Exemplul discutat mai sus ne permite să concluzionam că valorile utilizate pentru analiză depind de motive aleatorii, prin urmare astfel de variabile sunt numite Aleatoriu. În cele mai multe cazuri, acestea apar ca urmare a observațiilor sau experimentelor, care sunt tabulate în primul rând din care sunt înregistrate diferitele valori observate ale variabilei aleatoare X, iar în al doilea frecvențele corespunzătoare. De aceea se numește acest tabel distribuția empirică a variabilei aleatoare X sau serie de variații. Pentru seria de variații am găsit media, dispersia și abaterea standard.

continuu, dacă valorile sale completează complet un anumit interval numeric.

Se numește variabila aleatoare discret, dacă toate valorile sale pot fi numerotate (în special, dacă ia un număr finit de valori).

Sunt două lucruri de remarcat proprietăți caracteristice tabele de distribuție a variabilelor aleatoare discrete:

Toate numerele din al doilea rând al tabelului sunt pozitive;

Suma lor este egală cu unu.

În conformitate cu cercetările efectuate, se poate presupune că odată cu creșterea numărului de observații, distribuția empirică se apropie de cea teoretică, dată în formă tabelară.

O caracteristică importantă a unei variabile aleatoare discrete este așteptarea sa matematică.

Așteptări matematice variabila aleatoare discreta X, luand valori, , ..., .cu probabilitati , , ..., se numeste numarul:

Valoarea așteptată se mai numește și medie.

Alte caracteristici importante ale unei variabile aleatoare includ varianța (8) și abaterea standard (9).

unde: așteptarea matematică a valorii X.

. (9)

O reprezentare grafică a informațiilor este mult mai vizuală decât una tabelară, astfel încât capacitatea foilor de calcul MS Excel de a prezenta datele conținute în ele sub formă de diferite diagrame, grafice și histograme este folosită foarte des. Deci, pe lângă tabel, distribuția unei variabile aleatoare este, de asemenea, descrisă folosind poligon de distribuție. Pentru a face acest lucru, punctele cu coordonatele , , ... sunt construite pe planul de coordonate și conectate prin segmente drepte.

Pentru a obține un dreptunghi de distribuție folosind MS Excel, trebuie să:

1. Selectați fila „Insert” ® „Area Chart” din bara de instrumente.

2. Activați zona diagramă care apare pe foaia MS Excel cu butonul din dreapta al mouse-ului și utilizați comanda „Selectare date” din meniul contextual.

Orez. 6. Selectarea unei surse de date

Mai întâi, să definim intervalul de date pentru diagramă. Pentru a face acest lucru, introduceți intervalul C6:I6 în zona corespunzătoare a casetei de dialog „Selectare sursă de date” (prezentă valorile frecvenței numite Series1, Fig. 7).

Orez. 7. Adăugarea rândului 1

Pentru a schimba numele unei serii, trebuie să selectați butonul de schimbare a zonei „Elemente legendă (serie)” (vezi Fig. 7) și să o denumiți.

Pentru a adăuga o etichetă pe axa X, trebuie să utilizați butonul „Editare” din zona „Etichete axei orizontale (categorii)”.
(Fig. 8) și indicați valorile seriei (interval $C$6:$I$6).

Orez. 8. Vedere finală a casetei de dialog „Selectare sursa de date”.

Selectarea unui buton din caseta de dialog Selectare sursă de date
(Fig. 8) ne va permite să obținem poligonul necesar de distribuție a unei variabile aleatoare (Fig. 9).

Orez. 9. Poligonul de distribuție al unei variabile aleatoare

Să facem câteva modificări în designul informațiilor grafice rezultate:

Să adăugăm o etichetă pentru axa X;

Să edităm eticheta axei Y;

- Să adăugăm un titlu pentru diagrama „Poligon de distribuție”.

Pentru a face acest lucru, selectați fila „Working with Charts” din zona barei de instrumente, fila „Layout” și în bara de instrumente care apare, butoanele corespunzătoare: „Chart title”, „Axes titles” (Fig. 10).

