Rezolvarea generală a unei ecuații omogene. Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior
Aici vom aplica metoda de variație a constantelor Lagrange pentru a rezolva ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi. O descriere detaliată a acestei metode de rezolvare a ecuațiilor de ordine arbitrară este prezentată pe pagină
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior prin metoda Lagrange >>>. Exemplul 1 Rezolvați o ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți folosind metoda de variație a constantelor Lagrange:
(1)
Soluţie Mai întâi rezolvăm ecuația diferențială omogenă:
(2)
Aceasta este o ecuație de ordinul doi. Rezolvarea ecuației pătratice:
.
Rădăcini multiple: . Sistemul fundamental de soluții la ecuația (2) are forma:
(3)
.
De aici obținem o soluție generală a ecuației omogene (2):
(4)
.
Variind constantele C 1
și C 2
. Adică, înlocuim constantele din (4) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (1) sub forma:
(5)
.
Găsirea derivatei:
.
Să conectăm funcțiile și ecuația:
(6)
.
Apoi
.
Găsim derivata a doua:
.
Înlocuiți în ecuația inițială (1):
(1)
;
.
Deoarece și satisface ecuația omogenă (2), suma termenilor din fiecare coloană a ultimelor trei rânduri dă zero, iar ecuația anterioară ia forma:
(7)
.
Aici . Împreună cu ecuația (6) obținem un sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(6)
:
(7)
.
Rezolvarea unui sistem de ecuații Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7). Să scriem expresii pentru funcții și:
.
Găsim derivatele lor:
;
.
Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7) folosind metoda Cramer. Calculăm determinantul matricei sistemului:
.
Folosind formulele lui Cramer găsim:
;
.
Deci, am găsit derivatele funcțiilor:
;
.
Să integrăm (vezi Metode pentru integrarea rădăcinilor). Efectuarea unei înlocuiri
;
;
;
.
.
.
;
.
Răspuns Exemplul 2 Rezolvați ecuația diferențială prin metoda variației constantelor Lagrange:
(8)
Soluţie Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene Rezolvăm ecuația diferențială omogenă: (9)
Cautam o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:
Această ecuație are rădăcini complexe:
.
Sistemul fundamental de soluții corespunzător acestor rădăcini are forma:
(10)
.
Soluția generală a ecuației omogene (9):
(11)
.
Pasul 2. Variația constantelor - înlocuirea constantelor cu funcții Acum variam constantele C 1
și C 2
. Adică, înlocuim constantele din (11) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (8) sub forma:
(12)
.
Mai mult, progresul soluției este același ca în exemplul 1. Ajungem la următorul sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(13)
:
(14)
.
Aici . Rezolvarea unui sistem de ecuații Să rezolvăm acest sistem. Să notăm expresiile pentru funcțiile și:
.
Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Rezolvăm sistemul de ecuații (13-14) folosind metoda Cramer. Determinant al matricei sistemului:
.
Folosind formulele lui Cramer găsim:
;
.
.
Deoarece , semnul modulului de sub semnul logaritmului poate fi omis. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.
Apoi
.
Soluție generală a ecuației inițiale:
.
Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.Să trecem la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordin superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu lecția Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuziilor de ordinul întâi se extind automat la ecuații diferențiale de ordin superior, prin urmare este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi. Mulți cititori pot avea o prejudecată că controlul de la distanță al comenzii 2, 3 și alte comenzi este ceva foarte dificil și inaccesibil de stăpânit. Este gresit . Învățarea rezolvării difuzelor de ordin superior este cu greu mai dificilă decât DE „obișnuite” de ordinul I. Și în unele locuri este și mai simplu, deoarece soluțiile folosesc în mod activ materiale din programa școlară.
Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi. La o ecuație diferențială de ordinul doi Neapărat include derivata a doua și nu este inclus
Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație; este important ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:
Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente; conform observațiilor mele subiective, ar obține aproximativ 3-4% din voturi în Duma de Stat.
La o ecuație diferențială de ordinul trei Neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:
Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: – tata e acasă, toți copiii sunt la plimbare.
Într-un mod similar, puteți defini ecuații diferențiale de ordinul 4, 5 și superior. În problemele practice, astfel de sisteme de control rareori eșuează, totuși, voi încerca să dau exemple relevante.
Ecuațiile diferențiale de ordin superior, care sunt propuse în probleme practice, pot fi împărțite în două grupe principale.
