Împărțiți crucea în forme de 5 celule. Cutting problems.docx - cutting problems

1. Un pătrat conține 16 celule. Împărțiți pătratul în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor. (Metodele de tăiere a unui pătrat în două părți vor fi considerate diferite dacă părțile pătratului obținute printr-o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute printr-o altă metodă.) Câte soluții totale are problema?
2. Un dreptunghi 3X4 conține 12 celule. Găsiți cinci moduri de a tăia un dreptunghi în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor (metodele de tăiere sunt considerate diferite dacă părțile obținute printr-o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute printr-o altă metodă).
3. Un dreptunghi 3X5 conține 15 celule, iar celula centrală a fost eliminată. Găsiți cinci moduri de a tăia figura rămasă în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul părților laterale ale celulelor.
4. Un pătrat de 6x6 este împărțit în 36 de pătrate identice. Găsiți cinci moduri de a tăia un pătrat în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor pătratelor. Notă: problema are peste 200 de soluții.
5. Împărțiți pătratul de 4x4 în patru părți egale, cu linia tăiată de-a lungul laturilor pătratelor. Câte metode diferite de tăiere puteți găsi?
6. Împărțiți figura (Fig. 5) în trei părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor.

7. Împărțiți figura (Fig. 6) în patru părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor.

8. Împărțiți figura (Fig. 7) în patru părți egale, astfel încât liniile tăiate să treacă de-a lungul laturilor pătratelor. Găsiți cât mai multe soluții.

9. Împărțiți pătratul de 5x5 cu pătratul central tăiat în patru părți egale.

10. Tăiați figurile prezentate în Fig. 8 în două părți egale de-a lungul liniilor grilei și fiecare parte ar trebui să aibă un cerc.

11. Figurile prezentate în Fig. 9 trebuie tăiate de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale, astfel încât fiecare parte să aibă un cerc. Cum să o facă?

12. Tăiați figura prezentată în Fig. 10 de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale și pliați-le într-un pătrat, astfel încât cercurile și stelele să fie situate simetric față de toate axele de simetrie ale pătratului.

13. Tăiați acest pătrat (Fig. 11) de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate părțile să aibă aceeași dimensiune și formă și astfel încât fiecare să conțină un cerc și un asterisc.

14. Tăiați pătratul de hârtie în carouri de 6x6 prezentat în Figura 12 în patru bucăți egale, astfel încât fiecare bucată să conțină trei pătrate umbrite.

10. O foaie pătrată de hârtie în carouri este împărțită în pătrate mai mici prin segmente care trec de-a lungul laturilor pătratelor. Demonstrați că suma lungimilor acestor segmente este divizibilă cu 4. (Lungimea laturii celulei este 1).

Soluție: Fie Q o foaie pătrată de hârtie, L(Q) suma lungimilor acelor laturi ale celulelor care se află în interiorul acesteia. Atunci L(Q) se împarte la 4, deoarece toate laturile luate în considerare sunt împărțite în patru laturi, obținute una de cealaltă prin rotații de 90 0 și 180 0 față de centrul pătratului.

Dacă pătratul Q este împărțit în pătrate Q 1, ..., Q n, atunci suma lungimilor segmentelor de împărțire este egală cu

L (Q) - L (Q 1) - … - L (Q n). Este clar că acest număr este divizibil cu 4, deoarece numerele L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) sunt divizibile cu 4.

4. Invariante

11. Dată o tablă de șah. Este permisă revopsirea simultană a tuturor celulelor oricărei linii orizontale sau verticale într-o culoare diferită. Poate rezulta o tablă cu exact un pătrat negru?

Soluție: Când recolorați o linie orizontală sau verticală care conține k celule negre și 8 k celule albe, obțineți 8 k celule negre și k albe. Prin urmare, numărul de celule negre se va schimba la (8-k)-k=8-2k, adică. la un număr par. Deoarece paritatea numărului de celule negre este păstrată, din cele 32 de celule negre originale nu putem obține o celulă neagră.

12. Dată o tablă de șah. Este permisă revopsirea simultană a tuturor celulelor situate în interiorul unui pătrat de dimensiune 2 x 2 într-o culoare diferită. Poate lăsa exact o celulă neagră pe tablă?

Soluție: Dacă recolorați un pătrat de 2 x 2 care conține k celule negre și 4 k celule albe, obțineți 4 k celule negre și k albe. Prin urmare, numărul de celule negre se va schimba în (4-k)-k=4-2k, adică. la un număr par. Deoarece paritatea numărului de celule negre este păstrată, din cele 32 de celule negre originale nu putem obține o celulă neagră.

13. Demonstrați că un poligon convex nu poate fi tăiat într-un număr finit de patrulatere neconvexe.

Rezolvare: Să presupunem că un poligon convex M este tăiat în patrulatere neconvexe M 1,..., M n. Pentru fiecare poligon N atribuim un număr f(N), egal cu diferența dintre suma unghiurilor sale interne mai mică de 180 și suma unghiurilor care completează până la 360 unghiurile sale mai mari de 180. Să comparăm numerele A = f(M) și B = f(M 1)+…+ f(M n). Pentru a face acest lucru, luați în considerare toate punctele care sunt vârfurile patrulaterelor M 1 ..., M n. Ele pot fi împărțite în patru tipuri.

1. Vârfurile poligonului M. Aceste puncte au contribuții egale la A și B.

2. Puncte de pe laturile poligonului M sau M 1. Contribuția fiecărui astfel de punct la B pe

Cu 180 mai mult decât în ​​A.

3. Puncte interioare ale unui poligon la care se întâlnesc colțurile patrulaterului,

mai puțin de 180. Contribuția fiecărui astfel de punct la B este cu 360 mai mare decât la A.

4. Puncte interioare ale poligonului M, la care se întâlnesc unghiurile patrulaterelor, iar unul dintre ele este mai mare de 180. Astfel de puncte dau contribuții zero la A și B.

Ca rezultat obținem A<В. С другой стороны, А>0 și B=0. Inegalitatea A >0 este evidentă, iar pentru a demonstra egalitatea B=0 este suficient să verificăm că dacă un patrulater N-neconvex, atunci f(N)=0. Fie unghiurile N egale cu a>b>c>d. Orice patrulater neconvex are exact un unghi mai mare de 180, deci f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Se obține o contradicție, prin urmare un poligon convex nu poate fi tăiat într-un număr finit de patrulatere neconvexe.

14. Există o piesă în centrul fiecărui pătrat al tablei de șah. Jetoanele au fost rearanjate astfel încât distanțele pe perechi dintre ele să nu scadă. Demonstrați că, în realitate, distanțele pe perechi nu s-au schimbat.

Soluție: Dacă cel puțin una dintre distanțele dintre jetoane a crescut, atunci suma tuturor distanțelor perechi dintre jetoane ar crește, dar suma tuturor distanțelor pe perechi dintre jetoane nu se schimbă cu nicio permutare.

15. Câmpul pătrat este împărțit în 100 de secțiuni pătrate identice, dintre care 9 sunt acoperite de buruieni. Se știe că peste un an buruienile s-au răspândit în acele și numai acele zone în care cel puțin două zone învecinate (adică având o latură comună) sunt deja acoperite cu buruieni. Demonstrați că câmpul nu va fi niciodată complet acoperit de buruieni.

Soluție: Este ușor de verificat că lungimea graniței întregii zone (sau mai multor zone) acoperite cu buruieni nu va crește. La momentul inițial nu depășește 4*9=36, deci în momentul final nu poate fi egal cu 40.

În consecință, câmpul nu va fi niciodată complet acoperit de buruieni.

16. Având în vedere un convex 2m-gon A 1 ...A 2 m. În interiorul acestuia, se ia un punct P care nu se află pe niciuna dintre diagonale. Demonstrați că punctul P aparține unui număr par de triunghiuri cu vârfuri în punctele A 1,..., A 2 m.

