Ecuații diferențiale de ordin superior cu coeficienți constanți. Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior

Adesea doar o mențiune ecuatii diferentialeîi face pe elevi să se simtă inconfortabil. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele de bază ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul suplimentar al difursului devine pur și simplu tortură. Nu este clar ce să faci, cum să decizi, de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că difururile nu sunt atât de dificile pe cât pare.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

Din școală știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă X trebuie să găsiți o funcție în ele y(x) , care va transforma ecuația într-o identitate.

D ecuatii diferentiale sunt de mare importanță practică. Aceasta nu este o matematică abstractă care nu are nicio legătură cu lumea din jurul nostru. Multe procese naturale reale sunt descrise folosind ecuații diferențiale. De exemplu, vibrațiile unei coarde, mișcarea unui oscilator armonic, folosind ecuații diferențiale în probleme de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) este o ecuație care conține derivate ale funcției y(x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o transformă într-o identitate. Există soluții generale și particulare ale telecomenzii.

O soluție generală a unei ecuații diferențiale este un set general de soluții care transformă ecuația într-o identitate. O soluție parțială a unei ecuații diferențiale este o soluție care îndeplinește condiții suplimentare specificate inițial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor sale.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Să considerăm cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

O astfel de ecuație poate fi rezolvată prin simpla integrare a părții sale din dreapta.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații separabile

În general, acest tip de ecuație arată astfel:

Iată un exemplu:

Când rezolvați o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceasta, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații arată astfel:

Aici p(x) și q(x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y=y(x) este funcția dorită. Iată un exemplu de astfel de ecuație:

Atunci când rezolvă o astfel de ecuație, cel mai adesea ei folosesc metoda varierii unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită ca produs al altor două funcții y(x)=u(x)v(x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le luați „dintr-o privire”.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale cu variabile separabile

Așa că ne-am uitat la cele mai simple tipuri de telecomandă. Acum să ne uităm la soluția pentru una dintre ele. Fie aceasta o ecuație cu variabile separabile.

Mai întâi, să rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi împărțim variabilele, adică într-o parte a ecuației colectăm toate „I-urile”, iar în cealaltă - „X-urile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem o solutie generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să poți înțelege ce tip de ecuație este și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie făcute cu ea pentru a duce la o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și pentru a reuși să rezolvi DE, ai nevoie de practică (ca în toate). Și dacă în prezent nu aveți timp să înțelegeți cum sunt rezolvate ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy s-a blocat ca un os în gât, sau nu știți, contactați autorii noștri. În scurt timp, vă vom oferi o soluție gata făcută și detaliată, ale cărei detalii le puteți înțelege în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”:

Teoria calculului ecuații diferențiale neomogene(DU) nu va fi dat în această publicație; din lecțiile anterioare puteți găsi suficiente informații pentru a găsi răspunsul la întrebare "Cum se rezolvă o ecuație diferențială neomogenă?" Gradul DE neomogen nu joacă un rol important aici; nu există multe metode care să permită calcularea soluției unor astfel de DE. Pentru a vă facilita citirea răspunsurilor din exemple, accentul principal este pus doar pe metoda de calcul și sfaturi care vor facilita derivarea funcției finale.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația diferențială
Soluție: dat ecuație diferențială omogenă de ordinul trei, Mai mult, conține doar derivata a doua și a treia și nu are o funcție și derivata sa prima. În astfel de cazuri aplica metoda reducerii gradului ecuație diferențială. Pentru a face acest lucru, introduceți un parametru - să notăm derivata a doua prin parametrul p

atunci derivata a treia a functiei este egala cu

DE omogen original va fi simplificat la forma

O scriem în diferențe, atunci reduce la o ecuație de variabilă separatăși găsiți soluția prin integrare

Rețineți că parametrul este derivata a doua a funcției

prin urmare, pentru a găsi formula funcției în sine, integrăm de două ori dependența diferențială găsită

În funcție, valorile C 1 , C 2 , C 3 sunt egale cu valori arbitrare.
Iată cât de simplă arată schema: găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene prin introducerea unui parametru. Următoarele probleme sunt mai complexe și din ele veți învăța să rezolvați ecuații diferențiale neomogene de ordinul trei. Există o oarecare diferență între sistemele de control omogene și eterogene în ceea ce privește calculele, așa cum veți vedea acum.

Exemplul 2. Găsi
Soluție: Avem a treia comandă. Prin urmare, soluția sa ar trebui căutată sub forma unei sume de doi - o soluție la o ecuație omogenă și o soluție specială la o ecuație neomogenă

Să decidem mai întâi

După cum puteți vedea, conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției și nu conține funcția în sine. Acest fel dif. ecuațiile se rezolvă prin introducerea unui parametru, care în la rândul său, reduce și simplifică găsirea unei soluții la ecuație. În practică, arată astfel: fie derivata a doua să fie egală cu o anumită funcție, atunci derivata a treia va avea în mod formal notația

Ecuația diferențială omogenă considerată de ordinul 3 este transformată în ecuația de ordinul întâi

de unde, împărțind variabilele, găsim integrala
x*dp-p*dx=0;

Vă recomandăm numerotarea formulelor în astfel de probleme, deoarece soluția unei ecuații diferențiale de ordinul 3 are 3 constante, un ordin al patrulea are 4 constante și așa mai departe prin analogie. Acum revenim la parametrul introdus: deoarece derivata a doua are forma, atunci integrând-o odată ce avem o dependență pentru derivata funcției

iar prin integrare repetată găsim forma generala a unei functii omogene

Rezolvarea parțială a ecuației Să o scriem ca o variabilă înmulțită cu un logaritm. Aceasta rezultă din faptul că partea dreaptă (neomogenă) a DE este egală cu -1/x și pentru a obține o notație echivalentă

soluţia trebuie căutată în formă

Să găsim coeficientul A, pentru aceasta calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea

Să substituim expresiile găsite în ecuația diferențială originală și să echivalăm coeficienții la aceleași puteri ale lui x:

Valoarea oțelului este egală cu -1/2 și are forma

Soluție generală a unei ecuații diferențiale notează-l ca sumă a celor găsite

unde C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare care pot fi rafinate folosind problema Cauchy.

Exemplul 3. Aflați integrala de ordinul trei DE
Rezolvare: Căutăm integrala generală a unei ecuații diferențiale neomogene de ordinul trei sub forma sumei soluțiilor unei ecuații neomogene omogene și parțiale. În primul rând, pentru orice tip de ecuație începem analiza ecuația diferențială omogenă

Conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției necunoscute în prezent. Introducem o modificare de variabile (parametru): notăm cu derivata a doua

Atunci a treia derivată este egală cu

Aceleași transformări au fost efectuate în sarcina anterioară. Asta permite reduceți o ecuație diferențială de ordinul trei la o ecuație de ordinul întâi de forma

Prin integrare găsim

Reamintim că, în conformitate cu schimbarea variabilelor, aceasta este doar derivata a doua

și pentru a găsi o soluție la o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei, aceasta trebuie integrată de două ori

Pe baza tipului părții drepte (partea neuniformă =x+1), Căutăm o soluție parțială a ecuației în formă

Cum să știi sub ce formă să cauți o soluție parțială Ar fi trebuit să fii predat în partea teoretică a cursului despre ecuații diferențiale. Dacă nu, atunci putem doar sugera să fie aleasă o expresie pentru funcție astfel încât, atunci când se înlocuiește în ecuație, termenul care conține cea mai mare derivată sau mai tânără să fie de același ordin (similar) cu partea neomogenă a ecuației

Cred că acum îți este mai clar de unde provine tipul de soluție privată. Să găsim coeficienții A, B, pentru aceasta calculăm derivatele a doua și a treia ale funcției

și înlocuiți-l în ecuația diferențială. După gruparea termenilor similari, obținem ecuația liniară

din care, pentru aceleaşi puteri ale variabilei alcătuiește un sistem de ecuații

și găsiți oțeluri necunoscute. După înlocuirea lor, se exprimă prin dependență

Soluție generală a unei ecuații diferențiale este egală cu suma omogene și parțiale și are forma

unde C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare.

Exemplul 4. P rezolva ecuatia diferentiala
Soluție: Avem o soluție pe care o vom găsi prin suma . Cunoașteți schema de calcul, așa că haideți să luăm în considerare ecuație diferențială omogenă

Conform metodei standard introduceți parametrul
Ecuația diferențială inițială va lua forma, de unde, împărțind variabilele, găsim

Rețineți că parametrul este egal cu derivata a doua
Prin integrarea DE obținem derivata întâi a funcției

Prin integrare repetată găsiți integrala generală a unei ecuații diferențiale omogene

Căutăm o soluție parțială a ecuației în formă, deoarece partea dreaptă este egală
Să găsim coeficientul A - pentru a face acest lucru, înlocuiți y* în ecuația diferențială și egalăm coeficientul la aceleași puteri ale variabilei

După înlocuirea și gruparea termenilor obținem dependența

din care otel este egal cu A=8/3.
Astfel, putem scrie rezolvare parțială a DE

Soluție generală a unei ecuații diferențiale egală cu suma celor găsite

unde C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare. Dacă este dată condiția Cauchy, atunci le putem defini foarte ușor.

Cred că materialul vă va fi de folos atunci când vă pregătiți pentru orele practice, module sau teste. Problema Cauchy nu a fost discutată aici, dar din lecțiile anterioare știi în general cum să o faci.

Ecuații diferențiale de ordin superior

Terminologia de bază a ecuațiilor diferențiale de ordin superior (DEHE).

O ecuație de forma , unde n >1 (2)

se numește ecuație diferențială de ordin superior, adică n-a comanda.

zona de definire a DU, n de ordine exista o regiune .

În acest curs vor fi luate în considerare următoarele tipuri de sisteme de control:

Problema Cauchy DU VP:

Lasă telecomanda să fie dată,
iar condițiile inițiale n/a: numere .

Trebuie să găsiți o funcție continuă și diferențiabilă de n ori
:

1)
este o soluție la DE dat pe , i.e.
;

2) satisface conditiile initiale date: .

Pentru un DE de ordinul doi, interpretarea geometrică a soluției problemei este următoarea: se caută o curbă integrală care trece prin punct (X 0 , y 0 ) și tangentă la o dreaptă cu un coeficient unghiular k = y 0 ́ .

Teorema existenței și unicității(soluții la problema Cauchy pentru DE (2)):

Daca 1)
continuă (în total (n+1) argumente) în zonă
; 2)
continuu (peste totalitatea argumentelor
) în , atunci ! rezolvarea problemei Cauchy pentru DE, îndeplinind condițiile inițiale date n/a: .

Regiunea este numită regiunea de unicitate a DE.

Soluție generală de telecomandă VP (2) – n -parametric funcţie,
, Unde
– constante arbitrare, care îndeplinesc următoarele cerințe:

1)

– soluția DE (2) pe ;

2) n/a din zona unicității!
:
satisface conditiile initiale date.

cometariu.

Vedeți relația
, care determină implicit soluția generală a lui DE (2) se numește integrală generală DU.

Soluție privată DE (2) se obține din soluția sa generală pentru o anumită valoare .

Integrarea telecomenzii VP.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior, de regulă, nu pot fi rezolvate prin metode analitice exacte.

Să identificăm un anumit tip de DUVP care permite reduceri în ordine și poate fi redus la pătraturi. Să tabulăm aceste tipuri de ecuații și metode de reducere a ordinii lor.

VP DU care permit reduceri de comenzi

		Metoda de reducere a comenzii
	Sistemul de control este incomplet, nu conține . De exemplu,	etc. După n Integrarea multiplă oferă o soluție generală pentru DE.
	Ecuația este incompletă; în mod clar nu conține funcția necesară si ea prime derivate. De exemplu,	Substituţie scade ordinea ecuației cu k unitati.
	Ecuație incompletă; în mod clar nu conține niciun argument funcția dorită. De exemplu,	Substituţie ordinea ecuației se reduce cu unu.
	Ecuația este în derivate exacte; poate fi completă sau incompletă. O astfel de ecuație poate fi transformată în forma (*) ́= (*)́, unde părțile din dreapta și din stânga ecuației sunt derivate exacte ale unor funcții.	Integrarea părților drepte și stângi ale ecuației peste argument scade ordinea ecuației cu unu.
		Substituţie scade ordinul ecuației cu unu.

Definiția unei funcții omogene:

Funcţie
numite omogene în variabile
, Dacă


în orice punct al domeniului de definire a funcţiei
;

– ordinea de omogenitate.

