Calculați volumul unei figuri formate prin rotirea unei zone limitate. Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită
Cum se calculează volumul unui corp de revoluție
folosind o integrală definită?
În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral; folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de rotație, lungimea unui arc, aria suprafeței rotație și multe altele. Deci va fi distractiv, vă rog să fiți optimist!
Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Mă întreb cine a prezentat ce... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:
- în jurul axei absciselor;
- în jurul axei ordonatelor.
Acest articol va examina ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă; provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuriși vă voi spune cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nu este atât de mult un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu subiectul.
Să începem cu cel mai popular tip de rotație.
figură plată în jurul unei axe
Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.
Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, pe plan este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Cum să finalizați un desen mai eficient și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareȘi . Acesta este un memento chinezesc și, în acest moment, nu mă voi opri mai departe.
Desenul de aici este destul de simplu:
Figura plată dorită este umbrită în albastru, este cea care se rotește în jurul axei, ca urmare a rotației, rezultă o farfurie zburătoare ușor ovoidă, simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar mi-e prea lene să clarific ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.
Cum se calculează volumul unui corp de rotație?
Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:
În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.
Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.
Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.
În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este foarte logic.
Să calculăm volumul unui corp de rotație folosind această formulă: 
După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.
Răspuns: 
În răspunsul dvs. trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.
Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și
Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:
Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.
Să calculăm volumul corpului de revoluție ca diferența de volume a corpurilor.
Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .
Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .
Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.
Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție: 
1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
3) Volumul corpului de revoluție dorit: 
Răspuns: 
Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.
Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta: 
Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.
Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, ceea ce a fost observat de Perelman (altul) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.
După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:
Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate cazurile apar în bandă, cu alte cuvinte, sunt date limite de integrare gata făcute. Desenați corect graficele funcțiilor trigonometrice, permiteți-mi să vă reamintesc materialul despre lecție transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este împărțit la două: , atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Este indicat să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa desenul mai precis. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.
Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe
Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor este, de asemenea, un invitat destul de comun în munca de testare. Pe parcurs se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua metodă este integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe să găsiți cea mai profitabilă cale de soluție. Există și un sens practic al vieții în asta! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și gestionăm în mod optim personalul”. Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).
Îl recomand tuturor, chiar și manechinelor complete. Mai mult, materialul învățat în al doilea paragraf va oferi un ajutor neprețuit în calcularea integralelor duble.
Dată o figură plată delimitată de liniile , , .
1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.
Atenţie! Chiar dacă doriți să citiți doar al doilea punct, asigurați-vă că îl citiți mai întâi pe primul!
Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.
1) Să facem un desen:
Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.
Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.
Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în modul „obișnuit”, despre care s-a discutat în clasă Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment 
;
- pe segment.
De aceea:
De ce soluția obișnuită este proastă în acest caz? În primul rând, avem două integrale. În al doilea rând, există rădăcini sub integrale, iar rădăcinile în integrale nu sunt un dar și, în plus, puteți deveni confuz în înlocuirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt ucigașe, dar în practică totul poate fi mult mai trist, doar am selectat funcții „mai bune” pentru problemă.
Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.
Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:
Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:
Este mai ușor cu o linie dreaptă:
Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: 
. Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.
! Notă: Trebuie stabilite limitele de integrare de-a lungul axei strict de jos în sus!
Găsirea zonei:
Pe segment, prin urmare: 
Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.
Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate: 
Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.
Răspuns:
2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.
Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:
Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.
Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.
Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.
Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .
Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.
Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.
Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție: 
Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.
Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit 
, mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.
Răspuns: 
Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.
Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.
1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plane delimitată de aceste drepte prin integrarea peste variabilă.
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cei interesați pot găsi, de asemenea, zona unei figuri în modul „obișnuit”, verificând astfel punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, veți obține un cu totul alt corp de rotație cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve probleme).
Soluția completă a celor două puncte propuse ale sarcinii se află la sfârșitul lecției.
Da, și nu uitați să înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și limitele integrării!
Eram pe cale să termin articolul, dar astăzi au adus un exemplu interesant doar pentru găsirea volumului unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor. Proaspăt:
Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de curbe și .
Soluţie: Hai să facem un desen:
Pe parcurs, ne familiarizăm cu graficele altor funcții. Iată un grafic interesant al unei funcții pare...
Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:
În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.
Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.
Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.
În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrată: , astfel volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este foarte logic.
Să calculăm volumul unui corp de rotație folosind această formulă: 
După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.
Răspuns: 
În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.
Exemplul 2
Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.
Exemplul 3
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și
Soluţie: Să înfățișăm în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:
Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.
Să calculăm volumul corpului de revoluție ca diferența de volume a corpurilor.
Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .
Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .
Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.
Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:
1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
3) Volumul corpului de revoluție dorit: 
Răspuns: 
Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.
Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta: 
Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.
Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, care au fost observate de Perelman (nu acela) în carte. Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.
În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, scrisă de el în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și învață să caute soluții originale, nestandardizate la probleme. Am recitit recent unele capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și pentru umaniști. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.
După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:
Exemplul 4
Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate lucrurile se întâmplă în trupă, cu alte cuvinte, sunt date practic limite de integrare gata făcute. De asemenea, încercați să desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice; dacă argumentul este împărțit la doi: atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Încercați să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice si completati mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.
Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe
Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor este, de asemenea, un invitat destul de comun în munca de testare. Pe parcurs se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua metodă este integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe să găsiți cea mai profitabilă cale de soluție. Există și un sens practic al vieții în asta! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și gestionăm în mod optim personalul”. Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).
Exemplul 5
Dată o figură plată delimitată de liniile , , .
1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.
Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!
Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.
1) Să facem un desen:
Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.
Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.
Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în modul „obișnuit”, despre care s-a discutat în clasă Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment 
;
- pe segment.
De aceea:
De ce soluția obișnuită este proastă în acest caz? În primul rând, avem două integrale. În al doilea rând, integralele sunt rădăcini, iar rădăcinile în integrale nu sunt un dar și, în plus, poți să te încurci în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt ucigașe, dar în practică totul poate fi mult mai trist, doar am selectat funcții „mai bune” pentru problemă.
Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.
Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:
Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:
Este mai ușor cu o linie dreaptă:
Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: 
. Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.
! Notă: limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!
Găsirea zonei:
Pe segment, prin urmare: 
Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.
Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate: 
Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.
Răspuns:
2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.
Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:
Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.
Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.
Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.
Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .
Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.
Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.
Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție: 
Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.
Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit 
, mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.
Răspuns: 
Cu toate acestea, nu un fluture bolnăvicios.
Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.
Exemplul 6
Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.
1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plane delimitată de aceste drepte prin integrarea peste variabilă.
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.
Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:
În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.
Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.
Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.
În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: astfel integrala este întotdeauna nenegativă , ceea ce este foarte logic.
Să calculăm volumul unui corp de rotație folosind această formulă: 
După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.
Răspuns: 
În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.
Exemplul 2
Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii,
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.
Exemplul 3
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și
Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile ,,,, fără a uita că ecuația definește axa:
Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.
Să calculăm volumul corpului de rotație ca diferența de volume a corpurilor.
Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu.
Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu.
Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.
Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:
1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:
3) Volumul corpului de rotație dorit:
Răspuns:
Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.
Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:
Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.
Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, ceea ce a fost observat de Perelman (altul) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.
În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, apărută în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și te învață să cauți soluții originale, nestandardizate, la probleme. Am recitit recent unele capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și pentru umaniști. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.
După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:
Exemplul 4
Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plate delimitate prin linii,, unde.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate cazurile apar în bandă, cu alte cuvinte, sunt date limite de integrare gata făcute. Desenați corect graficele funcțiilor trigonometrice, permiteți-mi să vă reamintesc materialul despre lecție transformări geometrice ale graficelor : dacă argumentul este împărțit la două: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este indicat să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa desenul mai precis. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.
Subiect: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”
Tip de lecție: combinate.
Scopul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.
Sarcini:
consolidarea capacității de a identifica trapezele curbilinie dintr-un număr de figuri geometrice și dezvoltarea abilității de a calcula ariile trapezelor curbilinie;
familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;
învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;
promovează dezvoltarea gândirii logice, vorbirea matematică competentă, acuratețea la construirea desenelor;
să cultive interesul pentru subiect, în operarea cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența și perseverența în obținerea rezultatului final.
În timpul orelor
I. Moment organizatoric.
Salutări din partea grupului. Comunicați elevilor obiectivele lecției.
Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „Trăia odată un om înțelept care știa totul. Un bărbat a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Ținând un fluture în palme, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și se gândește: „Dacă spune cel viu, o voi omorî; dacă spune cel mort, o eliberez”. Înțeleptul, după ce s-a gândit, a răspuns: „Totul este în mâinile tale”.
Prin urmare, să lucrăm fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața viitoare și în activități practice. „Totul este în mâinile tale”.
II. Repetarea materialului studiat anterior.
Să ne amintim punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să finalizăm sarcina „Eliminați cuvântul suplimentar”.
(Elevii spun un cuvânt în plus.)
Dreapta "Diferenţial".Încercați să numiți cuvintele rămase cu un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)
Să ne amintim principalele etape și concepte asociate calculului integral.