Rezolvare: Diagonalele împart poligonul în mai multe părți. Vom suna vecine cele care au o latură comună. Este clar că din orice punct interior al poligonului se poate ajunge la oricare altul, de fiecare dată deplasându-se doar din partea vecină la cea vecină. Partea planului situată în afara poligonului poate fi, de asemenea, considerată una dintre aceste părți. Numărul de triunghiuri luate în considerare pentru punctele acestei părți este zero, deci este suficient să se demonstreze că atunci când se trece de la o parte adiacentă la una adiacentă, se păstrează paritatea numărului de triunghiuri.

Lasă latura comună a două părți adiacente să se afle pe diagonala (sau laterala) PQ. Apoi, tuturor triunghiurilor luate în considerare, cu excepția triunghiurilor cu latura PQ, ambele părți fie aparțin sau nu aparțin în același timp. Prin urmare, atunci când se trece de la o parte la alta, numărul de triunghiuri se modifică cu k 1 -k 2, unde k 1 este numărul de vârfuri ale poligonului situat pe o parte a PQ. Deoarece k 1 +k 2 =2m-2, atunci numărul k 1 -k 2 este par.

4. Pagini de colorat auxiliare într-un model de șah

17. În fiecare celulă a tablei 5 x 5 există un gândac. La un moment dat, toți gândacii se târăsc pe celule adiacente (orizontale sau verticale). Acest lucru lasă neapărat o celulă goală?

Soluție: Deoarece numărul total de celule de pe o tablă de șah de 5 x 5 celule este impar, nu poate exista un număr egal de celule albe și negre. Să fie mai multe celule negre pentru a fi sigur. Apoi sunt mai puțini gândaci care stau pe celule albe decât celule negre. Prin urmare, cel puțin una dintre celulele negre rămâne goală, deoarece numai gândacii care stau pe celulele albe se târăsc pe celulele negre.

19. Demonstrați că o tablă care măsoară 10 x 10 pătrate nu poate fi tăiată în figuri în formă de T formate din patru pătrate.

Soluție: Să presupunem că o placă de 10 x 10 celule este împărțită în următoarele figuri. Fiecare figură conține fie 1, fie 3 celule negre, adică. întotdeauna un număr impar. Cifrele în sine ar trebui să fie 100/4 = 25 de bucăți. Prin urmare, ele conțin un număr impar de celule negre și există 100/2 = 50 de celule negre în total. S-a obţinut o contradicţie.

5. Probleme legate de cărțile de colorat

20. Avionul este vopsit în două culori. Demonstrați că există două puncte de aceeași culoare, distanța dintre ele este exact 1.

Soluție: Luați în considerare un triunghi regulat cu latura 1.

Transcriere

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Moscova, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme de tăiere. M.: MTsNMO, p.: ill. Seria: „Secretele predării matematicii”. Această carte este prima carte din seria „Secretele predării matematicii”, menită să prezinte și să rezume experiența acumulată în domeniul educației matematicii. Această colecție reprezintă una dintre părțile cursului „Logica dezvoltării în clasele 5-7”. Pentru toate problemele prezentate în carte, sunt date soluții sau instrucțiuni. Cartea este recomandată pentru lucrări extracurriculare la matematică. LBC ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MCNMO, 2002.

3 Introducere În prezent, viziunea tradiţională asupra compoziţiei disciplinelor studiate de şcolari este în curs de revizuire şi clarificare. În programa școlară sunt introduse diferite discipline noi. Unul dintre aceste subiecte este logica. Studiul logicii contribuie la înțelegerea frumuseții și grației raționamentului, a capacității de a raționa, la dezvoltarea creativă a personalității și la educația estetică a unei persoane. Fiecare persoană cultivată ar trebui să fie familiarizată cu sarcini logice, puzzle-uri și jocuri care sunt cunoscute de câteva secole sau chiar milenii în multe țări ale lumii. Dezvoltarea inteligenței, a ingeniozității și a gândirii independente este necesară oricărei persoane dacă dorește să reușească și să obțină armonie în viață. Experiența noastră arată că studiul sistematic al logicii formale sau al fragmentelor de logică matematică ar trebui amânat până la clasele superioare ale liceului. În același timp, este necesar să se dezvolte gândirea logică cât mai devreme posibil. De altfel, la studierea disciplinelor academice la școală, raționamentul și demonstrația apar abia în clasa a VII-a (când începe un curs de geometrie sistematică). Pentru mulți studenți, tranziția bruscă (nici un raționament nu a devenit mult raționament) este insuportabil de dificilă. Într-un curs de logică a dezvoltării pentru clasele 5-7, este foarte posibil să-i învățați pe școlari să raționeze, să demonstreze și să găsească modele. De exemplu, atunci când rezolvați puzzle-uri matematice, nu trebuie doar să ghiciți (selectați) mai multe răspunsuri, ci și să demonstrați că ați obținut o listă completă de răspunsuri posibile. Acest lucru este destul de fezabil pentru un elev de clasa a cincea. Dar în procesul de predare a logicii în clasele 5-7 ale gimnaziului, profesorii se confruntă cu anumite dificultăți: lipsa manualelor, a materialelor didactice, a manualelor și a materialelor vizuale. Toate acestea trebuie compilate, scrise și desenate chiar de profesor. Unul dintre scopurile acestei colecții este acela de a facilita pregătirea și desfășurarea cursurilor pentru profesori. Vom oferi câteva recomandări pentru desfășurarea lecțiilor înainte de a lucra cu colecția.

4 4 Introducere Este indicat să începeți să predați logica școlarilor din clasa a cincea și poate mai devreme. Predarea logicii ar trebui făcută într-un stil relaxat, aproape improvizațional. Această aparentă ușurință necesită de fapt multă pregătire serioasă din partea profesorului. Este inacceptabil, de exemplu, să citești o problemă interesantă și distractivă dintr-un caiet scris de mână, așa cum fac uneori profesorii. Vă recomandăm să desfășurați cursuri într-o formă non-standard. Este necesar să se folosească cât mai mult material vizual în lecții: diverse cartonașe, imagini, seturi de figuri, ilustrații pentru rezolvarea problemelor, diagrame. Nu ar trebui să studiați un subiect cu studenți mai tineri pentru o lungă perioadă de timp. Când analizați un subiect, ar trebui să încercați să evidențiați principalele repere logice și să obțineți înțelegerea (și nu memorarea) acestor puncte. Este necesar să reveniți constant la materialul acoperit. Aceasta se poate face în muncă independentă, competiții pe echipe (în timpul lecțiilor), teste la sfârșitul trimestrului, olimpiade orale și scrise, matboys (în afara orelor de curs). De asemenea, este necesar să folosiți sarcini distractive și pline de umor în cursuri; uneori este util să schimbați direcția activității. Această colecție este una dintre părțile cursului „Logica dezvoltării în clasele 5-7” „Probleme de tăiere”. Această parte a fost testată în lecțiile de logică din clasele 5-7 la școala liceală 74 din Omsk. Mulți oameni de știință au fost interesați de problemele de tăiere încă din cele mai vechi timpuri. Soluții la multe probleme simple de tăiere au fost găsite de grecii antici și chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă aparține condeiului lui Abul-Vef, celebrul astronom persan din secolul al X-lea, care a trăit la Bagdad. Geometrii au început serios să rezolve probleme de tăiere a figurilor în cel mai mic număr de părți și apoi de a compune una sau alta figură nouă din ele abia la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei ramuri fascinante a geometriei a fost faimosul creator de puzzle Henry