1) Primul grup - așa-numitul ecuații care pot fi reduse în ordine. Haide!
2) A doua grupă - ecuații liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. La care vom începe să ne uităm chiar acum.
Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți
În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații: ecuație omogenăȘi ecuație neomogenă.
DE omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți are următoarea formă:
 , unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă – strict zero.
După cum puteți vedea, nu există dificultăți deosebite cu ecuațiile omogene, principalul lucru este Rezolvați corect ecuația pătratică.
Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu o ecuație în formă  , unde la derivata a doua există o constantă diferită de unitate (și, în mod natural, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc; ar trebui să compuneți cu calm o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Dacă ecuaţia caracteristică  va avea două rădăcini reale diferite, de exemplu:  , atunci soluția generală va fi scrisă conform schemei obișnuite:  .
În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, pot apărea rădăcini „rele”, ceva de genul  . Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:
Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca  nici o problema, solutie generala:
Acesta este, oricum exista o solutie generala. Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.
În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:
Ecuații liniare omogene de ordin superior
Totul este foarte, foarte asemănător.
O ecuație liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație, trebuie să creați și o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
 , si el Oricum Are exact trei rădăcină
Să fie, de exemplu, toate rădăcinile reale și distincte:  , atunci soluția generală se va scrie după cum urmează:
Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt complexe conjugate, atunci scriem soluția generală după cum urmează:
Un caz special când toate cele trei rădăcini sunt multipli (la fel). Să considerăm cel mai simplu DE omogen de ordinul 3 cu un tată singuratic: . Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:
Dacă ecuaţia caracteristică  are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, în consecință, este următoarea:
Exemplul 9
Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei
Soluţie: Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:
, – se obțin o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.
Răspuns: decizie comună
În mod similar, putem considera o ecuație omogenă liniară de ordinul al patrulea cu coeficienți constanți: , unde sunt constante. |
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
Instrucțiuni
să studieze tema „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții facultății de contabilitate de educație prin corespondență (NISPO)
Gorki, 2013
Ecuații diferențiale liniare
de ordinul doi cu constantecoeficienți
Ecuații diferențiale liniare omogene
Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți
numită ecuație a formei
acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație 
Și
- niște numere și o funcție
dat pe un anumit interval
.
Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) va lua forma
,
(2)
si se numeste liniar omogen
. În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen
.
Luați în considerare funcția complexă
,
(3)
Unde
Și
- functii reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.
Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:
Dacă 
este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU– o constantă arbitrară va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Și 
există soluții pentru ecuația (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Și 
există soluții pentru ecuația (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde 
Și
– constante arbitrare.
Funcții
Și
sunt numite dependent liniar
pe interval
, dacă astfel de numere există 
Și
, nu egal cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea
Dacă egalitatea (4) apare numai când
Și
, apoi funcțiile
Și
sunt numite liniar independent
pe interval
.
Exemplul 1
. Funcții
Și
sunt liniar dependente, deoarece
pe întreaga linie numerică. În acest exemplu
.
Exemplul 2
. Funcții
Și
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
este posibilă numai în cazul în care
, Și
.
Construirea unei soluții generale la o omogenă liniară
ecuații
Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente 
Și 
. Combinație liniară a acestor soluții
, Unde 
Și
sunt constante arbitrare și vor da o soluție generală unei ecuații liniare omogene.
Vom căuta soluții liniar independente ale ecuației (2) sub forma
,
(5)
Unde 
– un anumit număr. Apoi
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):
sau
.
Deoarece
, Acea
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă 
va satisface ecuația
.
(6)
Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică
pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.
Lăsa 
Și 
există rădăcini ale acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.
Lasă rădăcinile 
Și 
ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuată numai atunci când
, Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
,
Unde 
Și
- constante arbitrare.
Exemplul 3
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. După ce am rezolvat această ecuație pătratică, îi găsim rădăcinile
Și
. Funcții
Și
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este
.
Număr complex 
numită expresie a formei
, Unde 
Și 
sunt numere reale și
numită unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real 
.
Număr 
se numește partea reală a unui număr complex și 
- partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.
Exemplul 4
. Rezolvați ecuația pătratică
.
Soluţie
. Ecuație discriminantă
. Apoi. De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
. Rezolvarile ecuatiei (2) pot fi scrise sub forma
,
sau
,
. Conform formulelor lui Euler
,
.
Apoi ,. După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție la o ecuație liniară omogenă, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. De la egalitate
poate fi executat numai dacă
Și
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
Unde 
Și
- constante arbitrare.
Exemplul 5
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.
Soluţie
. Ecuația
este caracteristică unui diferențial dat. Să o rezolvăm și să obținem rădăcini complexe
,
. Funcții
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este:
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.
Exemplul 6
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.
Soluţie
. Ecuație caracteristică
are rădăcini egale
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
Și
. Soluția generală are forma
.
Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
și partea dreaptă specială
Soluția generală a ecuației liniare neomogene (1) este egală cu suma soluției generale
ecuația omogenă corespunzătoare și orice soluție particulară
ecuație neomogenă:
.
În unele cazuri, o anumită soluție la o ecuație neomogenă poate fi găsită destul de simplu prin forma părții din dreapta
ecuația (1). Să ne uităm la cazurile în care acest lucru este posibil.
acestea. partea dreaptă a ecuației neomogene este un polinom de grad m. Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma unui polinom de grad m, adică
Cote
sunt determinate în procesul de găsire a unei anumite soluții.
Dacă
este rădăcina ecuației caracteristice, atunci o anumită soluție a ecuației neomogene trebuie căutată sub forma
Exemplul 7
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.
Soluţie
. Ecuația omogenă corespunzătoare pentru această ecuație este
. Ecuația sa caracteristică
are rădăcini
Și
. Soluția generală a ecuației omogene are forma
.
Deoarece
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma unei funcții
. Să găsim derivatele acestei funcții
,
și înlocuiți-le în această ecuație:
sau . Să echivalăm coeficienții pentru 
și membri gratuiti:
După ce am rezolvat acest sistem, obținem
,
. Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene are forma
, iar soluția generală a unei ecuații neomogene date va fi suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și soluția particulară a celei neomogene:
.
Fie ecuația neomogenă să aibă forma
Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată în formă. Dacă
este rădăcina ecuației de multiplicitate caracteristică k
(k=1 sau k=2), atunci în acest caz o soluție particulară a ecuației neomogene va avea forma .
Exemplul 8
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare are forma
. Rădăcinile sale
,
. În acest caz, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare se scrie sub formă
.
Deoarece numărul 3 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, o anumită soluție a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma
. Să găsim derivatele primului și al doilea ordin:
Să substituim în ecuația diferențială:
+
+,
+,.
Să echivalăm coeficienții pentru 
și membri gratuiti:
De aici
,
. Atunci o anumită soluție a acestei ecuații are forma
, și soluția generală
.
Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare
Metoda de variație a constantelor arbitrare poate fi aplicată oricărei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți, indiferent de tipul de partea dreaptă. Această metodă vă permite să găsiți întotdeauna o soluție generală a unei ecuații neomogene dacă este cunoscută soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare.
Lăsa
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației (2). Atunci soluția generală a acestei ecuații este
, Unde 
Și
- constante arbitrare. Esența metodei de variație a constantelor arbitrare este că soluția generală a ecuației (1) este căutată sub forma
Unde
Și
- noi funcții necunoscute care trebuie găsite. Deoarece există două funcții necunoscute, pentru a le găsi, sunt necesare două ecuații care conțin aceste funcții. Aceste două ecuații alcătuiesc sistemul
care este un sistem algebric liniar de ecuații în raport cu
Și
. Rezolvând acest sistem, găsim
Și
. Integrând ambele părți ale egalităților obținute, găsim
Și
.
Înlocuind aceste expresii în (9), obținem o soluție generală a ecuației liniare neomogene (1).
Exemplul 9
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.
Soluţie.
Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare unei ecuații diferențiale date este
. Rădăcinile sale sunt complexe
,
. Deoarece
Și
, Acea
,
, iar soluția generală a ecuației omogene are forma. Apoi vom căuta o soluție generală la această ecuație neomogenă sub forma unde
Și
- funcții necunoscute.
Sistemul de ecuații pentru găsirea acestor funcții necunoscute are forma
După ce am rezolvat acest sistem, găsim
,
. Apoi
,
. Să substituim expresiile rezultate în formula soluției generale:
Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale, obținută prin metoda Lagrange.
Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor
Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți?
