Ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți

Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.

Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

Teorema 1

O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.

Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 1

Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.

În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația generală este y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Am inteles

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să transformăm:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci este clar că

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obținem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

După condiție este clar că

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Definiția 1

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:

• găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
• adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ecuația

unde și sunt funcții continue în interval se numește ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi, funcțiile și sunt coeficienții săi. Dacă în acest interval, atunci ecuația ia forma:

și se numește ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi. Dacă ecuația (**) are aceiași coeficienți și ca și ecuația (*), atunci se numește ecuație omogenă corespunzătoare ecuației neomogene (*).

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi

Lăsați ecuația liniară

Și sunt numere reale constante.

Vom căuta o soluție particulară a ecuației sub forma unei funcții , unde trebuie determinat un număr real sau complex. Diferențiând prin , obținem:

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Prin urmare, ținând cont de faptul că avem:

Această ecuație se numește ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene. Ecuația caracteristică face posibilă găsirea. Aceasta este o ecuație de gradul doi, deci are două rădăcini. Să le notăm prin și . Sunt posibile trei cazuri:

1) Rădăcinile sunt reale și diferite. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 1

2) Rădăcinile sunt reale și egale. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplu2

Te-ai trezit pe această pagină încercând să rezolvi o problemă pentru un examen sau un test? Dacă tot nu ați reușit să promovați examenul, data viitoare faceți o programare în avans pe site-ul web despre Ajutor online la matematică superioară.

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

3) Rădăcini complexe. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 3

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi

Să considerăm acum soluția unor tipuri de ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

unde și sunt numere reale constante, este o funcție continuă cunoscută în intervalul . Pentru a găsi o soluție generală a unei astfel de ecuații diferențiale, este necesar să se cunoască soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare și soluția particulară. Să ne uităm la câteva cazuri:

Căutăm și o soluție parțială a ecuației diferențiale sub forma unui trinom pătratic:

Dacă 0 este o singură rădăcină a ecuației caracteristice, atunci

Dacă 0 este o rădăcină dublă a ecuației caracteristice, atunci

Situația este similară dacă este un polinom de grad arbitrar

Exemplul 4

Să rezolvăm ecuația omogenă corespunzătoare.

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației omogene:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația de difuzie neomogenă:

Înlocuind derivatele găsite în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția specială necesară:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Căutăm o anumită soluție sub forma , unde este coeficientul nedeterminat.

Înlocuind și în ecuația diferențială originală, obținem o identitate din care găsim coeficientul.

Dacă este rădăcina ecuației caracteristice, atunci căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale inițiale sub forma , când este o rădăcină simplă și , când este o rădăcină dublă.

Exemplul 5

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația diferențială neomogenă corespunzătoare:

Soluția generală a ecuației diferențiale:

În acest caz, căutăm o soluție specială sub forma unui binom trigonometric:

unde și sunt coeficienți nedeterminați

Înlocuind și în ecuația diferențială originală, obținem o identitate din care găsim coeficienții.

Aceste ecuații determină coeficienții și cu excepția cazului în care (sau când - rădăcinile ecuației caracteristice). În acest din urmă caz, căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale sub forma:

Exemplu6

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție specială pentru ecuația de difuzie neomogenă

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale este:

Convergența serii de numere
Se dă o definiție a convergenței unei serii și se analizează în detaliu problemele pentru studierea convergenței seriilor de numere - teste de comparație, testul de convergență al lui d'Alembert, testul de convergență Cauchy și testul de convergență Cauchy integral.

Convergența absolută și condiționată a seriei
Pagina discută serii alternante, convergența lor condiționată și absolută, testul de convergență Leibniz pentru serii alternante - conține o scurtă teorie pe această temă și un exemplu de rezolvare a problemei.

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți are o solutie generala
, Unde Și soluții parțiale liniar independente ale acestei ecuații.

Forma generală a soluțiilor unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
, depinde de rădăcinile ecuației caracteristice
.