Exercițiu. Recuperați golurile. (Elevul iese și scrie în cuvintele cerute cu un marker.)
Lucrați în caiete.
Formula Newton-Leibniz a fost derivată de fizicianul englez Isaac Newton (1643-1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646-1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba vorbită de natura însăși.
Să luăm în considerare modul în care această formulă este utilizată pentru a rezolva probleme practice.
Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii 
Soluţie: Să construim grafice ale funcțiilor pe planul de coordonate . Să selectăm zona figurii care trebuie găsită.
III. Învățarea de materiale noi.
Acordați atenție ecranului. Ce se arată în prima poză? (Figura arată o figură plată.)
Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Figura arată o figură tridimensională.)
În spațiu, pe pământ și în viața de zi cu zi, întâlnim nu numai figuri plate, ci și tridimensionale, dar cum putem calcula volumul unor astfel de corpuri? De exemplu: volumul unei planete, comete, meteorit etc.
Oamenii se gândesc la volum atât atunci când construiesc case, cât și când turnă apă dintr-un vas în altul. Au trebuit să apară reguli și tehnici de calcul al volumelor; cât de exacte și justificate erau acestea este o altă problemă.
Anul 1612 a fost foarte rodnic pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a locuit faimosul astronom Johannes Kepler, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele.
Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Leibniz de calcul diferenţial şi integral. Din acel moment, matematica variabilelor a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.
Astăzi, tu și cu mine ne vom angaja în astfel de activități practice, prin urmare,
Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de rotație folosind o integrală definită.”
Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.
"Labirint".
Exercițiu. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.
IVCalculul volumelor.
Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui anumit corp, în special un corp de revoluție.
Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbat în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)
Volumul unui corp de revoluție se calculează folosind una dintre formule:
1.
în jurul axei OX.
2. 
, dacă rotația unui trapez curbat în jurul axei amplificatorului operațional.
Elevii notează formulele de bază într-un caiet.
Profesorul explică soluțiile la exemplele de pe tablă.
1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei ordonatelor unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Soluţie.
Raspuns: 1163 cmc.
2. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul axei x y = , x = 4, y = 0.
Soluţie.
V. Simulator de matematică.
2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date
A) o integrală nedefinită,
B) funcția,
B) diferențiere.
7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:
D/Z. Consolidarea materialului nou
Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y = x2, y2 = x.
Să construim grafice ale funcției. y = x2, y2 = x. Să transformăm graficul y2 = x în forma y = .
Avem V = V1 - V2 Să calculăm volumul fiecărei funcții:
Concluzie:
Integrala definită este o anumită bază pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție de neînlocuit la rezolvarea problemelor practice.
Subiectul „Integral” demonstrează în mod clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.
Dezvoltarea științei moderne este de neconceput fără utilizarea integralei. În acest sens, este necesar să începem studiul lui în cadrul învățământului secundar de specialitate!
VI. Notare.(Cu comentarii.)
Marele Omar Khayyam - matematician, poet, filozof. El ne încurajează să fim stăpâni pe propriul nostru destin. Să ascultăm un fragment din munca lui:
Tu spui, această viață este un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce îl cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.
I. Volumele corpurilor de rotaţie. Studiați preliminar Capitolul XII, paragrafele 197, 198 din manualul lui G. M. Fikhtengolts * Analizați în detaliu exemplele date în paragraful 198.
508. Calculați volumul unui corp format prin rotirea unei elipse în jurul axei Ox.
Prin urmare,
530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoid y = sin x de la punctul X = 0 până la punctul X = It.
531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.
532. Calculați aria suprafeței formate
rotirea astroidului x3 -)- y* - a3 în jurul axei Ox.
533. Calculați aria suprafeței formate prin rotirea buclei curbei 18 ug - x (6 - x) z în jurul axei Ox.
534. Aflați suprafața torusului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei Ox.
535. Calculați suprafața formată prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.
536. Calculați aria suprafeței formate prin rotirea buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.
537. Aflați aria suprafeței formate prin rotirea arcului curbei x = e*sint, y = el cost în jurul axei Ox
de la t = 0 la t = —.
538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy este egală cu 16 u2 o2.
539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.
540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei 
În jurul axei polare.
Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV
Arii figurilor plane
541. Aflați întreaga zonă a regiunii delimitată de curbă 
Și axa Ox.
542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă
Și axa Ox.
543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă
l axele de coordonate.
544. Aflați aria regiunii cuprinse în interior
bucle: 
545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:
546. Găsiți aria regiunii conținute în interiorul buclei: 
547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă
Și axa Ox.
548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă
Și axa Ox.
549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr
drept și curbat 
