Studierea subiectului exact: numerele naturale - ce sunt numerele, exemplele și proprietățile. Numere nenaturale

În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... Viata de zi cu zi Cel mai adesea folosim numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, desemnând numărul de obiecte.

In contact cu

Ce numere se numesc numere naturale?

Din zece cifre puteți scrie absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt considerate a fi acelea care sunt folosite:

• Când numărați orice obiecte (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
• La indicarea numărului de articole (unu, doi, trei...)

N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N deoarece setul de valori întregi este nelimitat.

Atenţie! Numerele naturale se obțin la numărarea obiectelor sau la indicarea cantității acestora.

Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat sub formă de termeni de cifre, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.

Set N

Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. Pe diagrama mulțimilor, acestea ar fi situate unele în altele, deoarece mulțimea celor naturale face parte din ele.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.

Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.

Cel mai mic număr natural

În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N este considerată o unitate, deoarece absența obiectelor este considerată gol.

Dar în școlile de matematică străine, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența lui zero în serie face demonstrația mai ușoară unele teoreme.

O serie de valori N care include zero se numește extinsă și se notează prin simbolul N0 (indice zero).

Serii de numere naturale

Seria N este o succesiune a tuturor N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.

Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.

Atenţie! Pentru ușurința numărării, există clase și categorii:

• Unități (1, 2, 3),
• Zeci (10, 20, 30),
• Sute (100, 200, 300),
• Mii (1000, 2000, 3000),
• Zeci de mii (30.000),
• Sute de mii (800.000),
• Milioane (4000000), etc.

Toate N

Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.

Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.

De exemplu:

• Cinci mere, trei pisoi,
• Zece ruble, treizeci de creioane,
• O sută de kilograme, trei sute de cărți,
• Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.

Secvența în N

În diferite școli de matematică puteți găsi două intervale cărora le aparține șirul N:

de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică totul răspunsuri întregi pozitive.

N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.

Impar (orice număr impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu doi au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Ce înseamnă chiar și N?

Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar N este împărțit la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este întregul răspuns. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Important! O serie de numere de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să se alterneze: par este întotdeauna urmat de impar, urmat din nou de par etc.

Proprietăți N

Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale proprietăți speciale. Să luăm în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).

• Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
• N reprezintă o succesiune, adică o valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
• Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul se dovedește întotdeauna natural sens.
• Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
• Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. Tot în seria N se va aplica următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria numerică va exista întotdeauna un C pentru care egalitatea este valabilă: A+C=B.
• Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A = B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
• Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
• Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
• Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci este adevărat: B-A este mai mic decât C-A.

Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în direcția opusă.

Cum se numesc componentele înmulțirii?

În multe probleme simple și chiar complexe, găsirea răspunsului depinde de abilitățile elevilor

numere întregi Ne sunt foarte familiari și firești. Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece cunoașterea cu ei începe din primii ani ai vieții noastre la nivel intuitiv.

Informațiile din acest articol creează o înțelegere de bază a numerelor naturale, dezvăluie scopul lor și insuflă abilitățile de a scrie și citi numerele naturale. Pentru o mai bună înțelegere a materialului, sunt oferite exemplele și ilustrațiile necesare.

Navigare în pagină.

Numerele naturale – reprezentare generală.

Următoarea opinie nu este lipsită de o logică solidă: apariția sarcinii de numărare a obiectelor (primul, al doilea, al treilea obiect etc.) și sarcina de a indica numărul de obiecte (unul, două, trei obiecte etc.) a condus la crearea unui instrument de rezolvare, acesta a fost instrumentul numere întregi.

Din această propoziție este clar scopul principal al numerelor naturale– să poarte informații despre numărul oricăror articole sau numărul de serie al unui articol dat din setul de articole luate în considerare.

Pentru ca o persoană să folosească numerele naturale, acestea trebuie să fie într-un fel accesibile atât percepției, cât și reproducerii. Dacă exprimați fiecare număr natural, atunci acesta va deveni perceptibil după ureche, iar dacă descrieți un număr natural, atunci acesta poate fi văzut. Acestea sunt cele mai naturale moduri de a transmite și de a percepe numerele naturale.

Deci, să începem să dobândim abilitățile de a reprezenta (scris) și exprima (citit) numerele naturale, în timp ce le învățăm sensul.

Notarea zecimală a unui număr natural.

Mai întâi trebuie să decidem de la ce vom începe când scriem numere naturale.

Să ne amintim imaginile următoarelor personaje (le vom arăta separate prin virgule): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Imaginile prezentate sunt o înregistrare a așa-numitului numere. Să fim de acord imediat să nu întoarcem, să înclinăm sau să distorsionăm în alt mod numerele atunci când înregistrăm.

Acum să fim de acord că în notarea oricărui număr natural pot fi prezente doar cifrele indicate și nu pot fi prezente alte simboluri. Să fim, de asemenea, de acord că cifrele din notația unui număr natural au aceeași înălțime, sunt aranjate în linie una după alta (aproape fără indentare) iar în stânga există o altă cifră decât cifra 0 .

