Enumerați proprietățile adăugării pe măsură ce sunt citite. Proprietăți de adunare, înmulțire, scădere și împărțire a numerelor întregi

Să desenăm un dreptunghi cu laturile de 5 cm și 3 cm pe o bucată de hârtie în carouri, împărțiți-l în pătrate cu laturile de 1 cm (Fig. 143). Să numărăm numărul de celule situate în dreptunghi. Acest lucru se poate face, de exemplu, așa.

Numărul de pătrate cu latura de 1 cm este 5 * 3. Fiecare astfel de pătrat este format din patru celule. Prin urmare, numărul total de celule este (5 * 3) * 4.

Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit. Fiecare dintre cele cinci coloane ale dreptunghiului este formată din trei pătrate cu latura de 1 cm. Prin urmare, o coloană conține 3 * 4 celule. Prin urmare, vor fi 5 * (3 * 4) celule în total.

Numărarea celulelor din Figura 143 ilustrează în două moduri proprietatea asociativă a înmulțirii pentru numerele 5, 3 și 4. Avem: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea număr.

(ab)c = a(bc)

Din proprietățile comutative și combinatorii ale înmulțirii rezultă că atunci când se înmulțesc mai multe numere, factorii pot fi schimbați și plasați în paranteze, determinând astfel ordinea calculelor.

De exemplu, următoarele egalități sunt adevărate:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

În Figura 144, segmentul AB împarte dreptunghiul discutat mai sus într-un dreptunghi și un pătrat.

Să numărăm numărul de pătrate cu latura de 1 cm în două moduri.

Pe de o parte, pătratul rezultat conține 3 * 3 dintre ele, iar dreptunghiul conține 3 * 2. În total obținem 3 * 3 + 3 * 2 pătrate. Pe de altă parte, în fiecare dintre cele trei linii ale acestui dreptunghi sunt 3 + 2 pătrate. Atunci numărul lor total este 3 * (3 + 2).

Egal cu 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrează proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

Pentru a înmulți un număr cu suma a două numere, puteți înmulți acest număr cu fiecare sumă și adăugați produsele rezultate.

În formă literală, această proprietate este scrisă după cum urmează:

a(b + c) = ab + ac

Din proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare rezultă că

ab + ac = a(b + c).

Această egalitate permite formulei P = 2 a + 2 b să găsească perimetrul unui dreptunghi care să fie scris în această formă:

P = 2 (a + b).

Rețineți că proprietatea de distribuție este valabilă pentru trei sau mai mulți termeni. De exemplu:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la scădere este de asemenea adevărată: dacă b > c sau b = c, atunci

a(b − c) = ab − ac

Exemplu 1 . Calculați într-un mod convenabil:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Folosim proprietățile comutative și apoi asociative ale înmulțirii:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Avem:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Exemplu 2 . Simplificați expresia:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Folosind proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii, obținem:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la scădere, obținem:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Exemplu 3 . Scrieți expresia 5 (2 m + 7) astfel încât să nu conțină paranteze.

Conform proprietății distributive a înmulțirii în raport cu adunarea, avem:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Această transformare se numește parantezele de deschidere.

Exemplu 4 . Calculați valoarea expresiei 125 * 24 * 283 într-un mod convenabil.

Soluţie. Avem:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Exemplu 5 . Efectuați înmulțirea: 3 zile 18 ore * 6.

Soluţie. Avem:

3 zile 18 ore * 6 = 18 zile 108 ore = 22 zile 12 ore.

La rezolvarea exemplului, a fost folosită proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea:

3 zile 18 ore * 6 = (3 zile + 18 ore) * 6 = 3 zile * 6 + 18 ore * 6 = 18 zile + 108 ore = 18 zile + 96 ore + 12 ore = 18 zile + 4 zile + 12 ore = 22 zile 12 ore.

Se pot observa o serie de rezultate inerente acestei acțiuni. Aceste rezultate sunt numite proprietățile adunării numerelor naturale. În acest articol vom analiza în detaliu proprietățile adunării numerelor naturale, le vom scrie folosind litere și vom oferi exemple explicative.

Navigare în pagină.

Proprietatea combinativă a adunării numerelor naturale.

Acum să dăm un exemplu care ilustrează proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale.

Să ne imaginăm o situație: 1 măr a căzut din primul măr, iar 2 mere și încă 4 mere au căzut din al doilea măr. Acum luați în considerare această situație: 1 măr și încă 2 mere au căzut din primul măr și 4 mere au căzut din al doilea măr. Este clar că va exista același număr de mere pe pământ atât în ​​primul cât și în al doilea caz (care pot fi verificate recalcularea). Adică, rezultatul adunării numărului 1 cu suma numerelor 2 și 4 este egal cu rezultatul adunării sumei numerelor 1 și 2 cu numărul 4.

Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietatea combinatorie de a adăuga numere naturale: pentru a adăuga o sumă dată de două numere la un număr dat, putem adăuga primul termen al sumei date la acest număr și adunăm al doilea termen al suma dată rezultatului rezultat. Această proprietate poate fi scrisă folosind litere ca aceasta: a+(b+c)=(a+b)+c, unde a, b și c sunt numere naturale arbitrare.

Vă rugăm să rețineți că egalitatea a+(b+c)=(a+b)+c conține paranteze „(” și „)”. Parantezele sunt folosite în expresii pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile - acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi (mai multe despre acest lucru sunt scrise în secțiune). Cu alte cuvinte, expresiile ale căror valori sunt evaluate mai întâi sunt plasate în paranteze.

În încheierea acestui paragraf, observăm că proprietatea asociativă a adunării ne permite să determinăm fără ambiguitate adunarea a trei, patru sau mai multe numere naturale.

Proprietatea de a adăuga zero și un număr natural, proprietatea de a adăuga zero și zero.

Știm că zero NU este un număr natural. Așadar, de ce am decis să ne uităm la proprietatea de a adăuga zero și un număr natural în acest articol? Există trei motive pentru aceasta. În primul rând: această proprietate este folosită atunci când adunarea numerelor naturale într-o coloană. În al doilea rând: această proprietate este folosită când scăderea numerelor naturale. În al treilea rând: dacă presupunem că zero înseamnă absența a ceva, atunci sensul adunării zero și a unui număr natural coincide cu sensul adunării a două numere naturale.

Să efectuăm niște raționamente care ne vor ajuta să formulăm proprietatea de a adăuga zero și un număr natural. Să ne imaginăm că nu există obiecte în cutie (cu alte cuvinte, există 0 obiecte în cutie), iar în ea sunt plasate obiecte, unde a este orice număr natural. Adică am adăugat 0 și a obiecte. Este clar că după această acțiune există un obiect în cutie. Prin urmare, egalitatea 0+a=a este adevărată.

În mod similar, dacă o cutie conține un articol și 0 elemente sunt adăugate la ea (adică nu sunt adăugate articole), atunci după această acțiune va exista un articol în casetă. Deci a+0=a .

Acum putem da formula proprietății de a adăuga zero și un număr natural: suma a două numere, dintre care unul este zero, este egală cu al doilea număr. Din punct de vedere matematic, această proprietate poate fi scrisă ca următoarea egalitate: 0+a=a sau a+0=a, unde a este un număr natural arbitrar.

Separat, să acordăm atenție faptului că atunci când adunăm un număr natural și zero, proprietatea comutativă a adunării rămâne adevărată, adică a+0=0+a.

În cele din urmă, să formulăm proprietatea de a adăuga zero la zero (este destul de evident și nu necesită comentarii suplimentare): suma a două numere, fiecare egal cu zero, este egală cu zero. Acesta este, 0+0=0 .

Acum este timpul să vă dați seama cum să o faceți adunarea numerelor naturale.

Bibliografie.

• Matematică. Orice manuale pentru clasele I, a II-a, a III-a, a IV-a din instituțiile de învățământ general.
• Matematică. Orice manuale pentru clasa a V-a a instituțiilor de învățământ general.

Subiectul căruia îi este dedicată această lecție este „Proprietățile adunării”. În acesta, vă veți familiariza cu proprietățile comutative și asociative ale adunării, examinându-le cu exemple specifice. Aflați în ce cazuri le puteți folosi pentru a ușura procesul de calcul. Exemplele de testare vă vor ajuta să determinați cât de bine ați stăpânit materialul studiat.

Lecția: Proprietățile adunării

Privește cu atenție expresia:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Trebuie să-i găsim valoarea. Hai să o facem.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultatul expresiei este 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Spune-mi, a fost convenabil să calculezi? Nu era foarte convenabil de calculat. Privește din nou numerele din această expresie. Este posibil să le schimbați astfel încât calculele să fie mai convenabile?

Dacă rearanjam numerele diferit:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Rezultatul final al expresiei este 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vedem că rezultatele expresiilor sunt aceleași.

Termenii pot fi schimbați dacă este convenabil pentru calcule, iar valoarea sumei nu se va schimba.

Există o lege în matematică: Legea comutativă a adunării. Se precizează că rearanjarea termenilor nu modifică suma.

Unchiul Fiodor și Sharik s-au certat. Sharik a găsit sensul expresiei așa cum a fost scrisă, iar unchiul Fiodor a spus că știe un alt mod de calcul, mai convenabil. Vedeți o modalitate mai bună de a calcula?

Sharik a rezolvat expresia așa cum era scrisă. Iar unchiul Fiodor a spus că știe legea care permite schimbul de termeni și a schimbat numerele 25 și 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vedem că rezultatul rămâne același, dar calculul a devenit mult mai ușor.

Privește următoarele expresii și citește-le.

6 + (24 + 51) = 81 (la 6 se adaugă suma 24 și 51)
Există o modalitate convenabilă de a calcula?
Vedem că dacă adunăm 6 și 24, obținem un număr rotund. Este întotdeauna mai ușor să adăugați ceva la un număr rotund. Să punem între paranteze suma numerelor 6 și 24.
(6 + 24) + 51 = …
(adăugați 51 la suma numerelor 6 și 24)

Să calculăm valoarea expresiei și să vedem dacă valoarea expresiei s-a schimbat?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vedem că sensul expresiei rămâne același.

Să exersăm cu încă un exemplu.

(27 + 19) + 1 = 47 (adăugați 1 la suma numerelor 27 și 19)
Ce numere sunt convenabile de grupat pentru a forma o metodă convenabilă?
Ai ghicit că acestea sunt numerele 19 și 1. Să punem între paranteze suma numerelor 19 și 1.
27 + (19 + 1) = …
(la 27 se adaugă suma numerelor 19 și 1)
Să găsim sensul acestei expresii. Ne amintim că acțiunea din paranteze este executată mai întâi.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Sensul expresiei noastre rămâne același.

Legea combinației adunării: doi termeni alăturați pot fi înlocuiți cu suma lor.

Acum să exersăm folosind ambele legi. Trebuie să calculăm valoarea expresiei:

38 + 14 + 2 + 6 = …

În primul rând, să folosim proprietatea comutativă a adunării, care ne permite să schimbăm aditivi. Să schimbăm termenii 14 și 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Acum să folosim proprietatea combinație, care ne permite să înlocuim doi termeni adiacenți cu suma lor.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Mai întâi aflăm valoarea sumei 38 și 2.

Acum suma este 14 și 6.

3. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().

Fă-o acasă

1. Calculați suma termenilor în diferite moduri:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Evaluați rezultatele expresiilor:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Calculați suma într-un mod convenabil:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Am definit adunarea, înmulțirea, scăderea și împărțirea numerelor întregi. Aceste acțiuni (operații) au o serie de rezultate caracteristice, care se numesc proprietăți. În acest articol ne vom uita la proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor întregi, din care urmează toate celelalte proprietăți ale acestor acțiuni, precum și proprietățile de scădere și împărțire a numerelor întregi.

Navigare în pagină.

Adunarea numerelor întregi are câteva alte proprietăți foarte importante.

Una dintre ele este legată de existența lui zero. Această proprietate de adunare a numerelor întregi afirmă că adăugarea zero la orice număr întreg nu schimbă acel număr. Să scriem această proprietate a adunării folosind literele: a+0=a și 0+a=a (această egalitate este adevărată datorită proprietății comutative a adunării), a este orice număr întreg. S-ar putea să auzi că întregul zero se numește în plus element neutru. Să dăm câteva exemple. Suma întregului −78 și zero este −78; Dacă adăugați numărul întreg pozitiv 999 la zero, rezultatul este 999.

Acum vom da o formulare a unei alte proprietăți de adunare a numerelor întregi, care este asociată cu existența unui număr opus pentru orice număr întreg. Suma oricărui număr întreg cu numărul său opus este zero. Să dăm forma literală a scrierii acestei proprietăți: a+(−a)=0, unde a și −a sunt numere întregi opuse. De exemplu, suma 901+(−901) este zero; în mod similar, suma numerelor întregi opuse -97 și 97 este zero.

Proprietățile de bază ale înmulțirii numerelor întregi

Înmulțirea numerelor întregi are toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale. Să enumerăm principalele dintre aceste proprietăți.

La fel cum zero este un întreg neutru în ceea ce privește adunarea, unul este un întreg neutru în ceea ce privește înmulțirea întregului. Acesta este, înmulțirea oricărui număr întreg cu unul nu schimbă numărul înmulțit. Deci 1·a=a, unde a este orice număr întreg. Ultima egalitate poate fi rescrisă ca a·1=a, aceasta ne permite să facem proprietatea comutativă a înmulțirii. Să dăm două exemple. Produsul întregului 556 cu 1 este 556; produsul dintre unu și întregul negativ −78 este egal cu −78.

Următoarea proprietate a înmulțirii numerelor întregi este legată de înmulțirea cu zero. Rezultatul înmulțirii oricărui număr întreg a cu zero este zero, adică a·0=0 . Egalitatea 0·a=0 este adevărată și datorită proprietății comutative a înmulțirii numerelor întregi. În cazul special când a=0, produsul dintre zero și zero este egal cu zero.

Pentru înmulțirea numerelor întregi este adevărată și proprietatea inversă față de cea anterioară. Pretinde că produsul a două numere întregi este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. În formă literală, această proprietate poate fi scrisă după cum urmează: a·b=0, dacă fie a=0, fie b=0, fie ambele a și b sunt egale cu zero în același timp.

Proprietatea distributivă a înmulțirii numerelor întregi în raport cu adunarea

Adunarea și înmulțirea în comun a numerelor întregi ne permite să luăm în considerare proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare, care leagă cele două acțiuni indicate. Folosirea adunării și înmulțirii împreună ne deschide posibilități suplimentare pe care le-am rata dacă am lua în considerare adunarea separat de înmulțire.

Deci, proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare afirmă că produsul unui număr întreg a și suma a două numere întregi a și b este egal cu suma produselor a b și a c, adică a·(b+c)=a·b+a·c. Aceeași proprietate poate fi scrisă sub altă formă: (a+b)c=ac+bc .

Proprietatea distributivă a înmulțirii numerelor întregi în raport cu adunarea, împreună cu proprietatea combinatorie a adunării, ne permite să determinăm înmulțirea unui număr întreg cu suma a trei sau mai multe numere întregi și apoi înmulțirea sumei numerelor întregi cu suma.

De asemenea, rețineți că toate celelalte proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor întregi pot fi obținute din proprietățile pe care le-am indicat, adică sunt consecințe ale proprietăților indicate mai sus.

Proprietăți de scădere a numerelor întregi

Din egalitatea rezultată, precum și din proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor întregi, urmează următoarele proprietăți de scădere a numerelor întregi (a, b și c sunt numere întregi arbitrare):

• Scăderea numerelor întregi în general NU are proprietatea comutativă: a−b≠b−a.
• Diferența numerelor întregi egale este zero: a−a=0.
• Proprietatea de a scădea suma a două numere întregi dintr-un întreg dat: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Proprietatea de a scădea un număr întreg din suma a două numere întregi: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: a·(b−c)=a·b−a·c și (a−b)·c=a·c−b·c.
• Și toate celelalte proprietăți ale scăderii numerelor întregi.

Proprietăți de împărțire a numerelor întregi

În timp ce am discutat despre semnificația împărțirii numerelor întregi, am aflat că împărțirea numerelor întregi este acțiunea inversă a înmulțirii. Am dat următoarea definiție: împărțirea numerelor întregi înseamnă găsirea unui factor necunoscut dintr-un produs cunoscut și un factor cunoscut. Adică, numim întregul c câtul împărțirii întregului a la întregul b, când produsul c·b este egal cu a.

Această definiție, precum și toate proprietățile operațiilor asupra numerelor întregi discutate mai sus, fac posibilă stabilirea validității următoarelor proprietăți de împărțire a numerelor întregi:

• Niciun număr întreg nu poate fi împărțit la zero.
• Proprietatea de a împărți zero la un număr întreg arbitrar a altul decât zero: 0:a=0.
• Proprietatea împărțirii numerelor întregi egale: a:a=1, unde a este orice număr întreg, altul decât zero.
• Proprietatea de a împărți un număr întreg arbitrar a la unu: a:1=a.
• În general, împărțirea numerelor întregi NU are proprietatea comutativă: a:b≠b:a .
• Proprietăți de împărțire a sumei și diferenței a două numere întregi la un număr întreg: (a+b):c=a:c+b:c și (a−b):c=a:c−b:c, unde a, b , și c sunt numere întregi astfel încât atât a cât și b sunt divizibile cu c și c este diferit de zero.
• Proprietatea de a împărți produsul a două numere întregi a și b la un întreg c altul decât zero: (a·b):c=(a:c)·b, dacă a este divizibil cu c; (a·b):c=a·(b:c) , dacă b este divizibil cu c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) dacă ambele a și b sunt divizibile cu c .
• Proprietatea împărțirii unui număr întreg a la produsul a două numere întregi b și c (numerele a , b și c sunt astfel încât împărțirea a la b c este posibilă): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Orice alte proprietăți ale împărțirii numerelor întregi.