Orez. 10. Vedere finală a poligonului de distribuție ale variabilelor aleatoare

Variabilă aleatorie este o cantitate care, ca urmare a experimentului, poate lua una sau alta valoare care nu este cunoscută dinainte. Există variabile aleatorii discontinuu (discret)Și continuu tip. Valorile posibile ale cantităților discontinue pot fi listate în prealabil. Valorile posibile ale cantităților continue nu pot fi enumerate în prealabil și umple continuu un anumit gol.

Exemplu de variabile aleatoare discrete:

1) De câte ori stema apare în trei aruncări de monede. (valori posibile 0;1;2;3)

2) Frecvența de apariție a stemei în același experiment. (valori posibile)

3) Numărul de elemente defectate dintr-un dispozitiv format din cinci elemente. (Valori posibile 0;1;2;3;4;5)

Exemple de variabile aleatoare continue:

1) Abscisa (ordonata) punctului de impact la tragere.

2) Distanța de la punctul de impact până la centrul țintei.

3) Timpul de funcționare al dispozitivului (tub radio).

Variabilele aleatoare sunt notate cu litere mari, iar valorile lor posibile sunt notate cu litere mici corespunzătoare. De exemplu, X este numărul de lovituri cu trei lovituri; valori posibile: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Să considerăm o variabilă aleatoare discontinuă X cu valori posibile X 1, X 2, ..., X n. Fiecare dintre aceste valori este posibilă, dar nu sigură, iar valoarea X poate lua fiecare dintre ele cu o oarecare probabilitate. Ca rezultat al experimentului, valoarea lui X va lua una dintre aceste valori, adică va avea loc unul din grupul complet de evenimente incompatibile.

Să notăm probabilitățile acestor evenimente cu literele p cu indicii corespunzători:

Întrucât evenimentele incompatibile formează un grup complet, atunci

adică suma probabilității tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare este egală cu 1. Această probabilitate totală este cumva distribuită între valorile individuale. O variabilă aleatoare va fi complet descrisă din punct de vedere probabilistic dacă definim această distribuție, adică indicăm exact ce probabilitate are fiecare dintre evenimente. (Acest lucru va stabili așa-numita lege a distribuției variabilelor aleatoare.)

Legea distribuției unei variabile aleatoare este orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitatea corespunzătoare. (Vom spune despre o variabilă aleatoare că este supusă unei legi de distribuție date)

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare este un tabel care listează valorile posibile ale variabilei aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Tabelul 1.

Variabile aleatoare. Poligon de distribuție

Variabile aleatoare: discrete și continue.

La efectuarea unui experiment stocastic, se formează un spațiu de evenimente elementare - rezultate posibile ale acestui experiment. Se crede că pe acest spațiu al evenimentelor elementare este dat valoare aleatorie X, dacă se dă o lege (regulă) conform căreia fiecărui eveniment elementar i se asociază un număr. Astfel, variabila aleatoare X poate fi considerată ca o funcție definită pe spațiul evenimentelor elementare.

■ Variabilă aleatoare- o cantitate care, la fiecare test, ia una sau alta valoare numerica (nu se stie dinainte care), in functie de motive aleatorii care nu pot fi luate in considerare in prealabil. Variabilele aleatoare sunt notate cu litere mari ale alfabetului latin, iar valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt notate cu litere mici. Deci, la aruncarea unui zar, are loc un eveniment asociat cu numărul x, unde x este numărul de puncte aruncate. Numărul de puncte este o variabilă aleatorie, iar numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 sunt valori posibile ale acestei valori. Distanța pe care o va parcurge un proiectil atunci când este tras dintr-un pistol este, de asemenea, o variabilă aleatorie (în funcție de instalarea ochiului, puterea și direcția vântului, temperatură și alți factori), iar valorile posibile ale acestei valori aparțin la un anumit interval (a; b).

