Simetria ca criteriu al frumuseții exterioare. Asimetria facială: cauzele tulburărilor patologice și metodele de corectare a acestora

)
Data de: 2017-10-17 Vizualizări: 18 963 Nota: 5.0

Scopul instruirii: corecta asimetria faciala in 3 puncte (sprincene, ochi, buze).

Fața unei persoane nu este simetrică, la fel ca și corpul, iar acest lucru nu este surprinzător.

Cu toate acestea, există cazuri când asimetria facială este severă și îți provoacă disconfort psihologic. Permiteți-mi să fac imediat o rezervă că nu toate tipurile de asimetrie pot fi corectate cu exerciții.

Asimetria nu poate fi corectată cu exerciții dacă:

• este cauzată de deformări osoase;
• deformări patologice;
• nevrita foarte „veche” a nervului facial;
• în unele cazuri, consecințele injecțiilor cu Botex sunt așa-numitele efecte secundare.

Motive pentru asimetrie

De asemenea, asimetria facială depinde în mare măsură de starea corpului tău. Despre relația dintre față și corp.

Pe scurt, cu scolioză, lordoză, distorsiuni pelvine și alte modificări ale sistemului musculo-scheletic, apare asimetria și corectarea acesteia ar trebui să înceapă cu călcâiele!

Dar ASIMETRIA poate fi o consecință a expresiilor faciale excesive, a bufniilor faciale și a obiceiurilor comportamentale. Toate acestea devin clare atunci când vă uitați cu atenție la fața în videoclip, de exemplu.

Zâmbește, vorbește, mestecă doar pe o parte sau ridică constant una dintre sprâncene. Îți amintești de existența memoriei musculare? Și își amintește despre tine și își trage sprânceana activă în sus tot timpul și face ca un ochi să pară mai mic.

Cum se măsoară asimetria?

Cum se verifică simetria facială? Am nevoie de o fotografie! Îndepărtează-ți părul de față și cere să-ți faci o fotografie. Fotografia este ca un pașaport: nu zâmbim, nu încercăm să arătăm grozav în fotografie.

Luăm o riglă și tragem o linie orizontală de-a lungul ochilor (pupilelor), sprâncenelor și buzelor. Începe cu ochii. La urma urmei, nivelul nostru intern de spirit (nivelul) tinde spre orizont chiar în zona ochilor, astfel încât să poți merge lin și să nu cazi.

Acum să ne uităm la cele 3 linii rezultate. Poate că o sprânceană va fi mai sus, iar cealaltă mai jos, colțurile buzelor s-ar putea să nu fie pe aceeași linie.

Amintiți-vă că există valori acceptabile pentru asimetrie și acest lucru este absolut natural și nu necesită ajustare.

Acolo unde există abateri de la orizont, trebuie să lucrați cu mușchii, iar pentru unii va fi suficient să corectați stereotipurile comportamentale și totul va cădea la loc pe față.

Exerciții pentru față pentru asimetrie

Să trecem la exerciții.Apropo, acestea pot fi combinate cu oricare dintre complexele: , . Doar adăugați-le în programul dvs. de antrenament. De exemplu, în timp ce faceți, apoi faceți exerciții pentru a corecta asimetria aceleiași zone.

În exemplu, iau în considerare opțiunea de a corecta asimetria facială unilaterală, când partea feței situată mai jos față de jumătatea ei funcționează mai rău, o simți mai puțin! De exemplu, sprânceana stângă, ochiul stâng, colțul stâng al buzei sunt situate mai jos decât pe partea dreaptă a feței - o astfel de asimetrie se numește ONE-SIDED.

Asimetria facială poate fi diagonală sau complexă. În astfel de cazuri, este mai bine să selectați exercițiile individual.

30 de repetări recomandate, la ultima numărare există o întârziere statică de 5 secunde. Antrenamentul se bazează pe efectuarea „BAZA” - exerciții de bază cu adăugarea de exerciții speciale pentru a corecta asimetria unei anumite zone.

Frunte. Corectarea poziției sprâncenelor

Exercițiul #1: Ridicați-vă sprâncenele în sus

Acesta este un exercițiu de bază. Când o executați, acordați atenție sprâncenelor? Care se ridică mai rău? Pe care te simți mai puțin?

Puneți degetele deasupra sprâncenelor. Împingeți-vă sprâncenele în sus cu forță, folosind degetele pentru a rezista. Asigurați-vă că în timpul exercițiului nu există riduri orizontale pe frunte, încercați să vă relaxați umerii și să-i coborâți, fixați strâns pielea deasupra sprâncenelor. După terminarea exercițiului, atingeți-vă degetele pe frunte.

Să trecem la un set de exerciții pentru corectarea diferitelor poziții de înălțime a sprâncenelor:

Exercițiul nr. 2: ridicarea alternativă a sprâncenelor

Pune-ți degetele pe frunte, deasupra sprâncenelor și folosește-ți falangele pentru a ține ușor pielea, astfel încât să nu se adune în pliuri. Acum ridică sprâncenele alternativ: acum stânga, acum dreapta.

Simțiți care dintre sprâncene se ridică mai rău, sau atunci când ridicați una dintre sprâncene, apare tensiune și disconfort. Sprânceana care se ridică mai rău trebuie extinsă cu 2 puncte: 1-ridicat, 2-extins. După terminarea exercițiului, atingeți-vă degetele pe frunte.

Exercițiul nr. 3: ridicarea unei sprâncene

După ce ați găsit o sprânceană care funcționează mai rău și este situată mai jos, trebuie să o „antrenați” separat.

Fixăm sprânceana care se află deasupra cu mâna, iar pe cealaltă o ridicăm în sus, ținând pielea deasupra sprâncenei cu falangele degetelor, astfel încât să nu se adune în pliuri. După terminarea exercițiului, atingeți-vă degetele pe frunte.

Ochi

Video general:

Exercițiul nr. 1: pentru întărirea pleoapei superioare

Acesta este un exercițiu de bază. În timpul performanței, monitorizează senzațiile sub degetele arătător; sub unul dintre degete, pulsația; tremurăturile musculare vor fi mai puțin pronunțate. Când închideți acest ochi, încercați să apăsați puțin mai tare pleoapa inferioară cu pleoapa superioară. IMPORTANT! Nu apăsați prea tare cu degetele și nu întindeți pielea în direcții diferite!

Ținem colțurile ochilor cu degetele și închidem ochii cu puțin efort, apăsând pleoapa superioară pe cea inferioară. Încearcă să-ți ții sprâncenele la loc și să nu te târăști în spatele pleoapei superioare și relaxează-ți fruntea. Apoi deschidem ochii. După terminarea exercițiului, clipește din ochi.

Exercițiul nr. 2: munca alternativă a ochilor

Să închidem ochii unul câte unul. Așezăm degetele arătător și mijlociu în colțurile ochilor, fără să apăsăm sau să tragem de piele. Închidem ochii pe rând: stânga, dreapta, stânga... Când închizi un ochi, trebuie să-l ții pe celălalt deschis. Asigurați-vă că vă relaxați fruntea, astfel încât sprânceana să nu cadă împreună cu pleoapa superioară. După terminarea exercițiului, clipește din ochi.

Colțurile buzelor

Video general:

Exercițiul nr. 1: ajută la ridicarea colțurilor căzute ale buzelor

Acesta este un exercițiu de bază. Folosește-ți degetele pentru a fixa zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară). Ridicați colțurile buzelor în sus, de parcă ați zâmbi, aplicați rezistență cu degetele, mișcarea colțurilor buzelor urcă sub ochi, în timp ce centrul buzelor este relaxat. Încercați să nu vă lăsați degetele să treacă peste față; când ridicați, colțul buzei se sprijină pe degete.

Exercițiul nr. 2: ridicarea alternativă a colțurilor buzelor

Folosește-ți degetele pentru a fixa zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară). Ridicăm colțurile buzelor în sus ÎN ALTERNARE, de parcă am zâmbi cu un colț al buzelor, aplicăm rezistență cu degetele, mișcarea colțurilor buzelor urcă sub ochi, în timp ce centrul buzelor noastre. este relaxat. Încercați să nu vă lăsați degetele să treacă peste față; când ridicați, colțul buzei se sprijină pe degete.

