Exemple de rezolvare a problemelor sistemelor de așteptare. Smo cu definiții și formule eșecuri

Exemple de rezolvare a problemelor sistemelor de așteptare

Trebuie să rezolvați problemele 1-3. Datele inițiale sunt date în tabel. 2–4.

Câteva notații utilizate în teoria cozilor de așteptare pentru formule:

n – numărul de canale în QS;

λ – intensitatea fluxului de cereri de intrare P in;

v – intensitatea fluxului de ieșire al cererilor P out;

μ – intensitatea debitului de serviciu P ob;

ρ – indicator de sarcină a sistemului (trafic);

m – numărul maxim de locuri în coadă, limitând lungimea cozii de cereri;

i – numărul de surse de aplicare;

p k – probabilitatea stării k a sistemului;

p o – probabilitatea de inactivitate a întregului sistem, adică probabilitatea ca toate canalele să fie libere;

p syst – probabilitatea de acceptare a unei aplicații în sistem;

p respingere – probabilitatea refuzului unei cereri de a fi acceptată în sistem;

p ob – probabilitatea ca aplicația să fie deservită;

A este capacitatea absolută a sistemului;

Q – capacitatea relativă a sistemului;

Och – numărul mediu de aplicații în coadă;

Despre – numărul mediu de solicitări în serviciu;

Syst – numărul mediu de aplicații din sistem;

Och – timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă;

Despre – timpul mediu pentru deservirea unei aplicații, referitor numai la aplicațiile deservite;

Sys este timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem;

Ож – limitarea timpului mediu de așteptare a unei aplicații în coadă;

– numărul mediu de canale ocupate.

Debitul absolut al QS A este numărul mediu de cereri pe care sistemul le poate deservi pe unitatea de timp.

Capacitatea relativă a QS Q este raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de sistem pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp.

Când rezolvați problemele de coadă, trebuie să respectați următoarea secvență:

1) determinarea tipului de QS conform tabelului. 4.1;

2) selectarea formulelor în funcție de tipul de QS;

3) rezolvarea problemelor;

4) formularea concluziilor asupra problemei.

1. Schema morții și reproducerii.Știm că, având în vedere un grafic de stare etichetat, putem scrie cu ușurință ecuații Kolmogorov pentru probabilitățile de stare și, de asemenea, putem scrie și rezolva ecuații algebrice pentru probabilitățile finale. În unele cazuri sunt posibile ultimele ecuații

decide în prealabil, sub formă de scrisoare. În special, acest lucru se poate face dacă graficul de stare al sistemului este așa-numita „schemă de moarte și reproducere”.

Graficul de stare pentru schema de deces și reproducere are forma prezentată în Fig. 19.1. Particularitatea acestui grafic este că toate stările sistemului pot fi trase într-un singur lanț, în care fiecare dintre stările medii ( S 1 , S 2 ,…,S n-1) este conectat printr-o săgeată directă și inversă cu fiecare dintre statele vecine - dreapta și stânga și stările extreme (S 0 , S n) - cu un singur stat vecin. Termenul „schemă de moarte și reproducere” provine din probleme biologice, în care o schemă similară descrie schimbările în dimensiunea populației.

Schema morții și reproducerii se găsește foarte des în diverse probleme practice, în special în teoria cozilor, așa că este util, odată pentru totdeauna, să găsim probabilitățile finale ale stărilor pentru aceasta.

Să presupunem că toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul de-a lungul săgeților graficului sunt cele mai simple (pentru concizie, vom numi și sistem S iar procesul care are loc în el sunt cele mai simple).

Folosind graficul din Fig. 19.1, vom compune și rezolva ecuații algebrice pentru probabilitățile finale ale stării), existența decurge din faptul că din fiecare stare se poate merge unul la altul, într-un număr finit de stări). Pentru prima stare S 0 avem:

(19.1)

Pentru a doua stare S1:

În virtutea (19.1), ultima egalitate se reduce la forma

Unde k acceptă toate valorile de la 0 la P. Deci, probabilitățile finale p 0 , p 1 ,..., p n satisface ecuațiile

(19.2)

în plus, este necesar să se țină cont de condiția de normalizare

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n =1. (19,3)

Să rezolvăm acest sistem de ecuații. Din prima ecuație (19.2) exprimăm p 1 prin R 0 :

p 1 = p 0. (19.4)

Din a doua, ținând cont de (19.4), obținem:

(19.5)

Din a treia, luând în considerare (19.5),

(19.6)

și, în general, pentru oricine k(de la 1 la n):

(19.7)

Să acordăm atenție formulei (19.7). Numătorul este produsul tuturor intensităților aflate la săgețile care conduc de la stânga la dreapta (de la început până la starea dată S k), iar la numitor - produsul tuturor intensităților care stau la săgețile care conduc de la dreapta la stânga (de la început până la S k).

Astfel, toate probabilitățile de stare R 0 , p 1 , ..., р n exprimat prin unul dintre ele ( R 0). Să substituim aceste expresii în condiția de normalizare (19.3). Primim, scoțând-o din paranteze R 0:

de aici obținem expresia pentru R 0 :

(am ridicat paranteza la puterea -1 pentru a nu scrie fracții cu două etaje). Toate celelalte probabilități sunt exprimate prin R 0 (vezi formulele (19.4) - (19.7)). Rețineți că coeficienții pentru R 0 în fiecare dintre ele nu sunt altceva decât termeni succesivi ai seriei după unul din formula (19.8). Deci, calculând R 0 , am găsit deja toți acești coeficienți.

Formulele rezultate sunt foarte utile în rezolvarea celor mai simple probleme ale teoriei cozilor.

^ 2. Formula lui Little. Acum vom obține o formulă importantă care să raporteze (pentru modul de limitare, staționar) numărul mediu de aplicații L sistemele situate în sistemul de așteptare (adică, fiind servite sau stau într-o coadă) și timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem W syst.

Să luăm în considerare orice QS (cu un singur canal, multicanal, Markov, non-Markov, cu o coadă nelimitată sau limitată) și două fluxuri de evenimente asociate cu acesta: fluxul de cereri care sosesc la QS și fluxul de cereri care pleacă. QS-ul. Dacă în sistem a fost stabilit un mod de limitare, staționar, atunci numărul mediu de aplicații care ajung la QS pe unitatea de timp este egal cu numărul mediu de aplicații care părăsesc acesta: ambele fluxuri au aceeași intensitate λ.

Să notăm: X(t) - numărul de aplicații care au ajuns la QS până în acest moment t. Y(t) - numărul de aplicații care au părăsit CMO

pana in momentul de fata t. Ambele funcții sunt aleatorii și se modifică brusc (măresc cu unu) când sosesc comenzile (X(t)) și retragerile cererilor (YT)). Tipul funcțiilor X(t) și Y(t) prezentată în fig. 19,2; ambele linii sunt trepte, cea de sus este X(t), inferior- YT). Evident, pentru orice moment t diferența lor Z(t)= X(t) - Y(t) nu este altceva decât numărul de aplicații în CMO. Când liniile X(t)Și YT) sunt fuzionate, nu există aplicații în sistem.

Luați în considerare o perioadă foarte lungă de timp T(continuând mental graficul mult dincolo de desen) și calculați pentru acesta numărul mediu de aplicații în QS. Va fi egală cu integrala funcției Z(t) pe acest interval împărțit la lungimea intervalului T:

L syst. = . (19,9) o

Dar această integrală nu este altceva decât aria figurii umbrite în Fig. 19.2. Să aruncăm o privire bine la acest desen. Figura este formată din dreptunghiuri, fiecare dintre ele având o înălțime egală cu unu și o bază egală cu timpul petrecut în sistem de cererea corespunzătoare (prima, a doua etc.). Să desemnăm aceste vremuri t 1, t 2,... Adevărat, la sfârșitul intervalului T unele dreptunghiuri vor intra în figura umbrită nu complet, ci parțial, dar cu o dimensiune suficient de mare T aceste lucruri mici nu vor conta. Astfel, putem presupune că

(19.10)

unde suma se aplică tuturor cererilor primite în timpul respectiv T.

Împărțiți părțile din dreapta și din stânga (.19.10) la lungimea intervalului T. Obținem, ținând cont de (19.9),

L syst. = . (19.11)

Împărțiți și înmulțiți partea dreaptă a (19.11) cu intensitatea X:

L syst. = .

Dar amploarea Tλ nu este altceva decât numărul mediu de cereri primite de-a lungul timpului ^ T. Dacă împărțim suma tuturor timpurilor t i prin numărul mediu de aplicații, obținem timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem W syst. Asa de,

L syst. = λ W syst. ,

W syst. = . (19,12)

Aceasta este formula minunată a lui Little: pentru orice QS, pentru orice natură a fluxului de cereri, pentru orice distribuție a timpului de serviciu, pentru orice disciplină de serviciu timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem este egal cu numărul mediu de aplicații din sistem împărțit la intensitatea fluxului de aplicații.

Exact în același mod, este derivată a doua formulă a lui Little, raportând timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă ^W foarte bineși numărul mediu de aplicații din coadă L Puncte:

W och = . (19.13)

Pentru ieșire este suficient în loc de linia de jos din Fig. 19.2 funcția de preluare U(t)- numărul de cereri rămase înainte t nu din sistem, ci din coadă (dacă o aplicație care intră în sistem nu intră în coadă, ci intră imediat în serviciu, putem presupune totuși că intră în coadă, dar petrece zero timp în ea).

Formulele lui Little (19.12) și (19.13) joacă un rol important în teoria stării de așteptare. Din păcate, în majoritatea manualelor existente aceste formule (dovedite în general în formă relativ recentă) nu sunt date 1).

§ 20. Cele mai simple sisteme de asteptare si caracteristicile acestora

În această secțiune ne vom uita la unele dintre cele mai simple QS-uri și vom obține expresii pentru caracteristicile lor (indicatori de performanță). În același timp, vom demonstra principalele tehnici metodologice caracteristice teoriei elementare, „Markov”, de coadă. Nu vom urmări numărul de eșantioane QS pentru care vor fi derivate expresiile finale ale caracteristicilor; Această carte nu este o carte de referință despre teoria stării de așteptare (acest rol este mult mai bine îndeplinit de manuale speciale). Scopul nostru este de a prezenta cititorului câteva „mici trucuri” care ușurează calea prin teoria cozilor de așteptare, care într-un număr de cărți existente (chiar pretinzând că sunt populare) poate părea un set incoerent de exemple.

În această secțiune, vom considera toate fluxurile de evenimente care transferă QS de la stat la stat ca fiind cele mai simple (fără a prevedea acest lucru în mod specific de fiecare dată). Printre acestea se va număra așa-numitul „flux de servicii”. Se referă la fluxul de cereri deservite de un canal ocupat continuu. În acest flux, intervalul dintre evenimente, ca întotdeauna în cel mai simplu flux, are o distribuție exponențială (în multe manuale se spune în schimb: „timpul de serviciu este exponențial”; noi înșine vom folosi acest termen în viitor).

1) Într-o carte populară, este dată o derivație ușor diferită a formulei lui Little, în comparație cu cea de mai sus. În general, familiarizarea cu această carte („A doua conversație”) este utilă pentru o cunoaștere inițială cu teoria stării de așteptare.

În această secțiune, distribuția exponențială a timpului de serviciu va fi de la sine înțeles, ca întotdeauna pentru cel mai „simplu” sistem.

Vom introduce caracteristicile de performanță ale QS-ului luat în considerare pe măsură ce continuăm.

^ 1. P-sistem de aşteptare a canalelor cu defecţiuni(problema Erlang). Aici vom lua în considerare una dintre primele probleme „clasice” ale teoriei cozilor;

această problemă a apărut din nevoile practice ale telefoniei și a fost rezolvată la începutul acestui secol de către matematicianul danez Erlant. Problema este formulată astfel: există P canale (linii de comunicare) care primesc un flux de cereri cu intensitate λ. Fluxul de serviciu are o intensitate μ (reciproca timpului mediu de serviciu t despre). Găsiți probabilitățile finale ale stărilor QS, precum și caracteristicile eficienței sale:

^A - debitul absolut, adică numărul mediu de aplicații deservite pe unitatea de timp;

Q- debitul relativ, adică ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem;

^ P deschis- probabilitatea de refuz, adică ca cererea să lase QS neservit;

k- numărul mediu de canale ocupate.

Soluţie. Stările sistemului ^S(SMO) va fi numerotat în funcție de numărul de solicitări din sistem (în acest caz coincide cu numărul de canale ocupate):

S 0 - nu există o singură aplicație în CMO,

S 1 - există o solicitare în QS (un canal este ocupat, restul sunt libere),

S k - situat în SMO k aplicatii ( k canalele sunt ocupate, restul sunt libere),

S n - situat în SMO P aplicațiile (toate n canalele sunt ocupate).

Graficul de stare al SMO corespunde modelului morții în timpul reproducerii (Fig. 20.1). Să marchem acest grafic - marcați intensitatea fluxurilor de evenimente lângă săgeți. Din S 0 in S 1 sistemul este transferat printr-un flux de cereri cu intensitatea λ (de îndată ce sosește o solicitare, sistemul sare din S 0 V S 1). Același flux de aplicații se traduce

Sistemul din orice stare din stânga la cea vecină din dreapta (vezi săgețile de sus din Fig. 20.1).

Să punem intensitățile la săgețile de jos. Să fie sistemul în stat ^S 1 (un canal funcționează). Produce μ serviciu pe unitatea de timp. Așezați-l la săgeată S 1 →S 0 intensitate μ. Acum imaginați-vă că sistemul este într-o stare S 2(funcționează două canale). Ca să poată merge la S1, este necesar ca fie primul canal, fie al doilea să termine service; intensitatea totală a fluxurilor lor de serviciu este de 2μ; Îl punem lângă săgeata corespunzătoare. Debitul total de serviciu furnizat de cele trei canale are o intensitate de 3μ, k canale - kμ. Marcam aceste intensități în săgețile de jos din Fig. 20.1.

Și acum, cunoscând toate intensitățile, vom folosi formule gata făcute (19.7), (19.8) pentru probabilitățile finale în schema morții și reproducerii. Folosind formula (19.8) obținem:

Termeni de extindere vor fi coeficienţii pt p 0în expresii pentru p 1

Rețineți că în formulele (20.1), (20.2) intensitățile λ și μ nu sunt incluse separat, ci doar sub forma raportului λ/μ. Să notăm

λ/μ = ρ (20,3)

Și vom numi valoarea p „intensitatea redusă a fluxului de aplicații”. Semnificația acestuia este numărul mediu de solicitări primite în timpul mediu de deservire a unei cereri. Folosind această notație, rescriem formulele (20.1), (20.2) sub forma:

Formulele (20.4), (20.5) pentru probabilitățile finale ale stărilor se numesc formule Erlang - în onoarea fondatorului teoriei cozilor de așteptare. Majoritatea celorlalte formule ale acestei teorii (astăzi sunt mai multe decât ciuperci în pădure) nu poartă denumiri speciale.

Astfel, au fost găsite probabilitățile finale. Folosind ele, vom calcula caracteristicile de performanță ale QS. Mai întâi vom găsi ^ P deschis. - probabilitatea ca o aplicație primită să fie respinsă (nu va fi deservită). Pentru aceasta este necesar ca totul P canalele erau ocupate, adică

R deschis = R n = . (20,6)

De aici găsim debitul relativ - probabilitatea ca cererea să fie servită:

Q = 1 – P deschis = 1 - (20,7)

Obținem debitul absolut prin înmulțirea intensității fluxului de cereri λ cu Î:

A = λQ = λ . (20.8)

Tot ce rămâne este să găsiți numărul mediu de canale ocupate k. Această valoare ar putea fi găsită „direct”, ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete cu valori posibile 0, 1, ..., Pși probabilitățile acestor valori р 0 р 1 , ..., р n:

k = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 + ... + n · pn.

Înlocuind aici expresiile (20.5) pentru R k, (k = 0, 1, ..., P) iar efectuând transformările corespunzătoare, am obține în cele din urmă formula corectă pentru k. Dar îl vom deriva mult mai simplu (iată-l, unul dintre „micile trucuri”!) De fapt, știm debitul absolut A. Aceasta nu este altceva decât intensitatea fluxului de aplicații deservite de sistem. Fiecare i.sal ocupat servește în medie |l cereri pe unitatea de timp. Aceasta înseamnă că numărul mediu de canale ocupate este

k = A/μ, (20.9)

sau, ținând cont de (20.8),

k = (20.10)

Recomandăm cititorului să rezolve singur exemplul. Există o stație de comunicație cu trei canale ( n= 3), intensitatea fluxului de aplicații λ = 1,5 (aplicații pe minut); timpul mediu pentru a răspunde unei cereri t rev = 2 (min.), toate fluxurile de evenimente (ca în întregul paragraf) sunt cele mai simple. Găsiți probabilitățile finale ale stărilor și caracteristicile eficacității QS: A, Q, P deschis, k. Pentru orice eventualitate, iată răspunsurile: p 0 = 1/13, p 1 = 3/13, p 2 = 9/26, p 3 = 9/26 ≈ 0,346,

A≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P otk ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Din răspunsuri reiese, de altfel, că QS-ul nostru este semnificativ supraîncărcat: din trei canale, în medie, aproximativ două sunt ocupate, iar din aplicațiile primite, aproximativ 35% rămân neservite. Invităm cititorul, dacă este curios și nu leneș, să afle: de câte canale vor fi necesare pentru a satisface cel puțin 80% din solicitările primite? Și ce proporție de canale va fi inactiv?

Există deja un indiciu de optimizare. De fapt, întreținerea fiecărui canal pe unitatea de timp costă o anumită sumă. În același timp, fiecare aplicație deservită generează un anumit venit. Înmulțirea acestui venit cu numărul mediu de cereri A, deservite pe unitatea de timp, vom primi venitul mediu de la CMO pe unitatea de timp. Desigur, pe măsură ce numărul canalelor crește, acest venit crește, dar și costurile asociate cu menținerea canalelor cresc. Ce va depăși - o creștere a veniturilor sau a cheltuielilor? Depinde de termenii operațiunii, „taxa pentru deservirea aplicației” și costul întreținerii canalului. Cunoscând aceste valori, puteți găsi numărul optim de canale, cele mai rentabile. Nu vom rezolva o astfel de problemă, lăsând în seama aceluiași „cititor neleneș și curios” să vină cu un exemplu și să o rezolve. În general, inventarea problemelor dezvoltă mai mult decât rezolvarea celor deja puse de cineva.

^ 2. QS cu un singur canal cu coadă nelimitată.În practică, este destul de obișnuit să găsiți servicii medicale cu un singur canal cu o coadă (un medic care deservește pacienții; un telefon public cu o singură cabină; un computer care execută comenzile utilizatorilor). În teoria stării de așteptare, QS-ul cu un singur canal cu o coadă ocupă de asemenea un loc special (majoritatea formulelor analitice obținute până acum pentru sistemele non-Markov aparțin unui astfel de QS). Prin urmare, vom acorda o atenție deosebită QS-ului cu un singur canal cu o coadă.

Să existe un QS cu un singur canal cu o coadă la care nu se impun restricții (nici asupra lungimii cozii, nici asupra timpului de așteptare). Acest QS primește un flux de cereri cu intensitatea λ ; fluxul de deservire are o intensitate μ, inversă timpului mediu de deservire a cererii t despre. Este necesar să se găsească probabilitățile finale ale stărilor QS, precum și caracteristicile eficacității sale:

L syst. - numărul mediu de aplicații în sistem,

W syst. - timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem,

^ L och- numărul mediu de aplicații în coadă,

W foarte bun - timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în coadă,

P zan - probabilitatea ca canalul să fie ocupat (încărcarea canalului).

În ceea ce privește debitul absolut Aşi relativă Q, atunci nu este nevoie să le calculați:

datorită faptului că coada este nelimitată, fiecare aplicație va fi deservită mai devreme sau mai târziu, prin urmare A = λ, pentru același motiv Q = 1.

Soluţie. Ca și înainte, vom numerota stările sistemului în funcție de numărul de aplicații din QS:

S 0 - canalul este gratuit,

S 1 - canalul este ocupat (deservește o solicitare), nu există coadă,

S 2 - canalul este ocupat, o cerere este în coadă,

S k - canalul este ocupat, k- 1 aplicații sunt în coadă,

Teoretic, numărul de stări este nelimitat (infinit). Graficul de stare are forma prezentată în Fig. 20.2. Aceasta este o schemă de moarte și reproducere, dar cu un număr infinit de stări. De-a lungul tuturor săgeților, fluxul de cereri cu intensitatea λ mișcă sistemul de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga - fluxul de serviciu cu intensitatea μ.

În primul rând, să ne întrebăm, există probabilități finale în acest caz? La urma urmei, numărul de stări ale sistemului este infinit și, în principiu, când t → ∞ Coada poate crește la infinit! Da, așa este: probabilitățile finale pentru un astfel de QS nu există întotdeauna, ci doar atunci când sistemul nu este supraîncărcat. Se poate dovedi că dacă ρ este strict mai mic decât unu (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t→ ∞ crește fără limită. Acest fapt pare mai ales „de neînțeles” atunci când ρ = 1. S-ar părea că nu există cerințe imposibile impuse sistemului: în timpul deservirii unei cereri, în medie ajunge o solicitare și totul ar trebui să fie în ordine, dar în realitate nu este asa. Când ρ = 1, QS face față fluxului de solicitări numai dacă acest flux este regulat, iar timpul de serviciu nu este, de asemenea, aleatoriu, egal cu intervalul dintre solicitări. În acest caz „ideal”, nu va exista deloc coadă, canalul va fi continuu ocupat și va emite în mod regulat solicitări deservite. Dar de îndată ce fluxul de aplicații sau fluxul de servicii devine chiar puțin aleatoriu, coada va crește la infinit. În practică, acest lucru nu se întâmplă doar pentru că „un număr infinit de aplicații în coadă” este o abstractizare. Acestea sunt erorile grosolane care pot rezulta din înlocuirea variabilelor aleatoare cu așteptările lor matematice!

Dar să revenim la QS-ul nostru cu un singur canal cu o coadă nelimitată. Strict vorbind, formulele pentru probabilitățile finale în schema morții și reproducerii am derivat doar pentru cazul unui număr finit de stări, dar să ne luăm libertatea de a le folosi pentru un număr infinit de stări. Să calculăm probabilitățile finale ale stărilor folosind formulele (19.8), (19.7). În cazul nostru, numărul de termeni din formula (19.8) va fi infinit. Obținem o expresie pentru p 0:

p 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +….) -1 . (20.11)

Seria din formula (20.11) este o progresie geometrică. Știm că pentru ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p 0 , p 1 , ..., p k , ... există doar la p<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

p 0 = 1 - ρ. (20,12)

Probabilități r 1, r 2, ..., r k,... vor fi găsite folosind formulele:

p 1 = ρ p 0, p 2= ρ 2 p 0 ,…,p k = ρ p 0, ...,

De unde, ținând cont de (20.12), găsim în sfârșit:

p 1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ k(1 - ρ), . . .(20.13)

După cum puteți vedea, probabilitățile p 0, p 1, ..., pk,... formează o progresie geometrică cu numitorul p. Destul de ciudat, maximul dintre ele p 0 - probabilitatea ca canalul să fie complet liber. Indiferent cât de încărcat este un sistem cu o coadă, dacă poate face față fluxului de cereri (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Să găsim numărul mediu de aplicații către CMO ^ L syst. . Aici va trebui să mânuiești puțin. Valoare aleatoare Z- numărul de aplicații în sistem - are valori posibile 0, 1, 2, .... k,... cu probabilităţi p 0, p 1, p 2, ..., p k, ... Așteptările sale matematice sunt

L sistem = 0 · p 0 + 1 · p 1+2 p 2 +…+k · p k +…= (20,14)

(suma nu se ia de la 0 la ∞, ci de la 1 la ∞, deoarece termenul zero este egal cu zero).

Să substituim în formula (20.14) expresia pentru p k (20.13):

L syst. =

Acum să luăm ρ (1-ρ) din semnul sumei:

L syst. = ρ (1-ρ)

Aici vom folosi din nou un „mic truc”: kρ k-1 nu este altceva decât derivata față de ρ din expresia ρ k; Mijloace,

L syst. = ρ (1-ρ)

Inversand operatiile de diferentiere si insumare obtinem:

L syst. = ρ (1-ρ) (20,15)

Dar suma din formula (20.15) nu este altceva decât suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen ρ și numitorul ρ; această sumă

este egal cu , iar derivata ei .Inlocuind aceasta expresie in (20.15), obtinem:

L syst = . (20,16)

Ei bine, acum aplicăm formula lui Little (19.12) și găsim timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem:

W sistem = (20,17)

Să găsim numărul mediu de aplicații din coadă L foarte bun Vom raționa astfel: numărul de aplicații din coadă este egal cu numărul de aplicații din sistem minus numărul de aplicații aflate în service. Aceasta înseamnă (conform regulii de adăugare a așteptărilor matematice), numărul mediu de aplicații din coadă L och este egal cu numărul mediu de cereri din sistem L syst minus numărul mediu de cereri aflate în serviciu. Numărul de solicitări în serviciu poate fi fie zero (dacă canalul este liber), fie unul (dacă este ocupat). Așteptarea matematică a unei astfel de variabile aleatoare este egală cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat (l-am notat R zan). Evident, R zan este egal cu o probabilitate minus p 0 că canalul este gratuit:

R zan = 1 - R 0 = ρ. (20,18)

Prin urmare, numărul mediu de cereri aflate în deservire este

^L despre= ρ, (20,19)

L och = L syst – ρ =

și, în sfârșit

L och = (20,20)

Folosind formula lui Little (19.13), găsim timpul mediu în care o aplicație rămâne în coadă:

(20.21)

Astfel, au fost găsite toate caracteristicile eficacității QS.

Invităm cititorul să rezolve singur un exemplu: un QS cu un singur canal este o stație de triaj de cale ferată, care primește cel mai simplu flux de trenuri cu o intensitate de λ = 2 (trenuri pe oră). Serviciu (dizolvare)

compoziția durează un timp aleator (indicativ) cu o valoare medie t rev = 20(min.). Parcul de sosire al stației are două șine pe care trenurile care sosesc pot aștepta serviciul; dacă ambele linii sunt ocupate, trenurile sunt forțate să aștepte pe șinele exterioare. Este necesar să se găsească (pentru limitarea, modul de funcționare staționar al stației): medie, număr de trenuri l sisteme asociate stației, timp mediu W sistem de prezență a trenurilor în gară (pe șine interne, pe șine externe și în întreținere), număr mediu L Pt de trenuri care așteaptă la coadă pentru desființare (indiferent pe ce șine), timp mediu W Pt starea trenului la linie. De asemenea, încercați să găsiți numărul mediu de trenuri care așteaptă să se desființeze pe șinele exterioare L timpul extern și mediu al acestei așteptări W ext (ultimele două cantități sunt legate prin formula lui Little). În cele din urmă, găsiți amenda zilnică totală Sh pe care gara va trebui să o plătească pentru timpul de oprire a trenului pe șinele externe, dacă stația plătește o amendă de (ruble) pentru o oră de oprire a unui tren. Pentru orice eventualitate, iată răspunsurile: L syst. = 2 (compoziție), W syst. = 1 (oră), L och = 4/3 (compoziție), W och = 2/3 (ore), L ext = 16/27 (compoziție), W ext = 8/27 ≈ 0,297 (ore). Amenda medie zilnică Ш pentru așteptarea trenurilor pe șinele externe se obține prin înmulțirea numărului mediu de trenuri care sosesc în gară pe zi, a timpului mediu de așteptare a trenurilor pe șinele externe și a amenda orară. A: W ≈ 14,2 A.

^ 3. re-canaliza QS cu coadă nelimitată. Destul de asemănătoare cu problema 2, dar puțin mai complicată, problema lui n-canal QS cu coadă nelimitată. Numerotarea statelor se bazează din nou pe numărul de aplicații din sistem:

S 0- nu există solicitări în SMO (toate canalele sunt gratuite),

S 1 - un canal este ocupat, restul sunt libere,

S 2 - două canale sunt ocupate, restul sunt libere,

S k- ocupat k canale, restul sunt gratuite,

S n- toata lumea este ocupata P canale (fără coadă),

S n+1- toata lumea este ocupata n canale, o aplicație este în coadă,

S n+r - greutate ocupată P canale, r aplicațiile sunt la coadă,

Graficul de stare este prezentat în Fig. 20.3. Invităm cititorul să gândească singur și să justifice valorile intensităților indicate de săgeți. Graficul Fig. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

există un tipar de moarte și reproducere, dar cu un număr infinit de stări. Să raportăm fără dovezi condiția naturală de existență a probabilităților finale: ρ/ n<1. Если ρ/n≥ 1, coada crește la infinit.

Să presupunem că condiția ρ/ n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0 vor exista o serie de termeni care conțin factoriali, plus suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu numitorul ρ/ n. Rezumând, găsim

(20.22)

Acum să găsim caracteristicile de performanță ale QS. Cel mai simplu mod de a găsi numărul mediu de canale ocupate este k== λ/μ, = ρ (acest lucru este valabil în general pentru orice QS cu o coadă nelimitată). Să găsim numărul mediu de aplicații din sistem L sistem și numărul mediu de aplicații în coadă L foarte bun Dintre acestea, este mai ușor să îl calculezi pe al doilea, folosind formula

L och =

efectuarea transformărilor corespunzătoare conform exemplului sarcinii 2

(cu diferențierea seriei), obținem:

L och = (20.23)

Adăugând la acesta numărul mediu de solicitări în serviciu (este și numărul mediu de canale ocupate) k =ρ, obținem:

L syst = L och + ρ. (20,24)

Împărțirea expresiilor pentru L foarte bun L sistem pe λ , Folosind formula lui Little, obținem timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă și în sistem:

(20.25)

Acum să rezolvăm un exemplu interesant. O casă de bilete feroviară cu două ferestre este un QS cu două canale cu o coadă nelimitată situată la două ferestre simultan (dacă o fereastră devine liberă, o ia pasagerul cel mai apropiat din rând). Casa de bilete vinde bilete la două puncte: A și ÎN. Intensitatea fluxului de aplicații (pasageri care doresc să cumpere un bilet) pentru ambele puncte A și B este același: λ A = λ B = 0,45 (pasageri pe minut), iar în total formează un flux total de cereri cu intensitate λ A + λ B = 0,9. Un casier petrece în medie două minute servind un pasager. Experiența arată că la casa de bilete se acumulează cozi, pasagerii se plâng de încetineala serviciului.A fost primită o propunere de raționalizare: în loc ca o casă de bilete să vândă bilete și A si in ÎN, creați două case de bilete specializate (câte o fereastră în fiecare), vânzarea biletelor, una - doar la obiect A, celălalt - doar la obiect ÎN.Înțelepciunea acestei propuneri este controversată - unii susțin că cozile vor rămâne aceleași. Este necesar să se verifice utilitatea propunerii prin calcul. Deoarece putem calcula caracteristicile numai pentru cel mai simplu QS, să presupunem că toate fluxurile de evenimente sunt cele mai simple (acest lucru nu va afecta partea calitativă a concluziilor).

Ei bine, să trecem la treabă. Să luăm în considerare două variante de organizare a vânzărilor de bilete - existente și propuse.

Opțiunea I (existentă). QS-ul cu două canale primește un flux de cereri cu intensitatea λ = 0,9; intensitatea debitului de serviciu μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Deoarece ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Numărul mediu de aplicații din coadă se găsește folosind formula (20,23): L och ≈ 7,68; timpul mediu petrecut de o aplicație în coadă (conform primei formule (20.25)) este egal cu W och ≈ 8,54 (min.).

Opțiunea II (propusă). Este necesar să se ia în considerare două QS cu un singur canal (două ferestre specializate); fiecare primește un flux de aplicații cu intensitatea λ = 0,45; μ . tot egal cu 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L och = 8,1.

Atât pentru tine! Se pare că lungimea cozii nu numai că nu a scăzut, ci a crescut! Poate că timpul mediu de așteptare la coadă a scăzut? Să vedem. Partajarea L och la λ = 0,45, obținem W foarte ≈ 18 (minute).

Atât de raționalizare! În loc să scadă, atât lungimea medie a cozii, cât și timpul mediu de așteptare în ea au crescut!

Să încercăm să ghicim de ce s-a întâmplat asta? După ce ne gândim, ajungem la concluzia: acest lucru s-a întâmplat pentru că în prima opțiune (QS cu două canale) proporția medie de timp în care fiecare dintre cei doi casierii este inactiv este mai mică: dacă nu este ocupat să servească un pasager cumpărând un bilet la obiect A, el se poate angaja în deservirea unui pasager cumpărând un bilet până la un punct ÎN, si invers. În a doua opțiune, nu există o astfel de interschimbabilitate: casierul neocupat stă doar cu mâinile încrucișate...

Bine , bine”, cititorul este gata să fie de acord, „creșterea poate fi explicată, dar de ce este atât de semnificativă? Există o eroare în calcul aici?

Și vom răspunde la această întrebare. Nu există nicio eroare. Lucrul este , că, în exemplul nostru, ambele QS-uri funcționează la limita capacităților lor; De îndată ce creșteți ușor timpul de serviciu (adică reduceți μ), aceștia nu vor mai face față fluxului de pasageri, iar coada va începe să crească fără limită. Iar „timpul suplimentar” al casierului este într-un fel echivalent cu o scădere a productivității sale μ.

Astfel, rezultatul calculelor, care la început pare paradoxal (sau chiar pur și simplu incorect), se dovedește a fi corect și explicabil.

Teoria cozilor este bogată în astfel de concluzii paradoxale, motivul pentru care nu este deloc evident. Autorul însuși a fost în mod repetat „surprins” de rezultatele calculelor, care ulterior s-au dovedit a fi corecte.

Reflectând la ultima problemă, cititorul poate pune întrebarea în felul următor: la urma urmei, dacă casa de bilete vinde bilete la un singur punct, atunci, desigur, timpul de serviciu ar trebui să scadă, ei bine, nu la jumătate, ci măcar oarecum, dar ne-am gandit ca a fost totusi media este 2 (min.). Invităm un cititor atât de pretențios să răspundă la întrebarea: cât de mult ar trebui redus pentru ca „propunerea de raționalizare” să devină profitabilă? Din nou întâlnim, deși o problemă elementară, dar totuși o problemă de optimizare. Cu ajutorul calculelor aproximative, chiar și pe cele mai simple modele Markov, este posibil să se clarifice partea calitativă a fenomenului - cum este profitabil să acționezi și cum este neprofitabil. În secțiunea următoare vom introduce câteva modele elementare non-Markov care ne vor extinde și mai mult capacitățile.

După ce cititorul s-a familiarizat cu metodele de calcul a probabilităților finale ale stărilor și a caracteristicilor de eficiență pentru cel mai simplu QS (a stăpânit schema morții și reproducerii și formula lui Little), i se pot oferi încă două QS simple pentru a fi luate în considerare independent.

^ 4. QS cu un singur canal cu coadă limitată. Problema diferă de problema 2 doar prin faptul că numărul de cereri din coadă este limitat (nu poate depăși un anumit specificat T). Dacă o nouă aplicație sosește într-un moment în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS-ul neservit (a primit un refuz).

Trebuie să găsim probabilitățile finale ale stărilor (apropo, în această problemă ele există pentru orice ρ - la urma urmei, numărul de stări este finit), probabilitatea de eșec R debit deschis, absolut A, probabilitatea ca canalul să fie ocupat R ocupat, lungime medie de coadă L foarte bun, număr mediu de cereri la CMO L sist , timpul mediu de așteptare la coadă W foarte bun , timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO W syst. Când calculați caracteristicile unei cozi, puteți utiliza aceeași tehnică pe care am folosit-o în problema 2, cu diferența că trebuie să însumați nu o progresie infinită, ci una finită.

^ 5. QS închis cu un canal și m sursele de aplicații. Pentru a fi concret, să punem problema în următoarea formă: un lucrător servește T mașini, fiecare dintre ele necesită reglare (corecție) din când în când. Intensitatea fluxului de cerere a fiecărei mașini în funcțiune este λ . Dacă o mașină se defectează în timp ce un lucrător este liber, aceasta intră imediat în funcțiune. Dacă eșuează în timp ce un lucrător este ocupat, se pune la coadă și așteaptă ca lucrătorul să devină liber. Timp mediu de configurare a mașinii t rev = 1/μ. Intensitatea fluxului de cereri care vin la muncitor depinde de câte mașini funcționează. Dacă funcționează k mașini, este egal kλ. Găsiți probabilitățile de stare finală, numărul mediu de mașini de lucru și probabilitatea ca un muncitor să fie ocupat.

Rețineți că în acest QS probabilitățile finale

va exista pentru orice valori ale lui λ și μ = 1/ t aproximativ, deoarece numărul de stări ale sistemului este finit.

Sarcina 1. Panoul de control primește un flux de solicitări, care este un flux Erlang de ordinul doi. Intensitatea fluxului de aplicații este de 6 aplicații pe oră. Dacă dispeceratul părăsește din greșeală telecomandă, atunci la prima următoare cerere trebuie să revină la telecomandă. Găsiți densitatea de distribuție a timpului de așteptare pentru următoarea aplicație și construiți graficul acesteia. Calculați probabilitatea ca dispecerul să lipsească între 10 și 20 de minute. Soluţie. Deoarece fluxul Erlang de ordinul doi este un flux staționar cu efecte secundare limitate, atunci formula lui Palm este valabilă pentru acesta

Unde f1(θ)- densitatea distribuției de probabilitate pentru timpul de așteptare pentru primul eveniment cel mai apropiat;
λ - intensitatea curgerii;
- ordinea fluxului;
(θ) - funcția de distribuție a probabilității pentru timpul dintre două evenimente de flux Erlang vecine - ordinul întâi (E).
Se știe că funcția de distribuție pentru fluxul E are forma

. (2)

În funcție de condițiile problemei, fluxul de solicitări este ordinul Erlang =2. Apoi de la (1) și (2) obținem
.
Din ultima relație pentru λ=6 vom avea

f1(θ)=3e-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

Să diagramăm funcția f1(θ) . La θ <0 avem f1(θ) =0 . La θ =0 , f1(0)=3. Luați în considerare limita

La calcularea limitei pentru a dezvălui incertitudinea de tip, a fost folosită regula lui L'Hopital. Pe baza rezultatelor cercetării, construim un grafic al funcției f1(θ) (Fig. 1).