5 Introducere 5 E. Dudeney. Un număr deosebit de mare de recorduri preexistente pentru tăierea figurilor a fost doborât de un expert de la Oficiul Australian de Brevete, Harry Lindgren. Este un expert de top în domeniul tăierii formelor. În zilele noastre, iubitorii de puzzle-uri sunt dornici să rezolve problemele de tăiere în primul rând pentru că nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme, iar toți cei care se ocupă de rezolvarea acestora își pot demonstra pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de gândire creativă. Deoarece nu necesită cunoștințe profunde de geometrie, amatorii pot uneori chiar să depășească matematicienii profesioniști. Cu toate acestea, problemele de tăiere nu sunt frivole sau inutile, nu sunt atât de departe de probleme matematice serioase. Din problemele de tăiere a venit teorema lui Bolyai Gerwin că oricare două poligoane de dimensiuni egale sunt echivalente (reversul este evident), apoi a treia problemă a lui Hilbert: este adevărată o afirmație similară pentru poliedre? Sarcinile de tăiere îi ajută pe școlari să formeze concepte geometrice cât mai devreme posibil folosind o varietate de materiale. La rezolvarea unor astfel de probleme, apare un sentiment de frumusețe, lege și ordine în natură. Colecția „Probleme de tăiere” este împărțită în două secțiuni. La rezolvarea problemelor din prima secțiune, elevii nu vor avea nevoie de cunoștințe de bază ale planimetriei, ci vor avea nevoie de ingeniozitate, imaginație geometrică și informații geometrice destul de simple, cunoscute de toată lumea. A doua secțiune este sarcini opționale. Acestea au inclus sarcini care necesită cunoașterea informațiilor geometrice de bază despre figuri, proprietățile și caracteristicile acestora și cunoașterea unor teoreme. Fiecare secțiune este împărțită în paragrafe, în care am încercat să combinăm sarcinile pe o singură temă, iar acestea, la rândul lor, sunt împărțite în lecții, fiecare conținând sarcini omogene în ordinea dificultății crescânde. Prima secțiune conține opt paragrafe. 1. Probleme pe hârtie în carouri. Această secțiune conține probleme în care tăierea formelor (mai ales pătrate și dreptunghiuri) are loc de-a lungul laturilor celulelor. Paragraful conține 4 lecții, le recomandăm pentru studiul elevilor de clasa a V-a.

6 6 Introducere 2. Pentamino. Acest paragraf conține probleme legate de figurile pentomino, așa că pentru aceste lecții este recomandabil să distribuiți copiilor seturi din aceste figuri. Aici sunt două lecții, le recomandăm pentru studiul elevilor din clasele 5-6. 3. Sarcini dificile de tăiere. Aici sunt colectate sarcini pentru tăierea formelor de forme mai complexe, de exemplu, cu limite care sunt arce și sarcini de tăiere mai complexe. Există două lecții în acest paragraf; vă recomandăm să le predați în clasa a VII-a. 4. Compartimentarea avionului. Aici sunt adunate probleme în care trebuie să găsiți divizări continue ale dreptunghiurilor în plăci dreptunghiulare, probleme la compunerea parchetului, probleme la cea mai densă aranjare a figurilor într-un dreptunghi sau pătrat. Vă recomandăm să studiați acest paragraf în clasele 6-7. 5. Tangram. Aici sunt adunate probleme legate de puzzle-ul antic chinezesc „Tangram”. Pentru a conduce această lecție, este indicat să aveți acest puzzle, cel puțin din carton. Recomandăm acest paragraf pentru studiu în clasa a V-a. 6. Probleme care implică tăierea în spațiu. Aici, elevii sunt introduși în dezvoltarea unui cub și a unei piramide triunghiulare, sunt trasate paralele și sunt prezentate diferențele dintre figurile de pe un plan și corpurile volumetrice și, prin urmare, diferențele în rezolvarea problemelor. Paragraful conține o lecție pe care o recomandăm elevilor de clasa a VI-a să o studieze. 7. Sarcini de colorat. Aceasta arată cum colorarea figurii ajută la rezolvarea problemei. Nu este greu de demonstrat că rezolvarea problemei tăierii unei figuri în bucăți este posibilă; este suficient să oferiți o metodă de tăiere. Dar este mai greu de demonstrat că tăierea este imposibilă. Colorarea figurii ne ajută să facem acest lucru. Există trei lecții în acest paragraf. Le recomandăm pentru studiul elevilor de clasa a VII-a. 8. Probleme cu colorarea în stare. Aici sunt colectate sarcini în care trebuie să colorați o figură într-un anumit mod, răspundeți la întrebarea: de câte culori vor fi necesare pentru o astfel de colorare (cel mai mic sau cel mai mare număr), etc. Există șapte lecții în paragraf. Le recomandăm pentru studiul elevilor de clasa a VII-a. A doua secțiune include sarcini care pot fi rezolvate în clase suplimentare. Conține trei paragrafe.

7 Introducere 7 9. Transformarea figurilor. Conține probleme în care o figură este tăiată în părți din care este făcută o altă figură. Există trei lecții în acest paragraf, prima examinează „transformarea” diferitelor figuri (aici sunt colectate sarcini destul de ușoare), iar a doua lecție examinează geometria transformării unui pătrat. 10. Diverse sarcini de tăiere. Aceasta include diverse sarcini de tăiere care sunt rezolvate prin diferite metode. Există trei lecții în acest paragraf. 11. Zona figurilor. Există două lecții în acest paragraf. Prima lecție examinează probleme în care trebuie să tăiați figurile în bucăți și apoi să demonstrați că figurile sunt compuse în mod egal; în a doua lecție, probleme în care trebuie să utilizați proprietățile zonelor figurilor.

8 Secțiunea 1 1. Probleme pe hârtie în carouri Lecția 1.1 Subiect: Probleme de tăiat pe hârtie în carouri. Scop: Dezvoltarea abilităților combinatorii (să ia în considerare diverse modalități de construire a unei linii de tăiere pentru figuri, regulile care vă permit să nu pierdeți soluții la construirea acestei linii), să dezvoltați idei despre simetrie. Rezolvam probleme la clasa, problema 1.5 pentru casa.Un patrat contine 16 celule. Împărțiți pătratul în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor. (Metodele de tăiere a unui pătrat în două părți vor fi considerate diferite dacă părțile pătratului obținute printr-o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute printr-o altă metodă.) Câte soluții totale are problema? Notă. Găsirea mai multor soluții la această problemă nu este atât de dificilă. În fig. 1 sunt prezentate unele dintre ele, iar soluțiile b) și c) sunt aceleași, deoarece cifrele obținute în ele pot fi combinate prin suprapunere (dacă rotiți pătratul c) cu 90 de grade). Orez. 1 Dar găsirea tuturor soluțiilor și nu pierderea unei singure soluții este deja mai dificilă. Rețineți că linia întreruptă care împarte pătratul în două părți egale este simetrică față de centrul pătratului.Această observație permite pasul

9 Lecție cu pas pentru a desena o polilinie la ambele capete. De exemplu, dacă începutul unei linii întrerupte este în punctul A, atunci sfârșitul acesteia va fi în punctul B (Fig. 2). Asigurați-vă că pentru această problemă începutul și sfârșitul poliliniei pot fi desenate în două moduri, prezentate în Fig. 2. Când construiți o polilinie, pentru a nu pierde nicio soluție, puteți respecta această regulă. Dacă următoarea legătură a unei linii întrerupte poate fi desenată în două moduri, atunci trebuie mai întâi să pregătiți un al doilea desen similar și să efectuați acest pas într-un desen în primul mod, iar în celălalt în al doilea mod (Fig. 3 arată două continuare ale Fig. 2 (a)). Trebuie să faceți același lucru atunci când nu există două, ci trei metode (Fig. 4 arată trei continuare din Fig. 2 (b)). Procedura specificată ajută la găsirea tuturor soluțiilor. Orez. 2 Fig. 3 Fig. Dreptunghiul 3 4 conține 12 celule. Găsiți cinci moduri de a tăia un dreptunghi în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor (metodele de tăiere sunt considerate diferite dacă părțile obținute cu o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute cu altă metodă) A 3 5 dreptunghi conține 15 celule, iar celula centrală a fost eliminată. Găsiți cinci moduri de a tăia figura rămasă