Exercițiul nr. 3: ridicarea unui colț al buzei

Cu ajutorul degetelor, fixăm zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară) din partea colțului buzei, care se află dedesubt. Pur și simplu fixăm colțul opus al gurii cu mâna, astfel încât să nu se implice în lucru. Ridicăm colțul buzelor în sus, de parcă am zâmbi cu un colț al buzelor, aplicăm rezistență cu degetele, mișcarea colțului buzelor urcă sub ochi, în timp ce centrul buzelor este relaxat . Încercați să nu vă lăsați degetele să treacă peste față; când ridicați, colțul buzei se sprijină pe degete.

P.S. Dezvolt programe individuale pentru formarea de face-building și predau cursuri prin Skype. Dacă sunteți interesat -

Stabilirea asimetriei faciale a devenit o senzație, deoarece asimetria este rar observată. S-a dovedit că oamenii diferă atât în ​​gradul de asimetrie cât și în trăsăturile feței. Acest lucru a fost confirmat nu numai de măsurători, ci și de compararea portretelor compuse din fotografii ale jumătăților din dreapta și din stânga (una dintre ele trebuie întoarsă cu susul în jos la imprimare) cu un portret obișnuit al unei persoane, făcut exact din față. Rezultatele sunt chipuri complet diferite.

Nu există o simetrie perfectă în lume. Este o greșeală să consideri simetria facială o condiție indispensabilă pentru frumusețea ei. Amestecul de trăsături ereditare nu poate decât să se reflecte pe chipul copilului. Pentru a evalua frumusețea unei fețe, ceea ce este important este combinația de trăsături și o ușoară asimetrie, care, apropo, este inerentă fețelor tuturor oamenilor și nu afectează deloc meritele portretului. Chiar și în imaginile sculpturale ale lui Venus de Milo și Apollo Belvedere, fețele lor nu au o simetrie completă. Pe bună dreptate putem spune că nu există o singură față cu o simetrie strictă incontestabilă a jumătăților drepte și stângi. Acesta este, probabil, motivul pentru care Claudius Galen a scris că „frumusețea reală este exprimată în perfecțiunea scopului și că primul scop al tuturor părților este oportunitatea structurii”. Fără îndoială, P.F. Lesgaft a avut dreptate când a scris că „odată cu dezvoltarea armonioasă a tuturor mușchilor și grupelor musculare, fața își va pierde expresia definită. Individualitatea trăsăturilor faciale este dobândită prin utilizarea frecventă a mușchilor corespunzători.”

Michelle Monaghan

Deci, ar trebui să recunoaștem ca fapt asimetria feței, adică diferența dintre jumătățile sale drepte și stângi: una dintre ele, de regulă, este mai lată, cealaltă este mai îngustă, una este mai înaltă, cealaltă este mai joasă. . Cauza asimetriei este în majoritatea cazurilor inegalitatea elementelor structurale ale oaselor craniului. Pe chipul uman, asimetria crescută este determinată de specificul expresiilor faciale (asimetrie fiziologică).

Naomi Watts

Există lucrări științifice în care oamenii de știință identifică următoarele modele de asimetrie facială. Dacă o jumătate a feței este mai înaltă, atunci este și mai îngustă. In acest caz, spranceana este situata mai sus decat pe jumatatea opusa, mai lata a fetei, iar fisura palpebrala este mai mare. Ochiul în ansamblu pare a fi întors în sus. Jumătatea stângă a feței este de obicei mai înaltă decât cea dreaptă. Mulți autori încă mai cred că jumătatea dreaptă a feței este mai mare decât cea stângă, iese în evidență mai clar și exprimă masculinitatea. Jumătatea stângă este în general mai moale, reflectând feminitatea.

Kate Bosworth

Asimetria facială a fost mult timp observată ca o reflectare a asimetriei generale a corpului. S-au încercat refacerea feței din portret folosind jumătatea exactă a fotografiei și imaginea în oglindă. Jumătățile din dreapta și din stânga au produs imagini diferite. Nu au coincis cu versiunea originală. Asimetria mimică, deși stratificată pe disproporțiile jumătăților drepte și stângi ale craniului facial, are, de asemenea, propriile sale caracteristici. S-a stabilit că reglarea nervoasă a mușchilor drepti ai feței este mai bogată, mișcările capului și ale ochilor spre dreapta sunt reproduse mai ușor. Chiar și mijirea ochiului drept se dovedește a fi mai obișnuită.

Candidat la stiinte medicale, chirurg plastician ""

În secolul al XV-lea, Leonardo da Vinci a creat desene înfățișând proporțiile „divine” ale feței și corpului uman, care sunt încă standardul (Fig. 1). Cu toate acestea, aceste proporții nu țin cont de faptul că în natura vie nu există obiecte absolut simetrice: în oricare dintre ele există întotdeauna o unitate de simetrie și asimetrie.

Orez. 1.

De-a lungul istoriei, oamenii au încercat să „măsoare” frumusețea, să o descrie folosind formule matematice sau proporții geometrice, făcând astfel posibilă recrearea acesteia. Astfel, în Grecia Antică, ordinea și armonia observate în natură erau personificate în imaginile strălucitoare ale zeilor și zeițelor, imortalizate în frumoase statui.

Potrivit sculptorilor greci, simetria caracterizează armonia, proporționalitatea și armonia corpurilor naturale și a corpului uman. Prin urmare, conceptele de simetrie și frumusețe sunt identice. Este suficient să amintim construcția strict simetrică a monumentelor de arhitectură, modelele care se repetă în mod natural ale ornamentelor tradiționale, armonia uimitoare a vaselor grecești (Fig. 2).

Faptul de asimetrie a feței și corpului uman a fost cunoscut artiștilor și sculptorilor din lumea antică și a fost folosit de aceștia pentru a adăuga expresivitate și spiritualitate lucrărilor pe care le-au creat.

Un exemplu izbitor de asimetrie este fața Venusului de Milo (Fig. 3). Susținătorii simetriei au criticat asimetria formelor acestui standard general acceptat de frumusețe feminină, crezând că chipul lui Venus ar fi mai frumos dacă ar fi simetric. Cu toate acestea, privind fotografiile compoziționale, vedem că nu este cazul.

Însuși conceptul de „simetrie” este direct legat de armonie. Provine din cuvântul grecesc antic συμμετρία (proporționalitate) și înseamnă ceva armonios și proporțional într-un obiect. Conceptul de simetrie „oglindă” este aplicabil oamenilor. Această simetrie este sursa principală a admirației noastre estetice pentru corpul uman bine proporționat.

Această simetrie nu este doar frumoasă, ci și funcțională. Astfel, membrele simetrice vă permit să vă deplasați cu ușurință în spațiu, locația ochilor vă permite să creați imaginea vizuală corectă, iar un sept nazal drept asigură o respirație adecvată. Cu toate acestea, simetria organismelor vii nu se manifestă cu precizie matematică din cauza neuniformității dezvoltării și funcționării.

Simetrie facială și standarde de frumusețe

De-a lungul timpului, standardele de frumusețe s-au schimbat, dar principiile și parametrii care determină relațiile și proporțiile feței și, în consecință, atractivitatea acesteia, s-au păstrat încă din cele mai vechi timpuri. Pentru ca o față să fie armonioasă, diferitele sale părți trebuie să fie legate într-o anumită proporție, prin care să se realizeze un echilibru de ansamblu. Nicio parte a feței nu există sau nu funcționează izolat de celelalte. Orice modificare a unei anumite părți a feței va avea un efect real sau aparent asupra percepției altor părți și a feței în ansamblu.

Este firesc ca toate proporțiile feței umane sunt doar aproximative pentru estetica sa din mai multe motive:

• În primul rând, proporțiile faciale se modifică în funcție de vârsta, sexul, dezvoltarea fizică a unei persoane și sunt în mare măsură determinate de caracteristicile structurale individuale.
• În al doilea rând, evaluarea proporționalității devine mai dificilă în funcție de poziția capului
• A treia dificultate constă în asimetria feței umane, care se manifestă adesea în forma nasului, poziția fantelor ochilor și a sprâncenelor și poziția colțurilor gurii. Cele două fețe ale unei fețe nu produc aceeași imagine în oglindă, chiar dacă fața este percepută de noi ca fiind perfect corectă.

Astfel, faptul asimetriei faciale, exprimat prin disparitatea jumătăților drepte și stângi, dintre care una, de regulă, este mai lată și mai înaltă, cealaltă mai îngustă și mai joasă, este general acceptată astăzi.

Din fotografiile prezentate în Fig. 4, este clar că fețele absolut simetrice sunt clar diferite de imaginea originală a unei fețe cu asimetrie naturală. În opinia noastră, „sintetic” fețele simetrice par mai puțin atractive, ca și în fotografiile originale, deși am selectat fețele actorilor a căror apariție a fost apreciată cel mai bine pentru a crea portrete compuse. Mai mult, aceste fețe sunt cele care se disting printr-o simetrie mai pronunțată decât se observă la majoritatea oamenilor, dar o ușoară asimetrie nu face decât să le sublinieze atractivitatea.

Frumusețe în asimetrie?

Deci, asimetria inerentă în noi toți este de fapt frumoasă sau nu? Este destul de evident că nu considerăm atractive încălcări semnificative ale simetriei în structura feței. Cu toate acestea, micile abateri de la simetrie nu introduc dizarmonie, ci doar evidențiază favorabil individualitatea.

Majoritatea pacienților care apelează la un chirurg plastician nu observă asimetria proporțiilor feței și corpului lor. Prin urmare, una dintre sarcinile importante ale chirurgului în timpul consultării este de a atrage atenția pacientului asupra caracteristicilor proporțiilor sale și de a descrie în detaliu schimbările viitoare ca urmare a operației. Corectarea asimetriei faciale este mult facilitată de utilizarea metodelor minim invazive, cum ar fi și.

Deci, asimetria pronunțată este de obicei considerată inestetică, iar în astfel de cazuri dorința de a obține un aspect mai simetric este destul de naturală și poate servi ca indicație pentru chirurgia plastică. Cu toate acestea, o ușoară asimetrie a feței o face doar atractivă și individuală și, prin urmare, nu ar trebui să depuneți eforturi pentru o simetrie absolută.

Simetria și proporționalitatea sunt componente importante ale frumuseții externe a unei persoane și, în unele cazuri, indicatori ai sănătății. Dar nu toată lumea știe să evalueze proporțiile și simetria feței și corpului lor. Exact despre asta vom vorbi.

Un nas lung nu poate strica deloc aspectul unei persoane? Categoric da. Daca nasul este proportional cu fata lui.

Pentru a evalua proporțiile feței, trebuie să mergeți la oglindă și să măsurați trei distanțe:
de la linia părului de pe frunte până la puntea nasului
de la puntea nasului până la buza superioară
de la buza superioară până la bărbie.

Dacă sunt egali, ești fericitul proprietar al unei fețe proporționale.

Dacă nu, atunci există o disproporție, care nu este deloc un motiv de descurajare. În primul rând, aceasta poate conține o anumită atractivitate și originalitate a feței, iar în al doilea rând, proporțiile pot fi modificate.

Creșterea sau micșorarea primei distanțe se poate realiza folosind o coafură, precum și conferirea unei anumite forme sprâncenelor. A doua distanță este aproape întotdeauna corectată prin modificarea lungimii nasului. A treia distanță poate fi influențată vizual de ruj selectat corect sau de o măsură mai durabilă - mărirea buzelor.

Simetria facială este, de asemenea, ușor de evaluat. Trebuie să acordați atenție locației și formei formațiunilor anatomice pereche: sprâncene, ochi, urechi, pliuri nazolabiale.

Dacă sunt situate la același nivel și au aceeași formă, atunci fața este simetrică. Simetria facială este foarte importantă nu numai din punct de vedere estetic. Întreruperea sa bruscă este un semn de diagnostic important pentru o serie de boli neurologice grave.

Cel mai simplu mod de a aprecia proporțiile corpului este după volum: piept, talie și șolduri.

La un bărbat construit proporțional predomină volumul pieptului. Din punct de vedere geometric, figura masculină ideală este un triunghi isoscel răsturnat cu susul în jos.

Într-o figură feminină proporțională, volumele pieptului și șoldurilor sunt aproximativ egale între ele. Și mărimea taliei tale ar trebui să fie cu 1/3 mai mică decât aceste două volume. Este suficient să ne amintim standardul binecunoscut: 90cm -60cm-90cm. Cu toate acestea, raportul 120cm-80cm-120cm nu este mai puțin proporțional. Expresia geometrică a idealului este forma de clepsidră.

Din punct de vedere vizual, proporțiile necesare sunt atinse prin îmbrăcăminte, corseterie și anumite exerciții fizice. Cu toate acestea, există zone cu probleme care sunt destul de greu de corectat, de exemplu, notorii „pantaloni” - partea superioară a suprafețelor laterale ale coapselor. Liposucția efectuată corect poate ajuta eficient aici.

Simetria corpului este, de asemenea, evaluată prin formațiuni pereche. Claviculele, mameloanele, omoplații, spinele iliace anterioare superioare și pliurile gluteale trebuie să fie la același nivel.

Merită să știți că o încălcare vizibilă a simetriei corpului este întotdeauna un motiv pentru o examinare amănunțită a sistemului musculo-scheletic.

În general, atunci când îți evaluezi aspectul după orice parametru, fie că este vorba de proporționalitate, simetrie sau altceva, nu trebuie să fii prea pretențios.

Anumite trăsături, imperfecțiuni, disproporții sunt cele care ne deosebesc unul de celălalt și, prin urmare, ne fac unici.

Să nu ne dăm seama deocamdată dacă există cu adevărat o persoană absolut simetrică. Toată lumea, desigur, va avea o aluniță, o șuviță de păr sau un alt detaliu care rupe simetria externă. Ochiul stâng nu este niciodată exact la fel cu cel drept, iar colțurile gurii sunt la înălțimi diferite, cel puțin pentru majoritatea oamenilor. Totuși, acestea sunt doar neconcordanțe minore. Nimeni nu se va îndoi că în exterior o persoană este construită simetric: mâna stângă corespunde întotdeauna dreptei și ambele mâini sunt exact aceleași! Stop. Merită să ne oprim aici. Dacă mâinile noastre ar fi într-adevăr exact aceleași, le-am putea schimba oricând. Ar fi posibil, să zicem, prin transplant să transplantăm palma stângă pe mâna dreaptă, sau, mai simplu, mănușa stângă s-ar potrivi atunci cu mâna dreaptă, dar de fapt nu este cazul.

Ei bine, desigur, toată lumea știe că asemănarea dintre mâinile noastre, urechile, ochii și alte părți ale corpului este aceeași ca între un obiect și reflectarea lui într-o oglindă. Cartea din fața ta este dedicată problemelor de simetrie și reflexie în oglindă.

Mulți artiști au acordat o atenție deosebită simetriei și proporțiilor corpului uman, cel puțin până când au fost mânați de dorința de a urmări natura cât mai îndeaproape în lucrările lor. Canoanele lui Prodortius întocmite de Albrecht Dürer și Leonardo da Vinci sunt binecunoscute. Conform acestor canoane, corpul uman nu este doar simetric, ci și proporțional. Leonardo a descoperit că corpul se potrivește într-un cerc și un pătrat. Dürer căuta o singură măsură care să fie într-o anumită relație cu lungimea trunchiului sau a piciorului (a considerat că lungimea brațului până la cot este o astfel de măsură).

În școlile moderne de pictură, dimensiunea verticală a capului este cel mai adesea luată ca o singură măsură. Cu o anumită presupunere, putem presupune că lungimea corpului este de opt ori mărimea capului. La prima vedere acest lucru pare ciudat. Dar nu trebuie să uităm că majoritatea oamenilor înalți au craniul alungit și, dimpotrivă, este rar să întâlniți un bărbat scund, gras, cu capul alungit.

Dimensiunea capului este proporțională nu numai cu lungimea corpului, ci și cu dimensiunea altor părți ale corpului. Toți oamenii sunt construiți pe acest principiu, motiv pentru care suntem în general asemănători unii cu alții. (Vom reveni la asemănarea sau asemănarea în câteva pagini.) Cu toate acestea, proporțiile noastre sunt doar aproximativ consistente și, prin urmare, oamenii sunt doar similari, dar nu la fel. În orice caz, toți suntem simetrici! În plus, unii artiști subliniază în mod special această simetrie în lucrările lor.

SIMETRIA PERFECTĂ ESTE PLICITITĂ

Și în îmbrăcăminte, o persoană, de regulă, încearcă, de asemenea, să mențină impresia de simetrie: mâneca dreaptă corespunde stângi, piciorul drept al pantalonului corespunde stângi.

Nasturii de pe geacă și de pe cămașă stau exact în mijloc, iar dacă se îndepărtează de ea, atunci la distanțe simetrice. Doar rar o femeie are suficient curaj să poarte o rochie cu adevărat asimetrică (vom vedea în continuare cât de puternice sunt permise abaterile de la simetrie).

Dar pe fondul acestei simetrii generale, în detalii mici, permitem în mod deliberat asimetria, de exemplu, pieptănarea părului într-o despărțire laterală - pe stânga sau pe dreapta. Sau, să zicem, plasarea unui buzunar asimetric pe piept pe un costum, adesea subliniat de o eșarfă. Sau punerea unui inel pe degetul inelar de la o singură mână. Comenzile și insignele sunt purtate doar pe o parte a pieptului (de obicei în stânga).

Simetria completă fără cusur ar părea insuportabil de plictisitor. Micile abateri de la acesta dau trăsături caracteristice, individuale. Celebrul autoportret al lui Albrecht Durer pare la prima vedere absolut simetric. Dar, aruncând o privire mai atentă, vei observa un mic detaliu asimetric, care dă imaginii vioicitate și vitalitate: o șuviță de păr lângă despărțire.

Și, în același timp, uneori o persoană încearcă să sublinieze și să consolideze diferența dintre stânga și dreapta. În Evul Mediu, bărbații purtau la un moment dat pantaloni cu picioare de diferite culori (de exemplu, unul roșu și celălalt negru sau alb). Și în aceste zile, blugii cu pete strălucitoare sau pete colorate au fost populari. Dar o astfel de modă este întotdeauna de scurtă durată. Doar abaterile modeste de la simetrie raman mult timp.

CE ESTE SIMILITATEA?

Adesea spunem că doi oameni sunt asemănători unul cu celălalt. Copiii arată de obicei ca părinții lor (cel puțin conform bunicilor). La fel, dar nu la fel!

Să încercăm să înțelegem ce se înțelege prin asemănare sau asemănare în matematică. Pentru cifre similare, segmentele corespunzătoare sunt proporționale între ele. În cazul nostru, putem formula această situație astfel: nasurile similare au aceeași formă, dar pot diferi ca mărime. În acest caz, fiecare parte individuală a nasului (de exemplu, puntea nasului) trebuie să fie proporțională cu toate celelalte.

Această lege a asemănării este uneori plină de o captură. De exemplu, într-o problemă ca aceasta:

Înălțimea turnului A este de 10 m. La o anumită distanță X de acesta se află un turn B de șase metri. Dacă tragem linii drepte de la piciorul și vârful turnului A prin vârful turnului B, atunci acestea se vor întâlni, respectiv , piciorul și vârful turnului C, care are o înălțime de 15 m. Care este distanța de la turnul A la turnul B?

S-ar părea că pentru a rezolva această problemă este suficient să ridicați o busolă și o riglă. Dar se dovedește imediat că va exista un număr infinit de răspunsuri. Cu alte cuvinte, nu poate exista un răspuns clar la întrebarea despre valoarea lui X.

În această carte, veți întâlni adesea probleme care necesită gândire. Aceasta are un anumit sens pedagogic. Problemele de acest fel, chiar dacă nu au o soluție, precum cea propusă mai sus, se referă la o problemă care se află în limitele cunoștințelor noastre. În cea mai mare parte, acestea sunt chiar limitele în fața cărora faimosul „bun simț” cedează și numai gândirea logică strict matematică, cuplată cu știința naturii, poate duce la decizia corectă.

Să ne întoarcem din nou la om: la compararea ființelor vii, asemănarea se simte clar dacă proporțiile acestora coincid. Prin urmare, copiii și adulții pot fi asemănători. Deși masa și dimensiunea oricărei părți a corpului, fie că este vorba despre nas sau gura, sunt diferite, proporțiile indivizilor similari sunt aceleași.

Un exemplu izbitor de similitudine este estimarea vizuală a distanței folosind degetul mare. În acest fel, militarii și marinarii estimează distanța dintre două puncte de pe sol sau de pe mare, comparându-le cu lățimea unui deget sau a pumnului. În cel mai simplu caz, închid un ochi și privesc cu ochiul deschis la degetul unei mâini întinse, folosindu-l ca vedere.

Când vedeți cu degetul mare al unei mâini întinse (o dată cu ochiul stâng și cealaltă cu cel drept), degetul „sare” cu aproximativ 6°

Dacă deschideți un ochi închis anterior (și îl închideți pe celălalt), degetul se va deplasa o distanță vizibilă în lateral. În termeni de grade, această distanță este de 6°. Și, în plus, amploarea acestui „salt” (în cadrul erorii admisibile) este aceeași pentru toți oamenii! Deci, compania din flancul drept, un tip înalt de doi metri, iar cel mai mic - flancul stâng, înalt de doar șaizeci de metri, comparând aceste „sărituri” ale degetului, vor primi aceeași valoare.

Motivul acestui fenomen constă în cele din urmă în asemănarea oamenilor și, desigur, în legile opticii care ne guvernează viziunea.

„Regula pumnului” este, de asemenea, cunoscută - în sensul cel mai literal al cuvântului - pentru o estimare aproximativă a mărimii unghiului. Dacă privim cu un ochi pumnul unei mâini întinse (de data aceasta cu același ochi), atunci lățimea pumnului va fi de 10°, iar distanța dintre cele două oase ale falangelor va fi de 3°. Pumnul și degetul mare întinse în lateral vor fi de 15°. Combinând aceste măsurători, puteți măsura aproximativ toate unghiurile de pe sol.

Și în sfârșit, o altă măsură unghiulară a corpului nostru, care poate fi utilă pentru treburile casnice. Unghiul dintre degetul mare și degetul mic al palmei întinse este de 90°. Acest lucru pare puțin probabil, dar puteți verifica imediat totul singur, punând degetele întinse ale palmei pe colțul cărții noastre. Puneți degetul mic exact paralel cu o margine și mișcați mâna în jos de-a lungul ei până când degetul mare se sprijină și el pe marginea de jos. Esti sigur?

Desigur, aici eroarea se dovedește uneori a fi relativ mare, deoarece în funcție de vârsta și dezvoltarea mâinii, degetul mare poate fi retras la distanțe diferite. Dar pentru primul test, care vă permite să decideți dacă unghiul măsurat se abate semnificativ de la unghiul drept, această metodă este destul de potrivită.

LINELAND ŞI PLATLAND

Oamenii înzestrați cu imaginație au observat de mult că legile congruenței, atât de stricte pentru spațiul bidimensional, atunci când sunt aplicate în practică, necesită adesea utilizarea unei a treia dimensiuni.

Când așezați masa pentru o recepție formală, șervețelele sunt de obicei pliate într-un triunghi. Dar de îndată ce strângeți aceste triunghiuri într-un teanc, unul peste altul, descoperiți că există două tipuri de aceste triunghiuri: unele se „se potrivesc” imediat, în timp ce altele trebuie să fie întoarse „pe partea dreaptă. ” O problemă similară apare la ștanțarea pieselor mici atunci când cineva încearcă să stivueze produsul finit.

Poeții și scriitorii tind să fantezeze în jurul unor situații mai mult sau mai puțin probabile. Astfel, există lucrări în care viața este înfățișată în spațiu bidimensional (unde nu poți întoarce „șervețelul”).

Unii autori merg chiar mai departe și încearcă să-și imagineze viața în spațiu unidimensional, în Straight Country - Lineland. Lineland este locuit doar de bețișoare subțiri de lemn, care în cel mai simplu caz nu diferă între ele. Totuși, imediat ce le dai capete (meciurile vin imediat în minte!), au imediat două posibilități.

Sau toate meciurile au capul îndreptat în aceeași direcție - apoi combinarea lor nu provoacă dificultăți. Sau unele dintre chibrituri stau cu capul la stânga, iar altele cu capul la dreapta. Matematicianul de la Lineland nu are nicio capacitate practică de a converti potrivirile „stânga” în cele „dreapta”. Dar un matematician din Land of Flatness - Flatland, care mai are o dimensiune, va găsi imediat o soluție simplă: va întoarce meciul în avion.

Cu toate acestea, potrivit unor scriitori, viața în Flatland nu este atât de simplă. Să ne imaginăm că locuitorii acestei țări sunt dreptunghiuri mici cu un ochi (și au doar un ochi) într-unul din colțuri. Un astfel de dreptunghi poate fi văzut, desigur, doar într-un avion și nu reușește niciodată să privească acest plan de sus. Așa că niciun Flatlander nu își va putea imagina vreodată cum arată cu adevărat: acest lucru necesită deja o vedere din spațiul tridimensional. Casele Flatlanderilor ar fi asemănătoare cu cele din desenele copiilor. Cu diferența că ușile ar fi laterale și s-ar deschide doar în același plan. Dar balamalele ușii ar trebui făcute în afara avionului, deasupra sau dedesubtul acestuia. În plus, ar fi nevoie de un sistem complex de suporturi pentru a preveni prăbușirea peretelui casei atunci când ocupanții săi doreau să deschidă ușa. Iar doi Flatlanderi nu se puteau privi decât dacă unul dintre ei reușea să stea pe capul lui.

Situația ar fi și mai complicată dacă Flatland ar fi locuit de două popoare. Să spunem Flatlanderii stângaci și dreptaci. Este nevoie de multă imaginație pentru a ne imagina toate consecințele posibile ale unei astfel de situații, mai ales având în vedere că suntem obișnuiți să gândim în trei dimensiuni!

Deoarece atât Lineland, cât și Flatland au fost prezentate scriitorilor într-o lumină plină de umor, nu este surprinzător că literatura pe această temă a apărut în Anglia.

În 1880 Profesorul de engleză Edwin Ebony Abbott a scris o carte despre Flatland și locuitorii săi ( Abbott E. E. Flatland. În carte: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlanderul lui Abbott, găsindu-se într-un vis în Lineland, încearcă în zadar să convingă locuitorii de acolo de existența unui avion.

În cursul acțiunii, unul dintre Flatlanderi reușește să înțeleagă spațiul tridimensional, pentru care este recunoscut drept „cel mai nebun dintre nebuni”.

Peste douăzeci de ani mai târziu, în 1907, C. G. Hinton a publicat romanul The Flatland Incident. În ea, doi oameni din Flatland poartă război. Întrucât toți Flatlanderii se confruntă cu aceeași direcție, unul dintre oameni se află întotdeauna într-un dezavantaj fără speranță: nu se poate întoarce și lovește înapoi în direcția corectă - inamicul urât stă constant pe gâtul lui. Dar până la urmă, victorii bune. Un cap inteligent observă că Flatland este situat pe o minge și, prin urmare, poți să alergi în jurul ei și să ajungi în spatele liniilor inamice.

Autorul romanului își construiește povestea pe presupunerea tacită că Flatlanderii se pot deplasa doar pe anumite direcții generale care exclud ocolurile laterale și că este imposibil pentru ei să răstoarne inamicul.

După cum se vede, cele mai sofisticate teorii au fost înaintate cu privire la viața în spațiul bidimensional, dar nu și-au găsit niciodată aplicație. Probabil că atât aceste cărți, cât și autorii lor ar fi fost uitate cu mult timp în urmă dacă Lineland și Flatland nu ar fi fost atât de necesare pentru a explica teoria reflexiei în oglindă și dacă compilatorii problemelor de inteligență nu ar fi trebuit să se întoarcă la Flatland din nou și din nou pentru a extrage idei. din bidimensionalitatea sa (apropo, nu cu mult timp în urmă a fost creat în Ungaria un desen animat despre călătoria școlarului Adoljar la Flatland).

Printre altele, Flatlanderii transportă mărfuri prin rularea platformelor pe cercuri. De fiecare dată când încărcătura trece pe lângă cerc, ofițerul de transport de acolo rostogolește cercul înainte și îl plasează în fața platformei.

Aici apar multe probleme interesante. Dar ne interesează doar un singur lucru: dacă axul roții se mișcă cu o viteză de 10 m pe minut, cu ce viteză se mișcă sarcina?

Știm despre mașina noastră pământească că nici o singură roată (mai precis, nici o singură axă a roții) nu se poate mișca mai repede decât întreaga mașină. Dar pe un vehicul plat, roata nu este legată rigid de sarcină. După reflecție, nu este greu să ne dăm seama că sarcina de aici este implicată în două mișcări.

În primul rând, se mișcă împreună cu axa de rotație a roții (aceasta este la fel ca o mașină). Și, în plus, încărcătura încă se rostogolește în jurul circumferinței roții și, în același timp, la o viteză egală cu viteza de rotație a axei. Prin urmare, în general, sarcina se rostogolește cu o viteză de două ori mai mare decât roata. Desigur, sarcina trebuie să se miște mai repede, deoarece roțile rămân mereu în spate și trebuie deplasate constant înainte.

Unii cititori se vor gândi: „Problema este cu adevărat interesantă, dar și ce?”

Cu toate acestea, principiul de funcționare al transportului pe uscat își găsește locul în tehnologia noastră. Astfel, un designer, care proiectează o ușă într-o cameră mică (de exemplu, lângă un mic lift), este forțat să abandoneze balamalele. Împarte ușa în două jumătăți (dacă, bineînțeles, vine cu un astfel de truc!), care merg paralele una cu cealaltă. O jumătate a ușii este atașată fix de axa rolei, iar a doua se mișcă de-a lungul circumferinței acestei role. În timp ce o jumătate se mișcă pe jumătate din lățimea ușii, cealaltă reușește să alerge pe toată lățimea ușii (cu viteză dublă).

Să nu privim cu dispreț Flatland și fanteziile scriitorilor. Să presupunem că Flatlanderii trăiesc de fapt pe suprafața mingii. Această suprafață este atât de mare încât rezidenții nu pot observa curbura ei. Desigur, ei cred că trăiesc într-un plan, deoarece nu își pot imagina o sferă: la urma urmei, a treia dimensiune le este, în principiu, nefamiliară. Prin urmare, profesorii de Flatland dezvoltă matematica Flatland, care este studiată în școli. Copiii de acolo memorează, de exemplu, următoarea definiție: două drepte paralele se intersectează la o distanță finită. Sau: suma unghiurilor unui triunghi depășește 180°. Noi, oamenii din spațiul tridimensional, știm că o suprafață sferică este un spațiu bidimensional non-euclidian care nu se încadrează în geometria euclidiană obișnuită.

Privind globul, vedem că două meridiane, paralele la ecuator, se intersectează la pol. Privind globul, puteți vedea și că două meridiane formează un unghi de 90° cu ecuatorul. În punctul de intersecție la pol, apare un alt unghi. Și suma tuturor celor trei unghiuri este în orice caz mai mare de 180°. Dar săracii Flatlanders, desigur, nici nu-și pot imagina toate acestea. Sunt siguri că trăiesc într-un avion.

Un matematician sceptic, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), s-a întrebat serios dacă noi, oamenii, ne aflăm și noi în poziția Flatlanderilor. Poate, gândi Gauss, trăim și noi într-o lume non-euclidiană, dar pur și simplu nu observăm asta. Dacă ar fi așa, spațiul ar fi curbat (ceea ce, desigur, nu ne-am putea imagina), iar un triunghi suficient de mare ar avea o sumă de unghiuri altele decât 180°. Gauss a măsurat triunghiul dintre Brocken, Inselberg și Hohe Hagen, dar nu a găsit nicio abatere semnificativă de la 180°. Aceasta, desigur, nu ar putea servi drept dovadă incontestabilă, deoarece triunghiul ar putea fi încă prea mic.

Cu toate acestea, nu se poate compara pur și simplu spațiul non-euclidian care a fost discutat cu spațiul în teoria relativității. Tu și cu mine, Flatlanders și Gauss, vorbim despre o problemă pur geometrică, spațială și dacă anumite axiome sunt adevărate (de exemplu, intersecția a două drepte paralele la infinit). Adepții teoriei relativității introduc timpul ca a patra coordonată spațială.

DESPRE CONGRUENTĂ

Două figuri plane sunt congruente dacă toate unghiurile și segmentele lor de linie dintre punctele corespunzătoare sunt egale.

La școală studiem teoreme despre congența triunghiurilor. S-a stabilit, de exemplu, că ariile triunghiurilor sunt egale dacă au o latură și două unghiuri adiacente coincid. Aceasta înseamnă că, deși puteți folosi o latură și două unghiuri adiacente pentru a construi triunghiuri, triunghiurile trebuie să se potrivească în toate părțile lor.

În vorbirea colocvială (care este ceea ce folosim în această carte), putem spune că planurile congruente sunt exact suprapuse unele peste altele, sau, dimpotrivă, dacă o figură plană este exact suprapusă peste alta, atunci ele sunt congruente. Același lucru este valabil și pentru corpurile tridimensionale: dacă pot fi combinate, atunci sunt congruente.

Priviți triunghiurile prezentate în imagine. Toate sunt congruente. Evident, ambele triunghiuri așezate în stânga se vor potrivi dacă le muți pur și simplu. Dar triunghiul așezat în dreapta, deși congruent cu cele două din stânga, nu-l putem combina cu ele doar deplasându-ne în plan. Indiferent cum îl rotim în plan, nu se va alinia niciodată cu niciunul dintre triunghiurile din stânga. Pentru a realiza acest lucru, trebuie să ridicați triunghiul deasupra planului, să îl rotiți în spațiu și să-l puneți înapoi în plan. Dar dacă comparăm pozițiile relative ale triunghiurilor combinate prin deplasare și inversare, vom vedea că în ambele cazuri diferitele lor laturi coincid. Când este forfecată, suprafața inferioară a unui triunghi de hârtie se suprapune cu suprafața superioară a celui de-al doilea triunghi. Orientarea spațială a suprafeței foii de hârtie nu s-a schimbat. În acest caz vorbim despre congruență identică. Dacă, atunci când sunt rotite în spațiu, ambele suprafețe superioare ale hârtiei sunt aliniate, figurile plate se numesc congruente în oglindă.

Congruente sunt figuri plate pe care le percepem ca fiind egale și care pot fi combinate între ele prin deplasarea într-un plan sau rotirea în spațiu.

CONGRUENTA TRIANGURILOR

Congruența este proprietatea figurilor geometrice plate de a coincide între ele ca mărime și formă.

Figurile identic congruente sunt cele care pot fi combinate între ele prin rotație și/sau deplasare.

Figurile congruente cu oglindă sunt acelea a căror combinație necesită o operațiune suplimentară de reflexie în oglindă.

Există patru semne ale congruenței triunghiului. Triunghiurile sunt congruente dacă:

1) trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altuia (S, S, S);

2) două laturi și unghiul interior al unui triunghi închis între ele sunt egale cu două laturi și unghiul interior al altui triunghi închis între ele (S, W, S);

3) două laturi și unghiul interior opus celei mai mari ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul opus celei mai mari ale celuilalt triunghi (S, S, W);

4) latura și ambele unghiuri interioare adiacente acestuia ale unui triunghi sunt egale cu latura și ambele unghiuri interioare adiacente acesteia ale celuilalt triunghi (W, S, W).

SIMILITUDINE

Coincidența figurilor plate în formă, dar nu și în dimensiune, se numește asemănare.

Fiecare unghi al uneia dintre figuri corespunde unui unghi egal al unei figuri similare.

În astfel de cifre, segmentele corespunzătoare sunt proporționale.

Prin deplasare, rotire și (sau) oglindire, două figuri similare pot fi aduse într-o poziție de homotezie. În această poziție, laturile corespunzătoare ale ambelor figuri sunt paralele între ele.

SIMETRIA AXIALĂ

Lasă planul să fie împărțit de o dreaptă s în două semiplane. Dacă acum rotim un semiplan în jurul liniei 5 cu 180°, atunci toate punctele acestui semiplan vor coincide cu punctele celuilalt semiplan.

Linia dreaptă s se numește axa de simetrie.

Datorită faptului că punctele de pe semiplanul inversat sunt în poziție oglindă față de poziția lor inițială, această inversare se mai numește și reflexie speculară. Dacă desenați linii pe un semiplan care indică anumite direcții de rotație, atunci după reflectarea în oglindă, această direcție se va schimba în sens opus. Prin urmare, o singură operație de oglindire produce figuri congruente cu oglindă. Două astfel de operații conduc la cifre identice congruente. Ele corespund unei deplasări sau rotații.

SIMETRIA RADIALĂ

Figurile simetrice radial pot fi aliniate între ele prin rotirea în jurul punctului S. Acest punct se numește centru de simetrie.

La rotire, punctele corespunzătoare ale figurilor sunt combinate. Sensul de rotație nu se schimbă. O figură reflectată în acest fel este identic congruentă.

Operațiunile ulterioare de rotație nu vor afecta în niciun fel identitatea figurilor. La un unghi de rotație de 180°, vorbim de simetrie centrală.

TUCURUL ZAURILOR

Profesorii spun că jocul cu blocuri dezvoltă imaginația spațială. Și așa părinții își cumpără cutiile pentru urmași cu cuburi strălucitoare acoperite cu fragmente de imagini din basme populare. După ce au împăturit aceste cuburi în mod corect, veți vedea Scufița Roșie cu Lupul Gri sau Albă ca Zăpada cu cei șapte pitici.

De fapt, aceste tipuri de cuburi și puzzle-uri dezvoltă imaginația spațială nu numai la copii, ci la toată lumea - de la tineri la bătrâni. Uneori ajungem să împăturim un cub din diferite forme de bușteni.

La o inspecție mai atentă a acestor elemente individuale, se pare că cel puțin două dintre ele au aceeași formă și dimensiune, dar sunt legate între ele ca o mănușă stânga și dreaptă. Creatorii acestor tipuri de puzzle-uri speră evident că jucătorii nu vor observa imediat această diferență. Dacă ne amintim de câte ori am confundat mănușile drepte și stângi, va trebui să recunoaștem că astfel de speranțe nu sunt lipsite de temei.

Este aproape imposibil să combinați aceste elemente. Trebuie remarcat faptul că atunci când folosim expresia „practic posibil” aici (sau undeva mai jos), ne referim la implementarea unei astfel de sarcini în practică.

Dar există și metode matematice sau fizice care fac posibilă combinarea elementelor, cel puțin teoretic sau în funcție de semne externe - acesta va face obiectul unor analize ulterioare. Și din moment ce vorbeam despre combinarea unui element cu altul, trebuie remarcată în special o circumstanță importantă. În Flatland ar fi posibil să combinați figuri plate, scoțându-le din avion și rotindu-le în spațiu. În Lineland, în același mod, ar mai fi nevoie de o singură dimensiune: o rotație în plan, iar segmentele devin compatibile.

Dar nu putem decât să rotim clădirile spațiale în spațiu! Și din moment ce a patra dimensiune, în ciuda tuturor raționamentului lui Gauss, este închisă pentru noi, este greu de imaginat cât de practic (!) ne putem desfășura „cărămizile” altundeva decât spațiul tridimensional, astfel încât să se potrivească împreună!

În viața de zi cu zi, de foarte multe ori trebuie să rezolvăm puzzle-uri similare (subliniez: rezolvă-le practic, nu ne jucăm!), de exemplu, atunci când împachetăm diverse articole. Sau, de exemplu, imaginați-vă radiatoare de încălzire centrală. Unele dintre ele au supapa de reglare în stânga, în timp ce altele o au în dreapta. Cum se conectează mai multe calorifere într-o baterie?

Frigiderele, sobele și alte articole de uz casnic sunt de obicei proiectate cu mânere, chei și robinete drepte și stângaci. Abilitatea fantastică de a roti astfel de obiecte în a patra dimensiune ar fi pe placul tuturor celor care se ocupă de transportul și instalarea lor.

Uită-te în dicționar!

La începutul cărții am numit omul o creatură simetrică. Ulterior, termenul „simetrie” nu a mai fost folosit. Cu toate acestea, probabil ați observat deja că în toate cazurile în care segmentele de linie, figurile plate sau corpurile spațiale erau similare, dar fără acțiuni suplimentare era imposibil, „practic” imposibil, să le combinam, ne-am întâlnit cu fenomenul de simetrie. Aceste elemente corespundeau între ele, ca un tablou și imaginea lui în oglindă. Ca mâna stângă și dreaptă. Dacă ne luăm osteneala să cercetăm „Dicționarul de cuvinte străine”, vom descoperi că simetria este înțeleasă ca „proporționalitate, corespondență completă în aranjarea părților întregului față de linia mediană, centru... o astfel de aranjare a puncte relativ la punctul (centrul de simetrie), linia dreaptă (axa de simetrie) sau planul (planul de simetrie), în care fiecare două puncte corespunzătoare situate pe aceeași dreaptă care trece prin centrul de simetrie, pe aceeași perpendiculară pe axa sau planul de simetrie, sunt la aceeași distanță de ele..." ( Dicţionar de cuvinte străine: Ed. 7, revizuit. -M.; Limba rusă 1980, p. 465)

Și asta nu este tot, așa cum se întâmplă adesea cu cuvintele străine, cuvântul „simetrie” are multe semnificații. Acesta este tocmai avantajul unor astfel de expresii: ele pot fi folosite în cazurile în care nu se dorește să dea o definiție clară sau pur și simplu nu cunoaște o diferență clară între două obiecte.

Folosim termenul „proporționat” în raport cu o persoană, o imagine sau orice obiect atunci când neconcordanțe minore nu ne permit să folosim cuvântul „simetric”.

Deoarece scotocim prin cărți de referință, să aruncăm o privire la Dicționarul Enciclopedic ( Dicționar enciclopedic sovietic - M.: Enciclopedia sovietică, 1980, p. 1219-1220). Vom găsi aici șase articole care încep cu cuvântul „simetrie”. În plus, acest cuvânt apare în multe alte articole.

În matematică, cuvântul „simetrie” are cel puțin șapte sensuri (printre ele polinoame simetrice, matrici simetrice). Există relații simetrice în logică. Simetria joacă un rol important în cristalografie (veți citi mai multe despre asta în această carte). Conceptul de simetrie în biologie este interpretat interesant. Descrie șase tipuri diferite de simetrie. Învățăm, de exemplu, că ctenoforii sunt disimetrici, în timp ce florile de snapdragon sunt bilateral simetrice. Vom constata că simetria există în muzică și coregrafie (dans). Depinde aici de alternanța bătăilor. Se dovedește că multe cântece și dansuri populare sunt construite simetric.

Deci, trebuie să cădem de acord asupra tipului de simetrie despre care vom vorbi. Indiferent de natura obiectelor luate în considerare, principalul interes pentru noi va fi simetria oglinzii - simetria stânga și dreapta. Vom vedea că această aparentă limitare ne va duce departe în lumea științei și tehnologiei și ne va permite să testăm abilitățile creierului nostru (de vreme ce este cel programat pentru simetrie) din când în când.

JOC DE PUNCTE ȘI LINII

Încă nu am părăsit Lineland și Flatland. Și există un motiv special pentru asta. Chiar dacă nu există locuitori acolo, atunci liniile drepte și avioanele în sine sunt destul de reale!

Să ne gândim cum stau lucrurile cu simetria pe o linie dreaptă. Cu ajutorul a două potriviri ne putem imagina foarte simplu două cazuri posibile. (Am examinat deja câteva aspecte ale acestei situații mai devreme.) Chibriturile pot sta cu capul într-o singură direcție. Apoi se potrivesc cu ușurință. Sau cu capetele (sau vârfurile) unul față de celălalt. În acest caz, există un punct pe linia dreaptă în care oglinda poate fi plasată în așa fel încât chibritul pare să se alinieze cu reflexia sa. Cu alte cuvinte, există un centru de simetrie pe linia dreaptă. Va trebui să ne imaginăm că oglinda se potrivește într-un punct și o jumătate de segment de linie dreaptă se reflectă în ea. În raționamentul matematic, acest lucru este foarte posibil.

Figurile plate sunt „reflectate” în axele de simetrie

Când construim pe un plan, oglinda noastră poate rămâne totuși un punct, sau poate o linie dreaptă. Probabil că este mai corect să o spui în ordine inversă: o linie dreaptă sau un punct va servi drept oglindă. La urma urmei, dacă există o linie dreaptă undeva, atunci este posibil un punct centru de simetrie pe ea.

Reflexiile în oglindă ale jumătăților de planuri arată la fel ca planurile reale: prin rotirea planului în jurul unei linii drepte - oglinda - poate fi combinată cu reflexia, de unde expresia „axa de simetrie”.

Un cerc are un număr infinit de axe de simetrie. „Frunza de trifoi” - doar una

Deci, știm acum ce sunt un centru de simetrie și o axă de simetrie și, de asemenea, că un obiect (să luăm acest cuvânt neutru) este simetric dacă o jumătate din el este legată de cealaltă, ca o imagine și imaginea lui în oglindă.

Un cerc are un număr infinit de axe de simetrie și toate trec printr-un centru de simetrie comun. Pentru alte figuri, numărul de axe de simetrie este finit, dar totuși toate axele (două sau mai multe) trec prin centrul de simetrie. Aceasta înseamnă că putem roti figura cu un anumit unghi (maximum 180°) și se va afla din nou exact în același loc ca înainte de rotație.

Să continuăm raționamentul despre simetria oglinzii. Este ușor de stabilit că fiecare figură plană simetrică poate fi aliniată cu ea însăși folosind o oglindă. Este surprinzător că figuri atât de complexe precum o stea cu cinci colțuri sau un pentagon echilateral sunt și ele simetrice. După cum rezultă din numărul de axe, acestea se disting prin simetrie ridicată. Și invers: nu este atât de ușor de înțeles de ce o figură atât de aparent obișnuită, precum un paralelogram oblic, este asimetrică. La început se pare că o axă de simetrie ar putea fi paralelă cu una dintre laturile sale. Dar de îndată ce încerci mental să-l folosești, te convingi imediat că nu este așa. Spirala este și ea asimetrică.

Destul de ciudat, o astfel de figură aparent „simetrică”, ca un paralelogram, nu are nu numai axe de simetrie, ci și simetrie în oglindă în general.

În timp ce figurile simetrice corespund complet reflectării lor, cele asimetrice sunt diferite de aceasta: dintr-o spirală care se răsucește de la dreapta la stânga, în oglindă vei obține o spirală care se răsuceste de la stânga la dreapta. Această proprietate este adesea folosită în jocurile de masă și competițiile desfășurate la televizor. Jucătorii sunt rugați să se uite în oglindă și să deseneze o figură asimetrică, cum ar fi o spirală. Și apoi desenați din nou spirala „exact aceeași”, dar fără oglindă. O comparație a ambelor desene arată că spiralele s-au dovedit a fi diferite: una se răsucește de la stânga la dreapta, cealaltă de la dreapta la stânga.

Dar ceea ce pare o glumă aici în viața practică provoacă o mulțime de dificultăți nu numai copiilor, ci și adulților. Copiii scriu adesea câteva scrisori pe dos. N latinul arată ca I, în loc de S și Z rezultă S și Z. Dacă ne uităm cu atenție la literele alfabetului latin (și acestea sunt, de asemenea, în esență, cifre plate!), vom vedea printre ele simetrice și asimetric. Litere precum N, S, Z nu au o singură axă de simetrie (la fel ca F, G, J, L, P, Q și R). Dar N, S și Z sunt deosebit de ușor de scris „în sens invers” ( Au un centru de simetrie. - Aprox. Editați | ×). Toate celelalte majuscule au cel puțin o axă de simetrie. Literele A, M, T, U, V, W și Y pot fi împărțite în jumătate de-a lungul axei longitudinale de simetrie. Literele B, C, D, E, I, K - axa transversală de simetrie. Literele H, O și X au fiecare două axe de simetrie perpendiculare.

Daca asezati literele in fata unei oglinzi, asezand-o paralel cu linia, veti observa ca pot fi cititi si in oglinda cei a caror axa de simetrie merge orizontala. Dar cei a căror axă este verticală sau absentă cu totul devin „izibili”.

Întrebarea de ce literele cu axă longitudinală se comportă diferit față de cele cu axă transversală este destul de interesantă. Poate te vei gândi și tu la asta. Vom discuta mai târziu motivul acestui fenomen.

Sunt copii care scriu cu mâna stângă, iar toate literele lor ies într-o formă oglindă, reflectată. Jurnalele lui Leonardo da Vinci sunt scrise cu font oglindă. Probabil că nu există niciun motiv convingător care să ne obligă să scriem scrisori așa cum o facem. Este puțin probabil ca fontul oglindă să fie mai greu de stăpânit decât cel obișnuit.

Ortografia nu ar fi mai ușoară, iar unele cuvinte, precum OTTO, nu s-ar schimba deloc. Există limbi în care conturul caracterelor se bazează pe prezența simetriei. Deci, în scrierea chineză, hieroglifa înseamnă adevăratul mijloc.

În arhitectură, axele de simetrie sunt folosite ca mijloace de exprimare a designului arhitectural. În inginerie, axele de simetrie sunt desemnate cel mai clar acolo unde este necesar să se estimeze abaterea de la poziția zero, de exemplu, pe volanul unui camion sau pe volanul unei nave.

LUMEA NOASTRĂ ÎN OGLINDĂ

De la Lineland ne-a venit ideea unui centru de simetrie, iar de la Flatland ne-a venit ideea unei axe de simetrie. În lumea tridimensională a corpurilor spațiale, unde trăim, există în mod corespunzător planuri de simetrie. O „oglindă” are întotdeauna o dimensiune mai mică decât lumea pe care o reflectă. Când privim corpurile rotunde, este imediat clar că au planuri de simetrie, dar câte exact nu este întotdeauna ușor de decis.

Să punem o minge în fața oglinzii și să începem să o rotim încet: imaginea din oglindă nu va diferi în niciun fel de originală, desigur, dacă mingea nu are nicio trăsătură distinctivă pe suprafața sa. O minge de ping-pong prezintă nenumărate planuri de simetrie. Să luăm un cuțit, să tăiem jumătate din minge și să o punem în fața oglinzii. Imaginea în oglindă va completa din nou această jumătate până la o minge întreagă.

Dar dacă luăm un glob și luăm în considerare simetria lui, ținând cont de contururile geografice marcate pe el, atunci nu vom găsi un singur plan de simetrie.

În Flatland, o figură cu nenumărate axe de simetrie era un cerc. Prin urmare, nu ar trebui să fim surprinși că în spațiu proprietăți similare sunt inerente mingii. Dar dacă un cerc este unic, atunci în lumea tridimensională există o serie întreagă de corpuri cu un număr infinit de planuri de simetrie: un cilindru drept cu un cerc la bază, un con cu o formă circulară sau semisferică. bază, o minge sau un segment de minge. Sau să luăm exemple din viață: o țigară, un trabuc, un pahar, o prăjitură în formă de con cu înghețată, o bucată de sârmă, o pipă.

Dacă ne uităm mai atent la aceste corpuri, vom observa că toate într-un fel sau altul constau dintr-un cerc, printr-un număr infinit de axe de simetrie există nenumărate planuri de simetrie. Majoritatea acestor corpuri (se numesc corpuri de revoluție) au, desigur, și un centru de simetrie (centrul unui cerc), prin care trece cel puțin o axă de simetrie.

De exemplu, axa cornetului de înghețată este clar vizibilă. Se întinde de la mijlocul cercului (ie iese din înghețată!) până la capătul ascuțit al cornetului de pâlnie. Percepem totalitatea elementelor de simetrie ale unui corp ca un fel de măsură de simetrie. Mingea, fără îndoială, din punct de vedere al simetriei, este o întruchipare neîntrecută a perfecțiunii, un ideal. Grecii antici îl percepeau ca pe cel mai perfect corp, iar cercul, în mod natural, ca pe cea mai perfectă figură plată.

În general, aceste idei sunt destul de acceptabile până în prezent. În plus, filozofii greci au concluzionat că Universul trebuie, fără îndoială, să fie construit pe modelul unui ideal matematic. Din această concluzie au apărut erori, ale cărei consecințe le vom discuta mai târziu. Este clar că grecii antici nu aveau încă pufule de înghețată! Altfel, un astfel de obiect prozaic, care are nenumărate planuri de simetrie, le-ar putea perturba sistemul armonios.

Dacă ne uităm la un cub pentru comparație, vom vedea că are nouă planuri de simetrie. Trei dintre ele își disectează fețele și șase trec prin vârfuri. În comparație cu o minge, aceasta nu este, desigur, suficientă.

Există corpuri care, din punct de vedere al numărului de planuri, ocupă o poziție intermediară între o sferă și un cub? Fără îndoială - da. Trebuie doar să ne amintim că un cerc, în esență, este format din poligoane. Am trecut prin asta la școală când am calculat numărul π. Dacă ridicăm o piramidă n-gonală peste fiecare n-gon, putem desena n planuri de simetrie prin ea.

Ar fi posibil să se vină cu un trabuc cu 32 de fețe care să aibă simetria corespunzătoare!

Dar dacă totuși percepem cubul ca un obiect mai simetric decât faimosul kilogram de înghețată, atunci acest lucru se datorează structurii suprafeței. Mingea are o singură suprafață. Cubul are șase dintre ele - în funcție de numărul de fețe, iar fiecare față este reprezentată de un pătrat. O pâlnie pentru înghețată este formată din două suprafețe: un cerc și o coajă în formă de con.

De mai bine de două milenii (probabil datorită percepției directe), în mod tradițional s-a acordat preferință corpurilor geometrice „comensurate”. Filosoful grec Platon (427-347 î.Hr.) a descoperit că numai cinci corpuri tridimensionale pot fi construite din figuri plate congruente obișnuite.

Din patru triunghiuri regulate (echilaterale) se obține un tetraedru (tetraedru). Din opt triunghiuri regulate puteți construi un octaedru (octaedru) și, în final, din douăzeci de triunghiuri regulate - un icosaedru. Și numai din patru, opt sau douăzeci de triunghiuri identice se poate obține un corp geometric tridimensional. Din pătrate puteți face o singură figură volumetrică - un hexaedru (hexaedru), iar din pentagoane echilaterale - un dodecaedru (dodecaedru).

Și ce în lumea noastră tridimensională este complet lipsită de simetrie în oglindă?

Dacă în Flatland a fost o spirală plată, atunci în lumea noastră va fi cu siguranță o scară în spirală sau un burghiu în spirală. În plus, există mii de lucruri și obiecte mai asimetrice în viața și tehnologia din jurul nostru. De regulă, șurubul are filet pe dreapta. Dar uneori se găsește și cea din stânga. Astfel, pentru o mai mare siguranță, buteliile de propan sunt echipate cu filet pe stânga, astfel încât nu poate fi înșurubată pe ele o supapă reductor destinată, de exemplu, unui cilindru cu alt gaz. În viața de zi cu zi, asta înseamnă că atunci când campați, înainte de a găti pe o sobă de tabără, ar trebui să încercați întotdeauna în ce fel este deșurubat cilindrul.

Între minge și cub, pe de o parte, și scara în spirală, pe de altă parte, există încă multe grade de simetrie. Putem scădea treptat planuri de simetrie, axele și centrul din cub până ajungem la o stare de asimetrie completă.

Noi, oamenii, ne aflăm aproape la sfârșitul acestei serii de simetrie, cu un singur plan de simetrie care împarte corpul nostru în jumătăți stânga și dreaptă. Gradul nostru de simetrie este același cu, de exemplu, cel al feldspatului obișnuit (un mineral care formează gneisul sau granitul împreună cu mica și cuarțul).

CINCI SOLIDE PLATONIENE

Pentru poliedre regulate sunt adevărate următoarele afirmații:

1. În orice poliedre (inclusiv cele regulate), suma tuturor unghiurilor dintre muchiile care converg la un vârf este întotdeauna mai mică de 360°.

2. După teorema lui Euler pentru poliedre convexe

unde e este numărul de vârfuri, ƒ este numărul de fețe și k este numărul de muchii.

Fețele poliedrelor regulate pot fi doar următoarele poligoane regulate:

3, 4 sau 5 triunghiuri echilaterale cu un unghi de 60°. Șase astfel de triunghiuri dau deja 60° X 6 = 360° și, prin urmare, nu pot limita un unghi poliedric.

Trei pătrate (90° X 3 = 270°), 3 pentagoane regulate (108° X 3 = 324°), 3 hexagoane regulate (120° X 3 = 360°) definesc un unghi poliedric.

Din teorema lui Euler și forma fețelor rezultă că există doar 5 poliedre regulate:

Tabel cu cinci poliedre regulate

Formele feței	Număr				Solidele platonice
	fețe la un vârf	culmi	chipuri	coaste
Triunghiuri echilaterale	3	4	4	6	Tetraedru
La fel	4	6	8	12	Octaedru
La fel	5	12	20	30	Icosaedru
Pătrate	3	8	6	12	Hexaedru (cub)
Pentagoane corecte	3	20	12	20	Pentagon-dodecaedru

(Orice față a dodecaedrului Pentagonului este o figură pentagonală în care patru laturi sunt egale între ele, dar diferite de a cincea. - Aprox. traducere)