Să acordăm atenție dimensiunilor de timp din textul problemei: pentru intensitate acestea sunt cereri pe oră, pentru timp - minute. Să trecem la o singură unitate de timp: 10 min = 1/6 oră, 20 min = 1/3 oră. Pentru aceste valori putem calcula f1(θ) și clarificați natura curbei

Aceste ordonate sunt indicate pe grafic deasupra punctelor corespunzătoare de pe curbă.
Din cursul de teoria probabilității știm că probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se lovească Xîn segmentul [α, β] este numeric egal cu aria de sub curba de distribuție a densității probabilității f(x). Această zonă este exprimată printr-o integrală definită

Prin urmare, probabilitatea necesară este egală cu

Această integrală poate fi ușor calculată pe părți dacă punem
U=1+6θȘi dV=е-6θdθ. Apoi dU=6dθȘi V= .
Folosind formula primim

Răspuns: probabilitatea ca dispecerul să lipsească între 10 și 20 de minute este de 0,28.

Sarcina 2. Sala de prezentare are 5 display-uri. Fluxul utilizatorului este simplu. Numărul mediu de utilizatori care vizitează camera de afișare pe zi este de 140. Timpul de procesare a informațiilor de către un utilizator pe un afișaj este distribuit conform unei legi exponențiale și este în medie de 40 de minute. Determinați dacă există un mod de funcționare staționar pentru sală; probabilitatea ca utilizatorul să găsească toate afișajele ocupate; numărul mediu de utilizatori în sala de afișare; numărul mediu de utilizatori în coadă; timpul mediu de așteptare pentru un afișaj gratuit; timpul mediu petrecut de un utilizator în camera de afișare. Soluţie. QS-ul luat în considerare în problemă aparține clasei de sisteme multicanal cu o coadă nelimitată. Număr de canale =5. Să găsim intensitatea λ a fluxului de aplicații: unde (ore) - timpul mediu dintre două solicitări consecutive din fluxul de utilizatori care intră. Apoi utilizator/oră

Să găsim intensitatea fluxului de servicii: , unde M[T serv.]=40 min=0,67 ore este timpul mediu pentru deservirea unui utilizator cu un singur afișaj,

Apoi utilizator/oră

Astfel, clasificatorul acestui sistem are forma QS (5, ∞; 5,85; 1,49).
Să calculăm factorul de încărcare al QS . Se știe că pentru un QS din această clasă, există un mod staționar dacă raportul factorului de încărcare a sistemului și numărul de canale este mai mic de unu. Găsim această relație
.
Prin urmare, există un regim staționar. Distribuția probabilității limită a stărilor este calculată folosind formulele

Din moment ce =5, avem

Să calculăm P* - probabilitatea ca utilizatorul să găsească toate afișajele ocupate. Evident, este egal cu suma probabilităților unor astfel de evenimente: toate afișajele sunt ocupate, nu există coadă (p5); toate afișajele sunt ocupate, un utilizator este în coadă (p6); toate afișajele sunt ocupate, doi utilizatori sunt în coadă (p7) și așa mai departe. Deoarece pentru un grup complet de evenimente suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu, atunci egalitatea este adevărată

P*=p5+p6+p7+…=1 - po - p1 - p2 - p3 - p4.

Să găsim aceste probabilități: ro=0,014; p1=3,93*0,014; p2=7,72*0,014; p3=10,12*0,014; p4=9,94*0,014.
Luând factorul comun din paranteze, obținem
P*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Folosind formule pentru a calcula indicatorii de performanță? sa gasim:

• 1. numărul mediu de utilizatori în coadă

2. numărul mediu de utilizatori în sala de afișare

3. timpul mediu de așteptare pentru un afișaj gratuit

4. timpul mediu petrecut de un utilizator în camera de afișare

Răspuns: există un mod de funcționare staționar al camerei de afișare și este caracterizat de următorii indicatori R*= 0,54; utilizator; utilizator; ; .

Sarcina 3. Un sistem de așteptare cu două canale (QS) cu defecțiuni primește un flux staționar de cereri Poisson. Timpul dintre sosirea a două cereri consecutive este distribuit conform unei legi exponențiale cu parametrul λ=5 solicitări pe minut. Durata de deservire a fiecărei cereri este de 0,5 minute. Folosind metoda Monte Carlo, găsiți numărul mediu de cereri servite într-un timp de 4 minute. Direcție: Efectuați trei teste. Soluţie. Să descriem modelarea statistică a funcționării unui QS dat folosind diagrame de timp. Să introducem următoarea notație pentru axele timpului:
În-fluxul de aplicații de intrare, aici ti- momentele primirii cererilor; Ti- intervale de timp dintre două aplicații consecutive. Este evident că ti=ti-1 +Ti.
K1 este primul canal de servicii;
Canal de serviciu K2 secunde; aici liniile groase de pe axa timpului indică intervalele de ocupare a canalului. Dacă ambele canale sunt libere, atunci cererea devine deservită pe canalul K1; dacă este ocupată, cererea este deservită de canalul K2.
Dacă ambele canale sunt ocupate, atunci cererea lasă QS-ul neservit.
Out OB - fluxul de ieșire al cererilor deservite.
Out PT - flux de ieșire de cereri pierdute din cauza eșecurilor QS (cazul ocupării ambelor canale).
Testarea statistică continuă pe intervalul de timp. Evident, orice exces de timp tmax implică descărcarea cererii în fluxul de ieșire Output PT. Deci în fig. 3 cererea nr. 10, care a intrat în sistem în acest moment t10, nu are timp sa fie servit pana in momentul de fata tmax, deoarece t10+Tol.>tmax. În consecință, nu este acceptat de canalul liber K1 pentru service și este resetat la PT de ieșire, primind un refuz.

Orez. 3

Din diagramele temporale este clar că este necesar să învățați cum să modelați intervalele Ti. Să aplicăm metoda funcțiilor inverse. Din moment ce variabila aleatoare Ti distribuite conform legii exponenţiale cu parametrul λ =5, atunci densitatea distribuției are forma f(τ)=5е-5τ. Apoi valoarea F(Ti) funcția de distribuție a probabilității este determinată de integrală

.

Se știe că intervalul funcției de distribuție F(T) există un segment. Selectăm un număr din tabelul numerelor aleatoare și determinăm Ti din egalitate, de unde. Cu toate acestea, dacă . Prin urmare, puteți obține imediat implementări din tabelul numerelor aleatoare. Prin urmare,
e-5Ti= ri, sau -5Ti= lnri, Unde . Este convenabil să introduceți rezultatele calculului într-un tabel.
Pentru a efectua testul nr. 1, s-au luat numere aleatorii din Anexa 2, începând de la primul număr din prima linie. În continuare, selecția a fost efectuată pe rânduri. Să mai facem două teste.
Acordați atenție selecției numerelor aleatoare din tabelul din Anexa 2, dacă în testul nr. 1 ultimul număr aleatoriu pentru aplicația nr. 16 a fost 0,37 (primul număr aleator din a doua linie), atunci testul nr. 2 începe cu următorul număr aleatoriu 0,54. Proba 2 conține ultimul număr aleatoriu 0,53 (al cincilea număr din al treilea rând). Prin urmare, a treia încercare va începe cu numărul 0,19. În general, într-o serie de teste, numere aleatorii din tabel sunt selectate fără spații sau inserții într-o anumită ordine, de exemplu, pe rânduri.