Iată câteva exemple de scriere corectă a numerelor naturale: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (vă rugăm să rețineți: liniuțele dintre numere nu sunt întotdeauna aceleași, mai multe despre acest lucru vor fi discutate în timpul revizuirii). Din exemplele de mai sus este clar că notația unui număr natural nu conține neapărat toate cifrele 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; unele sau toate cifrele implicate în scrierea unui număr natural pot fi repetate.

Postări 014 , 0005 , 0 , 0209 nu sunt înregistrări ale numerelor naturale, deoarece există o cifră în stânga 0 .

Se numește scrierea unui număr natural, realizată luând în considerare toate cerințele descrise în acest paragraf notarea zecimală a unui număr natural.

Mai departe nu vom face distincția între numerele naturale și scrierea lor. Să explicăm acest lucru: mai departe în text vom folosi expresii precum „dat un număr natural 582 ", ceea ce va însemna că este dat un număr natural, a cărui notare are forma 582 .

Numere naturale în sensul numărului de obiecte.

A sosit momentul să înțelegem sensul cantitativ pe care îl poartă numărul natural scris. Semnificația numerelor naturale în ceea ce privește numerotarea obiectelor este discutată în articolul compararea numerelor naturale.

Să începem cu numerele naturale, ale căror intrări coincid cu intrările de cifre, adică cu numere 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Și 9 .

Să ne imaginăm că am deschis ochii și am văzut un obiect, de exemplu, așa. În acest caz, putem nota ceea ce vedem 1 articol. Numărul natural 1 se citește ca „ unu„(declinarea numeralului „unu”, precum și a altor numere, vom da în paragraful), pentru numărul 1 a fost adoptat un alt nume - „ unitate».

Cu toate acestea, termenul „unitate” are mai multe valori, pe lângă numărul natural 1 , numiți ceva considerat ca un întreg. De exemplu, orice element din multele lor poate fi numit o unitate. De exemplu, orice măr dintr-un set de mere este o unitate, orice stol de păsări dintr-un set de stoluri de păsări este, de asemenea, o unitate etc.

Acum deschidem ochii și vedem: . Adică vedem un obiect și un alt obiect. În acest caz, putem nota ceea ce vedem 2 subiect. Numar natural 2 , citește „ Două».

La fel, - 3 subiect (a se citi " Trei" subiect), - 4 (« patru") subiect, - 5 (« cinci»), - 6 (« şase»), - 7 (« Șapte»), - 8 (« opt»), - 9 (« nouă„) articole.

Deci, din poziția considerată, numere naturale 1 , 2 , 3 , …, 9 indica cantitate articole.

Un număr a cărui notație coincide cu notația unei cifre 0 , numit " zero" Numărul zero NU este un număr natural, cu toate acestea, este de obicei considerat împreună cu numerele naturale. Amintiți-vă: zero înseamnă absența a ceva. De exemplu, zero articole nu este un singur articol.

În următoarele paragrafe ale articolului vom continua să dezvăluim semnificația numerelor naturale în ceea ce privește indicarea cantităților.

Numere naturale cu o singură cifră.

Evident, înregistrarea fiecăruia dintre numerele naturale 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 este format dintr-un caracter - un număr.

Definiție.

Numere naturale cu o singură cifră– acestea sunt numere naturale, a căror scriere este formată dintr-un semn - o cifră.

Să enumerăm toate numerele naturale dintr-o singură cifră: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Există nouă numere naturale cu o singură cifră în total.

Numere naturale din două și trei cifre.

Mai întâi, să definim numere naturale din două cifre.

Definiție.

Numere naturale din două cifre– acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este formată din două semne - două cifre (diferite sau aceleași).

De exemplu, un număr natural 45 – numere din două cifre 10 , 77 , 82 de asemenea, două cifre și 5 490 , 832 , 90 037 – nu de două cifre.

Să ne dăm seama ce semnificație au numerele din două cifre, în timp ce ne vom construi pe semnificația cantitativă a numerelor naturale cu o singură cifră pe care o cunoaștem deja.

Pentru început, să introducem conceptul zece.

Să ne imaginăm această situație – am deschis ochii și am văzut un set format din nouă obiecte și încă un obiect. În acest caz ei vorbesc despre 1 zece (o duzină) articole. Dacă unul zece și altul zece sunt considerați împreună, atunci vorbesc despre 2 zeci (două duzini). Dacă adăugăm încă zece la două zeci, vom avea trei zeci. Continuând acest proces, vom obține patru zeci, cinci zeci, șase zeci, șapte zeci, opt zeci și, în final, nouă zeci.

Acum putem trece la esența numerelor naturale din două cifre.

Pentru a face acest lucru, să privim un număr din două cifre ca două numere cu o singură cifră - unul este în stânga în notația unui număr de două cifre, celălalt este în dreapta. Numărul din stânga indică numărul de zeci, iar numărul din dreapta indică numărul de unități. Mai mult, dacă există o cifră în partea dreaptă a unui număr format din două cifre 0 , atunci aceasta înseamnă absența unităților. Acesta este punctul central al numerelor naturale de două cifre în ceea ce privește indicarea cantităților.

