Cum se calculează aria unui paralelipiped. Suprafața laterală a diferitelor piramide

Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Cum să găsiți aria bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

Triunghi regulat

Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina nr. 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza ei are o latură de 4 cm și apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm 2.

Problema nr. 2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Problema nr. 3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Se știe că latura pătratului este de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este să utilizați formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema necesară (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este egală cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm2.

Problema nr. 4

Condiție. Este dată partea corectă. Laturile bazei sale sunt de 22 mm, marginile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm. Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.

Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.

Un cilindru este o figură formată dintr-o suprafață cilindrică și două cercuri situate în paralel. Calcularea ariei unui cilindru este o problemă în ramura geometrică a matematicii, care poate fi rezolvată destul de simplu. Există mai multe metode de rezolvare, care până la urmă se reduc întotdeauna la o singură formulă.

Cum să găsiți aria unui cilindru - reguli de calcul

• Pentru a afla aria cilindrului, trebuie să adăugați cele două zone ale bazei cu aria suprafeței laterale: S = Sside + 2Sbase. Într-o versiune mai detaliată, această formulă arată astfel: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Suprafața laterală a unui corp geometric dat poate fi calculată dacă se cunosc înălțimea și raza cercului aflat la baza acestuia. În acest caz, puteți exprima raza de la circumferință, dacă este dată. Înălțimea poate fi găsită dacă valoarea generatorului este specificată în condiție. În acest caz, generatoarea va fi egală cu înălțimea. Formula pentru suprafața laterală a acestui corp arată astfel: S= 2 π rh.
• Aria bazei se calculează folosind formula pentru găsirea aria unui cerc: S osn= π r 2 . În unele probleme, raza poate să nu fie dată, dar circumferința poate fi dată. Cu această formulă, raza este exprimată destul de ușor. С=2π r, r= С/2π. De asemenea, trebuie să vă amintiți că raza este jumătate din diametru.
• Când se efectuează toate aceste calcule, numărul π nu este de obicei tradus în 3,14159... Trebuie doar să fie adăugat lângă valoarea numerică care a fost obținută ca rezultat al calculelor.
• Apoi, trebuie doar să înmulțiți suprafața găsită a bazei cu 2 și să adăugați la numărul rezultat aria calculată a suprafeței laterale a figurii.
• Dacă problema indică faptul că cilindrul are o secțiune axială și că este un dreptunghi, atunci soluția va fi ușor diferită. În acest caz, lățimea dreptunghiului va fi diametrul cercului aflat la baza corpului. Lungimea figurii va fi egală cu generatoarea sau înălțimea cilindrului. Este necesar să se calculeze valorile necesare și să le înlocuiască în formula deja cunoscută. În acest caz, lățimea dreptunghiului trebuie împărțită la două pentru a găsi aria bazei. Pentru a găsi suprafața laterală, lungimea este înmulțită cu două raze și numărul π.
• Puteți calcula aria unui corp geometric dat prin volumul său. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivați valoarea lipsă din formula V=π r 2 h.
• Nu este nimic complicat în calcularea ariei unui cilindru. Trebuie doar să cunoști formulele și să poți deduce din ele cantitățile necesare pentru a efectua calcule.

Suprafața piramidei. În acest articol ne vom uita la problemele cu piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc că o piramidă obișnuită este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, vârful piramidei este proiectat în centrul acestui poligon.

Fața laterală a unei astfel de piramide este un triunghi isoscel.Altitudinea acestui triunghi extras de la vârful unei piramide regulate se numește apotema, SF - apotema:

În tipul de problemă prezentat mai jos, trebuie să găsiți suprafața întregii piramide sau zona suprafeței sale laterale. Blogul a discutat deja mai multe probleme cu piramidele obișnuite, unde întrebarea era despre găsirea elementelor (înălțimea, marginea bazei, marginea laterală).

Sarcinile de examinare de stat unificate examinează, de obicei, piramidele triunghiulare, patrulatere și hexagonale regulate. Nu am văzut probleme cu piramidele pentagonale și heptagonale obișnuite.