Tabelul 1. TEST Nr. 1

Cererea nr. i	Sl. număr ri		-Ln ri Ti	Momentul primirii cererii ti=ti-1+Ti	Momentul încheierii serviciului. ti+0,50		Contor de aplicații
					K1

Tabelul 2 TEST Nr. 2

Cererea nr. i	Sl. număr ri		-Ln ri Ti	Momentul primirii cererii ti=ti-1+Ti	Momentul încheierii serviciului. ti+0,50		Contor de aplicații

Tabelul Nr. 3 TEST Nr. 3

Cererea nr. i		Sl. număr ri		-Ln ri Ti	Momentul primirii cererii ti=ti-1+Ti	Momentul încheierii serviciului. ti+0,50		Contor de aplicații
						K1

Astfel, pe baza rezultatelor a trei teste, numărul cererilor deservite a fost respectiv: x1=9, x2=9, x3=8. Să aflăm numărul mediu de solicitări servite:

Răspuns: numărul mediu de cereri deservite de QS în 4 minute este 8,6(6).

La rezolvarea problemelor de control, inclusiv comanda și controlul trupelor, apar adesea o serie de probleme similare:

• evaluarea capacității unei direcții de comunicație, nod feroviar, spital etc.;
• evaluarea eficacității bazei de reparații;
• determinarea numărului de frecvențe pentru o rețea radio etc.

Toate aceste sarcini sunt similare în sensul că implică o cerere masivă de servicii. Un anumit set de elemente este implicat în satisfacerea acestei cereri, formând un sistem de așteptare (QS) (Fig. 2.9).

Elementele QS sunt:

• intrare (intrat) fluxul cererii(cereri) de service;
• dispozitive de serviciu (canale);
• coada de aplicații care așteaptă serviciul;
• zi libera ( ieșire) curgere cererile procesate;
• fluxul de aplicații neservite;
• coadă de canale libere (pentru QS multicanal).

Flux de intrare este o colecție de solicitări de servicii. Adesea, aplicația este identificată cu purtătorul acesteia. De exemplu, un flux de echipamente radio defecte care intră într-un atelier al unei asociații reprezintă un flux de cereri - cerințe pentru service în acest QS.

De regulă, în practică ne ocupăm de așa-numitele fluxuri recurente - fluxuri care au următoarele proprietăți:

• staționaritate;
• comun;
• efect secundar limitat.

Am definit primele două proprietăți mai devreme. În ceea ce privește efectul secundar limitat, acesta constă în faptul că intervalele dintre aplicațiile primite sunt variabile aleatoare independente.

Există multe fire recurente. Fiecare lege de distribuție a intervalului generează propriul flux recurent. Fluxurile recurente sunt altfel numite fluxuri Palm.

Un flux cu o absență completă a efectelor secundare, așa cum sa menționat deja, se numește Poisson staționar. Intervalele sale aleatoare dintre comenzi au o distribuție exponențială:

aici este intensitatea curgerii.

Denumirea fluxului - Poisson - vine de la faptul că pentru aceasta probabilitatea de curgere apariția ordinelor în timpul intervalului este determinată de legea lui Poisson:

Un flux de acest tip, așa cum am menționat mai devreme, este numit și cel mai simplu. Acesta este exact fluxul pe care îl asumă designerii atunci când dezvoltă un QS. Acest lucru se datorează a trei motive.

in primul rand, un flux de acest tip în teoria cozilor este similar cu legea distribuției normale în teoria probabilității în sensul că cel mai simplu flux se realizează prin trecerea la limita pentru un flux care este suma debitelor cu caracteristici arbitrare cu o creștere infinită a termeni şi o scădere a intensităţii acestora. Adică, suma fluxurilor independente arbitrare (fără dominanță) cu intensități este cel mai simplu flux cu intensitate

În al doilea rând, dacă canalele (dispozitivele) de servire sunt proiectate pentru cel mai simplu flux de solicitări, atunci deservirea altor tipuri de fluxuri (cu aceeași intensitate) va fi asigurată cu o eficiență nu mai mică.

Al treilea, tocmai acest flux determină procesul Markov în sistem și, în consecință, simplitatea analizei analitice a sistemului. Pentru alte fluxuri, analiza funcționării QS este complexă.

Există adesea sisteme în care fluxul de cereri de intrare depinde de numărul de solicitări deservite. Astfel de SMO-uri sunt numite închis(in caz contrar - deschis). De exemplu, munca unui atelier de comunicare a asociației poate fi reprezentată de un model QS în buclă închisă. Fie ca acest atelier să fie destinat deservirii posturilor de radio care sunt în asociație. Fiecare dintre ei are Rata de eșec. Fluxul de intrare al echipamentului defectat va avea următoarea intensitate:

unde este numărul posturilor de radio aflate deja în atelier pentru reparații.

Aplicațiile pot avea eligibilitate diferită pentru a începe serviciul. În acest caz, ei spun că aplicațiile eterogen. Avantajele unor fluxuri de aplicații față de altele sunt determinate de scara de prioritate.

O caracteristică importantă a fluxului de intrare este coeficientul de variație:

unde este așteptarea matematică a lungimii intervalului;

Abaterea standard a unei variabile aleatoare (lungimea intervalului).

Pentru cel mai simplu flux

Pentru cele mai multe fire reale.

Când fluxul este regulat, determinist.

Coeficientul de variație- o caracteristică care reflectă gradul de neuniformitate în primirea cererilor.

Canale de servicii (dispozitive). QS-ul poate avea unul sau mai multe dispozitive de service (canale). În conformitate cu aceasta, QS-urile sunt numite cu un singur canal sau cu mai multe canale.

Multicanal QS-ul poate consta din aceleași tipuri de dispozitive sau din diferite tipuri. Dispozitivele de service pot fi:

• linii de comunicare;
• tehnicieni reparatori;
• piste de aterizare;
• vehicule;
• dane;
• coafor, vanzatori etc.

Caracteristica principală a unui canal este timpul de serviciu. De regulă, timpul de service este o valoare aleatorie.

De obicei, practicienii cred că timpul de serviciu are o lege de distribuție exponențială:

unde este intensitatea serviciului, ;

Așteptarea matematică a timpului de serviciu.

Adică, procesul de serviciu este Markovian, iar acest lucru, după cum știm acum, oferă o comoditate semnificativă în modelarea matematică analitică.

Pe lângă distribuția exponențială, există distribuții Erlang, distribuții hiperexponențiale, distribuții triunghiulare și altele. Acest lucru nu ar trebui să ne încurce, deoarece s-a demonstrat că valoarea criteriilor de eficiență QS depinde puțin de tipul de lege de distribuție a probabilității pentru timpul de serviciu.

Când studiezi QS, esența serviciului se pierde din considerare, calitatea serviciului.

Canalele pot fi absolut de incredere, adică să nu eșuezi. Sau, mai degrabă, acest lucru poate fi acceptat în timpul cercetării. Canalele pot avea fiabilitate supremă. În acest caz, modelul QS este mult mai complicat.

Coada de aplicații. Datorită naturii aleatorii a fluxului de cereri și de deservire, o solicitare care sosește poate găsi canalul (canalele) ocupat cu deservirea cererii anterioare. În acest caz, fie va lăsa QS-ul neservit, fie va rămâne în sistem, așteptând ca serviciul său să înceapă. În conformitate cu aceasta, ei disting:

• QS cu defecțiuni;
• SMO cu anticipare.

CMO cu anticipare caracterizată prin prezenţa cozilor. O coadă poate avea o capacitate limitată sau nelimitată: .

Cercetătorul este de obicei interesat de următoarele caracteristici statistice asociate cu rămânerea aplicațiilor în coadă:

• numărul mediu de aplicații din coadă în intervalul de studiu;
• timpul mediu petrecut (de așteptare) pentru o aplicație în coadă. QS cu capacitate limitată la coadă denumit QS de tip mixt.

Adesea există CMO-uri în care aplicațiile au timp limitat la coadă indiferent de capacitatea acestuia. Astfel de QS-uri sunt, de asemenea, clasificate ca QS-uri de tip mixt.

Flux de ieșire este fluxul de aplicații deservite care părăsesc QS.

Există cazuri când cererile trec prin mai multe QS: comunicare de tranzit, transport de producție etc. În acest caz, fluxul de ieșire este de intrare pentru următorul QS. Este numit un set de QS-uri interconectate secvenţial sistem multifazic de asteptare sau rețele QS.

Fluxul de intrare al primului QS, care trece prin QS-urile ulterioare, este distorsionat și acest lucru complică modelarea. Cu toate acestea, trebuie reținut că cu cel mai simplu flux de intrare și serviciu exponențial (adică în sistemele Markov), fluxul de ieșire este, de asemenea, cel mai simplu. Dacă timpul de serviciu are o distribuție non-exponențială, atunci fluxul de ieșire nu numai că nu este cel mai simplu, dar nici nu este recurent.

Rețineți că intervalele dintre solicitările fluxului de ieșire nu sunt aceleași cu intervalele de service. La urma urmei, se poate dovedi că, după încheierea următorului serviciu, QS-ul este inactiv de ceva timp din cauza lipsei de aplicații. În acest caz

Fluxul de comenzi este Poisson dacă sunt îndeplinite 3 condiții:

Intensitatea fluxului evenimentului () este numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp.

Să ne uităm la unele proprietăți (tipuri) de fluxuri de evenimente.

Fluxul de evenimente este numit staționar, dacă caracteristicile sale probabilistice nu depind de timp.

În special, intensitatea fluxului staționar este constantă. Fluxul evenimentelor are inevitabil condensări sau rarefacții, dar acestea nu sunt de natură obișnuită, iar numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp este constant și nu depinde de timp.

Fluxul de evenimente este numit curge fara consecinte, dacă pentru oricare două secțiuni de timp care nu se suprapun și (vezi Fig. 2) numărul de evenimente care cad pe una dintre ele nu depinde de câte evenimente cad pe celălalt. Cu alte cuvinte, aceasta înseamnă că evenimentele care formează fluxul apar în anumite momente în timp independent unul de altulși fiecare sunt cauzate de propriile sale cauze.

Fluxul de evenimente este numit comun, dacă evenimentele apar în el unul câte unul, și nu în grupuri de mai multe simultan.

Fluxul de evenimente este numit cel mai simplu (sau staționar Poisson), dacă are trei proprietăți simultan:

Probabilitatea unui eveniment (sosirea unei aplicații) într-un interval scurt de timp este proporțională cu lungimea acestui interval.

Probabilitatea a 2 evenimente pe un interval mic este neglijabilă.

Convingerea că o cerere este primită nu depinde de evenimentele anterioare.

Cel mai simplu flux are cea mai simplă descriere matematică. Ea joacă același rol special între fluxuri ca și legea distribuției normale între alte legi de distribuție. Și anume, la suprapunerea unui număr suficient de mare de fluxuri independente, staționare și obișnuite (comparabile între ele ca intensitate), se obține un flux apropiat de cel mai simplu.

Cele mai simple QS și caracteristicile lor. Sisteme fără pierderi multicanal și cu un singur canal, cu latență nelimitată și o sursă cu un număr infinit de cerințe. Condiție pentru existența unei cozi medii finite pentru sisteme multicanal.

Exemple de sisteme de așteptare (QS): centrale telefonice, ateliere de reparații, case de bilete, birouri de informații, mașini-unelte și alte sisteme tehnologice, sisteme de control ale sistemelor flexibile de producție etc.

Fiecare QS constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu, care sunt numite canale de servicii(acestea sunt mașini, cărucioare de transport, roboți, linii de comunicare, casierii, vânzători etc.). Fiecare QS este conceput pentru a servi un fel de fluxul de aplicații(cerințe) sosind la unele momente aleatorii în timp.

Servirea cererii continuă pentru un timp, în general, aleatoriu, după care canalul este eliberat și gata să primească următoarea cerere. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și a timpului de service duce la faptul că, în anumite perioade de timp, la intrarea QS-ului se acumulează un număr excesiv de mare de aplicații (fie pun la coadă, fie lasă QS-ul neservit). În alte perioade, sistemul va funcționa cu subîncărcare sau va fi complet inactiv.

Cel mai simplu QS cu așteptare este un sistem cu un singur canal care primește un flux de solicitări cu o anumită intensitate.O solicitare care sosește într-un moment în care canalul este ocupat este pus în coadă și așteaptă serviciul.

MCU-urile sunt folosite pentru a simula mai multe obiecte de operare paralelă. Modelarea unui MCU este similară cu modelarea unui dispozitiv: o tranzacție intră în dispozitiv, ocupă un anumit număr de canale, este deservită o perioadă de timp și apoi părăsește MCU, eliberând canalele pe care le-a ocupat.

Condiții într-un obiect real necesare utilizării MKU pentru reprezentarea lor în model:

Obiectele trebuie să aibă aceeași funcție de distribuție a timpului de serviciu

Aceiași parametri pentru această funcție.

Spre deosebire de dispozitiv, capacitatea pisicii este întotdeauna egală cu unu, capacitatea MKU d.b. definit de programator. Pentru a face acest lucru, utilizați o comandă specială STORAGE (DEFINE MCU).

Numele echipei DEPOZITARE A

Câmpul CommandName este numele simbolic al MCU, iar câmpul A este capacitatea acestuia (numărul de canale de serviciu), operandul A poate fi specificat doar ca un întreg pozitiv.

Ex: MKU1 STORAGE 5 TRAKT STORAGE 30 (capacitatea MKU cu numele MKU1 este definită ca 5, MKU cu numele TRAKT este 30).

Evenimentul asociat cu ocuparea canalelor de serviciu este modelat de blocul ENTER, iar evenimentul asociat cu eliberarea canalelor este modelat de blocul LEAVE.

A este numele MKU. B – numărul de unități de capacitate MCU pe care pisica trebuie să ocupe (eliberează) tranzacția. Implicit =1.

Ex: 1) ENTER BLOK3 (introduceți MCU cu numele BLOK3);

2)LEAVE SEANS,3 (eliberați 3 unități de capacitate MCU cu numele SEANS).

Între blocurile ENTER și LEAVE pot exista orice număr de blocuri. În special, întârzierea în timpul deservirii în MCU este simulată folosind blocul ADVANCE.

Dacă numărul de unități de capacitate specificat de operandul B al blocului LEAVE depășește numărul de canale MCU ocupate în prezent, interpretul oprește simularea și afișează un mesaj de eroare.

Pentru tranzacțiile care așteaptă ocuparea MCU, se aplică regula „primul care se potrivește cu permisele”.

Când o tranzacție intră în blocul LEAVE, interpretul își întrerupe progresul, permițând următoarei tranzacții din lanțul de întârziere al acestui MCU să intre în blocul ENTER și numai după aceea avansează tranzacția care a părăsit MCU în model. Tranzacția care părăsește lanțul de întârziere MCU este transferată la DTS și devine ultima din clasa sa de prioritate.

MCU-urile au următoarele NAV-uri: S - conținutul curent al MCU; R este capacitatea liberă a MCU; SR - rata de utilizare în fracții de 1000; SA - parte întreagă a conținutului mediu al MKU; SM - conținutul maxim al MCU; SC - numărul de clase MKU; ST este o parte întreagă a timpului mediu de ocupare a MKU.

Blocurile Seize și Release sunt folosite pentru a proiecta dispozitive cu un singur canal

APISCAA(ocupa) - ocuparea dispozitivului printr-o tranzacție. A- numele punctului de intrare al dispozitivului.

ELIBERAREA(eliberare) – eliberarea dispozitivului prin tranzacție după expirarea perioadei de service.