10 10 1. Probleme pe hârtie în carouri tăiate în două părți egale astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor.Pătratul 6 6 este împărțit în 36 de pătrate identice. Găsiți cinci moduri de a tăia un pătrat în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor pătratelor.Problema 1.4 are mai mult de 200 de soluții. Găsiți cel puțin 15 dintre ele. Lecția 1.2 Subiect: Probleme de tăiere pe hârtie în carouri. Scop: Continuarea dezvoltării ideilor despre simetrie, pregătirea pentru tema „Pentamino” (examinarea diferitelor figuri care pot fi construite din cinci celule). Probleme: Este posibil să tăiați un pătrat de 5 5 celule în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor? Justificați-vă răspunsul Împărțiți pătratul 4 4 în patru părți egale, astfel încât linia tăiată să treacă de-a lungul părților laterale ale celulelor. Câte metode diferite de tăiere puteți găsi? 1.8. Împărțiți figura (Fig. 5) în trei părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor. Orez. 5 Fig. 6 Fig. Împărțiți figura (Fig. 6) în patru părți egale, astfel încât linia tăiată să meargă de-a lungul laturilor pătratelor Împărțiți figura (Fig. 7) în patru părți egale, astfel încât liniile tăiate să treacă de-a lungul laturilor pătratele. Găsiți cât mai multe soluții.

Lecția 11 Împărțiți pătratul 5 5 celule cu celula centrală tăiată în patru părți egale. Lecția 1.3 Subiect: Probleme de tăiere pe hârtie în carouri. Scop: Continuați să dezvoltați idei despre simetrie (axială, centrală). Sarcini Tăiați formele prezentate în Fig. 8, în două părți egale de-a lungul liniilor grilei și fiecare parte ar trebui să aibă un cerc. Orez. 8 Fig. Cifrele prezentate în Fig. 9, trebuie să tăiați de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale, astfel încât să existe un cerc în fiecare parte. Cum să o facă? Tăiați figura prezentată în fig. 10, de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale și pliați-le într-un pătrat, astfel încât cercurile și stelele să fie situate simetric față de toate axele de simetrie ale pătratului. Orez. 10

12 12 1. Probleme pe hârtie în carouri Tăiați acest pătrat (Fig. 11) de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate părțile să aibă aceeași dimensiune și formă și astfel încât fiecare să conțină un cerc și un asterisc.Tăiați pătratul 6 6 din carouri. hârtie prezentată în fig. 12, în patru părți identice, astfel încât fiecare dintre ele să conțină trei celule umbrite. Lecția 1.4 Fig. 11 Fig. 12 Subiect: Probleme de tăiere pe hârtie în carouri. Scop: Învață să tai un dreptunghi în două părți egale, din care poți îndoi un pătrat și un alt dreptunghi. Învățați să determinați ce dreptunghiuri pot fi transformate într-un pătrat prin tăierea lor. Probleme Sarcini suplimentare 1.23, 1.24 (aceste probleme pot fi luate în considerare la începutul lecției pentru încălzire) Tăiați un dreptunghi de 4 9 celule pe părțile laterale ale celulelor în două părți egale, astfel încât să poată fi apoi pliate într-un pătrat. Este posibil să tăiați un dreptunghi de 4 8 celule în două părți de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât acestea să poată fi folosite pentru a forma un pătrat? Dintr-un dreptunghi de 107 celule, a fost tăiat un dreptunghi de 16 celule, așa cum se arată în Fig. 13. Tăiați figura rezultată în două părți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat.Figurile umbrite au fost decupate dintr-un dreptunghi de 8 9 celule, așa cum se arată în Fig. 14. Tăiați figura rezultată în două părți egale, astfel încât să le puteți plia într-un dreptunghi de 6 10.

13 Lecția Fig. 13 Fig. Un pătrat care măsoară 5 5 celule este desenat pe hârtie în carouri. Arătați cum să-l tăiați de-a lungul laturilor pătratelor în 7 dreptunghiuri diferite. Tăiați pătratul în 5 dreptunghiuri de-a lungul laturilor pătratelor, astfel încât toate cele zece numere care exprimă lungimile laturilor dreptunghiurilor să fie numere întregi diferite. Împărțiți cifrele afișate în fig. 15, în două părți egale. (Puteți tăia nu numai de-a lungul liniilor celulare, ci și de-a lungul diagonalelor acestora.) Fig. 15

14 14 2. Pentomino Tăiați formele prezentate în Fig. 16, în patru părți egale. 2. Pentamino Fig. 16 Lecția 2.1 Subiect: Pentamino. Scop: Dezvoltarea abilităților combinatorii ale elevilor. Probleme Figurile de domino, trimino, tetromino (un joc cu astfel de figuri se numește Tetris), pentomino sunt formate din două, trei, patru, cinci pătrate astfel încât orice pătrat are o latură comună cu cel puțin un pătrat. Din două pătrate identice puteți face o singură figură de domino (vezi Fig. 17). Figurile trimino pot fi obținute dintr-o singură figură domino prin adăugarea unui alt pătrat în diferite moduri. Veți obține două figuri trimino (Fig. 18). Orez. 17 Fig Faceți tot felul de figuri tetromino (de la cuvântul grecesc „tetra” patru). Câte dintre ele ai primit? (Formele obținute prin rotație sau afișare simetrică de la oricare altele nu sunt considerate noi).

Lecția 15 Faceți toate figurile pentomino posibile (din grecescul „penta” cinci). Câte dintre ele ai primit? 2.3. Realizați figurile prezentate în Fig. 19, din figuri pentomino. Câte soluții are problema pentru fiecare figură? Fig Îndoiți un dreptunghi 3 5 folosind figuri pentomino. Câte soluții diferite poți veni? 2.5. Realizați figurile prezentate în Fig. 20, din figuri pentomino. Orez. 20

16 16 2. Pentamino Lecția 2.2 Subiect: Pentamino. Scop: Dezvoltarea ideilor despre simetrie. Probleme În problema 2.2 am compus toate figurile pentomino posibile. Priviți-le în fig. 21. Fig. 21 Figura 1 are următoarea proprietate. Dacă o tăiați din hârtie și o îndoiți de-a lungul unei linii drepte a (Fig. 22), atunci o parte a figurii va coincide cu cealaltă. Ei spun că figura este simetrică față de axa dreaptă de simetrie. Figura 12 are și o axă de simetrie, chiar și două sunt drepte b și c, dar figura 2 nu are axe de simetrie. Fig Câte axe de simetrie are fiecare figură pentomino? 2.7. Din toate cele 12 figurine pentomino, pliați un dreptunghi. Piesele asimetrice pot fi răsturnate. Îndoiți douăsprezece figuri pentomino într-un dreptunghi 6 10 și astfel încât fiecare element să atingă o parte a acestui dreptunghi.

Lecția 17 Tăiați dreptunghiul prezentat în Fig. 23 (a), de-a lungul liniilor interne în două astfel de părți, din care poate fi pliată o figură cu trei găuri pătrate de dimensiunea unei celule (Fig. 23 (b)). Fig.Din figurile pentomino, îndoiți un pătrat 8 8 cu un pătrat 2 2 decupat în mijloc.Găsiți mai multe soluții.Doisprezece pentominouri sunt plasate într-un dreptunghi.Restabiliți limitele figurilor (Fig. 24) dacă fiecare stea cade. într-un singur pentomino. Orez. 24 Fig. Douăsprezece figuri pentomino sunt plasate într-o cutie 12 10, așa cum se arată în Fig. 25. Încercați să plasați un alt set de pentominoe pe câmpul liber rămas.

18 18 3. Probleme de tăiere dificile 3. Probleme de tăiere dificile Lecția 3.1 Subiect: Probleme pentru tăierea figurilor de forme mai complexe cu limite care sunt arce. Scop: Învățați să decupați forme de forme mai complexe cu margini care sunt arce și să faceți un pătrat din părțile rezultate. Sarcinile din fig. 26 arată 4 cifre. Cu o tăietură, împărțiți fiecare dintre ele în două părți și faceți din ele un pătrat. Hârtia în carouri vă va facilita rezolvarea problemei. Fig. Tăiați pătratul 6 6 în bucăți și puneți-le împreună în formele prezentate în Fig. 27. Fig. 27

Lecția 19 În fig. 28 prezintă o parte din zidul cetăţii. Una dintre pietre are o formă atât de bizară, încât dacă o scoți din perete și o pui în alt mod, peretele va deveni uniform. Desenați această piatră.La ce se va folosi mai multă vopsea: un pătrat sau acest inel neobișnuit (Fig. 29)? Orez. 28 Fig. Tăiați vaza prezentată în Fig. 30, în trei părți, din care puteți plia un romb. Orez. 30 Fig. 31 Fig. 32 Lecția 3.2 Subiect: Sarcini de tăiere mai complexe. Scop: Să exerseze rezolvarea unor probleme de tăiere mai complexe. Rezolvăm probleme la clasă, sarcina 3.12 pentru acasă.Tăiați figura (Fig. 31) cu două tăieturi drepte în bucăți din care puteți plia un pătrat.Tăiați figura prezentată în Fig. Figura 32 în patru părți egale, din care ar putea fi pliat un pătrat. Tăiați litera E prezentată în Fig. 33, în cinci părți și pliați-le într-un pătrat. Nu întoarceți piesele pe spate

20 20 4. Se admite compartimentarea planului. Este posibil să te descurci cu patru piese, dacă permiți piesele să fie răsturnate? 3.9. O cruce alcătuită din cinci pătrate trebuie tăiată în bucăți din care să se facă un pătrat de dimensiune egală cu crucea (adică egală ca suprafață).Se dau două table de șah: una obișnuită, cu 64 de pătrate, iar altul cu 36 de pătrate. Este necesar să tăiați fiecare dintre ele în două părți, astfel încât din toate cele patru părți rezultate să se facă o nouă tablă de șah de celule.Ebanistul are o bucată de tablă de șah de 7 7 celule din mahon prețios. El dorește, fără a pierde material și efectuând Fig. 33 de tăieturi numai de-a lungul marginilor pătratelor, s-au tăiat tabla în 6 părți, astfel încât să se facă trei pătrate noi din ele, toate de diferite dimensiuni. Cum să o facă? Este posibil să se rezolve problema 3.11 dacă numărul de părți este 5 și lungimea totală a tăierilor este de 17? 4. Partiționarea unui plan Lecția 4.1 Subiect: Partiții solide ale dreptunghiurilor. Scop: Învățați să construiți diviziuni continue de dreptunghiuri cu plăci dreptunghiulare. Răspundeți la întrebarea în ce condiții un dreptunghi permite o astfel de împărțire a planului. Problemele (a) se rezolvă la clasă. Problemele 4.5 (b), 4.6, 4.7 pot fi lăsate acasă. Să presupunem că avem o cantitate nelimitată de plăci dreptunghiulare de dimensiunea 2 1 și dorim să așezăm o podea dreptunghiulară cu ele, fără a se suprapune două plăci. Așezați 2 1 plăci pe podea într-o cameră de 5 6. Este clar că dacă podeaua dintr-o încăpere dreptunghiulară p q este așezată cu gresie 2 1, atunci p q este pară (deoarece aria este divizibilă cu 2). Și invers: dacă p q este uniform, atunci podeaua poate fi așezată cu 2 1 plăci.

Lecția 21 Într-adevăr, în acest caz, unul dintre numerele p sau q trebuie să fie par. Dacă, de exemplu, p = 2r, atunci podeaua poate fi așezată așa cum se arată în Fig. 34. Dar în astfel de parchete există linii de rupere care traversează întreaga „camera” de la perete la perete, dar nu traversează plăcile. Dar, în practică, se folosesc parchete fără astfel de linii - parchete solide. Fig Aranjați gresie 2 1 parchet continuu al camerei Încercați să găsiți o împărțire continuă în plăci 2 1 a) dreptunghi 4 6; b) pătrat Aranjați gresie 2 1 parchet masiv a) încăperi 5 8; b) încăperi 6 8. Se pune firesc întrebarea: pentru ce p și q dreptunghiul p q admite o despărțire continuă în plăci 2 1? Cunoaștem deja condițiile necesare: 1) p q este divizibil cu 2, 2) (p, q) (6, 6) și (p, q) (4, 6). De asemenea, puteți verifica încă o condiție: 3) p 5, q 5. Se dovedește că și aceste trei condiții sunt suficiente. Placi de alte dimensiuni Așezați plăcile 3 2 fără pauze: a) dreptunghi 11 18; b) dreptunghi Întindeți pătratul în plăci fără pauze, dacă este posibil Este posibil, luând un pătrat de hârtie în carouri de 5 5 celule, să decupați 1 celulă din el, astfel încât partea rămasă să poată fi tăiată în plăci de 1 3 celule? Lecția 4.2 Subiect: Parchete.

22 22 4. Împărțirea planului Scop: Învățați să acoperiți avionul cu diverse figuri (iar parchetul poate fi cu linii de rupere sau pline), sau dovediți că acest lucru este imposibil. Probleme Una dintre cele mai importante întrebări din teoria împărțirii plane este: „Ce formă ar trebui să aibă o țiglă, astfel încât copiile sale să poată acoperi planul fără goluri sau acoperiri duble?” Imediat îmi vin în minte destul de multe forme evidente. Se poate dovedi că există doar trei poligoane regulate care pot acoperi un plan. Acestea sunt un triunghi echilateral, un pătrat și un hexagon (vezi Fig. 35). Există un număr infinit de poligoane neregulate care pot fi folosite pentru a acoperi un plan. Fig Împărțiți un triunghi obtuz arbitrar în patru triunghiuri egale și similare. În problema 4.8 împărțim triunghiul în patru triunghiuri egale și similare. Fiecare dintre cele patru triunghiuri rezultate poate fi împărțit, la rândul său, în patru triunghiuri egale și similare etc. Dacă vă deplasați în direcția opusă, adică adăugați patru triunghiuri obtuse egale, astfel încât să obțineți un triunghi similar cu ele, dar de patru ori mai mare. în zonă etc., atunci planul poate fi placat cu astfel de triunghiuri. Planul poate fi acoperit cu alte figuri, de exemplu, trapeze, paralelograme. Acoperiți planul cu aceleași figuri prezentate în Fig. 36.

23 Lecția Plasează planul cu aceleași „paranteze” prezentate în Fig. 37. Fig. 36 Fig. Sunt patru pătrate cu latura 1, opt cu latura 2, douăsprezece cu latura 3. Este posibil să le împăturiți într-un pătrat mare? Este posibil să se facă un pătrat de orice dimensiune din plăcile de lemn prezentate în Fig. 38 de tipuri care folosesc ambele tipuri de plăci? Lecția 4.3 Subiect: Probleme legate de cea mai densă ambalare. Orez. 38 Scop: Formarea unui concept de soluție optimă. Probleme Care este cel mai mare număr de benzi care măsoară 1 5 celule care pot fi tăiate dintr-un pătrat de hârtie în carouri de 8 8 celule? Meșterul are o foaie de tablă de dimensiunea de mp. dm. Maestrul dorește să decupeze cât mai multe semifabricate dreptunghiulare de 3-5 metri pătrați din el. dm. Ajută-l.Este posibil să tăiați un dreptunghi de celulă fără a lăsa reziduuri în dreptunghiuri de 5 7? Dacă se poate, cum? Dacă nu, de ce nu? Pe o foaie de hârtie în carouri cu dimensiunile celulelor, marcați tăieturile, cu ajutorul cărora puteți obține cât mai multe figuri întregi, prezentate în Fig. 39. Cifrele prezentate în Fig. 39 (b, d), poate fi răsturnat.

24 24 5. Tangram Fig Tangram Lecția 5.1 Subiect: Tangram. Scop: Introducerea elevilor în puzzle-ul chinezesc „Tangram”. Practicați cercetarea și designul geometric. Dezvoltați abilitățile combinatorii. Sarcini Vorbind despre sarcinile de tăiere, nu putem să nu menționăm puzzle-ul antic chinezesc „Tangram”, care a apărut în China acum 4 mii de ani. În China se numește chi tao tu, sau un puzzle mental din șapte piese. Instrucțiuni. Pentru a desfășura această lecție, este recomandabil să aveți fișe: un puzzle (pe care școlarii îl pot realiza singuri), desene ale figurilor care vor trebui să fie pliate. Fig. Faceți singur puzzle-ul: transferați un pătrat împărțit în șapte părți (Fig. 40) pe hârtie groasă și tăiați-l. Folosind toate cele șapte părți ale puzzle-ului, faceți figurile prezentate în Fig. 41.

25 Lecția Fig. 41 Fig. 42 Recomandări metodologice. Copiilor li se pot oferi desene în mărime naturală ale figurilor a), b) Și, prin urmare, elevul poate rezolva problema suprapunând părți de puzzle pe desenul figurii și selectând astfel părțile necesare, ceea ce simplifică sarcina. Și desene cu figuri

26 26 6. Probleme la tăierea în spaţiu c), d) pot fi date la o scară mai mică; prin urmare, aceste probleme vor fi mai greu de rezolvat. În fig. Mai sunt date 42 de figuri pentru a vă compune singur. Încercați să creați propria dvs. figură folosind toate cele șapte părți ale tangramului. În tangramă, printre cele șapte părți ale sale există deja triunghiuri de diferite dimensiuni. Dar din părțile sale puteți adăuga în continuare diferite triunghiuri. Îndoiți un triunghi folosind cele patru părți ale unui tangram: a) un triunghi mare, două triunghiuri mici și un pătrat; b) un triunghi mare, două triunghiuri mici și un paralelogram; c) un triunghi mare, un triunghi mediu și două triunghiuri mici.Este posibil să se facă un triunghi folosind doar două părți tangram? Trei părți? Cinci părți? Șase părți? Toate cele șapte părți ale tangramului? 5.6. Evident, toate cele șapte părți ale tangramului formează un pătrat. Este posibil sau nu să faci un pătrat din două părți? Dintre cei trei? Din patru? 5.7. Care sunt diferitele părți ale unui tangram care pot fi folosite pentru a face un dreptunghi? Ce alte poligoane convexe pot fi făcute? 6. Probleme pentru tăierea în spațiu Lecția 6.1 Tema: Probleme pentru tăierea în spațiu. Scop: Dezvoltarea imaginației spațiale. Învață să construiești evoluții ale unei piramide triunghiulare, ale unui cub și să stabilești care evoluții sunt incorecte. Exersați rezolvarea problemelor de tăiere a corpurilor în spațiu (rezolvarea unor astfel de probleme diferă de rezolvarea problemelor de tăiere a figurilor pe un plan). Probleme Buratino avea hârtie acoperită cu polietilenă pe o parte. El a realizat semifabricatul prezentat în Fig. 43 pentru a lipi pungi de lapte (piramide triunghiulare) din el. Iar Alice vulpea poate face un alt preparat. Care?

27 Lecția Orez Pisica Basilio a primit și o hârtie de genul asta, dar vrea să lipească cuburi (pungi de chefir). El a realizat semifabricatele prezentate în Fig. 44. Și Alice vulpea spune că unele pot fi aruncate imediat, pentru că nu sunt bune. Are dreptate? Fig Piramida lui Keops are un pătrat la bază, iar fețele sale laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Pinocchio a urcat și a măsurat unghiul feței în partea de sus (AMD, în Fig. 45). S-a dovedit a fi 100. Și vulpea Alice spune că s-a supraîncălzit la soare, pentru că asta nu poate fi. Are dreptate? 6.4. Care este numărul minim de tăieturi plate necesare pentru a împărți cubul în 64 de cuburi mici? După fiecare tăiere, ai voie să rearanjezi părți ale cubului după cum dorești.Cubul de lemn a fost vopsit la exterior cu vopsea albă, apoi fiecare dintre marginile acestuia Fig. 45 au fost împărțite în 5 părți egale, după care au fost tăiate astfel încât să se obțină cuburi mici, a căror margine era de 5 ori mai mică decât cea a cubului original. Câte cuburi mici ai primit? Câte cuburi au trei laturi colorate? Două părți? O margine? Câte cuburi necolorate au rămas? 6.6. Pepenele verde a fost tăiat în 4 părți și mâncat. Au rezultat 5 cruste. Ar putea fi posibil acest lucru?

28 28 7. Sarcini de colorat 6.7. Care este cel mai mare număr de bucăți în care poate fi tăiată o clătită folosind trei tăieturi drepte? Câte bucăți poți obține din trei bucăți de pâine? 7. Probleme de colorat Lecția 7.1 Subiect: Colorarea ajută la rezolvarea problemelor. Scop: Învățați să demonstrați că unele probleme de tăiere nu au soluții folosind o colorare bine aleasă (de exemplu, colorarea în șah), îmbunătățind astfel cultura logică a elevilor. Probleme Nu este greu de demonstrat că soluția la problema tăierii unei figuri în părți este posibilă: este suficient să oferiți o metodă de tăiere. Găsirea tuturor soluțiilor, adică a tuturor metodelor de tăiere, este deja mai dificilă. Și a demonstra că tăierea este imposibilă este, de asemenea, destul de dificilă. În unele cazuri, colorarea figurii ne ajută să facem acest lucru.Am luat un pătrat de hârtie în carouri de 8 × 8 și am tăiat două pătrate din el (stânga jos și dreapta sus). Este posibil să acoperiți complet figura rezultată cu dreptunghiuri „domino” 1 2? 7.2. Există o piesă de cămilă pe tabla de șah, care cu fiecare mișcare se mișcă trei pătrate pe verticală și una pe orizontală, sau trei pe orizontală și una pe verticală. Poate o „cămilă”, după ce a făcut mai multe mișcări, să intre într-o celulă adiacentă celei originale din lateral? 7.3. Un gândac stă în fiecare celulă a unui pătrat de 5 5. La comandă, fiecare gândac s-a târât până la una dintre celulele adiacente laterale. S-ar putea ca după aceasta să fie din nou exact un gândac în fiecare celulă? Ce se întâmplă dacă pătratul original ar avea dimensiuni 6 6? 7.4. Este posibil să tăiați un pătrat de hârtie tartan 4 pe 4 într-un singur piedestal, un pătrat, un stâlp și un zig-zag (Fig. 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscova, 2002 UDC 514.11 BBK 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme de tăiere. M.: MTsNMO, 2002. 120 p.: ill. Seria: „Secretele predării matematicii”. Acest

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Iașcenko CE TREBUIE A FI GEOMETRIA VISUALĂ ÎN CLASELE 5-6 Rezultatele examenului de stat și ale examenului de stat unificat la matematică arată că principala problemă a pregătirii geometrice a elevilor este asociată cu insuficienta

Probleme pe rețele V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov 1 Bazele rețelei 1. O pereche de vectori a = me 1 + ne 2 și b = ke 1 + le 2, unde m, n, k, l sunt numere întregi, atunci și numai atunci generează aceeași rețea,

I. V. Yakovlev Materiale de matematică MathUs.ru Tăiere Figurile geometrice se numesc egale dacă pot fi suprapuse una peste alta, astfel încât să coincidă complet. 1. Tăiați fiecare formă în

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRIE Un manual de pregătire pentru GIA Probleme pentru alegerea enunțurilor corecte 2015 1 INTRODUCERE Acest manual este destinat pregătirii pentru rezolvarea problemelor geometrice ale examenului de stat la matematică.