De exemplu, un număr natural de două cifre 72 corespunde 7 zeci și 2 unități (adică 72 mere este un set de șapte duzini de mere și încă două mere), și numărul 30 răspunsuri 3 zeci și 0 nu există unități, adică unități care nu sunt combinate în zeci.

Să răspundem la întrebarea: „Câte numere naturale de două cifre există?” Raspunde-le 90 .

Să trecem la definiția numerelor naturale din trei cifre.

Definiție.

Numerele naturale a căror notație constă în 3 semne - 3 se numesc numere (diferite sau repetate). trei cifre.

Exemple de numere naturale din trei cifre sunt 372 , 990 , 717 , 222 . numere întregi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nu sunt de trei cifre.

Pentru a înțelege sensul inerent numerelor naturale de trei cifre, avem nevoie de concept sute.

Mulțimea celor zece zeci este 1 o sută (o sută). O sută o sută este 2 sute. Două sute și încă o sută sunt trei sute. Și așa mai departe, avem patru sute, cinci sute, șase sute, șapte sute, opt sute și, în sfârșit, nouă sute.

Acum să ne uităm la un număr natural de trei cifre ca trei numere naturale de o singură cifră, care se succed de la dreapta la stânga în notația unui număr natural de trei cifre. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr indică numărul de zeci, iar următorul număr indică numărul de sute. Numerele 0 în scris un număr din trei cifre înseamnă absența zecilor și (sau) unităților.

Astfel, un număr natural de trei cifre 812 corespunde 8 sute, 1 zece și 2 unități; număr 305 - trei sute ( 0 zeci, adică nu există zeci care nu sunt combinate în sute) și 5 unități; număr 470 – patru sute șapte zeci (nu există unități care nu sunt combinate în zeci); număr 500 – cinci sute (nu există zeci care nu sunt combinate în sute și nici unități care nu sunt combinate în zeci).

În mod similar, se pot defini patru cifre, cinci cifre, șase cifre etc. numere naturale.

Numere naturale din mai multe cifre.

Deci, să trecem la definiția numerelor naturale cu mai multe valori.

Definiție.

Numere naturale din mai multe cifre- acestea sunt numere naturale, a căror notare este formată din două sau trei sau patru etc. semne. Cu alte cuvinte, numerele naturale cu mai multe cifre sunt de două cifre, trei cifre, patru cifre etc. numere.

Să spunem imediat că un set format din zece sute este o mie, o mie de mii este un milion, o mie de milioane este un miliard, o mie de miliarde este un trilion. O mie de trilioane, o mie de mii de trilioane și așa mai departe pot primi, de asemenea, propriile nume, dar nu este nevoie în mod special de acest lucru.

Deci, care este sensul din spatele numerelor naturale cu mai multe cifre?

Să ne uităm la un număr natural cu mai multe cifre ca numere naturale cu o singură cifră care urmează unul după altul de la dreapta la stânga. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr este numărul de zeci, următorul este numărul de sute, apoi numărul de mii, apoi numărul de zeci de mii, apoi sute de mii, apoi numărul de milioane, apoi numărul de zeci de milioane, apoi sute de milioane, apoi – numărul de miliarde, apoi – numărul de zeci de miliarde, apoi – sute de miliarde, apoi – trilioane, apoi – zeci de trilioane, apoi – sute de trilioane și așa mai departe.

De exemplu, un număr natural format din mai multe cifre 7 580 521 corespunde 1 unitate, 2 zeci, 5 sute, 0 mii, 8 zeci de mii, 5 sute de mii şi 7 milioane.

Astfel, am învățat să grupăm unitățile în zeci, zeci în sute, sute în mii, mii în zeci de mii și așa mai departe și am aflat că numerele din notația unui număr natural cu mai multe cifre indică numărul corespunzător al grupurile de mai sus.

Citirea numerelor naturale, clase.

Am menționat deja cum se citesc numerele naturale dintr-o singură cifră. Să învățăm pe de rost conținutul următoarelor tabele.

Cum se citesc numerele de două cifre rămase?

Să explicăm cu un exemplu. Să citim numărul natural 74 . După cum am aflat mai sus, acest număr corespunde 7 zeci și 4 unități, adică 70 Și 4 . Ne întoarcem la tabelele pe care tocmai le-am înregistrat și la numărul 74 o citim ca: „Șaptezeci și patru” (nu pronunțăm conjuncția „și”). Dacă trebuie să citiți un număr 74 în propoziţia: „Nu 74 mere” (cazul genitiv), atunci va suna astfel: „Nu există șaptezeci și patru de mere”. Alt exemplu. Număr 88 - Acest 80 Și 8 , prin urmare, citim: „Optzeci și opt”. Și iată un exemplu de propoziție: „Se gândește la optzeci și opt de ruble”.

Să trecem la citirea numerelor naturale din trei cifre.

Pentru a face acest lucru, va trebui să mai învățăm câteva cuvinte noi.

Rămâne să arătăm cum sunt citite numerele naturale de trei cifre rămase. În acest caz, vom folosi abilitățile pe care le-am dobândit deja în citirea numerelor cu o singură cifră și cu două cifre.

Să ne uităm la un exemplu. Să citim numărul 107 . Acest număr corespunde 1 suta si 7 unități, adică 100 Și 7 . Întorcându-ne la tabele, citim: „O sută șapte”. Acum să spunem numărul 217 . Acest număr este 200 Și 17 , prin urmare, citim: „două sute șaptesprezece”. De asemenea, 888 - Acest 800 (opt sute) și 88 (optzeci opt), citim: „Opt sute optzeci și opt”.

Să trecem la citirea numerelor din mai multe cifre.

Pentru a citi, înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre este împărțită, începând de la dreapta, în grupuri de trei cifre, iar în cel mai din stânga astfel de grup poate fi fie 1 , sau 2 , sau 3 numere. Aceste grupuri sunt numite clase. Se numește clasa din dreapta clasa de unitati. Clasa care o urmează (de la dreapta la stânga) este numită clasa de mii, clasa următoare - clasa de milioane, Următorul - clasa de miliarde, urmează clasa trilionului. Puteți da numele următoarelor clase, dar numere naturale, a căror notare constă în 16 , 17 , 18 etc. semnele nu sunt de obicei citite, deoarece sunt foarte greu de perceput după ureche.

Uitați-vă la exemple de împărțire a numerelor cu mai multe cifre în clase (pentru claritate, clasele sunt separate între ele printr-o liniuță mică): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Să punem numerele naturale înscrise într-un tabel care ușurează să înveți cum să le citești.

Pentru a citi un număr natural, numim numerele sale constitutive după clasă de la stânga la dreapta și adăugăm numele clasei. În același timp, nu pronunțăm numele clasei de unități și, de asemenea, sărim peste acele clase care formează trei cifre 0 . Dacă intrarea în clasă are un număr în stânga 0 sau două cifre 0 , atunci ignorăm aceste numere 0 și citiți numărul obținut prin aruncarea acestor numere 0 . De exemplu, 002 citește ca „doi” și 025 - ca în „douăzeci și cinci”.

Să citim numărul 489 002 conform regulilor date.

Citim de la stânga la dreapta,

• citeste numarul 489 , reprezentând clasa miilor, este „patru sute optzeci și nouă”;
• adăugați numele clasei, obținem „patru sute optzeci și nouă de mii”;
• mai departe în clasa de unități pe care o vedem 002 , sunt zerouri în stânga, le ignorăm, așadar 002 citit ca „doi”;
• nu este nevoie să adăugați numele clasei de unități;
• pana la urma avem 489 002 - „patru sute optzeci și nouă de mii două”.

Să începem să citim numărul 10 000 501 .

• În stânga, în clasa milioanelor, vedem numărul 10 , citiți „zece”;
• adăugați numele clasei, avem „zece milioane”;
• apoi vedem intrarea 000 în clasa miilor, deoarece toate cele trei cifre sunt cifre 0 , apoi sărim peste această clasă și trecem la următoarea;
• clasa de unitati reprezinta numarul 501 , pe care o citim „cinci sute unu”;
• Prin urmare, 10 000 501 - zece milioane cinci sute unu.

Să facem asta fără explicații detaliate: 1 789 090 221 214 - „un trilion șapte sute optzeci și nouă de miliarde nouăzeci de milioane două sute douăzeci și unu mie două sute paisprezece.”

Deci, baza abilității de a citi numere naturale cu mai multe cifre este capacitatea de a împărți numerele cu mai multe cifre în clase, cunoașterea numelor claselor și capacitatea de a citi numere din trei cifre.

Cifrele unui număr natural, valoarea cifrei.

În scrierea unui număr natural, semnificația fiecărei cifre depinde de poziția sa. De exemplu, un număr natural 539 corespunde 5 sute, 3 zeci și 9 unități, deci, cifra 5 în scris numărul 539 determină numărul de sute, cifră 3 – numărul zecilor și cifra 9 - Număr de unități. În același timp, ei spun că cifra 9 costuri în Unități digitale si numarul 9 este valoarea cifrei unitare, număr 3 costuri în locul zecilor si numarul 3 este valoarea locului de zeci, și figura 5 - V sute de loc si numarul 5 este valoarea locului de sute.

Prin urmare, deversare- pe de o parte, aceasta este poziția unei cifre în notația unui număr natural, iar pe de altă parte, valoarea acestei cifre, determinată de poziția sa.

Categoriile au nume. Dacă te uiți la numerele din notația unui număr natural de la dreapta la stânga, atunci acestea vor corespunde următoarelor cifre: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii, milioane, zeci de milioane și curând.

Este convenabil să ne amintim numele categoriilor atunci când sunt prezentate sub formă de tabel. Să scriem un tabel care conține numele a 15 categorii.

Rețineți că numărul de cifre ale unui număr natural dat este egal cu numărul de caractere implicate în scrierea acestui număr. Astfel, tabelul înregistrat conține numele cifrelor tuturor numerelor naturale, a căror înregistrare conține până la 15 caractere. Următoarele ranguri au și nume proprii, dar sunt foarte rar folosite, așa că nu are rost să le menționăm.

