Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice cu baze diferite. Totul despre inegalitățile logaritmice

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Inegalități logaritmice

În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu ecuațiile logaritmice și acum știm ce sunt acestea și cum să le rezolvăm. Lecția de astăzi va fi dedicată studiului inegalităților logaritmice. Care sunt aceste inegalități și care este diferența dintre rezolvarea unei ecuații logaritmice și a unei inegalități?

Inegalitățile logaritmice sunt inegalități care au o variabilă care apare sub semnul logaritmului sau la baza acestuia.

Sau, mai putem spune că o inegalitate logaritmică este o inegalitate în care valoarea ei necunoscută, ca într-o ecuație logaritmică, va apărea sub semnul logaritmului.

Cele mai simple inegalități logaritmice au următoarea formă:

unde f(x) și g(x) sunt niște expresii care depind de x.

Să ne uităm la asta folosind acest exemplu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rezolvarea inegalităților logaritmice

Înainte de a rezolva inegalitățile logaritmice, este de remarcat faptul că, atunci când sunt rezolvate, acestea sunt similare cu inegalitățile exponențiale, și anume:

În primul rând, când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să comparăm și baza logaritmului cu una;

În al doilea rând, atunci când rezolvăm o inegalitate logaritmică folosind o modificare a variabilelor, trebuie să rezolvăm inegalitățile în raport cu modificarea până când obținem cea mai simplă inegalitate.

Dar tu și cu mine am luat în considerare aspecte similare ale rezolvării inegalităților logaritmice. Acum să acordăm atenție unei diferențe destul de semnificative. Tu și cu mine știm că funcția logaritmică are un domeniu limitat de definiție, prin urmare, atunci când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să luăm în considerare intervalul de valori admisibile (ADV).

Adică, trebuie luat în considerare faptul că atunci când rezolvăm o ecuație logaritmică, tu și cu mine putem găsi mai întâi rădăcinile ecuației și apoi verificăm această soluție. Dar rezolvarea unei inegalități logaritmice nu va funcționa în acest fel, deoarece trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, va fi necesar să se noteze ODZ a inegalității.

În plus, merită să ne amintim că teoria inegalităților constă din numere reale, care sunt numere pozitive și negative, precum și din numărul 0.

De exemplu, când numărul „a” este pozitiv, atunci trebuie să utilizați următoarea notație: a >0. În acest caz, atât suma, cât și produsul acestor numere vor fi, de asemenea, pozitive.

Principiul principal pentru rezolvarea unei inegalități este înlocuirea acesteia cu o inegalitate mai simplă, dar principalul lucru este că este echivalentă cu cea dată. În plus, am obținut și o inegalitate și am înlocuit-o din nou cu una care are o formă mai simplă etc.

Când rezolvați inegalitățile cu o variabilă, trebuie să găsiți toate soluțiile acesteia. Dacă două inegalități au aceeași variabilă x, atunci astfel de inegalități sunt echivalente, cu condiția ca soluțiile lor să coincidă.

Când efectuați sarcini de rezolvare a inegalităților logaritmice, trebuie să vă amintiți că atunci când a > 1, funcția logaritmică crește și când 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode de rezolvare a inegalităților logaritmice

Acum să ne uităm la câteva dintre metodele care au loc la rezolvarea inegalităților logaritmice. Pentru o mai bună înțelegere și asimilare, vom încerca să le înțelegem folosind exemple specifice.

Știm cu toții că cea mai simplă inegalitate logaritmică are următoarea formă:

În această inegalitate, V – este unul dintre următoarele semne de inegalitate:<,>, ≤ sau ≥.

Când baza unui logaritm dat este mai mare decât unu (a>1), făcând tranziția de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, atunci în această versiune semnul inegalității este păstrat, iar inegalitatea va avea următoarea formă:

care este echivalent cu acest sistem:

În cazul în care baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât unu (0

Acesta este echivalent cu acest sistem:

Să ne uităm la mai multe exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități logaritmice prezentate în imaginea de mai jos:

Rezolvarea exemplelor

Exercițiu. Să încercăm să rezolvăm această inegalitate:

Rezolvarea intervalului de valori acceptabile.

Acum să încercăm să-i înmulțim partea dreaptă cu:

Să vedem cu ce putem veni:

Acum, să trecem la conversia expresiilor sublogaritmice. Datorită faptului că baza logaritmului este 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Și de aici rezultă că intervalul pe care l-am obținut aparține în întregime ODZ și este o soluție la o astfel de inegalitate.

Iată răspunsul pe care l-am primit:

Ce este necesar pentru a rezolva inegalitățile logaritmice?

Acum să încercăm să analizăm de ce avem nevoie pentru a rezolva cu succes inegalitățile logaritmice?

În primul rând, concentrează-ți toată atenția și încearcă să nu faci greșeli atunci când faci transformările care sunt date în această inegalitate. De asemenea, trebuie amintit că atunci când se rezolvă astfel de inegalități, este necesar să se evite extinderile și contracțiile inegalităților, care pot duce la pierderea sau achiziționarea de soluții străine.

În al doilea rând, atunci când rezolvați inegalități logaritmice, trebuie să învățați să gândiți logic și să înțelegeți diferența dintre concepte precum un sistem de inegalități și un set de inegalități, astfel încât să puteți selecta cu ușurință soluții la inegalitate, ghidându-vă în același timp de DL-ul său.