Testul 448 Unghiuri verticale 1. Dacă unghiurile nu sunt verticale, atunci ele nu sunt egale. 2. Unghiurile egale sunt unghiuri verticale numai dacă sunt simetrice central. 3. Dacă unghiurile sunt egale şi unirea lor are

I. V. Yakovlev Materiale de matematică MathUs.ru Exemple și construcții 1. (Vseross., 2018, ШЭ, 5.2) Fata a înlocuit fiecare literă din numele ei cu numărul ei din alfabetul rus. Numărul rezultat este 2011533.

PRELEȚIA 24 GRAFURI PLANE 1. Formula lui Euler pentru graficele plane Definiția 44: Un grafic plan este o imagine a unui grafic pe un plan fără auto-intersecții. Notă: Un grafic nu este același lucru cu unul plan.

Învățământ secundar (complet) general M.I.Bașmakov Matematică clasa a XI-a Culegere de probleme ediția a III-a UDC 372.851 (075.3) BBK 22.1ya721 B336 Bashmakov M. I. B336 Matematică. Clasa a 11a. Culegere de probleme: medie (complet)

V.A. Smirnov 1. Recunoașterea figurilor 1. Care poliedru se numește cub? 2. Câte vârfuri, muchii, fețe are un cub? 3. Desenați un cub pe hârtie în carouri. 4. Care poliedru se numește paralelipiped?

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURI ÎN SPAȚIU Un manual pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat 2013 INTRODUCERE Acest manual este destinat să pregătească pentru rezolvarea problemelor geometrice ale examenului de stat unificat la matematică. Scopurile sale sunt:

1 învață să folosească limbajul geometric și simbolismul geometric pentru a descrie obiecte din lumea înconjurătoare; efectuează raționamente și justificare simplă în procesul de rezolvare a problemelor prevăzute

MATEMATICĂ clasele 5.1-5.3 (profil tehnologic) Bancă de sarcini modulul „Geometrie” „Triunghiuri și patrulatere. Linii drepte și cercuri. Simetrie. Poliedre" Informații teoretice de bază necesare

Teme pentru cel de-al treilea turneu deschis al tinerilor matematicieni din orașul Minsk 2016 (liga juniori, clasele 5-7) 10-12 martie 2016 Cereri preliminare indicând instituția de învățământ, directorul, numărul său de telefon

Instituția de învățământ preșcolar bugetar municipal „Grădinița 30” a raionului central Barnaul MATERIAL DE CONSULTARE ȘI RECOMANDARE PENTRU PROFESORI pe tema: „Prezentarea copiilor preșcolari

1 Regula extremelor Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Să luăm în considerare mai întâi următoarele trei probleme: Sarcina1. Pe o foaie infinită de hârtie în carouri, în fiecare celulă este scris un anumit număr natural. Este cunoscut

Cunoașterea este cea mai excelentă dintre posesiuni. Toată lumea se străduiește pentru asta; nu vine de la sine. Abu-r-Raikhan al-buruni „Conceptul ariei unui poligon” Geometrie gradul 8 1 CARACTERISTICILE POLINOMILOR Linie întreruptă închisă,

Notă explicativă 1. Caracteristicile generale ale cursului Acest program este întocmit în conformitate cu cerințele Standardului educațional de stat federal pentru educația generală de bază și este destinat

Clasa de master „Geometrie și stereometrie la examenul de stat unificat la matematică, partea 1. octombrie 2017. Pentru a rezolva probleme, aveți nevoie de cunoștințe despre figurile geometrice și proprietățile acestora, calculul ariilor figurilor plane, volumelor

Instituția de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială 2” Anexa 3.20. Program de lucru pentru cursul „Geometrie vizuală” clasele 5-6 Dezvoltatori: Ovchinnikova N.V.,

Subiectul 1. Paritatea 1. Pe masă sunt 13 roți dințate conectate într-un lanț închis. Se pot roti toate treptele în același timp? 2. Poate o linie dreaptă care nu conține vârfurile unei linii întrerupte cu 13 linkuri închise

Analiza sarcinilor din partea a treia a sarcinilor 1 2 Școala electronică Znika Analiza sarcinilor din partea a treia a sarcinilor Clasa 4 6 7 8 9 10 A B A B D Sarcina 6 În interiorul tunelului, există puncte de control la fiecare 10 m.

A IX-a sesiune de limba rusă „Tânăr matematician”. Centrul pentru copii din toată Rusia „Orlyonok” VI Turneu de Jocuri Matematice. Joc matematic „Duel”. Liga de juniori. Soluții. 08 septembrie 2013 1. Cele două grupe au același număr de elevi

Probleme distractive cu cuburi Sarcina 1. Numerotați cele 8 vârfuri ale cubului cu numere de serie (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) astfel încât suma numerelor de pe fiecare dintre cele șase fețe ale sale să fie aceeași (Fig. 1a).

Bancă de sarcini la matematică clasa a VI-a „Poligoane și poliedre” 1. Un poliedru este o suprafață închisă compusă din: paralelograme, poligoane și triunghiuri, poligoane, poligoane

COMITETUL DE STAT AL FEDERAȚIA RUSĂ PENTRU ÎNVĂȚĂMUL SUPERIOR UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK Școala prin corespondență DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ PROIECTARE PARALELĂ Clasa 0, sarcina 3. Novosibirsk

Programul de lucru al disciplinei de învățământ „Lumea semnelor și numerelor” clasa a V-a 1. Rezultatele planificate ale însușirii disciplinei educaționale „Lumea semnelor și numerelor” stăpânirea limbajului geometric, folosirea acestuia pentru descriere

Lecție extracurriculară de geometrie vizuală în clasa a VII-a. Tema: „Geometria foarfecelor. Probleme pentru tăierea și plierea formelor"

LOR. SMIRNOVA, V.A. SMIRNOV GEOMETRIA PE HÂRTIE VERFATĂ Manual pentru instituțiile de învățământ Moscova 2009 PREFAȚĂ Manualul propus conține cincizeci și șase de probleme pentru construirea și

CAIET DE LUCRU 2 TRANSFORMĂRI 1 Conceptul de transformare Exemplul 1. Transformarea cercurilor concentrice unele în altele. Cercul c 1 este transformat într-un cerc concentric c 2 după cum se arată

Intensiv de fizică și matematică de toamnă „100 de ore” POLIMINO Jocuri și puzzle-uri cu figuri în carouri Khozin Mikhail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 octombrie 2 noiembrie 2016 CE ESTE POLYMINO? Toată lumea știe domino

7 figuri sunt desenate cu puncte așa cum se arată în imaginile de mai jos. C A G B F Arată cum se realizează figurile din imaginile de mai jos din aceste elemente D E A) (punctul 0 puncte) B) (punctul 0 puncte) C) (3 puncte)

Examenul Unificat de Stat 2010. Matematică. Problema B9. Caiet de lucru Smirnov V.A. (editat de A.L. Semenov și I.V. Yashchenko) M.: Editura MTsNMO; 2010, 48 pagini.Caiet de lucru la matematică din seria „Examenul de stat unificat 2010. Matematică”

1) IDm2014_006 răspunsuri din runda de concurs 2) Liderul echipei Olga Sergeevna Poyarkova 3) Director tehnic (coordonator) nr 4) URL-ul paginii web cu răspunsurile din runda de concurs (dacă există) nu 5) Tabel

10.1 (profil tehnologic), 10.2 (nivel de profil) Anul universitar 2018-2019 Bancă aproximativă de sarcini pentru pregătirea pentru testarea la matematică, secțiunea „Geometrie” (manual Atanasyan L.S., nivel de profil)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Poliedre regulate, semiregulate și stelate Editura Moscova MTsNMO 010 UDC 514.11 BBK.151.0 C50 Cuprins C50 Smirnova I. M., Smirnov V. A. Regular, semiregulat

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK CENTRUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT SPECIALIZAT ȘI CERCETARE Clasa la matematică 0 PROIECTARE PARALEL Novosibirsk I. Design

Anul școlar 2016 2017 Clasa a V-a 51 Aranjați 2 2 2 2 2 paranteze și semne de acțiune în înregistrări astfel încât să rezulte 24 52 Anya minte marțea, miercurea și joia și spune adevărul în toate celelalte zile ale săptămânii

Tema 16. Poliedre 1. Prisma și elementele sale: O prismă este un poliedru, ale cărui fețe sunt poligoane egale situate în plane paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme.

