Matricea semnelor este propria mea invenție. Acest concept nu este științific, nu trebuie utilizat în proiectarea finală a sarcinilor, ci doar vă ajută să înțelegeți algoritmul de calcul al determinantului.

Voi da mai întâi soluția completă. Din nou, luăm determinantul nostru experimental și efectuăm calcule:

Și întrebarea principală: CUM să obțineți acest lucru din determinantul „trei cu trei”:
?

Deci, determinantul „trei cu trei” se rezumă la rezolvarea a trei determinanți mici, sau cum mai sunt numite, MINORI. Vă recomand să vă amintiți termenul, mai ales că este memorabil: minor - mic.

De îndată ce se alege metoda de expansiune a determinantului pe prima linie, evident totul se invarte in jurul lui:

Elementele sunt de obicei vizualizate de la stânga la dreapta (sau de sus în jos dacă ar fi selectată o coloană)

Să mergem, mai întâi ne ocupăm de primul element al șirului, adică de unitatea:

1) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne:

2) Apoi scriem elementul în sine:

3) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care primul element este:

Cele patru numere rămase formează determinantul „două câte doi”, care se numește MINOR elementul (unitatea) dat.

Trecem la al doilea element al liniei.

4) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne:

5) Apoi scriem al doilea element:

6) Trimiteți MENTAL rândul și coloana care conțin al doilea element:

Ei bine, al treilea element din prima linie. Fără originalitate

7) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne:

8) Notați al treilea element:

9) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care al treilea element este:

Celelalte patru numere sunt scrise cu un mic determinant.

Restul pașilor nu sunt dificili, deoarece știm deja să numărăm determinanții „doi câte doi”. NU CONFUNDATI SEMNELE!

În mod similar, determinantul poate fi extins pe orice rând sau peste orice coloană. Desigur, în toate cele șase cazuri răspunsul este același.

Determinantul „patru cu patru” poate fi calculat folosind același algoritm.
În acest caz, matricea semnelor va crește:

În exemplul următor, am extins determinantul pe coloana a patra:

Și cum s-a întâmplat, încercați să vă dați seama singur. Mai multe informații vor veni mai târziu. Dacă cineva dorește să rezolve determinantul până la capăt, răspunsul corect este: 18. Pentru antrenament, este mai bine să deschideți determinantul într-o altă coloană sau altă linie.

A exersa, a dezvălui, a face calcule este foarte bine și util. Dar cât timp vei petrece pe un factor determinant mare? Nu există o modalitate mai rapidă și mai fiabilă? Vă sugerez să vă familiarizați cu metode eficiente de calculare a determinanților în a doua lecție - Proprietățile unui determinant. Reducerea ordinii determinantului .

ATENȚIE!

Al doilea ordin este un număr egal cu diferența dintre produsul numerelor care formează diagonala principală și produsul numerelor de pe diagonala laterală, puteți găsi următoarele denumiri ale determinantului: ; ; ; detA(determinant).

.

Exemplu:
.

Determinantul unei matrice de ordinul trei se numește un număr sau o expresie matematică, calculată după următoarea regulă

Cel mai simplu mod de a calcula determinantul de ordinul trei este să adăugați determinantul primelor două rânduri de jos.

În tabelul format al numerelor se înmulțesc elementele de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu cea principală, semnul rezultatului produsului nu se modifică. Următoarea etapă a calculelor este o înmulțire similară a elementelor pe diagonala secundară și pe cele paralele cu aceasta. Semnele rezultatelor produsului sunt inversate. Apoi adăugați cei șase termeni rezultați.

Exemplu:

Descompunerea determinantului de elementele unui rând (coloană).

Minor M ij element şi ij matrice pătrată A numit determinant, compus din elementele matricei A, rămânând după ștergere eu- oh linie și j-a coloană.

De exemplu, un minor la un element un 21 matrici de ordinul trei
va fi un determinant
.

Vom spune că elementul şi ij ocupă o poziţie egală dacă i+j(suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află acest element) - un număr par, un loc impar, dacă i+j- numar impar.

Adunarea algebrică Și ij element şi ij matrice pătrată A numită expresie (sau valoarea minorului corespunzător, luată cu semnul „+” dacă elementul matricei ocupă un loc par și cu semnul „-” dacă elementul ocupă un loc impar).

Exemplu:

un 23= 4;

- complement algebric al unui element un 22= 1.

teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui rând (coloană) și adunărilor algebrice corespunzătoare.

Să ilustrăm cu exemplul unui determinant de ordinul trei. Puteți calcula determinantul de ordinul al treilea extinzând pe primul rând după cum urmează

În mod similar, puteți calcula determinantul de ordinul trei prin extinderea pe orice rând sau coloană. Este convenabil să extindeți determinantul de-a lungul rândului (sau coloanei) care conține mai multe zerouri.

Exemplu:

Astfel, calculul determinantului de ordinul 3 se reduce la calculul a 3 determinanți de ordinul doi. În cazul general, se poate calcula determinantul unei matrice pătrate n-a ordinul, reducându-l la calcul n determinanti ( n-1)-a ordine

Cometariu. Nu există modalități simple de calculare a determinanților de ordin superior, similare cu metodele de calculare a determinanților de ordinul 2 și 3. Prin urmare, numai metoda de descompunere poate fi utilizată pentru a calcula determinanții de peste ordinul trei.

Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea.

Extindeți determinantul cu elementele celui de-al treilea rând

Proprietățile determinanților:

1. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers.

2. La permutarea a două rânduri (coloane) adiacente, determinantul își schimbă semnul în opus.

3. Determinantul cu două rânduri (coloane) identice este 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (coloană) a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare oricărei alte coloane (rânduri) înmulțite cu un număr sunt adăugate elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) ale acesteia.

Conceptul de determinant este unul dintre cele mai importante în cursul algebrei liniare. Acest concept este inerent NUMAI MATRICE PĂTRATE, iar acest articol este dedicat acestui concept. Aici vom vorbi despre determinanții matricilor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe). În acest caz, determinantul este un număr real (sau complex). Toate prezentările ulterioare vor fi un răspuns la întrebările despre cum se calculează determinantul și ce proprietăți are acesta.

În primul rând, dăm definiția determinantului unei matrici pătrate de ordin n cu n ca sumă a produselor permutărilor elementelor matricei. Pe baza acestei definiții, scriem formule pentru calcularea determinanților matricelor de ordinul întâi, al doilea și al treilea și analizăm în detaliu soluțiile mai multor exemple.

În continuare, ne întoarcem la proprietățile determinantului, pe care le vom formula sub formă de teoreme fără demonstrație. Aici se va obține o metodă de calcul a determinantului prin extinderea acestuia peste elementele unui rând sau coloane. Această metodă reduce calculul determinantului unei matrici de ordin n cu n la calculul determinanților matricelor de ordin 3 cu 3 sau mai puțin. Asigurați-vă că arătați soluții pentru mai multe exemple.

În concluzie, să ne oprim asupra calculului determinantului prin metoda Gauss. Această metodă este bună pentru a găsi determinanți ai matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3 deoarece necesită mai puțin efort de calcul. Vom analiza și soluția de exemple.

Navigare în pagină.

Definiția matricei determinant, calculul matricei determinant prin definiție.

Reamintim câteva concepte auxiliare.

Definiție.

Permutarea ordinului n se numeste multime ordonata de numere, formata din n elemente.

Pentru o mulțime care conține n elemente, există n! (n factorial) de permutări de ordinul n. Permutările diferă între ele numai în ordinea elementelor.

De exemplu, să considerăm o mulțime formată din trei numere: . Notăm toate permutările (sunt șase în total, deoarece ):

Definiție.

Inversarea într-o permutare a ordinului n se numește orice pereche de indici p și q, pentru care elementul p al permutației este mai mare decât q-lea.

În exemplul anterior, inversul permutației 4 , 9 , 7 este p=2 , q=3 , deoarece al doilea element al permutației este 9 și este mai mare decât al treilea element, care este 7 . Inversul permutării 9 , 7 , 4 va fi trei perechi: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) şi p=2, q=3 (7>4).

Vom fi mai interesați de numărul de inversiuni dintr-o permutare, mai degrabă decât de inversarea în sine.

Fie o matrice pătrată de ordin n de n peste câmpul numerelor reale (sau complexe). Fie mulțimea tuturor permutărilor de ordin n ale mulțimii. Setul contine n! permutări. Să notăm a k-a permutare a mulțimii ca , iar numărul de inversiuni în a k-a permutare ca .

Definiție.

Determinant de matriceȘi există un număr egal cu .

Să descriem această formulă în cuvinte. Determinantul unei matrici pătrate de ordin n de n este suma care conține n! termeni. Fiecare termen este un produs al n elemente ale matricei și fiecare produs conține un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei A. Un coeficient (-1) apare înaintea termenului k, dacă elementele matricei A din produs sunt ordonate după numărul de rând, iar numărul de inversiuni în permutarea k a setului de numere de coloane este impar.

Determinantul unei matrice A este de obicei notat ca și det(A) este, de asemenea, utilizat. De asemenea, puteți auzi că determinantul se numește determinant.

Asa de, .

Aceasta arată că determinantul matricei de ordinul întâi este elementul acestei matrice.

Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi - Formula și exemplu.

cam 2 pe 2 în general.

În acest caz n=2, deci n!=2!=2.

.

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 2 cu 2, are forma .

Exemplu.

Ordin.

Soluţie.

În exemplul nostru. Aplicam formula rezultata :

Calculul determinantului unei matrice pătrate de ordinul trei - formulă și exemplu.

Să găsim determinantul unei matrice pătrate cam 3 pe 3 în general.

În acest caz n=3, deci n!=3!=6.

Să aranjam sub forma unui tabel datele necesare pentru aplicarea formulei .

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 3 cu 3, are forma

În mod similar, se pot obține formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 4 cu 4, 5 cu 5 și mai mari. Vor arăta foarte voluminoase.

Exemplu.

Calculați determinantul matricei pătrate cam 3 pe 3.

Soluţie.

În exemplul nostru

Aplicăm formula rezultată pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei:

Formulele pentru calcularea determinanților matricelor pătrate de ordinul doi și trei sunt foarte des folosite, așa că vă recomandăm să le amintiți.

Proprietăți ale unui determinant de matrice, calculul unui determinant de matrice folosind proprietăți.

Pe baza definiției de mai sus, următoarele sunt adevărate. proprietățile determinante ale matricei.

Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A T , adică .

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul matricei este egală cu determinantul matricei transpuse.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3 cu 3:



Transpunem matricea A:


Calculați determinantul matricei transpuse:



Într-adevăr, determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele cel puțin unuia dintre rânduri (una dintre coloane) sunt zero, determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero.

Exemplu.

Verificați dacă determinantul matricei ordinul 3 cu 3 este zero.

Soluţie.




Într-adevăr, determinantul unei matrice cu o coloană zero este zero.

Dacă schimbați oricare două rânduri (coloane) într-o matrice pătrată, atunci determinantul matricei rezultate va fi opus celui original (adică semnul se va schimba).

Exemplu.

Date două matrice pătrate de ordinul 3 cu 3 Și . Arătați că determinanții lor sunt opuși.

Soluţie.

Matrice B se obține din matricea A prin înlocuirea celui de-al treilea rând cu primul și primul cu al treilea. În funcție de proprietatea considerată, determinanții unor astfel de matrici trebuie să difere ca semn. Să verificăm acest lucru calculând determinanții folosind o formulă binecunoscută.



Într-adevăr, .

Dacă cel puțin două rânduri (două coloane) sunt aceleași într-o matrice pătrată, atunci determinantul său este egal cu zero.

Exemplu.

Să se arate că determinantul matricei este egal cu zero.

Soluţie.

În această matrice, a doua și a treia coloană sunt aceleași, deci, conform proprietății luate în considerare, determinantul acesteia trebuie să fie egal cu zero. Hai să verificăm.



De fapt, determinantul unei matrice cu două coloane identice este zero.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele oricărui rând (coloană) sunt înmulțite cu un număr k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. De exemplu,



Exemplu.

Demonstrați că determinantul matricei este egal cu de trei ori determinantul matricei .

Soluţie.

Elementele primei coloane a matricei B se obțin din elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei A prin înmulțirea cu 3. Atunci, în virtutea proprietății considerate, egalitatea ar trebui să se mențină. Să verificăm acest lucru calculând determinanții matricelor A și B.



Prin urmare, , ceea ce trebuia demonstrat.

NOTĂ.

Nu confundați sau confundați conceptele de matrice și determinant! Proprietatea considerată a determinantului unei matrice și operația de înmulțire a unei matrice cu un număr sunt departe de același lucru.
, Dar .

Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate sunt suma a s termeni (s este un număr natural mai mare decât unu), atunci determinantul unei astfel de matrice va fi egal cu suma a s determinanți ai matricelor obținute din cel original, dacă ca elemente ale rândului (coloanei) lasă câte un termen. De exemplu,


Exemplu.

Demonstrați că determinantul unei matrici este egal cu suma determinanților matricelor .

Soluţie.

În exemplul nostru , prin urmare, datorită proprietății considerate a determinantului matricei, egalitatea . O verificăm calculând determinanții corespunzători ai matricelor de ordin 2 cu 2 folosind formula .


Din rezultatele obținute se poate observa că . Aceasta completează dovada.

Dacă la elementele unui rând (coloană) a matricei adăugăm elementele corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite cu un număr arbitrar k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei inițiale.

Exemplu.

Asigurați-vă că dacă elementele coloanei a treia a matricei se adună elementele corespunzătoare din a doua coloană a acestei matrice, înmulțite cu (-2), și se adună elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei, înmulțite cu un număr real arbitrar, apoi determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.

Soluţie.

Dacă pornim de la proprietatea considerată a determinantului, atunci determinantul matricei obținut după toate transformările indicate în problemă va fi egal cu determinantul matricei A.

Mai întâi, calculăm determinantul matricei originale A:



Acum să efectuăm transformările necesare ale matricei A.

Să adăugăm elementelor din a treia coloană a matricei elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei, înmulțindu-le anterior cu (-2) . După aceea, matricea va arăta astfel:


La elementele coloanei a treia a matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din prima coloană, înmulțite cu:


Calculați determinantul matricei rezultate și asigurați-vă că este egal cu determinantul matricei A, adică -24:



Determinantul unei matrice pătrate este suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) după lor. adunări algebrice.



Iată complementul algebric al elementului de matrice , .

Această proprietate permite calcularea determinanților matricilor de ordin mai mare decât 3 cu 3 prin reducerea acestora la suma mai multor determinanți ai matricelor de ordin cu una mai mică. Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Vă recomandăm să-l amintiți datorită aplicabilității sale destul de frecvente.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

comandați 4 cu 4, extinzându-l

• prin elemente de pe al 3-lea rând,
• de elementele coloanei a 2-a.

Soluţie.

Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele din al 3-lea rând



Avem



Deci problema găsirii determinantului unei matrici de ordin 4 cu 4 a fost redusă la calculul a trei determinanți ai matricelor de ordin 3 cu 3:



Inlocuind valorile obtinute ajungem la rezultatul:


Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele coloanei a 2-a


și acționăm în același mod.

Nu vom descrie în detaliu calculul determinanților matricilor de ordinul trei.



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 4 pe 4.

Soluţie.

Puteți descompune determinantul matricei în elemente ale oricărei coloane sau ale oricărei rânduri, dar este mai benefic să alegeți rândul sau coloana care conține cel mai mare număr de elemente zero, deoarece acest lucru va ajuta la evitarea calculelor inutile. Să extindem determinantul cu elementele primului rând:



Calculăm determinanții obținuți ai matricelor de ordin 3 cu 3 după formula cunoscută nouă:



Înlocuim rezultatele și obținem valoarea dorită


Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 5 pe 5.

Soluţie.

Al patrulea rând al matricei are cel mai mare număr de zero elemente dintre toate rândurile și coloanele, așa că este recomandabil să extindem determinantul matricei tocmai cu elementele din al patrulea rând, deoarece în acest caz avem nevoie de mai puține calcule.



Determinanții obținuți ai matricelor de ordinul 4 cu 4 au fost găsiți în exemplele anterioare, așa că vom folosi rezultatele gata făcute:



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 7 pe 7.

Soluţie.

Nu trebuie să vă grăbiți imediat să descompuneți determinantul prin elementele oricărui rând sau coloană. Dacă te uiți atent la matrice, vei observa că elementele celui de-al șaselea rând al matricei pot fi obținute prin înmulțirea cu două a elementelor corespunzătoare din al doilea rând. Adică, dacă adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând înmulțite cu (-2) la elementele celui de-al șaselea rând, atunci determinantul nu se va modifica din cauza proprietății a șaptea, iar al șaselea rând al matricei rezultate va consta din zerouri. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero prin a doua proprietate.

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că proprietatea luată în considerare permite calcularea determinanților matricilor de orice ordin, totuși, trebuie efectuate o mulțime de operații de calcul. În cele mai multe cazuri, este mai avantajos să găsim determinantul matricelor de ordin mai mare decât a treia prin metoda Gauss, pe care o vom considera mai jos.

Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero.


Exemplu.

Să se arate că suma produselor elementelor coloanei a treia a matricei pe complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare primei coloane este egală cu zero.

Soluţie.




Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor, adică , unde m este un număr natural mai mare decât unu, A k , k=1,2,…,m sunt matrici pătrate de același ordin.

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul produsului a două matrici și este egal cu produsul determinanților lor.

Soluţie.

Să găsim mai întâi produsul determinanților matricelor A și B:


Acum să efectuăm înmulțirea matricei și să calculăm determinantul matricei rezultate:



Prin urmare, , care urma să fie arătat.

Calculul determinantului matricei prin metoda Gauss.

Să descriem esența acestei metode. Folosind transformări elementare, matricea A este redusă la o astfel de formă încât în ​​prima coloană toate elementele cu excepția lui devin zero (acest lucru este întotdeauna posibil dacă determinantul matricei A este diferit de zero). Vom descrie această procedură puțin mai târziu, dar acum vom explica de ce se face acest lucru. Se obțin elemente zero pentru a obține cea mai simplă expansiune a determinantului peste elementele primei coloane. După o astfel de transformare a matricei A, ținând cont de a opta proprietate și , obținem

Unde - ordinul minor (n-1)., obținut din matricea A prin ștergerea elementelor primului rând și primei sale coloane.

Cu matricea căreia îi corespunde minorul se face aceeași procedură de obținere a zero elemente în prima coloană. Și tot așa până la calculul final al determinantului.

Acum rămâne să răspundem la întrebarea: „Cum să obțineți elemente nule în prima coloană”?

Să descriem algoritmul acțiunilor.

Dacă , atunci elementele primului rând al matricei se adaugă elementelor corespunzătoare ale rândului k, în care . (Dacă, fără excepție, toate elementele primei coloane a matricei A sunt zero, atunci determinantul său este zero prin a doua proprietate și nu este necesară nicio metodă Gaussiană). După o astfel de transformare, elementul „nou” va fi diferit de zero. Determinantul matricei „noii” va fi egal cu determinantul matricei originale datorită celei de-a șaptea proprietăți.

Acum avem o matrice care are . Când la elementele celui de-al doilea rând adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând - elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Și așa mai departe. În concluzie, la elementele din al n-lea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Deci se va obține matricea transformată A, toate elementele primei coloane din care, cu excepția , vor fi zero. Determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale datorită proprietății a șaptea.

Să analizăm metoda atunci când rezolvăm un exemplu, astfel încât să fie mai clar.

Exemplu.

Calculați determinantul unei matrici de ordinul 5 cu 5 .

Soluţie.

Să folosim metoda Gauss. Să transformăm matricea A astfel încât toate elementele primei ei coloane, cu excepția , să devină zero.

Deoarece elementul este inițial , atunci adăugăm elementelor din primul rând al matricei elementele corespunzătoare, de exemplu, al doilea rând, deoarece:

Semnul „~” înseamnă echivalență.

Acum adăugăm elementelor din al doilea rând elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând - elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu și procedați în mod similar până la a șasea linie:

Primim

cu matrice efectuăm aceeași procedură pentru obținerea zero elemente în prima coloană:

Prin urmare,

Acum efectuăm transformări cu matricea :

Cometariu.

La o anumită etapă a transformării matricei prin metoda Gauss, poate apărea o situație când toate elementele ultimelor câteva rânduri ale matricei devin zero. Acesta va vorbi despre egalitatea determinantului cu zero.

Rezuma.

Determinantul unei matrice pătrate ale cărei elemente sunt numere este un număr. Am luat în considerare trei moduri de a calcula determinantul:

1. prin suma produselor de combinații de elemente ale matricei;
2. prin extinderea determinantului de către elementele rândului sau coloanei matricei;
3. metoda de reducere a matricei la cea triunghiulară superioară (prin metoda Gauss).

Au fost obținute formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 2 cu 2 și 3 cu 3 .

Am analizat proprietățile determinantului matricei. Unele dintre ele vă permit să înțelegeți rapid că determinantul este zero.

La calcularea determinanților matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3, se recomandă utilizarea metodei Gauss: efectuați transformări elementare ale matricei și aduceți-o la cea triunghiulară superioară. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul tuturor elementelor de pe diagonala principală.