În al treilea rând, pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, fiecare dintre voi trebuie să cunoască perfect toate proprietățile funcțiilor elementare și să înțeleagă clar sensul acestora. Astfel de funcții includ nu numai logaritmice, ci și raționale, de putere, trigonometrice etc., într-un cuvânt, toate cele pe care le-ați studiat în timpul algebrei școlare.

După cum puteți vedea, după ce ați studiat subiectul inegalităților logaritmice, nu este nimic dificil în rezolvarea acestor inegalități, cu condiția să fiți atent și perseverent în atingerea obiectivelor. Pentru a evita orice probleme în rezolvarea inegalităților, trebuie să exersați cât mai mult posibil, rezolvând diverse sarcini și, în același timp, să vă amintiți metodele de bază de rezolvare a unor astfel de inegalități și sistemele lor. Dacă nu reușiți să rezolvați inegalitățile logaritmice, ar trebui să vă analizați cu atenție greșelile pentru a nu mai reveni la ele în viitor.

Teme pentru acasă

Pentru a înțelege mai bine subiectul și a consolida materialul tratat, rezolvați următoarele inegalități:

Adesea, atunci când se rezolvă inegalitățile logaritmice, există probleme cu o bază logaritmică variabilă. Astfel, o inegalitate a formei

este o inegalitate școlară standard. De regulă, pentru a o rezolva, se utilizează o tranziție la un set echivalent de sisteme:

Dezavantajul acestei metode este necesitatea de a rezolva șapte inegalități, fără a număra două sisteme și o populație. Deja cu aceste funcții pătratice, rezolvarea populației poate dura mult timp.

Este posibil să se propună o modalitate alternativă, mai puțin consumatoare de timp pentru a rezolva această inegalitate standard. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Să existe o funcție crescătoare continuă pe o mulțime X. Atunci pe această mulțime semnul incrementului funcției va coincide cu semnul incrementului argumentului, adică. , Unde .

Notă: dacă o funcție descrescătoare continuă pe un set X, atunci .

Să revenim la inegalitate. Să trecem la logaritmul zecimal (puteți trece la oricare cu o bază constantă mai mare de unu).

Acum puteți folosi teorema, observând creșterea funcțiilor în numărător iar în numitor. Deci este adevărat

Ca urmare, numărul de calcule care duc la răspuns este aproximativ la jumătate, ceea ce economisește nu numai timp, dar vă permite și să faceți mai puține erori aritmetice și neglijente.

Exemplul 1.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 2.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 3.

Deoarece partea stângă a inegalității este o funcție crescătoare ca și , atunci răspunsul va fi multe.

Numeroasele exemple în care Tema 1 poate fi aplicată pot fi extinse cu ușurință ținând cont de Tema 2.

Lasă pe platou X se definesc functiile , , , iar pe acest set semnele si coincid, i.e. , atunci va fi corect.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat după următoarea schemă: produsul este mai mic decât zero atunci când factorii sunt de semne diferite. Acestea. se consideră un set de două sisteme de inegalități, în care, așa cum sa indicat la început, fiecare inegalitate se descompune în încă șapte.

Dacă luăm în considerare teorema 2, atunci fiecare dintre factori, ținând cont de (2), poate fi înlocuit cu o altă funcție care are același semn în acest exemplu O.D.Z.

Metoda de înlocuire a incrementului unei funcții cu un increment de argument, ținând cont de Teorema 2, se dovedește a fi foarte convenabilă atunci când rezolvăm probleme standard C3 Unified State Examination.

Exemplul 6.

Exemplul 7.

. Să notăm. Primim

. Rețineți că înlocuirea implică: . Revenind la ecuație, obținem .

Exemplul 8.

În teoremele pe care le folosim nu există restricții privind clasele de funcții. În acest articol, ca exemplu, teoremele au fost aplicate pentru rezolvarea inegalităților logaritmice. Următoarele câteva exemple vor demonstra promisiunea metodei de rezolvare a altor tipuri de inegalități.

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al unui logaritm, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când a fost găsit intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectăm cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Facem tranziția de la inegalitatea logaritmică la una rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”. Avem:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zerourile acestei expresii sunt: ​​x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Conversia inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:

1. Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
2. Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm.

Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:

1. Aflați VA fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
2. Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
3. Rezolvați inegalitatea rezultată folosind schema de mai sus.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm:

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, treisurile de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Să le adunăm:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi folosind formula. Deoarece inegalitatea originală conține un semn „mai puțin decât”, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Răspunsul candidatului: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să intersectăm aceste mulțimi - obținem răspunsul real:

Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.

O inegalitate se numește logaritmică dacă conține o funcție logaritmică.

Metodele de rezolvare a inegalităților logaritmice nu sunt diferite de, cu excepția a două lucruri.

În primul rând, când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, ar trebui urmați semnul inegalității rezultate. Se supune următoarei reguli.

Dacă baza funcției logaritmice este mai mare de $1$, atunci când treceți de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, semnul inegalității este păstrat, dar dacă este mai mic de $1$, atunci se schimbă la opus .

În al doilea rând, soluția oricărei inegalități este un interval și, prin urmare, la sfârșitul rezolvării inegalității funcțiilor sublogaritmice este necesar să se creeze un sistem de două inegalități: prima inegalitate a acestui sistem va fi inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, iar al doilea va fi intervalul domeniului de definire a funcţiilor logaritmice incluse în inegalitatea logaritmică.

Practică.

Să rezolvăm inegalitățile:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritmului este $2>1$, deci semnul nu se schimbă. Folosind definiția logaritmului, obținem:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )