Integrală definită prin exemple de părți. Rezolvarea integralelor online

Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).De fapt
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale, de exemplu: pătrat (x 2) și rădăcină pătrată (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”; ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"( x), imagine primară sau primitivă.

Definiție. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda integrării prin substituție presupune introducerea unei noi variabile de integrare (adică substituția). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolul) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolul) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar; nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă; vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există acesta: este formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - cu ea vom lucra toată lecția (este deja mai ușor).

Și imediat lista la studio. Integralele de următoarele tipuri sunt luate pe părți:

1) , , - logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) ,este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include, de asemenea, integrale, cum ar fi - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o litera frumoasă „e”. ... articolul se dovedește a fi ceva liric, ah da... a venit primăvara.

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți; vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare pe părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .

În integralele de tipul luat în considerare, notăm întotdeauna logaritmul.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează; scriem în coloană:

Adică, pentru că am notat logaritmul, iar pentru - partea rămasă expresie integrand.

Etapa următoare: găsiți diferența:

Un diferențial este aproape același cu un derivat; am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai mică:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: .
Apropo, iată o mostră a soluției finale cu câteva note:

Singurul punct al lucrării este că am schimbat imediat și , deoarece este obișnuit să scrieți factorul înainte de logaritm.

După cum puteți vedea, aplicarea formulei de integrare prin părți a redus soluția noastră la două integrale simple.

Vă rugăm să rețineți că în unele cazuri imediat dupa aplicarea formulei, o simplificare se efectuează în mod necesar sub integrala rămasă - în exemplul luat în considerare, am redus integrandul la „x”.

Hai să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați derivata răspunsului:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost rezolvată corect.

În timpul testului, am folosit regula de diferențiere a produsului: . Și asta nu este o coincidență.

Formula de integrare pe părți si formula – acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Integrandul este produsul dintre un logaritm și un polinom.
Să decidem.

Voi descrie din nou în detaliu procedura de aplicare a regulii; în viitor, exemplele vor fi prezentate mai pe scurt și, dacă întâmpinați dificultăți în a o rezolva singur, trebuie să reveniți la primele două exemple ale lecției .

După cum sa menționat deja, este necesar să se noteze logaritmul (faptul că este o putere nu contează). Notăm partea rămasă expresie integrand.

Scriem într-o coloană:

Mai întâi găsim diferența:

Aici folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe . Nu întâmplător, chiar la prima lecție a subiectului Integrală nedefinită. Exemple de soluții M-am concentrat pe faptul că, pentru a stăpâni integralele, este necesar să „puneți mâna pe” derivate. Va trebui să vă ocupați de derivate de mai multe ori.

Acum găsim funcția, pentru aceasta integrăm partea dreapta egalitate mai mică:

Pentru integrare am folosit cea mai simplă formulă tabelară

Acum totul este gata pentru aplicarea formulei . Deschideți cu un asterisc și „construiți” soluția în conformitate cu partea dreaptă:

Sub integrală avem din nou un polinom pentru logaritm! Prin urmare, soluția este din nou întreruptă și se aplică a doua oară regula integrării pe părți. Nu uitați că în situații similare logaritmul este întotdeauna notat.

Ar fi bine dacă până acum ați ști să găsiți pe cale orală cele mai simple integrale și derivate.

(1) Nu vă încurcați în semne! Foarte des, minusul este pierdut aici, de asemenea, rețineți că minusul se referă la pentru toti paranteză , iar aceste paranteze trebuie extinse corect.

(2) Extindeți parantezele. Simplificam ultima integrala.

(3) Luăm ultima integrală.

(4) „Păptănând” răspunsul.

Necesitatea de a aplica regula integrării pe părți de două ori (sau chiar de trei ori) nu apare foarte rar.

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu se rezolvă prin schimbarea variabilei (sau înlocuirea acesteia sub semnul diferenţial)! De ce nu - poți încerca să-l iei în părți, se va dovedi a fi un lucru amuzant.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Dar această integrală este integrată de părți (fracția promisă).

Acestea sunt exemple pe care le puteți rezolva singur, soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Se pare că în exemplele 3 și 4 integranții sunt similari, dar metodele de rezolvare sunt diferite! Aceasta este principala dificultate în stăpânirea integralelor - dacă alegeți metoda greșită de rezolvare a unei integrale, atunci puteți să o jucați ore întregi, ca la un puzzle adevărat. Prin urmare, cu cât rezolvați mai multe integrale, cu atât mai bine, cu atât testul și examenul vor fi mai ușor. În plus, în al doilea an vor exista ecuații diferențiale, iar fără experiență în rezolvarea integralelor și derivatelor nu este nimic de făcut acolo.

În ceea ce privește logaritmii, acest lucru este probabil mai mult decât suficient. Ca o parte, îmi pot aminti și că studenții la inginerie folosesc logaritmi pentru a numi sânii feminini =). Apropo, este util să cunoaștem pe de rost graficele principalelor funcții elementare: sinus, cosinus, arctangent, exponent, polinoame de gradul trei, al patrulea etc. Nu, desigur, un prezervativ pe glob
Nu o voi întinde, dar acum vă veți aminti multe din secțiune Diagrame și funcții =).

Integrale ale unei exponențiale înmulțite cu un polinom

Regula generala:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Folosind un algoritm familiar, integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți cu integrala, atunci ar trebui să reveniți la articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Singurul lucru pe care îl puteți face este să modificați răspunsul:

Dar dacă tehnica ta de calcul nu este foarte bună, atunci cea mai profitabilă opțiune este să o lași ca răspuns sau chiar

Adică exemplul se consideră rezolvat atunci când se ia ultima integrală. Nu va fi o greșeală; este o altă problemă că profesorul vă poate cere să simplificați răspunsul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Această integrală este integrată de două ori pe părți. O atenție deosebită trebuie acordată semnelor - este ușor să vă confundați în ele, ne amintim, de asemenea, că aceasta este o funcție complexă.

Nu sunt multe de spus despre expozant. Pot doar să adaug că exponențialul și logaritmul natural sunt funcții reciproc inverse, acesta sunt eu pe tema graficelor distractive ale matematicii superioare =) Oprește-te, oprește-te, nu-ți face griji, lectorul este treaz.

Integrale ale funcțiilor trigonometrice înmulțite cu un polinom

Regula generala: reprezintă întotdeauna polinom

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Să integrăm pe părți:

Hmmm... și nimic de comentat.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Un alt exemplu cu o fracție. Ca și în cele două exemple anterioare, un polinom este notat cu.

Să integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți sau neînțelegeri în găsirea integralei, vă recomand să participați la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Sugestie: Înainte de a utiliza metoda integrării prin părți, ar trebui să aplicați o formulă trigonometrică care transformă produsul a două funcții trigonometrice într-o singură funcție. Formula poate fi folosită și la aplicarea metodei de integrare pe părți, oricare este mai convenabil pentru dvs.

Asta este probabil tot în acest paragraf. Din anumite motive, mi-am amintit de o linie din imnul de fizică și matematică „Și graficul sinusoidal merge val după val de-a lungul axei absciselor”...

Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse înmulțite cu un polinom

Regula generala: desemnează întotdeauna funcția trigonometrică inversă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că funcțiile trigonometrice inverse includ arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. De dragul conciziei înregistrării, le voi numi „arcuri”