Geometria înaintea geometriei. PDA, Geometrie, a treia lecție (Maksimov D.V.) 28 iunie 2017 Geometrie vizuală Un cub 3x3x3 este format din 13 cuburi albe și 14 cuburi întunecate. Care poză îl arată? Prezentat mai jos

Clasa a VII-a 7.1. S-ar putea dovedi că această problemă va fi rezolvată corect de 1000 de participanți la olimpiade, iar printre aceștia vor fi cu 43 de băieți mai mulți decât fete? 7.2. Lada și Lera și-au dorit un număr natural. Dacă

Comitetul Administrației Districtului Zmeinogorsk al Teritoriului Altai pentru Educație și Tineret Instituția de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială cu Avansat Zmeinogorsk

Examen de admitere la Școala de Matematică Seara de la Facultatea de Matematică Computațională și Matematică a Universității de Stat din Moscova M.V. Lomonosov (29 septembrie 2018) clasele 8-9 1. Echipele „Matematicieni”, „Fizică” și „Programatori” au jucat fotbal

Instituția de învățământ bugetară municipală a orașului Abakan „Școala Gimnazială 11” PROGRAM de activități extrașcolare ale cercului „Tânăr Matematician” pentru clasele 1-4 Program de activități extracurriculare

Subiectul I. Problema de paritate 1. Un tabel pătrat de 25 25 este colorat în 25 de culori, astfel încât toate culorile să fie reprezentate în fiecare rând și fiecare coloană. Demonstrați că dacă aranjarea culorilor este simetrică față de

1. Seturi. Operații pe mulțimi 1. Este adevărat că pentru orice mulțimi A, B este valabilă egalitatea A \ (A \ B) A B? 2. Este adevărat că pentru orice mulțimi A, B este valabilă egalitatea (A \ B) (B \ A)?

Cod secțiune Cerințe (deprinderi) testate pe sarcini ale lucrării finale Banc deschis de sarcini la disciplina „Matematică” pentru elevii clasei a IV-a Sarcini 4. RELAȚII SPATIALE. GEOMETRIC

Imaginea poliedrelor Imaginea unei figuri este considerată o figură similară cu proiecția ei pe un anumit plan. Este selectată o imagine care oferă o idee corectă a formei figurii, este

Probleme pentru clasa a 5-a Site-ul de matematică elementară de Dmitry Gushchin www.mathnet.spb.ru într-o casetă 5. Cine va câștiga dacă joacă cel mai bine? 2. În pătrat se trasează 5 5 linii împărțindu-l în

Departamentul de Educație al Administrației Districtului Krasnogvardeisky Instituția de învățământ municipală „Școala Gimnazială Kalinovskaya” Aprobat de: Directorul MBOU „Școala Gimnazială Kalinovskaya” Belousova

A douăsprezecea olimpiada rusă de geometrie numită după. I. F. Sharygina A XIV-a Olimpiada orală de geometrie Moscova, 17 aprilie 2016 Soluții la probleme 8 9 clasa 1. (A. Blinkov) Într-un hexagon, egal

Sarcini G -11.5.16. Latura S = P principal. * Formula H pentru găsirea suprafeței laterale a unei prisme Г -11.5.17. Latura S = 1 P principal. * formula h pentru găsirea suprafeței laterale 2 a unei piramide 6. Probleme diverse G-10.6.1.

VIII turneu echipă-personal „Matematical all-around” 2 7 noiembrie 2015, Moscova Geometrie (soluții) Junior League 1. Dat un cerc și coarda acestuia. Tangentele sunt trase la cercul de la capetele coardei

1. Desenați o figură pe hârtie în carouri. Împărțiți-l în 4 egale
piese de-a lungul liniilor de hârtie în carouri. Găsiți toate cifrele posibile pentru care
puteți tăia această cifră în funcție de condițiile problemei.
Soluţie.
2. O celulă centrală a fost tăiată dintr-un pătrat de 5 5. Tăiați rezultatul
formați în două părți egale în două moduri.
Soluţie.

3. Împărțiți dreptunghiul 3×4 în două părți egale. Găsiți cât mai mult posibil
mai multe moduri. Puteți tăia doar de-a lungul laturii unui pătrat de 1 × 1 și metode
sunt considerate diferite dacă cifrele rezultate nu sunt egale pentru fiecare
cale.
Soluţie.
4. Tăiați figura prezentată în figură în 2 părți egale.
Soluţie.
5. Tăiați figura prezentată în figură în 2 părți egale.

Soluţie.
6. Tăiați figura prezentată în figură în două părți egale de-a lungul
linii de grilă și ar trebui să existe un cerc în fiecare parte.
Soluţie.
7. Tăiați figura prezentată în figură în patru părți egale

Soluţie.

8. Tăiați figura prezentată în figură în patru părți egale
de-a lungul liniilor grilei și ar trebui să existe un cerc în fiecare parte.
Soluţie.
9. Tăiați acest pătrat de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate părțile
să fie de aceeași dimensiune și formă și fiecare conținând câte unul
cană și cruce.
Soluţie.

10. Tăiați figura prezentată în figură de-a lungul liniilor grilei în
patru părți egale și pliați-le într-un pătrat astfel încât cercurile și crucile
situat simetric fata de toate axele de simetrie ale patratului.
Soluţie.
11. Tăiați pătratul 6 6 prezentat în figură în patru
părți identice astfel încât fiecare dintre ele să conțină trei celule umbrite.

Soluţie.
12. Este posibil să tăiați un pătrat în patru părți, astfel încât fiecare parte
a fost în contact cu celelalte trei (părțile sunt în contact dacă au un comun
secțiunea de frontieră)?
Soluţie.
13. Este posibil să tăiați un dreptunghi de 9 4 celule în două părți egale de-a lungul

atunci cum sa fac asta?
Soluție. Aria unui astfel de pătrat este de 36 de celule, adică latura sa este de 6
celule. Metoda de tăiere este prezentată în figură.

14. Este posibil să tăiați un dreptunghi de 5 10 celule în două părți egale de-a lungul
laturile celulelor astfel încât acestea să poată fi formate într-un pătrat? Daca da,
atunci cum sa fac asta?
Soluție Aria unui astfel de pătrat este de 50 de celule, adică latura sa este
mai mult de 7, dar mai puțin de 8 celule întregi. Deci, tăiați un astfel de dreptunghi
în modul cerut pe părţile laterale ale celulelor este imposibil.
15. Erau 9 coli de hârtie. Unele dintre ele au fost tăiate în trei părți. Total
devenit 15 foi. Câte coli de hârtie ai tăiat?
Rezolvare.Tăiem 3 foi: 3 ∙ 3 + 6 = 15.