Formula pentru suprafața întregii suprafețe este simplă - trebuie să găsiți suma ariei bazei piramidei și a suprafeței sale laterale:

Să luăm în considerare sarcinile:

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 72, marginile laterale sunt 164. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

Aria suprafeței piramidei este egală cu suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei:

*Suprafața laterală este formată din patru triunghiuri de suprafață egală. Baza piramidei este un pătrat.

Putem calcula aria laturii piramidei folosind:

Astfel, aria suprafeței piramidei este:

Răspuns: 28224

Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 22, marginile laterale sunt egale cu 61. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Baza unei piramide hexagonale regulate este un hexagon regulat.

Suprafața laterală a acestei piramide este formată din șase zone de triunghiuri egale cu laturile 61,61 și 22:

Să găsim aria triunghiului folosind formula lui Heron:

Astfel, aria suprafeței laterale este:

Răspuns: 3240

*În problemele prezentate mai sus, zona feței laterale poate fi găsită folosind o altă formulă de triunghi, dar pentru aceasta trebuie să calculați apotema.

27155. Aflați aria suprafeței unei piramide patruunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt 6 și a cărei înălțime este 4.

Pentru a găsi aria suprafeței piramidei, trebuie să cunoaștem aria bazei și aria suprafeței laterale:

Aria bazei este de 36 deoarece este un pătrat cu latura 6.

Suprafața laterală este formată din patru fețe, care sunt triunghiuri egale. Pentru a găsi aria unui astfel de triunghi, trebuie să-i cunoașteți baza și înălțimea (apotema):

*Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.

Baza este cunoscută, este egală cu șase. Să găsim înălțimea. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu galben):

Un picior este egal cu 4, deoarece aceasta este înălțimea piramidei, celălalt este egal cu 3, deoarece este egal cu jumătate din marginea bazei. Putem găsi ipotenuza folosind teorema lui Pitagora:

Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Astfel, suprafața întregii piramide este:

Raspuns: 96

27069. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

27070. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Există, de asemenea, formule pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite. Într-o piramidă obișnuită, baza este o proiecție ortogonală a suprafeței laterale, prin urmare:

P- perimetrul de bază, l- apotema piramidei

*Această formulă se bazează pe formula pentru aria unui triunghi.

Dacă doriți să aflați mai multe despre cum sunt derivate aceste formule, nu o ratați, urmați publicarea articolelor.Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme ca exemplu.

Un cilindru are trei suprafețe: un vârf, o bază și o suprafață laterală.

Vârful și baza unui cilindru sunt cercuri și sunt ușor de identificat.

Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2. Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (partea de sus și baza cilindrului) va fi πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a ne imagina mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că cilindrul este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior sau fund. Să facem o tăietură verticală pe peretele lateral de sus până jos al cutiei (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).

După ce borcanul rezultat este deschis complet, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru un moment la cilindrul original. Vârful cilindrului original este un cerc și știm că circumferința se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.

Când peretele lateral al cilindrului este complet deschis, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am primit o formulă pentru calcularea ariei suprafeței laterale a cilindrului.

Formula pentru suprafața laterală a unui cilindru
partea S = 2πrh

Suprafața totală a unui cilindru

În cele din urmă, dacă adăugăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața unui cilindru este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori, această expresie este scrisă identică cu formula 2πr (r + h).

Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raza cilindrului, h – înălțimea cilindrului

Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru

Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.

1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.

Suprafața totală se calculează folosind formula: partea S. = 2πrh

partea S = 2 * 3,14 * 2 * 3

partea S = 6,28 * 6

partea S = 37,68

Suprafața laterală a cilindrului este de 37,68.

2. Cum să găsiți suprafața unui cilindru dacă înălțimea este 4 și raza este 6?

Suprafața totală se calculează prin formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm.Apotema a = 5 cm.Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în diferite moduri. Puteți aplica formula de calcul obișnuită folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața bazei b = 2 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria unei piramide trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema: