Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gaussiană

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să vorbesc despre algoritmul metodei într-o formă accesibilă.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică.
2) Au infinit de soluții.
3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), articolul este dedicat situațiilor punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?
și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă:
. Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă :Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă– aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în acest caz: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să șterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt:

Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adaug pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor!

Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să înlocuim valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției:

Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus:

Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:


Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, deoarece cu cât numerele sunt mai mici, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:


Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare:

Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion al designului final și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta:
(1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian.
Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu:

Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă:

Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece prima coloană are deja un zero și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, trebuie să te pricepi la ea și să rezolvi cel puțin 5-10 sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pe care să îl rezolve singuri:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecția Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.


Transformări elementare efectuate:
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l!
(2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă, că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5.
(4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns: .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate:
(1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus.
(2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
(4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1.
(4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri.
(5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la in trepte , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o secvenţială, pornind de la ultimul număr variabil, determinarea necunoscutelor din sistemul de trepte rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuațiile cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați-l la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

,

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități ale formei
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
. Eu gras
Dacă apare o ecuație de formă care nu are soluții, aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat prin toate celelalte necunoscute
care sunt numite gratuit . Apoi expresia variabilă din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile
, exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază (dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare.

A găsi soluție privată sisteme, liber necunoscut
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

.

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Și
în prima ecuație, găsim


.

Continuăm să luăm în considerare sistemele de ecuații liniare. Această lecție este a treia pe această temă. Dacă aveți o idee vagă despre ce este un sistem de ecuații liniare în general, dacă vă simțiți ca un ceainic, atunci vă recomand să începeți cu elementele de bază din pagina În continuare, este util să studiați lecția.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să vorbesc despre algoritmul metodei într-o formă accesibilă.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică. 2) Au infinit de soluții. 3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), un articol este dedicat situațiilor de la punctele nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă: . Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă : Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă doar din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă – aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în acest caz: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să șterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt: Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adaug pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor! Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să înlocuim valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției: Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus: Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:
Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, deoarece cu cât numerele sunt mai mici, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:
Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare: Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion al designului final și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta: (1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian. Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu: Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă: Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece prima coloană are deja un zero și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, ar trebui să „îți bagi dinții” și să rezolvi cel puțin 5-10 zece sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pe care să îl rezolve singuri:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de 4 ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecție Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție comună. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate: (1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l! (2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă , că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil. (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5. (4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns : .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate: (1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus. (2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. (4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3. Elementul solicitat de la a doua etapă a fost primit. . (5) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 6. (6) A doua linie a fost înmulțită cu –1, a treia linie a fost împărțită cu -83.

Verso:

Răspuns :

Exemplul 5: Soluţie : Să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

Conversii efectuate: (1) Prima și a doua linie au fost schimbate. (2) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –3. (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1. (4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri. (5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

Răspuns :

Metoda Gaussiană, numită și metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, este următoarea. Folosind transformări elementare, un sistem de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursă directă a metodei gaussiene, denumită în continuare pur și simplu cursă dreaptă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția sa este în figura de mai sus.

Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită fără ambiguitate. Valoarea acestei variabile este apoi înlocuită în ecuația anterioară ( inversa metodei gaussiene , apoi doar invers), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.

Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yȘi X, iar a doua ecuație este variabila X .

După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să înțelegeți problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.

Avantajele metodei:

1. la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu mai mult de trei ecuații și necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece rezolvarea cu metoda Gauss necesită mai puține calcule;
2. metoda Gauss poate rezolva sisteme nedeterminate de ecuații liniare, adică având o soluție generală (și le vom analiza în această lecție), iar folosind metoda Cramer, putem afirma doar că sistemul este nedeterminat;
3. poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
4. Metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.

Pentru ca toată lumea să înțeleagă simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, în trepte), prezentăm o soluție pentru un astfel de sistem folosind mișcarea inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind inversul:

Soluţie. În acest sistem trapezoidal variabila z poate fi găsit în mod unic din a treia ecuație. Inlocuim valoarea acesteia in a doua ecuatie si obtinem valoarea variabilei y:

Acum știm valorile a două variabile - zȘi y. Le înlocuim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei X:

Din pașii anteriori scriem soluția sistemului de ecuații:

Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesar să folosim o cursă înainte asociată cu transformările elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.

Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare

Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor unui sistem, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se mai poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, înlocuind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gaussiană, putem folosi mai multe tipuri de transformări.

Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cea pe care ai văzut-o în prima animație și te-ai convins că este ușor să găsești din ea valorile tuturor necunoscutelor. Cum se realizează o astfel de transformare și, desigur, exemple vor fi discutate în continuare.

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului Poate sa:

1. rearanjați liniile (acest lucru a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
2. dacă alte transformări rezultă în rânduri egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția unuia;
3. eliminați rândurile „zero” în care toți coeficienții sunt egali cu zero;
4. înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un anumit număr;
5. la orice linie adăugați o altă linie, înmulțită cu un anumit număr.

În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.

Algoritm și exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului folosind metoda Gauss

Să considerăm mai întâi rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.

Exemplul 2. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit una dintre ecuații termen cu termen cu un anumit număr, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează similar.

Pentru a simplifica aspectul soluției să creăm o matrice extinsă a sistemului:

În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea liniei verticale, iar termenii liberi sunt situați în dreapta după linia verticală.

Pentru comoditatea împărțirii coeficienților pentru variabile (pentru a obține împărțirea la unitate) Să schimbăm primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu acesta, deoarece într-un sistem de ecuații liniare ecuațiile pot fi interschimbate:

Folosind noua prima ecuație elimina variabila X din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea rând al matricei adăugăm primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ), la al treilea rând - primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Acest lucru este posibil pentru că

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adunăm la toate ecuațiile ulterioare prima linie, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luate cu semnul minus.

Ca urmare, obținem o matrice echivalentă cu acest sistem a unui nou sistem de ecuații, în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă X :

Pentru a simplifica a doua linie a sistemului rezultat, înmulțiți-o cu și obțineți din nou matricea unui sistem de ecuații echivalent cu acest sistem:

Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al treilea rând al matricei sistemului adăugăm al doilea rând, înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adăugăm o a doua linie la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem din nou matricea unui sistem echivalent cu acest sistem de ecuații liniare:

Am obținut un sistem trapezoidal echivalent de ecuații liniare:

Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în ​​exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.

Vom găsi soluția „de la sfârșit” - mișcarea inversă. Pentru aceasta din ultima ecuație pe care o determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, vom găsi y:

Din prima ecuație vom găsi X:

Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații este .

: în acest caz se va da același răspuns dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci acesta va fi răspunsul și acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.

Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, apoi uitați-vă la soluție

Aici avem din nou un exemplu de sistem consistent și definit de ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.

Exemplul 4. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Să facem lucrările pregătitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți unul în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți a treia din a doua linie și înmulțiți a doua linie rezultată cu -1.

Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie, înmulțită cu , la a treia linie și a doua, înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu . Obținem o matrice trapezoidală extinsă.

Am obținut un sistem de ecuații cu care sistemul dat este echivalent:

În consecință, sistemele rezultate și date sunt compatibile și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație putem exprima direct valoarea variabilei „x-four”:

Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem

,

,

În sfârșit, înlocuirea valorii

Prima ecuație dă

,

unde găsim „x primul”:

Răspuns: acest sistem de ecuații are o soluție unică .

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Rezolvarea problemelor aplicate folosind metoda Gauss folosind exemplul unei probleme pe aliaje

Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale din lumea fizică. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - aliajele. Probleme similare sunt probleme legate de amestecuri, costul sau ponderea bunurilor individuale într-un grup de mărfuri și altele asemenea.

Exemplul 5. Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. Mai mult, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună este cu 28,4 kg mai puțin cupru decât în ​​primul aliaj, iar în al treilea aliaj este cu 6,2 kg mai puțin cupru decât în ​​al doilea. Aflați masa fiecărei piese din aliaj.

Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:

Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:

Creăm o matrice extinsă a sistemului:

Atenție, drept înainte. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului apar următoarele transformări:

Mișcarea directă s-a încheiat. Am obținut o matrice trapezoidală extinsă.

Aplicăm mișcarea inversă. Soluția o găsim de la final. Noi vedem asta.

Din a doua ecuație găsim

Din a treia ecuație -

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Simplitatea metodei lui Gauss este dovedită de faptul că matematicianului german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru a o inventa. În plus față de metoda numită după el, din lucrările lui Gauss se cunoaște zicala „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” - un fel de scurtă instrucțiune despre a face descoperiri.

În multe probleme aplicate s-ar putea să nu existe o a treia constrângere, adică o a treia ecuație, atunci trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații cu trei necunoscute folosind metoda Gaussiană sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații. Vom începe acum să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.

Folosind metoda Gaussiană, puteți determina dacă orice sistem este compatibil sau incompatibil n ecuații liniare cu n variabile.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții

Următorul exemplu este un sistem consistent, dar nedeterminat de ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.

După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (rearanjarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea altuia la un rând), pot apărea rânduri ale formularului

Dacă în toate ecuaţiile având forma

Termenii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este nedefinit, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și le excludem din sistem.

Exemplul 6.

Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua, a treia și a patra rânduri primul, înmulțit cu:

Acum să adăugăm a doua linie la a treia și a patra.

Ca urmare, ajungem la sistem

Ultimele două ecuații s-au transformat în ecuații de formă. Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.

Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată în mod unic: . Din prima ecuație se găsește și valoarea pentru: .

Atât sistemul dat, cât și ultimul sunt consecvenți, dar incerti, și formulele

pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile unui sistem dat.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare fără soluții

Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică unul care nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.

După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor, rândurile formularului ar putea apărea în matricea extinsă a sistemului

corespunzătoare unei ecuaţii de formă

Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții și soluția sa este completă.

Exemplul 7. Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie înmulțită cu la a doua linie, prima linie înmulțită cu a treia linie și prima linie înmulțită cu a patra linie.

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.

Pentru a exclude a treia și a patra ecuație, adăugați a doua înmulțită cu , la a treia linie, iar a doua înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu .

Prin urmare, sistemul dat este echivalent cu următorul:

Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.

Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor coincide.

Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:

1. Ștergerea ecuațiilor triviale din sistem, de ex. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;
3. Adăugând la orice ecuație i-a orice ecuație j-a înmulțită cu orice număr.

O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, dar este permis întregul sistem de ecuații.

Teorema. Transformările elementare transformă un sistem de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei gaussiene este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent rezolvat sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gaussiană constă din următorii pași:

1. Să ne uităm la prima ecuație. Să alegem primul coeficient diferit de zero și să împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei x i din ecuațiile rămase să fie zero. Obținem un sistem rezolvat față de variabila x i și echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le eliminăm din sistem. Ca rezultat, există o ecuație mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații inconsistente (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași vom obține fie un sistem rezolvat (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Aceasta înseamnă că sistemul este definit;
2. Numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistem de ecuații liniare rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și pentru a-l stăpâni nu trebuie să contactați un profesor superior de matematică. Să ne uităm la un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Obținem variabila admisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3;
5. Am primit un sistem aprobat, notează răspunsul.

Soluția generală a unui sistem simultan de ecuații liniare este un sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații există). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul al 1-lea, am obținut un sistem care nu conține o ecuație cu număr (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că... sistemul autorizat este încă obținut – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul a 1-a, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente folosind metoda Gaussiană este o bază suficientă pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului al 1-lea, nu pot rămâne ecuații triviale - toate sunt tăiate chiar în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație, înmulțită cu 4, din a doua. De asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădeți a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent deoarece a fost descoperită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Explorați compatibilitatea și găsiți o soluție generală pentru sistem:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație va deveni trivială. În același timp, înmulțiți a doua ecuație cu (−1);
3. Scădeți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este consistent și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).