Formula pentru volumul unei piramide folosind un unghi triedric. Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate
Una dintre cele mai simple figuri tridimensionale este piramida triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol ne vom uita la formule care pot fi folosite pentru a găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.
Piramida triunghiulara
Conform definiției generale, o piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.
Piramida în cauză este formată dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care cele trei fețe laterale sunt conectate se numește vârful figurii. Perpendiculara de la acest vârf coborât la bază este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularei cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci vorbim de o piramidă regulată. În caz contrar, va fi înclinat.
După cum sa menționat, baza unei piramide triunghiulare poate fi un tip general de triunghi. Cu toate acestea, dacă este echilaterală, iar piramida în sine este dreaptă, atunci ei vorbesc despre o figură tridimensională obișnuită.
Oricare are 4 fețe, 6 muchii și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor marginilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.
tip general
Înainte de a scrie o piramidă triunghiulară regulată, dăm o expresie pentru această mărime fizică pentru o piramidă de tip general. Această expresie arată astfel:
Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi valabilă pentru orice tip de bază de poligon piramidal, precum și pentru un con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborâtă pe el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:
Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate
Triunghiul are un triunghi echilateral la bază. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitatea:
Înlocuind această expresie în formula pentru volumul unei piramide triunghiulare scrisă în paragraful anterior, obținem:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii.
Deoarece orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc, a cărui rază va determina în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă în termenii razei corespunzătoare r:
Această formulă poate fi obținută cu ușurință din cea anterioară, dacă ținem cont că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a a triunghiului este determinată de expresia:
Problema determinării volumului unui tetraedru
Vom arăta cum să folosiți formulele de mai sus atunci când rezolvăm probleme specifice de geometrie.
Se știe că un tetraedru are o lungime a muchiei de 7 cm. Aflați volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare regulate.
Amintiți-vă că un tetraedru este o piramidă triunghiulară regulată în care toate bazele sunt egale între ele. Pentru a utiliza formula pentru volumul unei piramide triunghiulare obișnuite, trebuie să calculați două cantități:
- lungimea laturii triunghiului;
- înălțimea figurii.
Prima cantitate este cunoscută din condițiile problemei:
Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.
Triunghiul marcat ABC este un triunghi dreptunghic, unde unghiul ABC este de 90 o. Latura AC este ipotenuza iar lungimea ei este a. Folosind un raționament geometric simplu, se poate demonstra că latura BC are lungimea:
Rețineți că lungimea BC este raza cercului circumscris triunghiului.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Acum puteți înlocui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea marginii. Dacă substituim valoarea din condițiile problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub având aceeași muchie, constatăm că volumul tetraedrului este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă care apare în unele substanțe naturale. De exemplu, molecula de metan are o formă tetraedrică, iar fiecare atom de carbon din diamant este conectat la alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.
Problema piramidei omotetice
Să rezolvăm o problemă geometrică interesantă. Să presupunem că există o piramidă regulată triunghiulară cu un anumit volum V 1. De câte ori trebuie redusă dimensiunea acestei figuri pentru a obține o piramidă omotetică cu un volum de trei ori mai mic decât originalul?
Să începem să rezolvăm problema scriind formula pentru piramida regulată originală:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Fie că volumul cifrei cerut de condițiile problemei se obține prin înmulțirea parametrilor ei cu coeficientul k. Avem:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Deoarece raportul dintre volumele cifrelor este cunoscut din condiție, obținem valoarea coeficientului k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Rețineți că am obține o valoare similară pentru coeficientul k pentru o piramidă de orice tip și nu doar pentru una triunghiulară obișnuită.
Definiție. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).
Definiție. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.
Definiție. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.
Definiție. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.
Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.
Definiție. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.
Volumul și suprafața piramidei
Formulă. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:
Proprietățile piramidei
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.
Marginile laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi înscris în baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.
Proprietățile unei piramide obișnuite
1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.
2. Toate marginile laterale sunt egale.
3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.
4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.
5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.
6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).
7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.
8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.
9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.
Legătura dintre piramidă și sferă
O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.
Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.
O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.
Legătura unei piramide cu un con
Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.
Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.
Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.
Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.
Relația dintre o piramidă și un cilindru
O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.
Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.
Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde orice două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.
Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.
Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).
Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).
Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.
Definiție. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.
Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.
Definiție. Tetraedru izoedric se numește tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.
Definiție. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă.
Definiție. Piramida stelară numit poliedru a cărui bază este o stea.
Pentru a găsi volumul unei piramide, trebuie să cunoașteți mai multe formule. Să ne uităm la ele.
Cum să găsiți volumul unei piramide - prima metodă
Volumul unei piramide poate fi găsit folosind înălțimea și aria bazei sale. V = 1/3*S*h. Deci, de exemplu, dacă înălțimea piramidei este de 10 cm, iar aria bazei sale este de 25 cm 2, atunci volumul va fi egal cu V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83,3 cm 3
Cum să găsiți volumul unei piramide - a doua metodă
Dacă un poligon regulat se află la baza piramidei, atunci volumul său poate fi găsit folosind următoarea formulă: V = na 2 h/12*tg(180/n), unde a este latura poligonului aflat la bază , iar n este numărul laturilor sale. De exemplu: Baza este un hexagon regulat, adică n = 6. Deoarece este regulată, toate laturile sale sunt egale, adică toate a sunt egale. Să spunem a = 10 și h - 15. Introducem numerele în formulă și obținem un răspuns aproximativ - 1299 cm 3
Cum să găsiți volumul unei piramide - a treia metodă
Dacă un triunghi echilateral se află la baza piramidei, atunci volumul acestuia poate fi găsit folosind următoarea formulă: V = ha 2 /4√3, unde a este latura triunghiului echilateral. De exemplu: înălțimea piramidei este de 10 cm, latura bazei este de 5 cm.Volumul va fi egal cu V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. De obicei, ce este în numitor nu se calculează și se lasă în aceeași formă. De asemenea, puteți înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu 4√ 3. Obținem 1000√ 3/48. Prin reducere obținem 125√ 3/6 cm 3.
Cum să găsiți volumul unei piramide - a patra metodă
Dacă există un pătrat la baza piramidei, atunci volumul acestuia poate fi găsit folosind următoarea formulă: V = 1/3*h*a 2, unde a este laturile pătratului. De exemplu: înălțime – 5 cm, latura pătrată – 3 cm V = 1/3*5*9 = 15 cm 3
Cum să găsești volumul unei piramide - metoda a 5-a
Dacă piramida este un tetraedru, adică toate fețele sale sunt triunghiuri echilaterale, puteți găsi volumul piramidei folosind următoarea formulă: V = a 3 √2/12, unde a este muchia tetraedrului. De exemplu: muchia tetraedrului = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3
Cuvântul „piramidă” este asociat involuntar cu uriașii maiestuosi din Egipt, păzind cu fidelitate pacea faraonilor. Poate de aceea toată lumea, chiar și copiii, recunoaște piramida în mod inconfundabil.
Cu toate acestea, să încercăm să-i dăm o definiție geometrică. Să ne imaginăm mai multe puncte din plan (A1, A2,..., An) și încă unul (E) care nu îi aparține. Deci, dacă punctul E (vârful) este legat de vârfurile poligonului format din punctele A1, A2,..., An (bază), se obține un poliedru, care se numește piramidă. În mod evident, poligonul de la baza piramidei poate avea orice număr de vârfuri, iar în funcție de numărul acestora, piramida poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară, pentagonală etc.
Dacă te uiți îndeaproape la piramidă, va deveni clar de ce este definită și în alt mod - ca o figură geometrică cu un poligon la bază și triunghiuri unite printr-un vârf comun ca fețe laterale.
Deoarece piramida este o figură spațială, are și următoarea caracteristică cantitativă, calculată din binecunoscuta treime egală a produsului dintre baza piramidei și înălțimea acesteia:
La derivarea formulei, volumul unei piramide este inițial calculat pentru una triunghiulară, luând ca bază un raport constant care leagă această valoare cu volumul unei prisme triunghiulare având aceeași bază și înălțime, care, după cum se dovedește, este de trei ori acest volum.
Și întrucât orice piramidă este împărțită în unele triunghiulare, iar volumul ei nu depinde de construcțiile efectuate în timpul demonstrației, validitatea formulei de volum dată este evidentă.
Dintre toate piramidele se depărtează de cele corecte, care au la bază În ceea ce privește, ar trebui să se „termine” în centrul bazei.
În cazul unui poligon neregulat la bază, pentru a calcula aria bazei veți avea nevoie de:
- despărțiți-l în triunghiuri și pătrate;
- calculați aria fiecăruia dintre ele;
- adunați datele primite.
În cazul unui poligon obișnuit la baza piramidei, aria acestuia este calculată folosind formule gata făcute, astfel încât volumul unei piramide obișnuite este calculat destul de simplu.
De exemplu, pentru a calcula volumul unei piramide patruunghiulare, dacă aceasta este regulată, lungimea laturii unui patrulater (pătrat) obișnuit la bază este la pătrat și, înmulțită cu înălțimea piramidei, produsul rezultat se împarte la Trei.
Volumul piramidei poate fi calculat folosind alți parametri:
- ca o treime din produsul dintre raza unei bile înscrise într-o piramidă și suprafața totală a acesteia;
- ca două treimi din produsul distanței dintre două margini de încrucișare alese în mod arbitrar și aria paralelogramului care formează punctele de mijloc ale celor patru margini rămase.
Volumul unei piramide se calculează simplu în cazul în care înălțimea acesteia coincide cu una dintre marginile laterale, adică în cazul unei piramide dreptunghiulare.
Vorbind despre piramide, nu putem ignora piramidele trunchiate, obținute prin tăierea piramidei cu un plan paralel cu baza. Volumul lor este aproape egal cu diferența dintre volumele întregii piramide și vârful tăiat.
Democrit a fost primul care a găsit volumul piramidei, deși nu tocmai în forma sa modernă, dar egal cu 1/3 din volumul prismei cunoscute nouă. Arhimede a numit metoda sa de calcul „fără dovezi”, deoarece Democrit a abordat piramida ca pe o figură compusă din plăci infinit de subțiri, similare.
Algebra vectorială a „abordat” și problema găsirii volumului unei piramide, folosind coordonatele vârfurilor acesteia. O piramidă construită pe un triplu de vectori a, b, c este egală cu o șesime din modulul produsului mixt al vectorilor dați.
Aici ne vom uita la exemple legate de conceptul de volum. Pentru a rezolva astfel de sarcini, trebuie să cunoașteți formula pentru volumul unei piramide:
S
h – înălțimea piramidei
Baza poate fi orice poligon. Dar în majoritatea problemelor de la examenul de stat unificat, condiția este de obicei despre piramide obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc una dintre proprietățile sale:
Vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale
Priviți proiecția piramidelor obișnuite triunghiulare, patrulatere și hexagonale (VEDERE DE SUS):
Puteți pe blog, unde s-au discutat probleme legate de găsirea volumului unei piramide.Să luăm în considerare sarcinile:
27087. Aflați volumul unei piramide triunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt egale cu 1 și a cărei înălțime este egală cu rădăcina lui trei.
S– zona bazei piramidei
h– înălțimea piramidei
Să găsim aria bazei piramidei, acesta este un triunghi obișnuit. Să folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:
Răspuns: 0,25
27088. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt egale cu 2 și al cărei volum este egal cu rădăcina lui trei.
Concepte precum înălțimea unei piramide și caracteristicile bazei acesteia sunt legate prin formula de volum:
S– zona bazei piramidei
h– înălțimea piramidei
Cunoaștem volumul în sine, putem găsi aria bazei, deoarece cunoaștem laturile triunghiului, care este baza. Cunoscând valorile indicate, putem găsi cu ușurință înălțimea.
Pentru a găsi aria bazei, folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:
Astfel, înlocuind aceste valori în formula de volum, putem calcula înălțimea piramidei:
Înălțimea este de trei.
Raspuns: 3
27109. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 6 și marginea laterală este 10. Aflați volumul acesteia.
Volumul piramidei se calculează cu formula:
S– zona bazei piramidei
h– înălțimea piramidei
Știm înălțimea. Trebuie să găsiți zona bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale. Baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este un pătrat. Îi putem găsi diagonala. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu albastru):
Segmentul care leagă centrul pătratului cu punctul B este un picior care este egal cu jumătate din diagonala pătratului. Putem calcula acest picior folosind teorema lui Pitagora:
Aceasta înseamnă BD = 16. Să calculăm aria pătratului folosind formula pentru aria unui patrulater:
Prin urmare:
Astfel, volumul piramidei este:
Raspuns: 256
27178. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 12 și volumul este 200. Aflați marginea laterală a acestei piramide.
Înălțimea piramidei și volumul acesteia sunt cunoscute, ceea ce înseamnă că putem găsi aria pătratului, care este baza. Cunoscând aria unui pătrat, putem găsi diagonala acestuia. În continuare, luând în considerare un triunghi dreptunghic folosind teorema lui Pitagora, calculăm muchia laterală:
Să găsim aria pătratului (baza piramidei):
Să calculăm diagonala pătratului. Deoarece aria sa este 50, latura va fi egală cu rădăcina lui cincizeci și conform teoremei lui Pitagora:
Punctul O împarte diagonala BD în jumătate, ceea ce înseamnă catetul triunghiului dreptunghic OB = 5.
Astfel, putem calcula cu ce marginea laterală a piramidei este egală cu:
Raspuns: 13
245353. Aflați volumul piramidei prezentate în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul bazei și egală cu 3.
După cum s-a spus de multe ori, volumul piramidei se calculează prin formula:
S– zona bazei piramidei
h– înălțimea piramidei
Marginea laterală perpendiculară pe bază este egală cu trei, ceea ce înseamnă că înălțimea piramidei este de trei. Baza piramidei este un poligon a cărui aria este egală cu:
Prin urmare:
Raspuns: 27
27086. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile 3 și 4. Volumul său este 16. Aflați înălțimea acestei piramide.