■ Variabilă aleatorie discretă– o variabilă aleatorie care ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

■ Variabilă aleatoare continuă– o variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

De exemplu, numărul de puncte aruncate la aruncarea unui zar, scorul pentru un test sunt variabile aleatoare discrete; distanța pe care o zboară un proiectil când trage dintr-o armă, eroarea de măsurare a indicatorului de timp pentru a stăpâni materialul educațional, înălțimea și greutatea unei persoane sunt variabile aleatorii continue.

Legea distribuției unei variabile aleatoare– corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora, i.e. Fiecare valoare posibilă x i este asociată cu probabilitatea p i cu care variabila aleatoare poate lua această valoare. Legea de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi specificată tabelar (sub formă de tabel), analitic (sub formă de formulă) și grafic.

Fie ca o variabilă aleatoare discretă X să ia valori x 1 , x 2 , …, x n cu probabilități p 1 , p 2 , …, respectiv p n, adică. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Când se specifică legea de distribuție a acestei cantități într-un tabel, primul rând al tabelului conține valori posibile x 1 , x 2 , ..., x n , iar al doilea rând conține probabilitățile acestora

X	x 1	x 2	…	x n
p	p 1	p2	…	p n

Ca rezultat al testului, o variabilă aleatoare discretă X ia una și numai una dintre valorile posibile, prin urmare evenimentele X=x 1, X=x 2, ..., X=x n formează un grup complet de perechi incompatibile. evenimente și, prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu , i.e. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. Poligon de distribuție (poligon).

După cum știți, o variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

O variabilă aleatoare discretă este o variabilă aleatoare care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1. Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) folosind funcția de distribuție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3. Legea distribuției poate fi specificată grafic - printr-un poligon de distribuție (poligon) (vezi sarcina 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Acesta poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete:

Aşteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i .
Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
Dispersia unei variabile aleatoare discrete D(X)= M 2 sau D(X) = M(X 2)− 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
Abaterea pătrată medie (abaterea standard) σ(X)=√D(X).

· Pentru claritatea prezentării unei serii de variații, imaginile sale grafice sunt de mare importanță. Grafic, o serie de variații poate fi reprezentată ca un poligon, histogramă și cumulat.

· Un poligon de distribuție (literal un poligon de distribuție) se numește linie întreruptă, care este construită într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Valoarea atributului este trasată pe abscisă, frecvențele corespunzătoare (sau frecvențele relative) - pe ordonată. Punctele (sau) sunt conectate prin segmente drepte și se obține un poligon de distribuție. Cel mai adesea, poligoane sunt folosite pentru a descrie serii de variații discrete, dar pot fi folosite și pentru serii de intervale. În acest caz, punctele corespunzătoare punctelor medii ale acestor intervale sunt trasate pe axa absciselor.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

Acest tabel este numit aproape de distribuție variabile aleatoare.

Pentru a oferi seriei de distribuție un aspect mai vizual, ei recurg la reprezentarea sa grafică: valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. (Pentru claritate, punctele rezultate sunt conectate prin segmente de linie dreaptă.)

Figura 1 – poligon de distribuție

Această cifră se numește poligon de distribuție. Poligonul de distribuție, ca și seria de distribuție, caracterizează complet variabila aleatoare; este una dintre formele legii distribuţiei.

Exemplu:

se efectuează un experiment în care evenimentul A poate apărea sau nu.Probabilitatea evenimentului A = 0,3. Considerăm o variabilă aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului A într-un experiment dat. Este necesar să se construiască o serie și un poligon al distribuției valorii X.

Masa 2.

X i
P i	0,7	0,3

Figura 2 - Funcția de distribuție

Funcția de distribuție este o caracteristică universală a unei variabile aleatoare. Există pentru toate variabilele aleatoare: atât discontinue, cât și necontinue. Funcția de distribuție caracterizează pe deplin o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic, adică este una dintre formele legii distribuției.

Pentru a caracteriza cantitativ această distribuție de probabilitate, este convenabil să folosiți nu probabilitatea evenimentului X=x, ci probabilitatea evenimentului X.

Funcția de distribuție F(x) este uneori numită și funcție de distribuție cumulată sau legea distribuției cumulative.