Rădăcini de caracteristică ecuații	Tipul soluției generale
Rădăcini Și reale si diferite
Rădăcini == valide și identice
Rădăcini complexe ,

Exemplu

Găsiți o soluție generală pentru ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți:

1)

Soluţie:
.

După ce am rezolvat-o, vom găsi rădăcinile
,
valabil si diferit. Prin urmare, soluția generală este:
.

2)

Soluţie: Să creăm o ecuație caracteristică:
.

După ce am rezolvat-o, vom găsi rădăcinile

valide și identice. Prin urmare, soluția generală este:
.

3)

Soluţie: Să creăm o ecuație caracteristică:
.

După ce am rezolvat-o, vom găsi rădăcinile
complex. Prin urmare, soluția generală are forma:.

Ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți se pare ca

Unde
. (1)

Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi are forma
, Unde
– o soluție particulară a acestei ecuații, – o soluție generală a ecuației omogene corespunzătoare, i.e. ecuații

Tip de soluție privată
ecuația neomogenă (1) în funcție de partea dreaptă
:

Partea dreaptă	Soluție privată
– polinom de grad	, Unde – numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu zero.
	, Unde = este rădăcina ecuației caracteristice.
	Unde – un număr egal cu numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice care coincide cu .
	Unde – numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice care coincide cu .

Să luăm în considerare diferite tipuri de laturi drepte ale unei ecuații diferențiale neomogene liniare:

1.
, unde este un polinom de grad . Apoi soluția specială
poate fi căutat în formular
, Unde

, A – numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu zero.

Exemplu

Găsiți o soluție generală
.

Soluţie:

.

B) Deoarece partea dreaptă a ecuației este un polinom de gradul I și nici una dintre rădăcinile ecuației caracteristice
nu este egal cu zero (
), atunci căutăm o soluție specială sub forma unde Și – coeficienți necunoscuți. Diferențierea de două ori
și înlocuirea
,
Și
în ecuația originală, găsim.

Echivalarea coeficienților la aceleași grade de ambele părți ale ecuației
,
, găsim
,
. Deci, o soluție specială a acestei ecuații are forma
, și soluția sa generală.

2. Lăsați partea dreaptă să aibă forma
, unde este un polinom de grad . Apoi soluția specială
poate fi căutat în formular
, Unde
– un polinom de același grad ca
, A – un număr care indică de câte ori este rădăcina ecuației caracteristice.

Exemplu

Găsiți o soluție generală
.

Soluţie:

A) Aflați soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare
. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația caracteristică
. Să găsim rădăcinile ultimei ecuații
. În consecință, soluția generală a ecuației omogene are forma
.

ecuație caracteristică

, Unde – coeficient necunoscut. Diferențierea de două ori
și înlocuirea
,
Și
în ecuația originală, găsim. Unde
, acesta este
sau
.

Deci, o soluție specială a acestei ecuații are forma
, și soluția sa generală
.

3. Lăsați partea dreaptă să aibă forma , unde
Și – numere date. Apoi soluția specială
poate fi căutat în forma unde Și sunt coeficienți necunoscuți și – un număr egal cu numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice care coincide cu
. Dacă în expresia funcției
este inclusă cel puțin una dintre funcții
sau
, apoi în
trebuie introdus întotdeauna ambii funcții.

Exemplu

Găsiți o soluție generală.

Soluţie:

A) Aflați soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare
. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația caracteristică
. Să găsim rădăcinile ultimei ecuații
. În consecință, soluția generală a ecuației omogene are forma
.

B) Deoarece partea dreaptă a ecuației este o funcție
, apoi numărul de control al acestei ecuații, nu coincide cu rădăcinile
ecuație caracteristică
. Apoi căutăm o soluție specială în formular

Unde Și – coeficienți necunoscuți. Diferențiând de două ori, obținem. Înlocuind
,
Și
în ecuația originală, găsim

.