Folosind un tabel de cifre, este convenabil să determinați cifrele unui număr natural dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți acest număr natural în acest tabel, astfel încât să existe o cifră în fiecare cifră, iar cifra din dreapta să fie în cifra unităților.

Să dăm un exemplu. Să scriem un număr natural 67 922 003 942 în tabel, iar cifrele și semnificațiile acestor cifre vor deveni clar vizibile.

Numărul din acest număr este 2 stă în locul unităților, cifră 4 – la locul zecilor, cifra 9 – în locul sutelor etc. Ar trebui să fii atent la numere 0 , situat în categoriile zeci de mii și sute de mii. Numerele 0 în aceste cifre înseamnă absența unităților acestor cifre.

De asemenea, merită menționată așa-numita cifră cea mai mică (junior) și cea mai mare (cea mai semnificativă) a unui număr natural cu mai multe cifre. Cel mai jos rang (junior). a oricărui număr natural format din mai multe cifre este cifra unităților. Cea mai mare (cea mai semnificativă) cifră a unui număr natural este cifra corespunzătoare cifrei din dreapta din înregistrarea acestui număr. De exemplu, cifra de ordin inferioară a numărului natural 23.004 este cifra unităților, iar cea mai mare cifră este cifra zecilor de mii. Dacă în notația unui număr natural ne deplasăm cu cifre de la stânga la dreapta, atunci fiecare cifră ulterioară mai jos (mai tânăr) precedentul. De exemplu, rangul miilor este mai mic decât rangul zecilor de mii și cu atât mai mult rangul miilor este mai scăzut decât rangul sutelor de mii, milioane, zeci de milioane etc. Dacă în notația unui număr natural ne deplasăm cu cifre de la dreapta la stânga, atunci fiecare cifră ulterioară mai înalt (mai în vârstă) precedentul. De exemplu, cifra sutelor este mai veche decât cifra zecilor și, cu atât mai mult, mai veche decât cifra unităților.

În unele cazuri (de exemplu, atunci când se efectuează adunarea sau scăderea), nu numărul natural în sine este folosit, ci suma termenilor de cifre ai acestui număr natural.

Pe scurt despre sistemul numeric zecimal.

Așadar, ne-am familiarizat cu numerele naturale, cu semnificația inerentă a acestora și cu modul de a scrie numerele naturale folosind zece cifre.

În general, se numește metoda de scriere a numerelor folosind semne sistem de numere. Semnificația unei cifre într-o notație numerică poate depinde sau nu de poziția sa. Sunt numite sisteme numerice în care valoarea unei cifre dintr-un număr depinde de poziția sa pozițional.

Astfel, numerele naturale pe care le-am examinat și metoda de scriere a acestora indică faptul că folosim un sistem de numere pozițional. Trebuie remarcat faptul că numărul are un loc special în acest sistem de numere 10 . Într-adevăr, numărarea se face în zeci: zece unități sunt combinate într-un zece, o duzină de zeci sunt combinate într-o sută, o duzină de sute sunt combinate într-o mie și așa mai departe. Număr 10 numit bază sistem de numere dat, iar sistemul de numere însuși este numit zecimal.

Pe lângă sistemul numeric zecimal, există și altele, de exemplu, în informatică, se folosește sistemul binar de numere poziționale, iar sistemul sexagesimal îl întâlnim când vine vorba de măsurarea timpului.

Bibliografie.

• Matematică. Orice manuale pentru clasa a V-a a instituțiilor de învățământ general.

numere întregi– numere care sunt folosite pentru a număra obiecte . Orice număr natural poate fi scris folosind zece numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Acest tip de număr se numește zecimal

Se numește șirul tuturor numerelor naturale firesc alaturi .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Cel mai mic numărul natural este unu (1). În seria naturală, fiecare număr următor este cu 1 mai mare decât cel anterior. Seria naturală fără sfârşit, nu există un număr cel mai mare în el.

Semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului. De exemplu, numărul 4 înseamnă: 4 unități dacă se află pe ultimul loc în înregistrarea numărului (în loc de unități); 4 zece, dacă ea este pe penultimul loc (la locul zecilor); 4 sute, dacă ea este pe locul trei de la final (V sute de loc).

Numărul 0 înseamnă absența unităților din această categorieîn notația zecimală a unui număr, servește și la desemnarea numărului „ zero" Acest număr înseamnă „niciunul”. Scorul 0:3 într-un meci de fotbal înseamnă că prima echipă nu a marcat niciun gol împotriva adversarului.

Zero nu include la numere naturale. Și într-adevăr, numărarea obiectelor nu începe niciodată de la zero.

Dacă notația unui număr natural este formată dintr-un singur semn – o cifră, apoi se numește lipsit de ambiguitate. Acestea. lipsit de ambiguitatenumar natural– un număr natural, a cărui notare este formată dintr-un singur semn – o cifră. De exemplu, numerele 1, 6, 8 sunt cu o singură cifră.

Două cifrenumar natural– un număr natural, a cărui notare este formată din două caractere – două cifre.

De exemplu, numerele 12, 47, 24, 99 sunt numere din două cifre.

