Modelarea sistemelor dinamice (metoda Lagrange și abordarea graficului Bond). Metoda multiplicatorului Lagrange

Metoda multiplicatoruluiLagrange(în literatura engleză „Metoda LaGrange a multiplicatorilor nedeterminați”) ˗ este o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor de optimizare care vă permite să determinați extremul „condițional” al funcției obiectiv (valoare minimă sau maximă)

în prezența unor restricții specificate asupra variabilelor sale sub formă de egalități (adică este definit intervalul de valori permise)

˗ acestea sunt valorile argumentului funcției (parametri controlabili) pe domeniul real la care valoarea funcției tinde spre un extrem. Utilizarea numelui de extremum „condițional” se datorează faptului că variabilelor se impune o condiție suplimentară, care limitează intervalul de valori permise atunci când se caută extremul funcției.

Metoda multiplicatorului Lagrange permite ca problema căutării unui extremum condiționat al unei funcții obiective pe un set de valori admisibile să fie transformată în problema optimizării necondiționate a unei funcții.

În cazul în care funcţiile Și sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale, atunci există astfel de variabile λ care nu sunt simultan egale cu zero, în care este îndeplinită următoarea condiție:

Astfel, în conformitate cu metoda multiplicatorului Lagrange, pentru a găsi extremul funcției obiectiv pe mulțimea de valori admisibile, compun funcția Lagrange L(x, λ), care este optimizată în continuare:

unde λ ˗ este un vector de variabile suplimentare numite multiplicatori Lagrange nedeterminați.

Astfel, problema găsirii extremului condiționat al funcției f(x) a fost redusă la problema găsirii extremului necondiționat al funcției L(x, λ).

Și

Condiția necesară pentru extremul funcției Lagrange este dată de un sistem de ecuații (sistemul este format din ecuații „n + m”):

Rezolvarea acestui sistem de ecuații ne permite să determinăm argumentele funcției (X) la care valoarea funcției L(x, λ), precum și valoarea funcției țintă f(x) corespund extremului.

Mărimea multiplicatorilor Lagrange (λ) este de interes practic dacă constrângerile sunt prezentate sub forma cu un termen liber în ecuație (constant). În acest caz, putem considera în continuare (creșterea/scăderea) valoarea funcției obiectiv prin modificarea valorii constantei din sistemul de ecuații. Astfel, multiplicatorul Lagrange caracterizează rata de modificare a maximului funcției obiectiv atunci când constanta limită se modifică.

Există mai multe moduri de a determina natura extremului funcției rezultate:

Prima metodă: Fie coordonatele punctului extremum și valoarea corespunzătoare a funcției obiectiv. Se ia un punct apropiat de punct și se calculează valoarea funcției obiectiv:

Dacă , atunci există un maxim la punct.

Dacă , atunci există un minim la punct.

A doua metodă: O condiție suficientă din care poate fi determinată natura extremului este semnul celei de-a doua diferențe a funcției Lagrange. A doua diferență a funcției Lagrange este definită după cum urmează:

Dacă la un moment dat minim, dacă , atunci funcția obiectiv f(x) are o condițională maxim.

A treia metodă: De asemenea, natura extremului funcției poate fi determinată luând în considerare Hessianul funcției Lagrange. Matricea Hessian este o matrice pătrată simetrică a derivatelor parțiale secunde ale unei funcții în punctul în care elementele matricei sunt simetrice față de diagonala principală.

Pentru a determina tipul de extremum (maxim sau minim al unei funcții), puteți folosi regula lui Sylvester:

1. Pentru ca a doua diferenta a functiei Lagrange sa fie de semn pozitiv este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să fie pozitive. În astfel de condiții, funcția în acest moment are un minim.

2. Pentru ca a doua diferenţială a funcţiei Lagrange să fie negativă în semn , este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să se alterneze, iar primul element al matricei să fie negativesv. În astfel de condiții, funcția în acest punct are un maxim.

Prin minor unghiular înțelegem minorul situat în primele k rânduri și k coloane ale matricei originale.

Principala semnificație practică a metodei Lagrange este că vă permite să treceți de la optimizarea condiționată la optimizarea necondiționată și, în consecință, extindeți arsenalul de metode disponibile pentru rezolvarea problemei. Cu toate acestea, problema rezolvării sistemului de ecuații la care se reduce această metodă nu este, în cazul general, mai simplă decât problema inițială a găsirii unui extremum. Astfel de metode sunt numite indirecte. Utilizarea lor se explică prin necesitatea de a obține o soluție la o problemă extremă în formă analitică (de exemplu, pentru anumite calcule teoretice). La rezolvarea unor probleme practice specifice, se folosesc de obicei metode directe, bazate pe procese iterative de calcul și comparare a valorilor funcțiilor optimizate.

Metoda de calcul

1 pas: Determinăm funcția Lagrange din funcția obiectivă dată și sistemul de restricții:

Redirecţiona

Pentru a adăuga comentariul dumneavoastră la articol, vă rugăm să vă înregistrați pe site.

Numele parametrului	Sens
Subiect articol:	Metoda Lagrange.
Rubrica (categoria tematica)	Matematică

Găsirea unui polinom înseamnă determinarea valorilor coeficientului său . Pentru a face acest lucru, folosind condiția de interpolare, puteți forma un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE).

Determinantul acestui SLAE este de obicei numit determinant Vandermonde. Determinantul Vandermonde nu este egal cu zero pentru , adică în cazul în care nu există noduri care se potrivesc în tabelul de căutare. Cu toate acestea, se poate argumenta că SLAE are o soluție și această soluție este unică. După rezolvarea SLAE și determinat coeficienții necunoscuți puteți construi un polinom de interpolare.

Un polinom care satisface condițiile de interpolare, atunci când este interpolat prin metoda Lagrange, este construit sub forma unei combinații liniare de polinoame de gradul al n-lea:

Polinoamele sunt de obicei numite de bază polinomiale. Pentru a polinomul Lagrange satisface condițiile de interpolare, este extrem de important ca următoarele condiții să fie îndeplinite pentru polinoamele sale de bază:

Pentru .

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci pentru oricare avem:

Mai mult, îndeplinirea condițiilor specificate pentru polinoamele de bază înseamnă că și condițiile de interpolare sunt îndeplinite.

Să determinăm tipul de polinoame de bază pe baza restricțiilor impuse acestora.

Prima condiție: la .

a 2-a condiție: .

În cele din urmă, pentru polinomul de bază putem scrie:

Apoi, înlocuind expresia rezultată pentru polinoamele de bază în polinomul original, obținem forma finală a polinoamului Lagrange:

O formă particulară a polinomului Lagrange la este de obicei numită formulă de interpolare liniară:

.

Polinomul Lagrange luat la se numește de obicei formulă de interpolare pătratică:

Metoda Lagrange. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda Lagrange”. 2017, 2018.

- Metoda Lagrange (metoda de variaţie a unei constante arbitrare).

Telecomenzi liniare. Definiție. tip DU, adică liniară în raport cu o funcție necunoscută și derivata ei se numește liniară. Pentru o soluție de acest tip vom avea în vedere două metode: metoda Lagrange și metoda Bernoulli.Se consideră o ecuație diferențială omogenă.Această ecuație este cu variabile separabile.Rezolvarea ecuației este Generală... .

- Sisteme de control liniare, omogene și eterogene. Conceptul de decizie generală. Metoda Lagrange de variație a constantelor de producție.

Definiție. Un sistem de control se numește omogen dacă funcția poate fi reprezentată ca relația dintre argumentele sale.Exemplu. A f-a se numește f-a măsură omogenă dacă Exemple: 1) - ordinul 1 de omogenitate. 2) - ordinul 2 de omogenitate. 3) - ordinul zero al omogenității (pur și simplu omogen... .

- Curs 8. Aplicarea derivatelor parţiale: probleme extremum. Metoda Lagrange.

Problemele extreme sunt de mare importanță în calculele economice. Acesta este calculul, de exemplu, al venitului maxim, al profitului, al costurilor minime în funcție de mai multe variabile: resurse, active de producție etc. Teoria găsirii extremelor funcțiilor... .

- T.2.3. DE de ordine superioare. Ecuație în diferențiale totale. T.2.4. Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți. Metoda Lagrange.

3. 2. 1. DE cu variabile separabile S.R. 3. În științele naturii, tehnologie și economie, de multe ori trebuie să se ocupe de formule empirice, i.e. formule întocmite pe baza prelucrării datelor statistice sau...