Aducând termeni similari, obținem

.

Echivalăm coeficienții pentru
Și
pe partea dreaptă și, respectiv, stânga a ecuației. Primim sistemul
. Rezolvând, găsim
,
.

Deci, o soluție specială a ecuației diferențiale inițiale are forma .

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale are forma .

Ecuații diferențiale de ordinul 2

§1. Metode de reducere a ordinii unei ecuații.

Ecuația diferențială de ordinul 2 are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( sau Diferențial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Ecuație diferențială de ordinul 2). Problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Astfel, ecuația de ordinul 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rezolvând-o, obținem integrala generală a ecuației diferențiale inițiale, în funcție de două constante arbitrare: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Soluţie.

Deoarece ecuația originală nu conține în mod explicit un argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

De la https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Fie ecuația diferențială de ordinul 2 să aibă forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Exemplul 2. Găsiți soluția generală a ecuației: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Ordinea puterii este redusă dacă este posibil să o transformăm într-o astfel de formă încât ambele părți ale ecuației să devină derivate complete conform https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – functii date, continue pe intervalul pe care se cauta solutia. Presupunând că a0(x) ≠ 0, împărțim (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Să acceptăm fără dovezi că (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" înălțime = "25 src=">, atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.

Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.

Definiție. Combinație liniară de funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

apoi combinația lor liniară https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> în (2.3) și arată că rezultatul este identitatea:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Deoarece funcțiile https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții ale ecuației (2.3), atunci fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identică este egală cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 1. Din teorema dovedită rezultă că la https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - soluția ecuației (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> se numește liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca liniar combinație a tuturor celorlalte.

În cazul a două funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, adică..gif" width="77" înălțime ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Astfel, determinantul Wronski pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.

Să https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> satisface ecuația (2..gif" width="42" height="25 src = "> – soluția ecuației (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> se obține identitatea. Astfel,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt diferite de zero.

§4. Structura soluției generale a lodei de ordinul 2.

Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale ecuației (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema privind proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Constantele https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate unic, deoarece determinantul lui acest sistem este https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Conform paragrafului anterior, soluția generală a Lod de ordinul 2 este ușor de determinat dacă se cunosc două soluții parțiale liniar independente ale acestei ecuații. O metodă simplă pentru găsirea de soluții parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți propusă de L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristică:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="> și soluția generală (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Să verificăm dacă această funcție satisface ecuația (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, deoarece..gif" width="137" height="26 src= „>.

Soluțiile particulare https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sunt liniar independente, deoarece..gif" width="166" înălțime ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> este soluția ecuației (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

este prezentat ca suma soluției generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

și orice soluție anume https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> va fi o soluție a ecuației (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Această egalitate este o identitate, deoarece..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Prin urmare.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. Prin urmare:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero..gif" width="19" height="25 src="> din sistem de ecuații (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> va rezolva ecuația

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> în ecuația (6.5), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> ecuația (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x ) are o formă specială.Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de tipul părții drepte f(x).Se consideră părțile drepte de următoarea formă:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, poate fi zero. Să indicăm forma în care trebuie luată o anumită soluție în acest caz.

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Soluţie.

Pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Reducem ambele părți la https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> în partea stângă și dreaptă a egalității

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Din sistemul de ecuații rezultat găsim: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, iar soluția generală a datei ecuația este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Soluţie.

Ecuația caracteristică corespunzătoare are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Final avem următoarea expresie pentru soluția generală:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excelent de la zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz.

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuație (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Soluţie.

Rădăcinile ecuației caracteristice pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" înălțime ="25 src=">.

Partea dreaptă a ecuației din exemplul 3 are o formă specială: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Pentru a determina https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > și înlocuiți-l în ecuația dată:

Citând termeni similari, echivalând coeficienții la https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" înălțime = "25 src=">.