Ce ecuație diferențială liniară se numește omogenă și care se numește neomogenă?
Ce proprietăți are o ecuație liniară omogenă?
Ce ecuație se numește caracteristică pentru o ecuație diferențială liniară și cum se obține?
În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul diferitelor rădăcini ale ecuației caracteristice?
În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor egale ale ecuației caracteristice?
În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice?
Cum se scrie soluția generală a unei ecuații liniare neomogene?
În ce formă se caută o anumită soluție a unei ecuații liniare neomogene dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite și nu sunt egale cu zero, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?
În ce formă se caută o anumită soluție pentru o ecuație liniară neomogenă dacă există un zero între rădăcinile ecuației caracteristice și partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?
Care este esența metodei lui Lagrange?
Ecuații diferențiale de ordinul 2
§1. Metode de reducere a ordinii unei ecuații.
Ecuația diferențială de ordinul 2 are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( sau Diferențial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Ecuație diferențială de ordinul 2). Problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Astfel, ecuația de ordinul 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rezolvând-o, obținem integrala generală a ecuației diferențiale inițiale, în funcție de două constante arbitrare: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.
Soluţie.
Deoarece ecuația originală nu conține în mod explicit un argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
De la https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
Exemplul 2. Găsiți soluția generală a ecuației: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Ordinea puterii este redusă dacă este posibil să o transformăm într-o astfel de formă încât ambele părți ale ecuației să devină derivate complete conform https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – functii date, continue pe intervalul pe care se cauta solutia. Presupunând că a0(x) ≠ 0, împărțim (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Să acceptăm fără dovezi că (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" înălțime = "25 src=">, atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.
Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.
Definiție. Combinație liniară de funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
apoi combinația lor liniară https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> în (2.3) și arată că rezultatul este identitatea:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Deoarece funcțiile https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții ale ecuației (2.3), atunci fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identică este egală cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.
Corolarul 1. Din teorema dovedită rezultă că la https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - soluția ecuației (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> se numește liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca liniar combinație a tuturor celorlalte.
În cazul a două funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, adică..gif" width="77" înălțime ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Astfel, determinantul Wronski pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.
Să https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> satisface ecuația (2..gif" width="42" height="25 src = "> – soluția ecuației (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> se obține identitatea. Astfel,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt diferite de zero.
§4. Structura soluției generale a lodei de ordinul 2.
Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale ecuației (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema privind proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Constantele https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate unic, deoarece determinantul lui acest sistem este https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Conform paragrafului anterior, soluția generală a Lod de ordinul 2 este ușor de determinat dacă se cunosc două soluții parțiale liniar independente ale acestei ecuații. O metodă simplă pentru găsirea de soluții parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți propusă de L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristică:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="> și soluția generală (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Să verificăm dacă această funcție satisface ecuația (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, deoarece..gif" width="137" height="26 src= „>.
Soluțiile particulare https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sunt liniar independente, deoarece..gif" width="166" înălțime ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> este soluția ecuației (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> va arăta astfel:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
este prezentat ca suma soluției generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
și orice soluție anume https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> va fi o soluție a ecuației (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Această egalitate este o identitate, deoarece..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Prin urmare.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. Prin urmare:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero..gif" width="19" height="25 src="> din sistem de ecuații (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> va rezolva ecuația
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> în ecuația (6.5), obținem
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> ecuația (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x ) are o formă specială.Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de tipul părții drepte f(x).Se consideră părțile drepte de următoarea formă:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, poate fi zero. Să indicăm forma în care trebuie luată o anumită soluție în acest caz.
a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.
Soluţie.
Pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Reducem ambele părți la https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> în partea stângă și dreaptă a egalității
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Din sistemul de ecuații rezultat găsim: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, iar soluția generală a datei ecuația este:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Soluţie.
Ecuația caracteristică corespunzătoare are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Final avem următoarea expresie pentru soluția generală:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excelent de la zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz.
a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuație (5..gif" width="229 " height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Soluţie.
Rădăcinile ecuației caracteristice pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" înălțime ="25 src=">.
Partea dreaptă a ecuației din exemplul 3 are o formă specială: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Pentru a determina https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > și înlocuiți-l în ecuația dată:
Citând termeni similari, echivalând coeficienții la https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" înălțime = "25 src=">.