Metoda de determinare a unui extremum condiționat începe cu construirea unei funcții Lagrange auxiliare, care în regiunea soluțiilor fezabile atinge un maxim pentru aceleași valori ale variabilelor. X 1 , X 2 , ..., X n , care este aceeași cu funcția obiectiv z . Să fie rezolvată problema determinării extremului condiționat al funcției z = f(X) sub restricții φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Să compunem o funcție

Care e numit Funcția Lagrange. X , - factori constanți ( Multiplicatori de Lagrange). Rețineți că multiplicatorilor Lagrange li se poate da o semnificație economică. Dacă f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - venituri conforme cu planul X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) , și funcția φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - costurile i-a resursă corespunzătoare acestui plan, atunci X , este prețul (estimarea) resursei i-a, care caracterizează modificarea valorii extreme a funcției obiectiv în funcție de modificarea mărimii resursei i-a (estimare marginală). L(X) - functie n+m variabile (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Determinarea punctelor staționare ale acestei funcții duce la rezolvarea sistemului de ecuații

Este ușor să vezi asta . Astfel, sarcina de a găsi extremul condiționat al funcției z = f(X) se reduce la găsirea extremului local al funcției L(X) . Dacă se găsește un punct staționar, atunci problema existenței unui extremum în cele mai simple cazuri este rezolvată pe baza unor condiții suficiente pentru extremum - studierea semnului celei de-a doua diferenţiale d 2 L(X) într-un punct staționar, cu condiția ca variabila să crească Δx i - legate prin relații

obţinute prin diferenţierea ecuaţiilor de cuplare.

Rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare în două necunoscute folosind instrumentul Găsește soluție

Setări Găsirea unei soluții vă permite să găsiți o soluție la un sistem de ecuații neliniare cu două necunoscute:

Unde
- funcţia neliniară a variabilelor X Și y ,
- constantă arbitrară.

Se știe că cuplul ( X , y ) este o soluție a sistemului de ecuații (10) dacă și numai dacă este o soluție a următoarei ecuații cu două necunoscute:

CU pe de altă parte, soluția sistemului (10) este punctele de intersecție a două curbe: f ] (X, y) = C Și f 2 (x, y) = C 2 la suprafata XOY.

Acest lucru duce la o metodă de găsire a rădăcinilor sistemului. ecuații neliniare:

Determinați (cel puțin aproximativ) intervalul de existență a unei soluții la sistemul de ecuații (10) sau ecuația (11). Aici este necesar să se țină cont de tipul de ecuații incluse în sistem, domeniul de definire al fiecăreia dintre ecuațiile lor etc. Uneori se folosește selecția unei aproximări inițiale a soluției;

Tabelați soluția ecuației (11) pentru variabilele x și y pe intervalul selectat sau construiți grafice ale funcțiilor f 1 (X, y) = C, și f 2 (x,y) = C 2 (sistem(10)).

Localizați rădăcinile presupuse ale sistemului de ecuații - găsiți mai multe valori minime din tabelul care tabulează rădăcinile ecuației (11) sau determinați punctele de intersecție ale curbelor incluse în sistem (10).

4. Găsiți rădăcinile sistemului de ecuații (10) utilizând suplimentul Găsirea unei soluții.

Scurtă teorie

Metoda multiplicatorului Lagrange este o metodă clasică de rezolvare a problemelor de programare matematică (în special a celor convexe). Din păcate, aplicarea practică a metodei poate întâmpina dificultăți de calcul semnificative, restrângând sfera de utilizare a acesteia. Considerăm aici metoda Lagrange în principal pentru că este un aparat care este utilizat în mod activ pentru a fundamenta diferite metode numerice moderne care sunt utilizate pe scară largă în practică. În ceea ce privește funcția Lagrange și multiplicatorii Lagrange, acestea joacă un rol independent și extrem de important în teoria și aplicațiile nu numai programării matematice.

Luați în considerare o problemă clasică de optimizare:

Printre restricțiile acestei probleme nu există inegalități, nu există condiții pentru nenegativitatea variabilelor, discretitatea acestora, iar funcțiile sunt continue și au derivate parțiale de cel puțin ordinul doi.

Abordarea clasică a rezolvării problemei oferă un sistem de ecuații (condiții necesare) care trebuie satisfăcut de punctul care asigură funcția cu un extremum local pe mulțimea de puncte care satisfac restricțiile (pentru o problemă de programare convexă, punctul găsit). va fi, de asemenea, punctul extremum global).

Să presupunem că la o funcție punctuală (1) are un extremum condiționat local și rangul matricei este egal cu . Apoi condițiile necesare vor fi scrise sub forma:

există o funcție Lagrange; – Multiplicatori de Lagrange.

Există și condiții suficiente în care soluția sistemului de ecuații (3) determină punctul extremum al funcției. Această întrebare este rezolvată pe baza studiului semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. Cu toate acestea, condițiile suficiente sunt în principal de interes teoretic.

Puteți specifica următoarea procedură pentru rezolvarea problemei (1), (2) folosind metoda multiplicatorului Lagrange:

1) alcătuiți funcția Lagrange (4);

2) găsiți derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu toate variabilele și egalați-le

zero. Astfel, se va obtine un sistem (3) format din ecuatii Rezolvati sistemul rezultat (daca acest lucru se dovedeste a fi posibil!) si gasiti astfel toate punctele stationare ale functiei Lagrange;

3) din punctele staționare luate fără coordonate, selectați puncte la care funcția are extreme locale condiționate în prezența restricțiilor (2). Această alegere se face, de exemplu, folosind condiții suficiente pentru un extremum local. Adesea, studiul este simplificat dacă sunt utilizate condiții specifice ale problemei.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Firma produce două tipuri de mărfuri în cantităţi şi . Funcția de cost util este determinată de relație. Prețurile acestor bunuri pe piață sunt egale și în consecință.

Determinați la ce volume de producție se realizează profitul maxim și cu ce este egal dacă costurile totale nu depășesc

Aveți dificultăți în înțelegerea progresului unei decizii? Site-ul ofera un serviciu Rezolvarea problemelor folosind metode de solutii optime la comanda

Rezolvarea problemei

Modelul economic și matematic al problemei

Funcția de profit:

Restricții de cost:

Obținem următorul model economic și matematic:

În plus, conform sensului sarcinii

Metoda multiplicatorului Lagrange

Să compunem funcția Lagrange:

Găsim derivatele parțiale de ordinul 1:

Să creăm și să rezolvăm un sistem de ecuații:

De atunci

Profit maxim:

Răspuns

Astfel, este necesar să se elibereze alimente. mărfuri de primul tip și unități. bunuri de al 2-lea tip. În acest caz, profitul va fi maxim și se va ridica la 270.
Este dat un exemplu de rezolvare a unei probleme de programare pătratică convexă folosind o metodă grafică.

Rezolvarea unei probleme liniare prin metoda grafica
Este considerată o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) cu două variabile. Folosind exemplul unei probleme, se oferă o descriere detaliată a construcției unui desen și a găsirii unei soluții.

Modelul de gestionare a stocurilor al lui Wilson
Folosind exemplul de rezolvare a problemei, se ia în considerare modelul de bază al managementului stocurilor (modelul Wilson). Au fost calculați indicatori de model precum dimensiunea optimă a lotului de comandă, costurile anuale de stocare, intervalul dintre livrări și punctul de plasare a comenzii.

Matricea raportului cost direct și matricea intrări-ieșiri
Folosind exemplul rezolvării unei probleme, se ia în considerare modelul intersectorial al lui Leontiev. Este prezentată calculul matricei coeficienților costurilor directe ale materialelor, matricei „input-output”, matricei coeficienților costurilor indirecte, vectorilor consumului final și producției brute.

Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1) .
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:

• metoda de variație a constantei (Lagrange).

Să luăm în considerare rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi folosind metoda Lagrange.

Metoda de variație a constantei (Lagrange)

În metoda variației constantei, rezolvăm ecuația în doi pași. În primul pas, simplificăm ecuația inițială și rezolvăm o ecuație omogenă. În a doua etapă, înlocuim constanta de integrare obținută în prima etapă a soluției cu o funcție. Apoi căutăm o soluție generală a ecuației inițiale.

Luați în considerare ecuația:
(1)

Pasul 1 Rezolvarea unei ecuații omogene

Căutăm o soluție pentru ecuația omogenă:

Aceasta este o ecuație separabilă

Separăm variabilele - înmulțim cu dx, împărțim cu y:

Să integrăm:

Integrală peste y - tabelar:

Apoi

Hai sa potentam:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnul modulului, care se rezumă la înmulțirea cu o constantă ±1, pe care îl vom include în C:

Pasul 2 Înlocuiți constanta C cu funcția

Acum să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)
Adică, vom căuta o soluție la ecuația originală (1) la fel de:
(2)
Găsirea derivatei.

Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Conform regulii de diferențiere a produselor:

.
Înlocuiți în ecuația inițială (1) :
(1) ;

.
Doi membri sunt redusi:
;
.
Să integrăm:
.
Înlocuiește în (2) :
.
Ca rezultat, obținem o soluție generală pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi:
.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange

Rezolvați ecuația

Soluţie

Rezolvăm ecuația omogenă:

Separăm variabilele:

Înmulțit cu:

Să integrăm:

Integrale tabulare:

Hai sa potentam:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnele modulului:

De aici:

Să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
C → u (X)

Găsirea derivatei:
.
Înlocuiți în ecuația inițială:
;
;
Sau:
;
.
Să integrăm:
;
Rezolvarea ecuației:
.