De exemplu, este o funcție omogenă de ordinul 2 în raport cu
, adică .

Exemplul 1:

Găsiți soluția generală a telecomenzii
.

DE de ordinul 3, incomplet, nu conține în mod explicit
. Integram secvenţial ecuaţia de trei ori.

,

– soluția generală a telecomenzii.

Exemplul 2:

Rezolvați problema Cauchy pentru telecomandă
la

.

DE de ordinul doi, incomplet, nu conține în mod explicit .

Substituţie
și derivatul său
va scădea ordinea telecomenzii cu unul.

. Am obținut un DE de ordinul întâi – ecuația Bernoulli. Pentru a rezolva această ecuație folosim substituția Bernoulli:

,

și conectați-l în ecuație.

În această etapă, rezolvăm problema Cauchy pentru ecuație
:
.

– ecuație de ordinul întâi cu variabile separabile.

Inlocuim conditiile initiale in ultima egalitate:

Răspuns:
este o solutie a problemei Cauchy care satisface conditiile initiale.

Exemplul 3:

Rezolvați DE.

– DE de ordinul 2, incomplet, nu conține în mod explicit variabila și, prin urmare, permite reducerea ordinului cu una folosind substituția sau
.

Obținem ecuația
(lăsa
).

– DE ordinul I cu variabile de separare. Să le separăm.

– integrala generală a DE.

Exemplul 4:

Rezolvați DE.

Ecuația
există o ecuație în derivate exacte. Într-adevăr,
.

Să integrăm părțile din stânga și din dreapta cu privire la , i.e.
sau . Am obținut un DE de ordinul I cu variabile separabile, i.e.
– integrala generală a DE.

Exemplul5:

Rezolvați problema Cauchy pt
la .

DE de ordinul 4, incomplet, nu conține în mod explicit
. Observând că această ecuație este în derivate exacte, obținem
sau
,
. Să substituim condițiile inițiale în această ecuație:
. Să luăm o telecomandă
Ordinul 3 al primului tip (vezi tabel). Să o integrăm de trei ori, iar după fiecare integrare vom înlocui condițiile inițiale în ecuație:

Răspuns:
- rezolvarea problemei Cauchy a DE original.

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația.

– DE de ordinul 2, complet, conține omogenitate față de
. Substituţie
va scădea ordinea ecuației. Pentru a face acest lucru, să reducem ecuația la forma
, împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la . Și diferențiază funcția p:

.

Să înlocuim
Și
în telecomandă:
. Aceasta este o ecuație de ordinul 1 cu variabile separabile.

Având în vedere că
, primim telecomanda sau
– soluția generală a DE inițial.

Teoria ecuațiilor diferențiale liniare de ordin superior.

Terminologie de bază.

– NLDU ordinul al-lea, unde sunt funcții continue pe un anumit interval.

Se numește intervalul de continuitate al telecomenzii (3).

Să introducem un operator diferenţial (condiţional) de ordinul al-lea

Când acţionează asupra funcţiei, obţinem

Adică partea stângă a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul al treilea.

Ca rezultat, LDE poate fi scris

Proprietățile liniare ale operatorului
:

1) – proprietatea aditivității

2)
– număr – proprietate de omogenitate

Proprietățile sunt ușor de verificat, deoarece derivatele acestor funcții au proprietăți similare (o sumă finită de derivate este egală cu suma unui număr finit de derivate; factorul constant poate fi scos din semnul derivatei).

Acea.
– operator liniar.

Să luăm în considerare problema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy pentru LDE
.

Să rezolvăm LDE cu privire la
: ,
, – interval de continuitate.

Funcție continuă în domeniu, derivate
continuu in regiune

În consecință, regiunea de unicitate în care problema Cauchy LDE (3) are o soluție unică și depinde doar de alegerea punctului
, toate celelalte valori ale argumentului
funcții
poate fi luată arbitrar.

Teoria generală a OLDE.

– interval de continuitate.

Principalele proprietăți ale soluțiilor OLDE:

1. Proprietatea aditivității

(
– soluție de OLDE (4) pe )
(
– soluție de OLDE (4) pe ).

Dovada:

– soluție de OLDE (4) pe

– soluție de OLDE (4) pe

Apoi

2. Proprietatea omogenității

( – soluția lui OLDE (4) pe ) (
(– câmp numeric))

– soluție la OLDE (4) pe .

Dovada este similară.

Proprietățile de aditivitate și omogenitate sunt numite proprietăți liniare ale OLDE (4).

Consecinţă:

(
– soluție la OLDE (4) pe )(

– soluție de OLDE (4) pe ).

3. ( – soluție complexă a lui OLDE (4) pe )(
sunt soluții cu valoare reală ale OLDE (4) pe ).

Dovada:

Dacă este o soluție pentru OLDE (4) pe , atunci când este substituită în ecuație, o transformă într-o identitate, i.e.
.

Datorită liniarității operatorului, partea stângă a ultimei egalități poate fi scrisă după cum urmează:
.

Aceasta înseamnă că , adică sunt soluții cu valoare reală ale OLDE (4) pe .

Proprietățile ulterioare ale soluțiilor la OLDE sunt legate de conceptul „ dependență liniară”.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem finit de funcții

Se spune că un sistem de funcții este dependent liniar de dacă există nebanală set de numere
astfel încât combinația liniară
funcții
cu aceste numere este identic egal cu zero pe , i.e.
.n care este incorect. Se dovedeşte teorema.diferenţial ecuațiisuperiorordine de mărime(4 ore...

Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.

Să trecem la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordin superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu lecția Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuziilor de ordinul întâi se extind automat la ecuații diferențiale de ordin superior, prin urmare este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi.

Mulți cititori pot avea o prejudecată că controlul de la distanță al comenzii 2, 3 și alte comenzi este ceva foarte dificil și inaccesibil de stăpânit. Este gresit . Învățarea rezolvării difuzelor de ordin superior este cu greu mai dificilă decât DE „obișnuite” de ordinul I. Și în unele locuri este și mai simplu, deoarece soluțiile folosesc în mod activ materiale din programa școlară.

Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi. La o ecuație diferențială de ordinul doi Neapărat include derivata a doua și nu este inclus

Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație; este important ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente; conform observațiilor mele subiective, ar obține aproximativ 3-4% din voturi în Duma de Stat.

La o ecuație diferențială de ordinul trei Neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: – tata este acasă, toți copiii sunt la plimbare.

Într-un mod similar, puteți defini ecuații diferențiale de ordinul 4, 5 și superior. În problemele practice, astfel de sisteme de control rareori eșuează, totuși, voi încerca să dau exemple relevante.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior, care sunt propuse în probleme practice, pot fi împărțite în două grupe principale.

1) Primul grup - așa-numitul ecuații care pot fi reduse în ordine. Haide!

2) A doua grupă - ecuații liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. La care vom începe să ne uităm chiar acum.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți

În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații: ecuație omogenăȘi ecuație neomogenă.

DE omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți are următoarea formă:
, unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă – strict zero.

După cum puteți vedea, nu există dificultăți deosebite cu ecuațiile omogene, principalul lucru este Rezolvați corect ecuația pătratică.

Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu o ecuație în formă , unde la derivata a doua există o constantă diferită de unitate (și, în mod natural, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc; ar trebui să compuneți cu calm o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Dacă ecuaţia caracteristică va avea două rădăcini reale diferite, de exemplu: , atunci soluția generală va fi scrisă conform schemei obișnuite: .

În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, pot apărea rădăcini „rele”, ceva de genul . Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:

Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca nici o problema, solutie generala:

Acesta este, oricum exista o solutie generala. Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.

În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:

Ecuații liniare omogene de ordin superior

Totul este foarte, foarte asemănător.

O ecuație liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație, trebuie să creați și o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
, si el Oricum Are exact trei rădăcină

Să fie, de exemplu, toate rădăcinile reale și distincte: , atunci soluția generală se va scrie după cum urmează:

Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt complexe conjugate, atunci scriem soluția generală după cum urmează:

Un caz special când toate cele trei rădăcini sunt multipli (la fel). Să considerăm cel mai simplu DE omogen de ordinul 3 cu un tată singuratic: . Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:

Dacă ecuaţia caracteristică are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, în consecință, este următoarea:

Exemplul 9

Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei

Soluţie: Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

, – se obțin o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.

Răspuns: decizie comună

În mod similar, putem considera o ecuație omogenă liniară de ordinul al patrulea cu coeficienți constanți: , unde sunt constante.