De asemenea, pe baza numărului de caractere dintr-un anumit număr, acestea dau nume altor numere:

numerele 326, 532, 893 – trei cifre;

numerele 1126, 4268, 9999 – patru cifre etc.

Două cifre, trei cifre, patru cifre, cinci cifre etc. se numesc numere numere din mai multe cifre .

Pentru a citi numerele cu mai multe cifre, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de câte trei cifre fiecare (grupul din stânga poate fi format din una sau două cifre). Aceste grupuri sunt numite clase.

Milion– aceasta este o mie de mii (1000 de mii), se scrie 1 milion sau 1.000.000.

Miliard- Adică 1000 de milioane. Este scris ca 1 miliard sau 1.000.000.000.

Primele trei cifre din dreapta alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei – clasa de mii, apoi vin clasele de milioane, miliarde etc. (Fig. 1).

Orez. 1. Clasa milioane, clasa mii și clasa unități (de la stânga la dreapta)

Numărul 15389000286 este scris în grila de biți (Fig. 2).

Orez. 2. Grilă de biți: numărul 15 miliarde 389 milioane 286

Acest număr are 286 unități în clasa de unități, zero unități în clasa mii, 389 de unități în clasa milioane și 15 unități în clasa miliarde.

Definiție

Numerele naturale sunt numere destinate numărării obiectelor. Pentru înregistrarea numerelor naturale se folosesc 10 cifre arabe (0–9), care formează baza sistemului de numere zecimal acceptat în general pentru calculele matematice.

Succesiunea numerelor naturale

Numerele naturale formează o serie care începe la 1 și acoperă mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive. Această secvență este formată din numerele 1,2,3,.... Aceasta înseamnă că în seria naturală:

1. Există un număr cel mai mic și nu cel mai mare.
2. Fiecare număr următor este mai mare decât cel anterior cu 1 (cu excepția unității în sine).
3. Pe măsură ce numerele tind spre infinit, ele cresc fără limită.

Uneori, într-o serie de numere naturale este introdus 0. Acest lucru este acceptabil și apoi vorbesc despre extins serie naturală.

Clase de numere naturale

Fiecare cifră a unui număr natural exprimă o anumită cifră. Ultimul este întotdeauna numărul de unități din număr, precedentul este numărul de zeci, al treilea de la sfârșit este numărul de sute, al patrulea este numărul de mii și așa mai departe.

• în numărul 276: 2 sute, 7 zeci, 6 unități
• în numărul 1098: 1 mie, 9 zeci, 8 unități; Locul sutelor lipsește aici deoarece este exprimat ca zero.

Pentru numere mari și foarte mari, puteți vedea o tendință stabilă (dacă examinați numărul de la dreapta la stânga, adică de la ultima cifră la prima):

• ultimele trei cifre ale numărului sunt unități, zeci și sute;
• cele trei anterioare sunt unități, zeci și sute de mii;
• cele trei din fața lor (adică a 7-a, a 8-a și a 9-a cifră ale numărului, numărând de la sfârșit) sunt unități, zeci și sute de milioane etc.

Adică, de fiecare dată când avem de-a face cu trei cifre, adică unități, zeci și sute de nume mai mare. Astfel de grupuri formează clase. Și dacă ai de-a face mai des sau mai puțin des cu primele trei clase din viața de zi cu zi, atunci celelalte ar trebui să fie enumerate, pentru că nu toată lumea își amintește numele pe de rost.

• Clasa a 4-a, urmând clasa milioanelor și reprezentând numere de 10-12 cifre, se numește miliard (sau miliard);
• clasa a V-a – trilion;
• clasa a VI-a – cvadrilion;
• clasa a VII-a – chintilion;
• clasa a VIII-a – sextilion;
• Clasa a IX-a – septillion.

Adunarea numerelor naturale

Adunarea numerelor naturale este o operație aritmetică care vă permite să obțineți un număr care conține același număr de unități ca și în numerele care se adună.

Semnul de adunare este semnul „+”. Numerele adăugate se numesc aditivi, iar rezultatul rezultat se numește sumă.

Numerele mici sunt adăugate (însumate) oral; în scris, astfel de acțiuni sunt notate pe o linie.

Numerele din mai multe cifre care sunt dificil de adăugat în cap sunt de obicei adăugate într-o coloană. Pentru a face acest lucru, numerele sunt scrise unul sub celălalt, aliniate după ultima cifră, adică se scriu pe cele aflate sub locul unităților, sutele sub locul sutelor și așa mai departe. Apoi, trebuie să adăugați cifrele în perechi. Dacă adăugarea cifrelor are loc cu o tranziție printr-un zece, atunci acest zece este fixat ca o unitate deasupra cifrei din stânga (adică următoarea) și se însumează împreună cu cifrele acestei cifre.

Dacă nu 2, ci mai multe numere sunt adăugate la o coloană, atunci când însumăm cifrele locului, nu 1 zece, ci mai multe se pot dovedi redundante. În acest caz, numărul acestor zeci este transferat la următoarea cifră.

Scăderea numerelor naturale

Scăderea este o operație aritmetică, inversul adunării, care se rezumă la faptul că, folosind suma disponibilă și unul dintre termeni, trebuie să găsiți altul - un termen necunoscut. Numărul din care se scade se numește minuend; numărul care se scade este subtrahendabil. Rezultatul scăderii se numește diferență. Semnul folosit pentru a desemna acțiunea de scădere este „–”.

Când treceți la adunare, subtraendul și diferența se transformă în adunări, iar minuendul se transformă într-o sumă. Adunarea este de obicei folosită pentru a verifica corectitudinea scăderii și invers.

Aici 74 este minuend, 18 este subtraend, 56 este diferența.

O condiție prealabilă pentru scăderea numerelor naturale este următoarea: minuend trebuie să fie mai mare decât subtraend. Numai în acest caz diferența rezultată va fi și un număr natural. Dacă acțiunea de scădere este efectuată pentru o serie naturală extinsă, atunci este permis ca minuend să fie egal cu subtraend. Și rezultatul scăderii în acest caz va fi 0.

Notă: dacă scăderea este egală cu zero, atunci operația de scădere nu modifică valoarea minuendului.

Scăderea numerelor cu mai multe cifre se face de obicei într-o coloană. Numerele sunt scrise în același mod ca și pentru adunare. Scăderea se efectuează pentru cifrele corespunzătoare. Dacă se dovedește că minuendul este mai mic decât subtraend, atunci ei iau unul din cifra anterioară (situată în stânga), care, după transfer, se transformă în mod natural în 10. Acest zece se însumează cu numărul cifrei date. fiind minat şi apoi se efectuează scăderea. Apoi, atunci când scădeți următoarea cifră, asigurați-vă că țineți cont de faptul că cea care se reduce a devenit cu 1 mai puțin.

Produsul numerelor naturale

Produsul (sau înmulțirea) numerelor naturale este o operație aritmetică care reprezintă găsirea sumei unui număr arbitrar de termeni identici. Pentru a scrie acțiunea de înmulțire, utilizați semnul „·” (uneori „×” sau „*”). De exemplu: 3·5=15.

Acțiunea înmulțirii este indispensabilă atunci când este necesară adăugarea unui număr mare de termeni. De exemplu, dacă trebuie să adăugați numărul 4 de 7 ori, atunci înmulțirea lui 4 cu 7 este mai ușoară decât efectuarea următoarei adunări: 4+4+4+4+4+4+4.

Numerele care sunt înmulțite se numesc factori, rezultatul înmulțirii se numește produs. În consecință, termenul „produs” poate, în funcție de context, să exprime atât procesul de înmulțire, cât și rezultatul acestuia.

Numerele cu mai multe cifre sunt înmulțite într-o coloană. Pentru aceasta, numerele sunt scrise în același mod ca și pentru adunare și scădere. Se recomandă să notați mai întâi cel mai lung dintre cele 2 numere (mai sus). În acest caz, procesul de înmulțire va fi mai simplu și, prin urmare, mai rațional.

La înmulțirea într-o coloană, cifrele fiecăreia dintre cifrele celui de-al doilea număr sunt înmulțite succesiv cu cifrele primului număr, începând de la sfârșitul acestuia. După ce ați găsit primul astfel de produs, notați cifra unităților și țineți cont de cifra zecilor. La înmulțirea cifrei celui de-al 2-lea număr cu următoarea cifră a primului număr, la produs se adaugă cifra de care se ține cont. Și din nou, notați numărul de unități ale rezultatului obținut și amintiți-vă numărul zecilor. Atunci când este înmulțit cu ultima cifră a primului număr, numărul obținut în acest fel se notează în întregime.

Rezultatele înmulțirii cifrei celei de-a 2-a cifre a celui de-al doilea număr sunt scrise în al doilea rând, deplasându-l cu 1 celulă la dreapta. Și așa mai departe. Ca urmare, se va obține o „scara”. Toate rândurile de numere rezultate trebuie adăugate (conform regulii adunării coloanelor). Celulele goale ar trebui considerate pline cu zerouri. Suma rezultată este produsul final.

Notă

1. Produsul oricărui număr natural cu 1 (sau 1 cu un număr) este egal cu numărul însuși. De exemplu: 376·1=376; 1·86=86.
2. Când unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu 0, atunci produsul este egal cu 0. De exemplu: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Împărțirea numerelor naturale

Împărțirea este o operație aritmetică cu ajutorul căreia, având în vedere un produs cunoscut și unul dintre factori, se poate găsi un alt factor – necunoscut. Împărțirea este inversul înmulțirii și este folosită pentru a verifica dacă o înmulțire a fost efectuată corect (și invers).

Numărul care este împărțit se numește dividend; numărul împărțit la este divizorul; rezultatul împărțirii se numește coeficient. Semnul de împărțire este „:” (uneori, mai rar, „÷”).

Aici 48 este dividendul, 6 este divizorul, 8 este coeficientul.