Proprietăți ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare

1. Funcția de distribuție F(x) este o funcție nedescrescătoare a argumentului său, adică pentru ;

2. La minus infinit:

3. Pe plus infinit:

Figura 3 – graficul funcției de distribuție

Graficul funcției de distribuțieîn general, este un grafic al unei funcții nedescrescătoare ale cărei valori încep de la 0 și merg la 1.

Cunoscând seria de distribuție a unei variabile aleatoare, este posibil să se construiască funcția de distribuție a variabilei aleatoare.

Exemplu:

pentru condițiile exemplului anterior, construiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare.

Să construim funcția de distribuție X:

Figura 4 – funcția de distribuție X

Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare discrete discontinue există întotdeauna o funcție de pas discontinuă, ale cărei salturi apar în puncte corespunzătoare valorilor posibile ale variabilei aleatoare și sunt egale cu probabilitățile acestor valori. Suma tuturor salturilor funcției de distribuție este egală cu 1.

Pe măsură ce numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare crește și intervalele dintre ele scad, numărul de sărituri devine mai mare, iar salturile în sine devin mai mici:

Figura 5

Curba în trepte devine mai netedă:

Figura 6

Variabila aleatoare se apropie treptat de o valoare continuă, iar funcția sa de distribuție se apropie de o funcție continuă. Există și variabile aleatoare ale căror valori posibile umplu continuu un anumit interval, dar pentru care funcția de distribuție nu este continuă peste tot. Și în anumite puncte se rupe. Astfel de variabile aleatoare se numesc mixte.

Figura 7

Problema 14. La loteria cu numerar, se joacă 1 câștig de 1.000.000 de ruble, 10 câștiguri de 100.000 de ruble. și 100 de câștiguri a câte 1000 de ruble fiecare. cu un număr total de bilete de 10 000. Găsiți legea repartizării câștigurilor aleatorii X pentru proprietarul unui bilet de loterie.

Soluţie. Valori posibile pentru X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Probabilitățile lor sunt, respectiv, egale: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Prin urmare, legea repartizării câștigurilor X poate fi dat de următorul tabel:

Problema 15. Variabilă aleatorie discretă X este dat de legea distribuției:

Construiți un poligon de distribuție.

Soluţie. Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular și vom trasa valorile posibile de-a lungul axei absciselor x i, iar de-a lungul axei ordonatelor - probabilitățile corespunzătoare p i. Să reprezentăm punctele M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) și M 4 (8;0,3). Prin conectarea acestor puncte cu segmente de linie dreaptă, obținem poligonul de distribuție dorit.

§2. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

O variabilă aleatoare este complet caracterizată de legea sa de distribuție. O descriere medie a unei variabile aleatoare poate fi obținută utilizând caracteristicile sale numerice

2.1. Valorea estimata. Dispersia.

Lasă o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități în consecință.

Definiție. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile corespunzătoare:

Proprietățile așteptărilor matematice.

Dispersia unei variabile aleatoare în jurul valorii medii este caracterizată prin dispersie și abatere standard.

Varianta unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Următoarea formulă este utilizată pentru calcule

Proprietăți de dispersie.

2. , unde sunt variabile aleatoare reciproc independente.

3. Abaterea standard.

Problema 16. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z = X+ 2Y, dacă se cunosc așteptările matematice ale variabilelor aleatoare XȘi Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Soluţie. Folosim proprietățile așteptărilor matematice. Atunci obținem:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Problema 17. Varianta unei variabile aleatoare X este egal cu 3. Aflați varianța variabilelor aleatoare: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Soluţie. Să aplicăm proprietățile 3, 4 și 2 ale dispersiei. Avem:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Problema 18. Având în vedere o variabilă aleatoare independentă Y– numărul de puncte obţinut la aruncarea unui zar. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice, dispersia și abaterea standard a unei variabile aleatoare Y.

Soluţie. Tabel de distribuție ale variabilelor aleatoare Y are forma:

Apoi M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.