Sinus, cosinus, tangentă: ce este? Cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta? Substituția trigonometrică universală, derivarea de formule, exemple.

Nu voi încerca să te conving să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici sunt informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.

1. Formule de adunare:

Cosinusurile „vin întotdeauna în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. „Totul nu este potrivit” pentru ei, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - „mix”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinusurile „vin mereu în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom obține niciun kolobok. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - „mix” :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și diferență.

Când obținem o pereche de cosinus? Când adăugăm cosinus. De aceea

Când primim câteva sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă se adună:

În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând - suma

Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți copia. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, îți poți aminti cu ușurință formulele.

Informații de referință privind funcțiile trigonometrice sinus (sin x) și cosinus (cos x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de sinusuri și cosinusuri, derivate, integrale, expansiuni în serie, secante, cosecante. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiția geometrică a sinusului și cosinusului

|BD|- lungimea arcului de cerc cu centru într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Definiție
Sinus (sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y = sin x	y = cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescând
Descendentă
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	y = 1

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

– vor fi cu siguranță sarcini de trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru nevoia de a înghesui un număr mare de formule dificile, pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.

Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoașteți cu fermitate doar cinci formule trigonometrice simple și să aveți o înțelegere generală a restului și să le deduceți pe măsură ce mergeți. Este ca și în cazul ADN-ului: molecula nu stochează planurile complete ale unei creaturi vii terminate. Mai degrabă, conține instrucțiuni pentru asamblarea acestuia din aminoacizii disponibili. Deci in trigonometrie, cunoscand cateva principii generale, vom obtine toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie retinute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

Din formulele pentru sumele sinus și cosinus, știind despre paritatea funcției cosinus și ciudatul funcției sinus, înlocuind -b în loc de b, obținem formule pentru diferențe:

1. Sinusul diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
2. Cosinusul diferenței: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb

Punând a = b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinus și cosinus ale unghiurilor duble:

1. Sinus de unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
2. Cosinusul unghiului dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2 a-păcat2 a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2 a-păcat2 a)păcatA = 2păcatAcos2 a+păcatAcos2 a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2 a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2 a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
2. Cosinusul unghiului triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2 a-păcat2 a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3 a- păcat2 acosA-2păcat2 acosA = cos 3 a-3 păcat2 acosA = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA

Înainte de a trece mai departe, să ne uităm la o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
Deoarece , Acea păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umorul matematic)

Deci, definiția tangentei leagă această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care raportează tangenta doar la cosinus. Pentru a o deriva, luăm principala identitate trigonometrică: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, la extragerea rădăcinii se ia semnul +)

Formula pentru tangenta unei sume este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

Afisat imediat si

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru semiunghiuri. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2 A = cos 2 A-păcat 2 A
adăugăm una, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, adică. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2 a-păcat2 a+cos2 a+păcat2 a
2cos 2 A = cos2 A+1
Exprimând cosA prin cos2 Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din dreapta, obținem:
cos2a-1 = cos2 a-păcat2 a-cos2 a-păcat2 a
2păcat 2 A = 1-cos2 A

Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următoarea tehnică. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de compartimentare produse de sinus și cosinus V Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți singur formule pentru a converti diferența de sinusuri și suma și diferența de cosinus în produs, precum și pentru a împărți produsele sinusurilor și cosinusurilor în sumă. După ce ați finalizat aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil test, olimpiada sau testare.

Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor pentru două unghiuri α și β ne permit să trecem de la suma acestor unghiuri la produsul unghiurilor α + β 2 și α - β 2. Să observăm imediat că nu trebuie să confundați formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor cu formulele pentru sinusuri și cosinusuri ale sumei și diferenței. Mai jos listăm aceste formule, dăm derivările lor și arătăm exemple de aplicare pentru probleme specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri

Să scriem cum arată formulele de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri

Formule de sumă și diferență pentru sinusuri

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule de sumă și diferență pentru cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β. Unghiurile α + β 2 și α - β 2 se numesc jumătate de sumă și jumătate de diferență a unghiurilor alfa și, respectiv, beta. Să dăm formula pentru fiecare formulă.

Definiții de formule pentru sume și diferențe de sinusuri și cosinusuri

Suma sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței.

Diferența sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semidiferenței acestor unghiuri și cosinusul semisumei.

Suma cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre cosinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri.

Diferența cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri, luate cu semn negativ.

Derivarea formulelor pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor

Pentru a obține formule pentru suma și diferența sinusului și cosinusului a două unghiuri, se folosesc formule de adunare. Să le enumerăm mai jos

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Să ne imaginăm, de asemenea, unghiurile în sine ca o sumă de jumătăți de sume și jumătate de diferențe.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Se trece direct la derivarea formulelor de sumă și diferență pentru sin și cos.

Derivarea formulei pentru suma sinusurilor

În suma sin α + sin β, înlocuim α și β cu expresiile pentru aceste unghiuri date mai sus. Primim

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Acum aplicăm formula de adunare la prima expresie, iar la a doua - formula pentru sinusul diferențelor de unghi (vezi formulele de mai sus)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Deschideți parantezele, adăugați termeni similari și obțineți formula necesară

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Pașii pentru a obține formulele rămase sunt similari.

Derivarea formulei pentru diferența de sinusuri

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivarea formulei pentru suma cosinusurilor

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivarea formulei pentru diferența cosinusurilor

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Exemple de rezolvare a problemelor practice

Mai întâi, să verificăm una dintre formule prin înlocuirea unor valori specifice unghiurilor în ea. Fie α = π 2, β = π 6. Să calculăm valoarea sumei sinusurilor acestor unghiuri. În primul rând, vom folosi tabelul cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, apoi vom aplica formula pentru suma sinusurilor.

Exemplul 1. Verificarea formulei pentru suma sinusurilor a două unghiuri

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Să luăm acum în considerare cazul în care valorile unghiului diferă de valorile de bază prezentate în tabel. Fie α = 165°, β = 75°. Să calculăm diferența dintre sinusurile acestor unghiuri.

Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței sinusurilor

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Folosind formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor, puteți trece de la suma sau diferența la produsul funcțiilor trigonometrice. Adesea, aceste formule sunt numite formule pentru trecerea de la o sumă la un produs. Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și în transformarea expresiilor trigonometrice.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În acest articol vom arunca o privire cuprinzătoare. Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o conexiune între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și permit cuiva să găsească oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Să enumerăm imediat principalele identități trigonometrice pe care le vom analiza în acest articol. Să le scriem într-un tabel, iar mai jos vom oferi rezultatul acestor formule și vom oferi explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori nu vorbesc despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică principală după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile. Și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom vorbi despre asta mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică principală, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită când conversia expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi de vedere și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită unei asemenea evidențe a identităților și Tangenta și cotangenta sunt adesea definite nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

În încheierea acestui paragraf, trebuie menționat că identitățile și au loc pentru toate unghiurile la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice , altul decât (altfel numitorul va avea zero și nu am definit împărțirea la zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că este valabil pentru orice alt unghi decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi făcută puțin diferit. De cand , Acea .

Deci, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt .