Aflați cea mai mare rată de creștere a funcției. Cum să găsiți gradientul unei funcții

Gradient funcții– o mărime vectorială a cărei determinare este asociată cu determinarea derivatelor parțiale ale funcției. Direcția gradientului indică calea celei mai rapide creșteri a funcției de la un punct al câmpului scalar la altul.

Instrucțiuni

1. Pentru rezolvarea problemei gradientului unei funcții se folosesc metode de calcul diferențial și anume găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi față de trei variabile. Se presupune că funcția în sine și toate derivatele ei parțiale au proprietatea de continuitate în domeniul definiției funcției.

2. Gradientul este un vector, a cărui direcție indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției F. Pentru a face acest lucru, pe grafic sunt selectate două puncte M0 și M1, care sunt capetele vectorului. Mărimea gradientului este egală cu rata de creștere a funcției de la punctul M0 la punctul M1.

3. Funcția este diferențiabilă în toate punctele acestui vector; prin urmare, proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt toate derivatele sale parțiale. Atunci formula gradientului arată astfel: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, unde i, j, k sunt coordonatele vectorului unitar . Cu alte cuvinte, gradientul unei funcții este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele sale parțiale grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemplul 1. Fie dată funcția F = sin(x z?)/y. Este necesar să se detecteze gradientul său în punctul (?/6, 1/4, 1).

5. Rezolvare.Să se determine derivatele parţiale faţă de fiecare variabilă: F'_х = 1/y сos(х z?) z?;F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?);F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Înlocuiți celebrele valori ale coordonatelor punctului: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Aplicați formula gradientului funcției:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Exemplul 2. Aflați coordonatele gradientului funcției F = y arсtg (z/x) în punctul (1, 2, 1).

9. Rezolvare.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradientul câmpului scalar este o mărime vectorială. Astfel, pentru a-l găsi, este necesar să se determine toate componentele vectorului corespunzător, pe baza cunoașterii împărțirii câmpului scalar.

Instrucțiuni

1. Citiți într-un manual de matematică superioară care este gradientul unui câmp scalar. După cum știți, această mărime vectorială are o direcție caracterizată de rata maximă de dezintegrare a funcției scalare. Această interpretare a acestei mărimi vectoriale este justificată de expresia pentru determinarea componentelor sale.

2. Amintiți-vă că orice vector este determinat de mărimile componentelor sale. Componentele unui vector sunt de fapt proiecții ale acestui vector pe una sau alta axă de coordonate. Astfel, dacă se consideră spațiul tridimensional, atunci vectorul trebuie să aibă trei componente.

3. Scrieți cum sunt determinate componentele unui vector care este gradientul unui anumit câmp. Toate coordonatele unui astfel de vector sunt egale cu derivata potențialului scalar în raport cu variabila a cărei coordonată este calculată. Adică, dacă trebuie să calculați componenta „x” a vectorului de gradient de câmp, atunci trebuie să diferențiați funcția scalară în raport cu variabila „x”. Vă rugăm să rețineți că derivatul trebuie să fie parțial. Aceasta înseamnă că în timpul diferențierii, variabilele rămase care nu sunt implicate în ea trebuie considerate constante.

4. Scrieți o expresie pentru câmpul scalar. După cum se știe, acest termen implică doar o funcție scalară a mai multor variabile, care sunt și mărimi scalare. Numărul de variabile ale unei funcții scalare este limitat de dimensiunea spațiului.

5. Diferențiați funcția scalară separat în raport cu fiecare variabilă. Ca rezultat, veți obține trei funcții noi. Scrieți orice funcție în expresia pentru vectorul gradient al câmpului scalar. Fiecare dintre funcțiile obținute este de fapt un indicator pentru un vector unitar al unei coordonate date. Astfel, vectorul gradient final ar trebui să arate ca un polinom cu exponenți sub formă de derivate ale funcției.

Când luăm în considerare problemele care implică reprezentarea gradientului, este obișnuit să ne gândim la funcții ca pe câmpuri scalare. Prin urmare, este necesar să se introducă notația adecvată.

Vei avea nevoie

• – boom;
• - pix.

Instrucțiuni

1. Fie ca funcția să fie specificată prin trei argumente u=f(x, y, z). Derivata parțială a unei funcții, de exemplu, față de x, este definită ca derivată față de acest argument, obținută prin fixarea argumentelor rămase. Similar pentru alte argumente. Notația pentru derivata parțială se scrie sub forma: df/dx = u’x ...

2. Diferenţialul total va fi egal cu du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Derivatele parţiale pot fi înţelese ca derivate de-a lungul direcţiilor axelor de coordonate. În consecință, se pune problema găsirii derivatei în raport cu direcția unui vector dat s în punctul M(x, y, z) (nu uitați că direcția s este determinată de vectorul unitar s^o). În acest caz, vectorul-diferențial al argumentelor (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Având în vedere forma diferenţialului total du, putem concluziona că derivata în direcţia s în punctul M este egală cu: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Dacă s= s(sx,sy,sz), atunci cosinus de direcție (cos(alfa), cos(beta). ), se calculează cos( gamma)) (vezi Fig. 1a).

4. Definiția derivatei direcționale, considerând punctul M o variabilă, poate fi rescrisă sub forma unui produs scalar: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Această expresie va fi obiectivă pentru un câmp scalar. Dacă o funcție este considerată ușor, atunci gradf este un vector având coordonatele care coincid cu derivatele parțiale f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/dz). )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aici (i, j, k) sunt vectorii unitari ai axelor de coordonate într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

5. Dacă folosim operatorul vectorial diferenţial Hamilton Nabla, atunci gradf poate fi scris ca înmulţirea acestui vector operator cu scalarul f (vezi Fig. 1b). Din punctul de vedere al legăturii dintre gradf și derivata direcțională, egalitatea (gradf, s^o)=0 este acceptabilă dacă acești vectori sunt ortogonali. În consecință, gradf este adesea definit ca direcția celei mai rapide metamorfoze a câmpului scalar. Și din punctul de vedere al operațiilor diferențiale (gradf este una dintre ele), proprietățile lui gradf repetă exact proprietățile funcțiilor de diferențiere. În special, dacă f=uv, atunci gradf=(vgradu+u gradv).

Video pe tema

Gradient Acesta este un instrument care, în editorii grafici, umple o siluetă cu o tranziție lină de la o culoare la alta. Gradient poate da unei siluete rezultatul volumului, imita iluminarea, strălucirea luminii pe suprafața unui obiect sau rezultatul unui apus de soare pe fundalul unei fotografii. Acest instrument este utilizat pe scară largă, așa că pentru prelucrarea fotografiilor sau crearea ilustrațiilor, este foarte important să învățați cum să-l utilizați.

Vei avea nevoie

• Computer, editor grafic Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net sau altul.

Instrucțiuni

1. Deschideți o imagine în program sau luați una nouă. Faceți o siluetă sau selectați zona dorită din imagine.

2. Activați instrumentul gradient din bara de instrumente a editorului grafic. Plasați cursorul mouse-ului pe punctul din interiorul zonei sau siluetei selectate unde va începe prima culoare a gradientului. Faceți clic și țineți apăsat butonul stâng al mouse-ului. Mutați cursorul în punctul în care doriți ca gradientul să se schimbe la culoarea finală. Eliberați butonul stâng al mouse-ului. Silueta selectată va fi umplută cu o umplere în degrade.

3. Gradient Puteți seta transparența, culorile și raportul acestora la un anumit punct al umplerii. Pentru a face acest lucru, deschideți fereastra de editare a gradientului. Pentru a deschide fereastra de editare în Photoshop, faceți clic pe exemplul de gradient din panoul Opțiuni.

4. Fereastra care se deschide afișează opțiunile de umplere gradient disponibile sub formă de exemple. Pentru a edita una dintre opțiuni, selectați-o cu un clic de mouse.

5. În partea de jos a ferestrei este afișat un exemplu de gradient sub forma unei scări largi pe care se află glisoarele. Glisoarele indică punctele în care gradientul ar trebui să aibă colații specificate, iar în intervalul dintre glisoare culoarea trece uniform de la culoarea specificată la primul punct la culoarea celui de-al doilea punct.

6. Glisoarele situate în partea de sus a scalei stabilesc transparența gradientului. Pentru a schimba transparența, faceți clic pe glisorul necesar. Sub scara va apărea un câmp în care introduceți gradul de transparență necesar ca procent.

7. Glisoarele din partea de jos a scalei stabilesc culorile gradientului. Făcând clic pe una dintre ele, veți putea selecta culoarea dorită.

8. Gradient poate avea mai multe culori de tranziție. Pentru a seta o altă culoare, faceți clic pe spațiul liber din partea de jos a scalei. Un alt glisor va apărea pe el. Dă-i culoarea necesară. Scara va afișa un exemplu de gradient cu încă un punct. Puteți muta glisoarele ținându-le cu butonul stâng al mouse-ului pentru a obține combinația dorită.

9. Gradient Vin in mai multe tipuri care pot da forma siluetelor plate. De exemplu, pentru a da unui cerc forma unei mingi se folosește un gradient radial, iar pentru a da forma unui con se folosește un gradient în formă de con. Pentru a da suprafeței iluzia de convexitate, puteți folosi un gradient de oglindă, iar un gradient în formă de romb poate fi folosit pentru a crea lumini.

Video pe tema

Video pe tema

Dacă în fiecare punct al spațiului sau parte a spațiului este determinată valoarea unei anumite cantități, atunci se spune că câmpul acestei mărimi este specificat. Un câmp se numește scalar dacă mărimea luată în considerare este scalară, adică. caracterizat pe deplin prin valoarea sa numerică. De exemplu, câmpul de temperatură. Câmpul scalar este dat de funcția punct scalar u = /(M). Dacă un sistem de coordonate carteziene este introdus în spațiu, atunci există o funcție a trei variabile x, yt z - coordonatele punctului M: Definiție. Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte la care funcția f(M) ia aceeași valoare. Ecuația unei suprafețe de nivel Exemplu 1. Găsiți suprafețe de nivel ale unui câmp scalar ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient câmp scalar Proprietăți de bază ale unui gradient Definiția invariantă a unui gradient Reguli de calcul a unui gradient -4 Conform definiției , ecuația unei suprafețe plane va fi. Aceasta este ecuația unei sfere (cu Ф 0) cu centrul ei la origine. Un câmp scalar se numește plat dacă câmpul este același în toate planurile paralele cu un anumit plan. Dacă planul indicat este considerat planul xOy, atunci funcția câmpului nu va depinde de coordonata z, adică va fi o funcție doar a argumentelor x și y. Un câmp plan poate fi caracterizat folosind linii de nivel - a mulţime de puncte de pe plan la care funcţia /(x, y) are unul şi de asemenea semnificaţia. Ecuația unei linii de nivel - Exemplul 2. Găsiți linii de nivel ale unui câmp scalar Liniile de nivel sunt date prin ecuații Când c = 0, obținem o pereche de drepte, obținem o familie de hiperbole (Fig. 1). 1.1. Derivată direcțională Fie un câmp scalar definit de funcția scalară u = /(Af). Să luăm punctul Afo și să alegem direcția determinată de vectorul I. Să luăm un alt punct M astfel încât vectorul M0M să fie paralel cu vectorul 1 (Fig. 2). Să notăm lungimea vectorului MoM cu A/, iar incrementul funcției /(Af) - /(Afo), corespunzătoare mișcării lui D1, prin Di. Raportul determină rata medie de modificare a câmpului scalar pe unitate de lungime în direcția dată.Să tind acum la zero, astfel încât vectorul M0M să rămână paralel cu vectorul I tot timpul.Definiție. Dacă la D/O există o limită finită a relației (5), atunci se numește derivată a funcției la un punct dat Afo la direcția dată I și se notează cu simbolul 3!^. Deci, prin definiție, Această definiție nu este legată de alegerea sistemului de coordonate, adică este de natură **variantă. Să găsim o expresie pentru derivata direcțională în sistemul de coordonate carteziene. Fie funcția / să fie diferențiabilă într-un punct. Să luăm în considerare valoarea lui /(Af) la un punct. Apoi incrementul total al funcției poate fi scris în următoarea formă: unde și simbolurile înseamnă că derivatele parțiale sunt calculate în punctul Afo. Prin urmare, aici mărimile jfi, ^ sunt cosinusurile de direcție ale vectorului. Întrucât vectorii MoM și I sunt codirecționali, cosinusurile lor de direcție sunt aceleași: Deoarece M Afo, fiind întotdeauna pe o dreaptă paralelă cu vectorul 1, unghiurile sunt constante deci În sfârșit, din egalitățile (7) și (8) obținem Eamuan este 1. Derivatele particulare sunt derivate ale funcției și de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate, deci-Exemplu 3. Aflați derivata funcției în direcția către punctul Vectorul are lungimea. Cosinusurile sale de direcție: Conform formulei (9), vom avea Faptul că, înseamnă că câmpul scalar într-un punct într-o direcție dată de vârstă - Pentru un câmp plat, derivata față de direcția I într-un punct este calculat prin formula unde a este unghiul format de vectorul I cu axa Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) pentru calcularea derivatei în raport cu direcția I într-un punct dat Afo rămâne în vigoare atunci când punctul M tinde spre punctul Mo de-a lungul unei curbe pentru care vectorul I este tangent în punctul PrIShr 4. Calculați derivata lui câmpul scalar în punctul Afo(l, 1). aparținând unei parabole în direcția acestei curbe (în sensul creșterii absciselor). Direcția ] a unei parabole într-un punct este considerată a fi direcția tangentei la parabolă în acest punct (Fig. 3). Fie tangenta la parabolă în punctul Afo să formeze un unghi o cu axa Ox. Atunci de unde provin cosinusurile direcției tangentei? Să calculăm valorile și în punctul. Avem Acum folosind formula (10) obținem. Aflați derivata câmpului scalar într-un punct de-a lungul direcției cercului Ecuația vectorială a unui cerc are forma. Găsim vectorul unitar m al tangentei la cerc.Punctul corespunde valorii parametrului.Valoarea lui r în punctul Afo va fi egală.De aici obținem cosinusurile direcției tangentei la cerc la punct. Să calculăm valorile derivatelor parțiale ale câmpului scalar dat în punctul respectiv. Aceasta înseamnă derivata dorită. Gradient de câmp scalar Fie câmpul scalar definit de o funcție scalară care se presupune că este diferențiabilă. Definiție. Gradientul câmpului scalar „la un punct dat M este un vector notat cu simbolul grad și și definit prin egalitate Este clar că acest vector depinde atât de funcția / cât și de punctul M la care se calculează derivata lui. Fie 1 un vector unitar în direcție.Atunci formula derivatei direcționale se poate scrie sub următoarea formă: . Astfel, derivata funcției u în direcția 1 este egală cu produsul scalar al gradientului funcției u(M) și vectorul unitar 1° al direcției I. 2.1. Proprietățile de bază ale gradientului Teorema 1. Gradientul câmpului scalar este perpendicular pe suprafața de nivel (sau pe linia de nivel dacă câmpul este plat). (2) Să desenăm o suprafață de nivel u = const printr-un punct arbitrar M și să alegem pe această suprafață o curbă netedă L care trece prin punctul M (Fig. 4). Fie I un vecgor tangent la curba L în punctul M. Deoarece pe suprafața de nivel u(M) = u(M|) pentru orice punct Mj e L, atunci pe de altă parte, = (gradu, 1°). De aceea. Aceasta înseamnă că vectorii grad și și 1° sunt ortogonali, astfel, vectorul grad și este ortogonal cu orice tangentă la suprafața de nivel în punctul M. Astfel, este ortogonal cu suprafața de nivel în sine în punctul M. Teorema 2. gradientul este îndreptat spre creșterea funcției câmpului . Anterior, am demonstrat că gradientul câmpului scalar este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, care poate fi orientată fie în direcția creșterii funcției u(M), fie în direcția scăderii acesteia. Să notăm cu n normala suprafeței de nivel, orientată în direcția creșterii funcției ti(M), și să găsim derivata funcției u în direcția acestei normale (Fig. 5). Avem Deoarece conform condiției din Fig. 5 și deci ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată în direcție Derivată Gradient al câmpului scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Rezultă că gradul este îndreptată în aceeași direcție cu cea pe care am ales-o normala n, adică în direcția creșterii funcției u(M). Teorema 3. Lungimea gradientului este egală cu cea mai mare derivată în raport cu direcția într-un punct dat din câmp (aici verificarea este luată de-a lungul tuturor direcțiilor posibile la un punct dat M). Avem unde este unghiul dintre vectorii 1 și grad n. Deoarece cea mai mare valoare este Exemplul 1. Aflați direcția celei mai mari modificări a câmpului scalar într-un punct și, de asemenea, mărimea acestei cele mai mari modificări în punctul specificat. Direcția celei mai mari schimbări în câmpul scalar este indicată de un vector. Avem astfel încât Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a câmpului într-un punct. Mărimea celei mai mari modificări de câmp în acest punct este 2,2. Definirea invariantă a gradientului Mărimile care caracterizează proprietățile obiectului studiat și nu depind de alegerea sistemului de coordonate se numesc invarianți ai obiectului dat. De exemplu, lungimea unei curbe este un invariant al acestei curbe, dar unghiul tangent la curba cu axa Ox nu este un invariant. Pe baza celor trei proprietăți ale gradientului de câmp scalar demonstrat mai sus, putem da următoarea definiție invariantă a gradientului. Definiție. Gradientul de câmp scalar este un vector direcționat normal pe suprafața de nivel în direcția creșterii funcției de câmp și având o lungime egală cu cea mai mare derivată în direcție (la un punct dat). Fie un vector normal unitar îndreptat în direcția câmpului crescător. Apoi Exemplul 2. Găsiți gradientul distanței - un punct fix și M(x,y,z) - cel curent. 4 Avem unde este vectorul direcției unitare. Reguli pentru calcularea gradientului unde c este un număr constant. Formulele date sunt obținute direct din definiția gradientului și proprietățile derivatelor. Conform regulii diferențierii produsului, demonstrația este similară cu demonstrația proprietății Fie F(u) o funcție scalară diferențiabilă. Apoi 4 Prin definiția fadientului avem Aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe tuturor termenilor din partea dreaptă. Obținem În special, formula (6) rezultă din formula Exemplul 3. Găsiți derivata față de direcția vectorului rază r din funcție Folosind formula (3) și folosind formula Ca rezultat, obținem acel exemplu 4 Să fie dat un câmp scalar plan - distanțele de la un plan punctual la două puncte fixe ale acestui plan. Să luăm în considerare o elipsă arbitrară cu focarele Fj și F] și să demonstrăm că fiecare rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, după reflectarea din elipsă, ajunge în celălalt focar al acesteia. Liniile de nivel ale funcției (7) sunt ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariantă a gradientului Regulile pentru calcularea gradientului Ecuațiile (8) descriu o familie de elipse cu focare la punctele F) și Fj. Conform rezultatului din Exemplul 2, avem Astfel, gradientul unui câmp dat este egal cu vectorul PQ al diagonalei rombului construit pe vectorii unitari r? și vectori cu rază. trasate la punctul P(x, y) din focarele F| și Fj și, prin urmare, se află pe bisectoarea unghiului dintre acești vectori cu rază (Fig. 6). Conform lui Tooromo 1, gradientul PQ este perpendicular pe elipsa (8) în punct. Prin urmare, Fig. 6. normala la elipsa (8) în orice punct bisectează unghiul dintre vectorii cu rază trasați în acest punct. Din aceasta și din faptul că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, obținem: o rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, reflectată din ea, va cădea cu siguranță într-un alt focar al acestei elipse.