Soluția generală finală a ecuației date este: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 „ height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectiv, iar unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz general .
a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, atunci soluția specială pentru lndu va arăta astfel:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. În expresia (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Exemplul 4. Indicați tipul de soluție particulară pentru ecuație
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Soluția generală la Lodu are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Alți coeficienți https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > există o soluție specială pentru ecuația cu partea dreaptă f1(x) și Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variații ale constantelor arbitrare (metoda Lagrange).
Găsirea directă a unei anumite soluții a unei ecuații, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și cu termeni liberi speciali, este foarte dificilă. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a ecuației, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea soluției generale a ecuației în pătraturi dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă corespunzătoare. . Această metodă este după cum urmează.
Conform celor de mai sus, soluția generală a unei ecuații liniare omogenă este:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nu constante, ci unele funcții, încă necunoscute, ale lui f(x). . trebuie luate din interval. De fapt, în acest caz, determinantul Wronski este diferit de zero în toate punctele intervalului, adică în întregul spațiu - rădăcina complexă a ecuației caracteristice..gif" width="20" height="25 src="> soluții parțiale liniar independente de forma:
În formula soluției generale, această rădăcină corespunde unei expresii a formei.
În unele probleme de fizică nu se poate stabili o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Dar este posibil să se obțină o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și necesitatea de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.
Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării unei ecuații diferențiale în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este structurată în așa fel încât, cu cunoștințe zero ale ecuațiilor diferențiale, puteți face față sarcinii dvs.
Fiecare tip de ecuație diferențială este asociat cu o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții la exemple și probleme tipice. Tot ce trebuie să faceți este să determinați tipul de ecuație diferențială a problemei dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.
Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate (integrale nedefinite) ale diferitelor funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.
În primul rând, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi vom trece la EDO de ordinul doi, apoi ne vom opri asupra ecuațiilor de ordin superior și vom termina cu sisteme de ecuatii diferentiale.
Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi.
Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi de formă.
Să notăm câteva exemple de astfel de telecomandă 
.
Ecuatii diferentiale 
poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f(x) . În acest caz, ajungem la o ecuație care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f(x) ≠ 0. Exemple de astfel de ODE sunt .
Dacă există valori ale argumentului x la care funcțiile f(x) și g(x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație 
dat x sunt orice funcții definite pentru aceste valori de argument. Exemple de astfel de ecuații diferențiale includ:
Ecuații diferențiale de ordinul doi.
Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
LDE cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuație diferențială. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. În primul rând, se găsesc rădăcinile ecuației caracteristice 
. Pentru diferite p și q, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide 
sau conjugate complexe. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale se scrie ca 
, sau 
, sau respectiv.
De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite, prin urmare, soluția generală a LODE cu coeficienți constanți are forma
Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Soluția generală a unui LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y se caută sub forma sumei soluției generale a LDDE corespunzătoare. 
și o soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică . Paragraful anterior este dedicat găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Și o anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedeterminați pentru o anumită formă a funcției f(x) din partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.
Ca exemple de LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, dăm
Pentru a înțelege teoria și a vă familiariza cu soluții detaliate de exemple, vă oferim pe pagina ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) 
și ecuații diferențiale neomogene liniare (LNDE) de ordinul doi.
Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LDDE cu coeficienți constanți.
Soluția generală a LODE pe un anumit segment este reprezentată de o combinație liniară a două soluții parțiale liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică 
.
Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții parțiale liniar independente la o ecuație diferențială de acest tip. De obicei, anumite soluții sunt selectate din următoarele sisteme de funcții liniar independente:
Cu toate acestea, soluțiile speciale nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.
Un exemplu de LOD este 
.
Soluția generală a LDDE este căutată sub forma , unde este soluția generală a LDDE corespunzătoare și este soluția particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsirea lui, dar poate fi determinat folosind metoda variației constantelor arbitrare.
Se poate da un exemplu de LNDU 
.
Ecuații diferențiale de ordin superior.
Ecuații diferențiale care permit o reducere în ordine.
Ordinea ecuației diferențiale 
, care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuirea .
În acest caz, ecuația diferențială inițială va fi redusă la . După găsirea soluției sale p(x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y.
De exemplu, ecuația diferențială 
după înlocuire, va deveni o ecuație cu variabile separabile, iar ordinea ei va fi redusă de la a treia la prima.