Soluția generală finală a ecuației date este: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 „ height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectiv, iar unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz general .

a) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Dacă numărul https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, atunci soluția specială pentru lndu va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. În expresia (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Exemplul 4. Indicați tipul de soluție particulară pentru ecuație

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Soluția generală la Lodu are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Alți coeficienți https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > există o soluție specială pentru ecuația cu partea dreaptă f1(x), și Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variații ale constantelor arbitrare (metoda Lagrange).

Găsirea directă a unei anumite soluții a unei ecuații, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și cu termeni liberi speciali, este foarte dificilă. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a ecuației, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea soluției generale a ecuației în pătraturi dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă corespunzătoare. . Această metodă este după cum urmează.

Conform celor de mai sus, soluția generală a unei ecuații liniare omogenă este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nu constante, ci unele funcții, încă necunoscute, ale lui f(x). . trebuie luate din interval. De fapt, în acest caz determinantul Wronski este diferit de zero în toate punctele intervalului, adică în întregul spațiu - rădăcina complexă a ecuației caracteristice..gif" width="20" height="25 src="> soluții parțiale liniar independente de forma:

În formula generală a soluției, această rădăcină corespunde unei expresii a formei.

Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți:
(1) .
Soluția sa poate fi obținută urmând metoda de reducere a ordinii generale.

Cu toate acestea, este mai ușor să obțineți imediat sistemul fundamental n soluții liniar independente și pe baza ei creează o soluție generală. În acest caz, întreaga procedură de soluție se reduce la următorii pași.

Căutăm o soluție pentru ecuația (1) sub forma . Primim ecuație caracteristică:
(2) .
Are n rădăcini. Rezolvăm ecuația (2) și găsim rădăcinile acesteia. Atunci ecuația caracteristică (2) poate fi reprezentată sub următoarea formă:
(3) .
Fiecare rădăcină corespunde uneia dintre soluțiile liniar independente ale sistemului fundamental de soluții la ecuația (1). Atunci soluția generală a ecuației inițiale (1) are forma:
(4) .

Adevărate rădăcini

Să luăm în considerare rădăcinile reale. Lasă rădăcina să fie singură. Adică, factorul intră în ecuația caracteristică (3) o singură dată. Atunci această rădăcină corespunde soluției
.

Fie o rădăcină multiplă a multiplicității p. Acesta este
. În acest caz, multiplicatorul este p ori:
.
Aceste rădăcini multiple (egale) corespund p soluții liniar independente ale ecuației inițiale (1):
; ; ; ...; .

Rădăcini complexe

Luați în considerare rădăcinile complexe. Să exprimăm rădăcina complexă în termenii părților reale și imaginare:
.
Deoarece coeficienții originalului sunt reali, atunci pe lângă rădăcină există o rădăcină conjugată complexă
.

Lăsați rădăcina complexă să fie multiplă. Atunci o pereche de rădăcini corespunde la două soluții liniar independente:
; .

Fie o rădăcină complexă multiplă a multiplicității p. Atunci valoarea complexă conjugată este, de asemenea, rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității p și multiplicatorul intră p ori:
.
Acest 2p rădăcinile corespund 2p soluții liniar independente:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

După ce s-a găsit sistemul fundamental de soluții liniar independente, obținem soluția generală.

Exemple de soluții de probleme

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Soluţie

.
Să-l transformăm:
;
;
.

Să ne uităm la rădăcinile acestei ecuații. Avem patru rădăcini complexe ale multiplicității 2:
; .
Ele corespund la patru soluții liniar independente ale ecuației originale:
; ; ; .

Avem, de asemenea, trei rădăcini reale ale multiplelor 3:
.
Ele corespund la trei soluții liniar independente:
; ; .

Soluția generală a ecuației inițiale are forma:
.

Răspuns

Exemplul 2

Rezolvați ecuația

Soluţie

Cautam o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:
.
Rezolvarea unei ecuații pătratice.
.

Avem două rădăcini complexe:
.
Ele corespund la două soluții liniar independente:
.
Soluția generală a ecuației:
.