Nu toate numerele naturale pot fi împărțite între ele. În acest caz, împărțiți cu un rest. Constă în faptul că un factor este selectat pentru divizor astfel încât produsul său de către divizor să fie un număr cât mai apropiat ca valoare de dividend, dar mai mic decât acesta. Divizorul se înmulțește cu acest factor și se scade din dividend. Diferența va fi restul diviziei. Produsul dintre un divizor și un factor se numește coeficient incomplet. Atenție: soldul trebuie să fie mai mic decât multiplicatorul selectat! Dacă restul este mai mare, înseamnă că multiplicatorul a fost ales incorect și ar trebui mărit.

Selectăm un factor pentru 7. În acest caz, este numărul 5. Găsim câtul incomplet: 7·5=35. Calculăm restul: 38-35=3. Din 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Numerele cu mai multe cifre sunt împărțite într-o coloană. Pentru a face acest lucru, scrieți dividendul și divizorul unul lângă celălalt, separând divizorul cu o linie verticală și orizontală. În dividend, sunt izolate prima cifră sau primele câteva cifre (în dreapta), care trebuie să reprezinte un număr care este minim suficient de împărțit la divizor (adică acest număr trebuie să fie mai mare decât divizorul). Pentru acest număr, este selectat un coeficient incomplet, așa cum este descris în regula pentru împărțirea cu rest. Cifra multiplicatorului folosită pentru a găsi câtul parțial este scrisă sub divizor. Coeficientul incomplet este scris sub numărul care se împarte, aliniat la dreapta. Găsiți diferența lor. Scoateți următoarea cifră a dividendului scriind-o lângă această diferență. Pentru numărul rezultat, coeficientul parțial se găsește din nou notând cifra multiplicatorului selectat lângă cea precedentă sub divizor. Și așa mai departe. Astfel de acțiuni sunt efectuate până la epuizarea cifrelor dividendului. După aceasta, împărțirea este considerată completă. Dacă dividendul și divizorul sunt împărțite la un întreg (fără rest), atunci ultima diferență va da zero. În caz contrar, se va obține numărul rămas.

Exponentiație

Exponentiația este o operație matematică care implică înmulțirea unui număr arbitrar de numere identice. De exemplu: 2·2·2·2.

Astfel de expresii sunt scrise sub forma: un x,

Unde A– un număr înmulțit cu el însuși, X– numărul acestor factori.

Numere naturale prime și compuse

Fiecare număr natural, cu excepția lui 1, poate fi împărțit în cel puțin 2 numere - unul și el însuși. Pe baza acestui criteriu, numerele naturale se împart în prime și compuse.

Numerele prime sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Numerele care sunt divizibile cu mai mult de aceste 2 numere se numesc numere compuse. O unitate divizibilă numai prin ea însăși nu este nici simplă, nici compusă.

Numerele prime sunt: ​​2,3,5,7,11,13,17,19 etc. Exemple de numere compuse: 4 (divizibil cu 1,2,4), 6 (divizibil cu 1,2,3,6), 20 (divizibil cu 1,2,4,5,10,20).

Fiecare număr compus poate fi descompus în factori primi. Prin factori primi înțelegem divizorii săi, care sunt numere prime.

Exemplu de descompunere în factori primi:

Divizori ai numerelor naturale

Un divizor este un număr cu care un anumit număr poate fi împărțit fără rest.

În conformitate cu această definiție, numerele naturale prime au 2 divizori, numerele compuse au mai mult de 2 divizori.

Multe numere au factori comuni. Un divizor comun este un număr care împarte numerele date fără a lăsa rest.

• Numerele 12 și 15 au un divizor comun de 3
• Numerele 20 și 30 au divizori comuni 2,5,10

De o importanță deosebită este cel mai mare divizor comun (MCD). Acest număr, în special, este util pentru a putea găsi pentru fracții reducătoare. Pentru a-l găsi, trebuie să descompuneți numerele date în factori primi și să le reprezentați ca produsul factorilor lor primi comuni, luați în puterile lor cele mai mici.

Trebuie să găsiți mcd-ul numerelor 36 și 48.

Divizibilitatea numerelor naturale

Nu este întotdeauna posibil să se determine cu ochi dacă un număr este divizibil cu altul fără un rest. În astfel de cazuri, testul corespunzător de divizibilitate se dovedește a fi util, adică o regulă prin care în câteva secunde puteți determina dacă numerele pot fi împărțite fără rest. Semnul „” este folosit pentru a indica divizibilitatea.

Cel mai mic multiplu comun

Această cantitate (notată LOC) este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre cele date. LCM poate fi găsit pentru o mulțime arbitrară de numere naturale.

NOC, ca și GCD, are o semnificație practică semnificativă. Deci, LCM este cel care trebuie găsit prin aducerea fracțiilor obișnuite la un numitor comun.

LCM este determinată prin factorizarea numerelor date în factori primi. Pentru a-l forma, luați un produs format din fiecare dintre factorii primi care apar (cel puțin pentru 1 număr), reprezentați la gradul maxim.

Trebuie să găsiți LCM al numerelor 14 și 24.

In medie

Media aritmetică a unui număr arbitrar (dar finit) de numere naturale este suma tuturor acestor numere împărțită la numărul de termeni:

Media aritmetică este o valoare medie pentru o mulțime numerică.

Numerele date sunt 2,84,53,176,17,28. Trebuie să găsiți media lor aritmetică.